11级离散数学试题(A)参考答案

2011级离散数学(A)参考答案一、填空题（每小题2分，共30分）1. 设():M x x 为人， ():F x x 不吃饭。

将命题“没有不吃饭的人”符号化为：))()((x F x M x ⌝→∀ 或 ))()(((x F x m x ∧∃⌝ 。

2. 设A={1, 2, 3, 4} ，则 A 的全部2元子集共有 6 个。

3. 设p ：明天是周一，q ：明天是周三，r ：我有课。

则命题“如果明天是周一或周三，我就有课”的符号化形式为 r q p →∨)( 。

4. 已知命题公式A 含有2个命题变项，其成真赋值为00、10、11，则其主析取范式为 320m m m ∨∨ 。

5. 设p ：北京比大连人口多，q ：2+2=4，r ：乌鸦是白色的。

则命题公式)()(r p r q ⌝→→∨的真值为 1 。

6. 集合}3,2,1{=A 上的关系}3,2,3,1,2,1{><><><=R ，则=-1R { <2,1>,<3,1>,<3,2> }。

7. 画出下图的补图 。

8.设A={1,2,3}，B={a,b,c}，A 1={1}，f={<1,a>,<2,a>,<3,b>}，则=-))((11A f f { 1,2 }。

9. 设无向图的度数序列为：1，2，2，3，4。

则该无向图的边数m= 6 。

10. 3阶有向完全图的2条边的非同构的生成子图有 4 个。

11. 设〈≤,A 〉为偏序集，A B ⊆。

若y x B y x 与,,∈∀都是可比的，则称B是A 中的一条链，B 中的元素个数称为链的长度。

在偏序集〈{1,2,…,9}，整除〉中，{1,2,4,8}是长为 4 的链。

12. 下面运算表中的单位元是 b 。

13. 写出模4加法群G=<Z 4,⊕ >的运算表14. 模4加法群中， 2-3= 2 。

15. 设群>⊕=<}),.({b a P G ，其中⊕为对称差。

群方程 {a }⊕X =∅ 的解X = {a} 。

二、试解下列各题（每小题5分，共25分）1. 给定解释I 如下：（a ）个体域D={1,2}.（b ）(,)F x y -为(1,1)(2,2)0,(1,2)(2,1)1F F F F ----====.试求公式：(,)(,)x yF x y x yF x y ∃∀∨∀∃在I 下的真值。

解：)01()10())2,2()1,2(())2,1()1,1((),2(),1(),(⇔∧∨∧⇔∧∨∧⇔∀∨∀⇔∀∃F F F F y yF y yF y x yF x（2分）1)01()10())2,2()1,2(())2,1()1,1((),2(),1(),(⇔∨∧∨⇔∨∧∨⇔∃∧∃⇔∃∀F F F F y yF y yF y x yF x（2分）所以：(,)(,)x yF x y x yF x y ∃∀∨∀∃=1 （1分）2. 用等值演算法求公式 (⌝p →q ) →（⌝ q ∨ p )的主析取范式，并求成真赋值。

解：320)()()()()()()()()()()()(m m m q p q p q p q p q p pq q p p q q p p q q p p q q p ∨∨⇔⌝∧∨∧∨⌝∧⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔∨⌝∨⌝∧⌝⇔∨⌝∨∨⌝⇔∨⌝→∨⇔∨⌝→→⌝（4分）成真赋值为：00，10，11 （1分）3. 无向图G 有11条边，2，3，4，5，6度顶点各1个，其余顶点均为悬挂顶点，求G 中悬挂顶点的个数。

解：总度数=2+3+4+5+6+x=x+20=2*11=22； （4分） 所以：x=2，即悬挂顶点个数为2。

（1分）4. 设A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,24}，偏序集≤>=<,A S ，其中≤为整除关系。

