微积分在实际中的应用

微积分的综合应用
微积分的综合应用表现在：
1）微分在近似计算中可以较快的求得近似值，一般误差不大，可以节省时间和精力；
2）定积分在物理学中的应用：变力做功问题经常是用微积分来求功；
3）设计桥拱也是微积分利用的一个例子，利用微积分知识可以计算桥墩的受压情况以及整座桥的抗压抗风能力，从而设计出既轻又牢固的桥身；
4）天气预报也经常用到微积分例子，将众多的外界因素当做多元函数，进行归纳分析；城市规划、建筑设计等用到了空间解析几何；
5）设计元件、容器等节省材料又保证质量的问题，需要运用微积分计算不规则物体的表面积、体积、质量等相关数据；
6）微积分可以用于在天文学中计算引力做功，轨道及运动情况；
另外，微积分在经济学还有非常广泛的作用，在计算盈利情况，投资风险，期望值，回报率，保险行业等都要用到微积分知识。

综上，无论是在科学研究还是实际生活中，微积分作为一种数学工具的作用是非比寻常的。

站在我们学生的角度，能够掌握微积分的基础知识并在现实中灵活运用，才算是真正地理解了这门课程的精髓。

下面用以具体模型来说明方法及过程。

关于火箭升空原理的探讨
火箭是一种靠发动机喷射物质产生的反作用力、向前推进的飞行器，是实现卫星上天和航天飞行的运载工具，故称运载火箭。

火箭技术就是要解决火箭的制造和发射等问题。

没有火箭技术的发展，就没有空间科学蓬勃发展的今天——火箭技术为人类打开了探索宇宙的大门。

本文主要讨论微积分在发射过程中的应用。

一、火箭升空过程中的主要原理
设t时刻主体的质量为m，速度为v。

dt时间内有质量为dm、速率为u的流动物加到主体上。

t+dt时刻主体的质量变为m+dm、速度变为v+dv，t时刻质点系的动量为mv+udm，t+dt时刻质点系的动量为（m+dm）（v+dv）。

下图为质量流动的质点系。

若主体受外力下，流动物质受外力F’，则根据质点系动量定理的微分形式，有
dt
udm mv dv v dm m dt dp F F )())(('+-++==+ 在这一类问题中，流动物体所受外力往往远小于主体所受外力，故F’可以忽略。

上式经整理并略去二阶无限小量后，可得：
dt
dm v u F dt dv m )(-+= 式中)(v u -是流动物dm 相对主体的速度，若以v’表示上式也可写为
dt
dm v F dt dv m '+= 此式即为密舍尔斯基方程。

方程中m 为t 时刻主体的质量，
dt dv 为t 时刻主体的加速度，v’为流动物即将加到主体上相对主体的速率，dt
dm 为主体质量随时间而增大的速率，F 为t 时刻主体所受合外力。

如果主体不断流出质量（如火箭），密舍尔斯基方程同样是适用的，只是方程中的
0<dt
dm ，v’表示流动物体刚刚离开主体时相对主体的速度；在火箭飞行中，v’与火箭前进的方向相反，dt dm v '的方向与主体的前进方向相同，它是喷气对火箭的反冲力，也就是火箭发动机的推力。

二、发射卫星的三级火箭用法
我们不妨利用密舍尔斯基方程计算理想状态下火箭飞行状况。

设初始质量为m 的火箭在重力场中竖直发射，喷气速率（相对火箭）为v’，方向向下。

若空气阻力不计，火箭所受外力只有重力mg 方向向下，按密舍尔斯基方程以竖直向上为x 轴的正方向，其分量式为
dt
dm v mg dt dv m '--= 分离变量，积分，并代入初始条件：t=0时初速度为0，初始质量为m ，得任意时刻火箭的速度
gt m
m v v -=0ln '
为了分析方便，在反冲力远大于重力时，重力可忽略不计；于是有m
m v v 0ln '=。

