江苏高等数学竞赛试题汇总
本科一级考生做
本科二级考生做
七(１0分）本科一级考生做1）设幂级数 的收敛域为 ，求证幂级数 的收敛域也为 ;2)试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明;若不正确举一反例说明.
本科二级考生做:求幂级数 的收敛域与和函数
２006年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科）
8.级数 条件收敛时,常数 的取值范围是
二.（１0分)某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶,经2小时到达乙地停止,一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时,求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于 公里/小时
三.(10分)曲线 的极坐标方程为 ,求该曲线在 所对应的点的切线 的直角坐标方程,并求切线 与 轴围成图形的面积.求其极限
三.(8分)设 在 上具有连续的导数，求证
四.（8分）１)证明曲面
为旋转曲面
2)求旋转曲面 所围成立体的体积
五．（10分)函数 具有连续的二阶偏导数，算子 定义为
1)求 ；2）利用结论1）以 为新的自变量改变方程 的形式
六．（8分)求
七．(9分)设 的外侧,连续函数
七（9分)本科一级考生做:用拉格朗日乘数法求函数 在区域 上的最大值与最小值.
八(9分)设 为 所围成的平面图形，求 ．
2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)
一．填空(每题５分,共4０分)
１． 是周期为 的奇函数，且在 处有定义,当 时， ,求当 时, 的表达式.
２．
3．
4. 时
５.
６． .
7.设 可微， ， ，
8.级数 的和为．
二.（10分）
设 在 上连续，且 ,求证:存在点 ，使得 ．
三.（10分）已知正方体 的边长为2, 为 的中点, 为侧面正方形 的中点,（1)试求过点 的平面与底面 所成二面角的值。(2）试求过点 的平面截正方体所得到的截面的面积.
四(12分)已知 是等腰梯形， ,求 的长，使得梯形绕 旋转一周所得旋转体的体积最大。
则 .
8．设 ， 为 ,则
.
二．(１0分)设 在 上连续， 在 内可导, , ,求证： 内至少存在一点 使得
三．（10分）设 ，在 的边界 上任取点 ,设 到原点距离为 ，作 垂直于 ，交 的边界 于
1)试将 的距离 表示为 的函数;
2）求 饶 旋转一周的旋转体的体积
四（10分)已知点 ,在平面 上求一点 ，使 最小
五（１0分)求幂级数 的收敛域。
六（10分）设 可微, ，
，求 ．
七（10分)求二次积分
200４年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
一．填空(每题5分,共4０分）
1. 是周期为 的奇函数，且在 处有定义，当 时， ,求当 时， 的表达式.
求
八．(9分）求 的关于 的幂级数展开式
2０06年江苏省高等数学竞赛试题(本科一、二级)
一．填空(每题5分,共40分）
１. ，
2.
3.
4.已知点 ， 为坐标原点，则四面体 的内接球面方程为
5．设由 确定 ,则
６.函数 中常数 满足条件时， 为其极大值.
7.设 是 上从点 到 的一段曲线, 时,曲线积分 取最大值.
四（8分）设 在 上是导数连续的有界函数， ，
求证：
五(１2分）本科一级考生做:设锥面 被平面 截下的有限部分为 .(1）求曲面 的面积;（2)用薄铁片制作 的模型, 为 上的两点, 为原点,将 沿线段 剪开并展成平面图形 ，以 方向为极坐标轴建立平面极坐标系,写出 的边界的极坐标方程．
本科二级考生做：设圆柱面 被柱面 截下的有限部分为 .为计算曲面 的面积，用薄铁片制作 的模型, 为 上的三点,将 沿线段 剪开并展成平面图形 ,建立平面在极坐标系,使 位于 轴正上方,点 坐标为 ,写出 的边界的方程,并求 的面积.
四(8分）设 在 上是导数连续的函数, , ，
求证:
五(8分)求
六（9分）本科三级做:设 ,
证明 在点 处可微,并求
民办本科做:设圆柱面 被柱面 截下的有限部分为 .为计算曲面 的面积，用薄铁片制作 的模型， 为 上的三点，将 沿线段 剪开并展成平面图形 ,建立平面在极坐标系，使 位于 轴正上方，点 坐标为 ,写出 的边界的方程,并求 的面积.
8．设 ,则
二.(１0分）设 为正常数,使得 对一切正数 成立，求常数 的最小值三.(1０分）设 在 上连续，且 ，求证：存在点 ，使得 .
