随机微分方程数值解法.共40页文档
微分方程的数值解法
法，就产生了不同的有限差分法与不同的有限元法。
其它数学基础： 数理方程、数值代数、最优化理论与方法等
第一部分 常微分方程初值问题的数值解法
自然界与工程技术中的许多现象，其数学表 达式归结为常微分方程定解问题。 一些偏微分方程问题可以转化为常微分方程 问题来（近似）求解。 常微分方程的数值解法为偏微分方程的数值 解法提供了可供借鉴的思路。 常微分方程数值解法主要分为两大部分：
三 线性多步公式建立的基本思想
利用前面多步的信息计算 un k，以获得较 高精度的数值公式。
设 t n t0 nh ，u (t n ) 的近似值为 u n ,并记 f n f (t n , un )，k步线性多步方法一般形式为
0un 1un 1 k un k h( 0 f n 1 f n 1 k f n k )
2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 , x ˆ2 ) 若 4 A( x1 , x2 )C ( x1 , x2 ) B ( x 为椭圆型偏微分方程
二阶偏微分方程的基本分类方法，可以推广到含 有两个以上自变量的非线性高阶偏微分方程。
初值问题的数值方法 边值问题的数值方法
这里只介绍初值问题。
目的：建立一阶常微分方程初值问题的数值解法。 模型
du f (t , u (t )) dt u (t0 ) u0 t0 t T
设初值问题的解析解 (理论解) 用 u (t n ) 表 示，数值解法的精确解用 u n 表示。其中n=1, 2, ，t n t n 1 hn 。 常微分方程初值问题的数值解是求上述初 值问题的解u(t)在点列 t n t n 1 hn 上的近似值 u n (n 0, 1, ) 。 以下设 hn不变，记为h。
随机微分方程数值计算介绍
j
k,l
bij (Sn , tn ) ∆Wj,n
with b and its derivatives evaluated at (S(0), 0).
Milstein Method
This then leads to
Si (h) ≈ Si (0)+ai h+ bij Wj (h)+
L LT = Cov(∆Wn )
MC Lecture 9 – p. 1/19 MC Lecture 9 – p. 2/19
Euler-Maruyama method
Provided a and b are sufficiently smooth:
O(h) weak convergence (for almost all payoffs?) √ O( h) strong convergence
j j,k,l
Lévy areas
Itô calculus gives us
h
∂bij blk ∂Sl
Wk (t) dWj (t)
0
d(Wj Wk ) = Wj dWk (t) + Wk dWj (t) + ρjk dt
where ρjk is the correlation between dWj and dWk . Hence,
Euler-Maruyama method
For the vector SDE
Numerical Methods II
Prof. Mike Giles
giles@
dS = a(S, t) dt + b(S, t) dW
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程是描述自然界中众多现象和规律的重要数学工具。
然而，许多微分方程是很难或者无法直接求解的，因此需要使用数值解法来近似求解。
本文将介绍几种常见的微分方程数值解法。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。
它将微分方程转化为差分方程，通过计算离散点上的导数来逼近原方程的解。
欧拉方法的基本思想是利用当前点的导数值来估计下一个点的函数值。
具体步骤如下：首先，将自变量区间等分为一系列的小区间。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，根据导数的定义，计算每个小区间上函数值的斜率。
最后，根据初始函数值和斜率，递推计算得到每个小区间上的函数值。
2. 龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一种常用的高阶精度数值解法。
它通过进行多次逼近和修正来提高近似解的准确性。
相比于欧拉方法，龙格-库塔方法在同样的步长下可以获得更精确的解。
具体步骤如下：首先，确定在每个小区间上的步长。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，根据当前点的导数值，使用权重系数计算多个中间点的函数值。
最后，根据所有中间点的函数值，计算出当前点的函数值。
3. 改进欧拉方法（改进的欧拉-克罗默法）改进欧拉方法是一种中阶精度数值解法，介于欧拉方法和龙格-库塔方法之间。
它通过使用两公式递推来提高精度，并减少计算量。
改进欧拉方法相对于欧拉方法而言，增加了一个估计项，从而减小了局部截断误差。
具体步骤如下：首先，确定在每个小区间上的步长。
然后，根据微分方程的初始条件，在起始点确定初始函数值。
接下来，利用欧拉方法计算出中间点的函数值。
最后，利用中间点的函数值和斜率，计算出当前点的函数值。
总结：微分方程的数值解法为我们研究和解决实际问题提供了有力的工具。
本文介绍了欧拉方法、龙格-库塔方法和改进欧拉方法这几种常见的数值解法。
选择合适的数值解法取决于微分方程的性质以及对解的精确性要求。
在实际应用中，我们应该根据具体情况选择最合适的数值解法，并注意控制步长以尽可能减小误差。
求解随机微分方程的两种数值方法
求解随机微分方程的两种数值方法
TWO NUMERICAL METHODS OF SOLVING THE STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS
吴赛楠
哈尔滨工业大学 2013 年 6 月
国内图书分类号：O175.14 国际图书分类号：517.9
学校代码：10213 密级：公开
理学硕士学位论文
求解随机微分方程的两种数值方法
硕 士 研 究 生 ： 吴赛楠 导 师 ： 李冬松副教授
申 请 学 位： 理学硕士 学 科： 计算数学
所 在 单 位： 数学系 答 辩 日 期： 2013 年 6 月 授予 学位 单位 ： 哈尔滨工业大学
Classified Index: O175.14 U.D.C: 517.9