画出哈斯图并找出子集{4,6}的上界、下界、最小上界和最大下界。

（3分）上界：12，24；下界：2，1；最小上界：12；最大下界：2。

（2分）5. 设A={1，2}，B 是A 上的等价关系的集合。

列出B 的元素并给出代数系统>⋂=<,B V 的运算表。

集合：},{A A E I B = （1分）（4分）三、计算题（每小题5分，共20分）1. 2)(,323)(,:,:2+=⎩⎨⎧<-≥=→→x x g x x x x f R R g R R f 设，求g f 。

解：R R g f →: ⎩⎨⎧<≥+=332)(2x x x x g f （5分）2. 设},,,,,{f e d c b a A =，R 是A 上的二元关系，且},,,,,{><><><=f e c a b a R 。

设)(*R t s r R =（R 的自反对称传递闭包），则*R 是A 上的等价关系。

试画出*R 的关系图并求商集*/R A 。

（3分）商集*/R A ={{a,b,c},{d},{e,f}} （2分）3. 设有向图>=<E V D ,，其中},,,{4321v v v v V =，其邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100001000121A 试求D 中各顶点的入度和出度，并求出D 中1v 到4v 长度为3的通路有多少条。

解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0121A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000100100013212A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01001000010034213A （3分） 出度列：4，1，1，1。

入度列：1，2，3，1。

（1分）1v 到4v 长度为3的通路有3条。

（1分）4. 求下面所示图中的最小生成树并给出最小生成树的权。

并说明该图中有欧拉通路和欧拉回路吗？（3分）权重W=12， 有欧拉通路，没有欧拉回路。

（2分）四、证明题（本题共25分） 1. 在自然推理系统中，构造下面推理的证明。

（10分）如果我的程序通过，那么我很快乐。

如果我快乐，那么阳光很好。

现在阳光不好，所以，我的程序没有通过。

符号化：p ：我的程序通过；q ：我很快乐；r ：阳光很好。

（2分） 前提：r r q q p ⌝→→,,结论：p ⌝ （2分） 证明： ○1 r q → 前提引入○2 r ⌝ 前提引入 ○3 q ⌝ ○1○2拒取式 ○4 q p → 前提引入○5 p ⌝ ○3○4拒取式 （6分） 2. 设++⨯=Z Z A ，在A 上定义二元关系如下：R v u y x >>∈<><<,,, 当且仅当yu xv =，证明R 是一等价关系。

（10分） 证明：自反性：任取><y x ,，则R y x y x yx xy Z Z y x >>∈<>⇒<<=⇒⨯>∈<++,,,, （3分）对称性：任取++⨯>∈<><Z Z v u y x ,,,，则R y x v u vx uy yu xv R v u y x >>∈<>⇒<<=⇒=⇒>>∈<><<,,,,,, （3分）传递性：任取++⨯>∈<><><Z Z t w v u y x ,,,,,，则R t w y x yw xt twy x t w v u v u y x vw ut yu xv Rt w v u R v u y x >>∈<>⇒<<=⇔=⇒=∧=⇒=∧=⇒>>∈<><<∧>>∈<><<,,,,,,,,, （4分）3. 某二进制码的码字7654321x x x x x x x x =由7位构成，其中4321,,x x x x 和为数据位，765,x x x 和为校验位，并且满足3215x x x x ⊕⊕=，4216x x x x ⊕⊕=，4317x x x x ⊕⊕=，这里⊕是模2加法。

设G 为所有码字构成的集合，在G上定义二元运算如下：7,...,2,1,,,,7654321=⊕==∈∀i y x z z z z z z z z y x G y x i i i o证明><o ,G 构成半群。

（5分）证明：任取721721,y y y y x x x x ==，721z z z y x =。

首先验证 3215z z z z ⊕⊕=555321321332211321)()()()()(z y x y y y x x x y x y x y x z z z =⊕=⊕⊕⊕⊕⊕=⊕⊕⊕⊕⊕=⊕⊕从而验证了封闭性。

（3分） 任取G z y x ∈,,，令721,721)()(b b b z y x a a a z y x ==由于⊕运算满足结合律，因此有i i i i i i i i b z y x z y x a =⊕⊕=⊕⊕=)()( （2分）从而证明了G 中运算满足结合律。