一般v’≈2500m /s ，m
m 0≈6，最后末速度只能达到4500m/s ，小于第一宇宙速度，达不到人造卫星所需要的速度。

所以发射卫星要使用多级火箭。

设m 10为火箭原始质量：
当第一级火箭燃料燃尽时火箭质量为m 1，1
101ln 'm m v v =； 当第二级火箭燃料燃尽时火箭质量为m 2，12202ln
'v m m v v +=； 当第三级火箭燃料燃尽时火箭质量为m 3，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=+=3302201
1023303ln 'ln 'm m m m m m v v m m v v 根据经验，一般v’=2500m /s ，53
30220110===m m m m m m ，则v 3=12100m/s 。

即使考虑重力和空气阻力的影响，实际速度也可以超过第一宇宙速度，达到运输要求。

根据以上分析过程，火箭级数越多，最后的速率越大。

再考虑另外一个因素——材料的用量（质量）。

多级火箭在发射过程中逐级丢弃，令m i 为第i 级火箭质量（燃料与结构本身之和），λm i 为结构本身质量，（1-λ）m i 为燃料质量。

假设u 不变，即v’不变，以分析三级火箭为例：有p m m m m m +++=3210，连立上面推导的v 3表达式得到
⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++=333232321033210ln 'm m m m m m m m m m m m m m m v v m m m m m p p p p p p λλλ 为选取m 1、m 2、m 3使得m p 最大，令
3
201m m m m a p ++=，3322m m m m m a p p +++=，33m m m a p p += 则方程组下式变为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=)1(1)1(1)1(1ln '332211a a a a a a v v λλλ 由于1a 、2a 、3a 是对称的，故当321a a a ==时，1a 、2a 、3a 取得最小值而m p 最大。

记a a a a ===321，有311)1(1ln '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=a a v v λ，即⎪⎭⎫
⎝⎛=-+'3)1(1v v e a a λ 记⎪⎭⎫ ⎝⎛-='3v v e p ，方程组最终转化为3
01⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=λλp m m p 我们设v=10500m/s ，v’=3000m/s ，λ=0.1，则770≈p
m m 。

对其他级数的火箭同理：
从表格上可以看出，级数越多，越省材料。

既然级数多有那么多好处，但是为什么在实际发射中，大多采用三级火箭而不用更多级呢？
首先，三级火箭速度已经达到运载要求，而再增加速度需要消耗更多燃料；其次，分析p
m m 0质量比表格发现，三级与更多级所用材料的多少相差并不太大；另外，级数越多，构造越复杂，工作的可靠性越差，增加级数，技术要求、成本大大增加，点火装置增多，发生危险的几率增大，这些安全因素都是实际发射中特别要考虑的。

所以，综合考虑，我们选择三级火箭作为运载工具。

三、实例思考与其他
以实际问题为例：小型火箭初始质量900kg ，其中包括600kg 燃料。

燃料以1.5kg/s 的速率燃烧，产生气体以相对火箭主体2000m/s 的速度向下喷出，且火箭上升过程中，空气阻力与速度的平方成正比，比例系数为0.4kg/m ，重力加速度取9.8m/s 2。

根据密舍尔斯基方程：dt
dm v F dt dv m '+=，可以建立数学模型： dt
dm v kv g t m dt dv t m ')5.1()5.1(2+---=-，400≤≤t
式中m 为火箭的初始质量（900kg ），t 为引擎开启的时间（400≤≤t ），dt
dv 为火箭升空实际加速度，g 为重力加速度（9.8m/s 2），K 为比例系数0.4kg/m ，v 为火箭相对地面竖直向上速度，v ’为喷出气体即将加到火箭上时相对火箭的速度-2000m/s ，
dt
dm 为火箭质量随时间增大的速度-1.5kg/s 。

于是可得以下方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-0
)0(30004.0)5.1900(8.9)5.1900(2v v t dt dv t 遗憾的是由于上式等号右侧v 2的存在，方程不是一阶线性常微分方程，因此无法以我们目前掌握的积分方法加以求解。

若得到速度与时间的关系式)(t v ，便能计算火箭在任意时刻的加速度dt dv t a =
)(以及火箭在关闭引擎前的上升高度⎰=400)(dt t v H 等数据了。