-I-
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
Abstract
Stochastic differential equation originated in the 20th century. In the past 100 years not only the relative theory has been through rapid development, but it is also widely used in real life. In the past, many scholars applied deterministic mathematical model to study phenomenon appears in the physical, biological, economic, and contrology and other areas. However, with the rapid development of science, they found that only the certainty factors are not enough to completely reflect the actual situation. There are many external factors that need to be considered into the phenomenon we study. Therefore, it is necessary for us to think over uncertainty factors when we are study mathematical models. Due to all the reasons mentioned above, stochastic differential equation gets attention and rapid development. Although it is hard to obtain the exact solutions of the equation, we still treat it as a goal. Therefore, whether the numerical method that we used to solve the stochastic differential equation is effective or not becomes important. If we want to obtain effective numerical method, it is necessary to discuss the convergence of the numerical method. This paper discusses the stochastic differential equation (SDEs) and constructs a split-step θ method for solving SDEs, namely the split-step θ method and do research into the convergence and stability of this numerical method. We obtain the mean-square convergence of the split-step θ method. And the mean-square order is 0.5. Besides, we also build up another method for solving SDEs, called a split-step balanced θ method. After that, we still consider the convergence and stability of this method. Finally, we do the numerical experimentation in order to verify our conclusion. Keywords: Stochastic differential equation, split-step θ method, split-step balanced θ method, Mean-square convergence, Mean-square stability
蒙特卡罗解随机微分方程示例
蒙特卡罗解随机微分方程示例蒙特卡罗解随机微分方程是一种常用的数值计算方法，它通过随机采样和统计分析来模拟微分方程的解。
下面我将通过一个示例来说明蒙特卡罗解随机微分方程的过程。
假设我们有一个随机微分方程：$$dX_t = \mu(X_t) dt + \sigma(X_t) dW_t$$其中，$X_t$是一个随机过程，$\mu(X_t)$和$\sigma(X_t)$是函数，$W_t$是一个标准布朗运动。
我们的目标是求解$X_t$在给定初始条件$X_0=x_0$下的解。
蒙特卡罗解随机微分方程的基本思想是通过模拟随机过程$X_t$的轨迹来逼近其解。
具体步骤如下：1. 初始化：设定初始条件$X_0=x_0$和时间步长$\Delta t$，以及模拟的总时间$T$。
2. 对每个时间步长$t_n=n\Delta t$，其中$n=0,1,2,...,N$，进行如下操作：- 生成一个服从标准正态分布的随机数$\epsilon_n$。
- 根据随机微分方程的离散化形式，计算下一个时间步长的值：$$X_{n+1} = X_n + \mu(X_n)\Delta t + \sigma(X_n)\sqrt{\Delta t}\epsilon_n$$其中，$X_n$是上一个时间步长的值，$\mu(X_n)$和$\sigma(X_n)$是在$X_n$处的函数值。
3. 重复步骤2直到达到模拟的总时间$T$。
通过上述步骤，我们可以得到一组模拟轨迹$X_t^{(1)},X_t^{(2)},...,X_t^{(M)}$，其中$M$是模拟的总次数。
我们可以对这些轨迹进行统计分析，如计算均值、方差、概率密度函数等，以获得对随机微分方程解的估计。
蒙特卡罗解随机微分方程的优点是能够处理一些复杂的非线性和随机系统，并且可以提供解的概率分布信息。
然而，由于模拟过程的随机性，蒙特卡罗方法通常需要进行大量的模拟次数才能得到准确的结果。
蒙特卡罗解随机微分方程是一种重要的数值计算方法，它通过随机采样和统计分析来模拟微分方程的解。
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程的数值解法微分方程的数值解法【1】摘要：本文结合数例详细阐述了最基本的解决常微分方程初值问题的数值法，即Euler方法、改进Euler法，并进行了对比，总结了它们各自的优点和缺点，为我们深入探究微分方程的其他解法打下了坚实的基础。
关键词:常微分方程数值解法 Euler方法改进Euler法1、Euler方法由微分方程的相关概念可知，初值问题的解就是一条过点的积分曲线，并且在该曲线上任一点处的切线斜率等于函数的值。
根据数值解法的基本思想，我们取等距节点，其中h为步长，在点处，以为斜率作直线交直线于点。
如果步长比较小，那么所作直线与曲线的偏差不会太大，所以可用的近似值，即：，再从点出发，以为斜率作直线，作为的近似值，即：重复上述步骤，就能逐步求出准确解在各节点处的近似值。
一般地，若为的近似值，则过点以为斜率的直线为：从而的近似值为：此公式就是Euler公式。
因为Euler方法的思想是用折线近似代替曲线，所以Euler方法又称Euler折线法。
Euler方法是初值问题数值解中最简单的一种方法，由于它的精度不高，当步数增多时，由于误差的积累，用Euler方法作出的折线可能会越来越偏离曲线。
举例说明：解： ,精确解为：1.2 -0.96 -1 0.041.4 -0.84 -0.933 0.9331.6 -0.64 -0.8 0.161.8 -0.36 -0.6 0.242.0 0 -0.333 0.332.2 0.44 0 0.44通过上表可以比较明显地看出误差随着计算在积累。
2、改进Euler法方法构造在常微分方程初值问题 ,对其从到进行定积分得:用梯形公式将右端的定积分进行近似计算得：用和来分别代替和得计算格式:这就是改进的Euler法。
解：解得：由于 ,是线形函数可以从隐式格式中解出问题的精确解是误差0.2 2.421403 2.422222 0.000813 0.021400.4 2.891825 2.893827 0.00200 0.051830.6 3.422119 3.425789 0.00367 0.094112.0 10.38906 10.43878 0.04872 1.1973通过比较上表的第四列与第五列就能非常明显看出改进Euler方法精度比Euler方法精度高。
微分方程数值解法(2)
y ( xn 1 )
y(xn ) hy(xn )
h2 2
y(xn ) O(h3 )
yn1 y(xn ) hf (xn , y(xn )) y(xn ) hy(xn )
Tn1
y(xn1)
yn1
h2 2
y(xn ) O(h3 ) O(h2 )
若一种算法的局部截断误差为 O(h p1 ) ，则称该算法
di
dt
i(1 i)
i(0) i0
i0 0.01 0.02
符号计算log_sym.m
syms t y a; y=dsolve(['Dy-a*y*(1-y)=0'])
2021/4/21
18
用MATLAB解常微分方程-实例1 SI
数值方法求解 logi_fun.m
ts=0:0.5:400;
给出；等步长时用 ts=t0:k:tf
Options 用于设定误差限（可以缺省，缺省时设定为相对误差 10-3，绝对误差 10-6），程序为：
options=odeset(‘reltol’,rt,‘abstol’,at) 这里 rt,at 分别为设定的相对误差和绝对误差
2021/4/21
17
用MATLAB解常微分方程-实例1 SI
plot(x1(:,2),x1(:,1),'r -‘)
xlabel('the percentage of susceptible')
ylabel('the percentage of ill people')
title('graphic of modified SIR model')
2021/4/21
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程（Differential Equation）是描述自然界中变化的现象的重要工具，具有广泛的应用范围。
对于一般的微分方程，往往很难找到解析解，这时候就需要使用数值解法来近似求解微分方程。
本文将介绍几种常见的微分方程数值解法及其原理。
一、欧拉方法（Euler's Method）欧拉方法是最基本也是最容易理解的数值解法之一。
它的基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过给定的初始条件，在离散的点上逐步计算出函数的近似值。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，利用欧拉方法可以得到近似解：y_n+1 = y_n + h * f(x_n, y_n)其中，h是步长，x_n和y_n是已知点的坐标。
欧拉方法的优点在于简单易懂，但是由于是一阶方法，误差较大，对于复杂的微分方程可能不够准确。
二、改进的欧拉方法（Improved Euler's Method）改进的欧拉方法又称为改进的欧拉-柯西方法，是对欧拉方法的一种改进。
它通过在每一步计算中利用两个不同点的斜率来更准确地逼近函数的值。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，改进的欧拉方法的迭代公式为：y_n+1 = y_n + (h/2) * [f(x_n, y_n) + f(x_n+1, y_n + h * f(x_n, y_n))]相较于欧拉方法，改进的欧拉方法具有更高的精度，在同样的步长下得到的结果更接近真实解。
三、四阶龙格-库塔方法（Fourth-Order Runge-Kutta Method）四阶龙格-库塔方法是一种更高阶的数值解法，通过计算多个点的斜率进行加权平均，得到更为准确的解。
对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，四阶龙格-库塔方法的迭代公式为：k1 = h * f(x_n, y_n)k2 = h * f(x_n + h/2, y_n + k1/2)k3 = h * f(x_n + h/2, y_n + k2/2)k4 = h * f(x_n + h, y_n + k3)y_n+1 = y_n + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6四阶龙格-库塔方法是数值解法中精度最高的方法之一，它的计算复杂度较高，但是能够提供更为准确的结果。