四．(1２分)求广义积分
五.（12分)过原点 作曲线 的切线,求该切线、曲线 与 轴所围成的图形绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
六、（12分）已知 是等腰梯形, ，求 的长，使得梯形绕 旋转一周所得旋转体的体积最大。
江苏省高等数学竞赛试题汇总
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２010年江苏省《高等数学》竞赛试题(本科二级)
一 填空题（每题4分,共32分）
1.
２. ，
3. ，
4.
5.
６.圆 的面积为
7. , 可微, ，则
七（１2分)求二重积分 ，其中
2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级)
一.填空题（每题5分，共４０分)
１. ， 时,
2. , 时 在 时关于 的无穷小的阶数最高。
3.
４.通过点 与直线 的平面方程为
5.设 则 =
6.设 为 围成区域,则
７.设 为 上从 到 的一段弧，则 ＝
8.幂级数 的和函数为，收敛域为。
五（12分)求二重积分 ,其中
六、(12分）求 ,其中 为曲线 从 到 ．
七.(1２分）已知数列 单调增加，
记 ,判别级数 的敛散性.
2０１0年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）
一 填空题(每题４分,共32分）
1.
2. ，
3.设由 确定 ,则
4. ,
5.
6． ， 可微， ,则
7设 可微，由 确定 ,则
一.填空（每题5分，共4０分）
1．
2.
３． ，则
4.
５.设由 确定 ，则
6．函数 中常数 满足条件时， 为其极大值.
7.交换二次积分的次序 .
8.设 ，则
二.（８分)设 ,试问 为何值时, 在 处一阶导数连续,但二阶导数不存在.
三.(9分）过点 作曲线 的切线 ，（1）求 的方程;（2）求 与 所围成平面图形 的面积;（3)求图形 的 部分绕 轴旋转一周所得立体的体积.
江苏高等数学历年(本科三级)竞赛真题(史上最完整) 2
2010第十届高等数学（本科三级）竞赛题一、填空题（每小题4分，共32分）1) ()30sin sin sin lim x x x x→- = 2）()2arctan e tan ,xy x x y '=+=则3） 设由y x x y =确定(),y y x =d d yx=则4）()2cos ,n y x y ==则5）21e d xx x x -=⎰6）设 2,,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f 可微，()()123,22,3,23,f f ''==则()()d z,2,1x y ==7) 设函数 (),F u v 可微，由 ()22,0F x z y z++=确定(),,z z x y =则 z z x y∂∂+=∂∂ 8）设22:2,0,d DD x y x y x y +≤≥=则二、（10分）设a 为正常数，使得 2e ax x ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的最小值。
三、（10分）设()f x 在[]01， 上连续，且()()110d d f x x x f x x =⎰⎰，求证：存在 ()01,ξ∈，使得 ()0d 0.f x x ξ=⎰四、（12分）求广义积分421d .1x x+∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线。
求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
六、（12分）已知A B C D 是等腰梯形,8BC AD AB BC CD ++=，∥，求,AB BC AD 的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
七、（12分）求二重积分()22cossin d d ,Dx y x y +⎰⎰ 其中 22:1,0,0.D x y x y +≤≥≥2008第九届高等数学（本科三级）竞赛题一、填空题（每小题5分，共40分）1、若2arctan 2limx ax x x bx xπ→∞+=--，则=a ________________；=b ________________.2、()=+∑=∞→nk n k k 131lim________________. 3、()()()()10021---=x x x x x f ，则()=100'f ________________.4、常数=a ______,=b ______时，()bxxx ax x f +++=12在0→x 时，关于x 的无穷小的阶数最高.5、=⋅⎰2032cos sin πxdx x ________________. 6、()⎰∞=+12221dx x x ________________.7、设y x x z -=，则()=∂∂1,2n n yz________________.8、 设D ：由0,==x x y ，1=y 所围，则⎰⎰=Dydxdy arctan ________________.二、（8分）设数列{}n x 为：n n x x x +==+6,111 ；求证：数列{}n x 收敛，并求极限。
江苏省专科第十届高等数学竞赛题
第十届专科竞赛题与评分标准一、填空题（每小题4分，共32分） 1) ()3sin sin sin limx x x x→- =16.2）()2arctan e tan ,x y x x y '=+=则()242etan sec 1xx x x x +++.3） 设由yxx y =确定(),y y x =d d y x=则()()()()22ln ln 1ln ln 1.y x y y yx x y x x x y ----或4）()2cos ,n y x y==则 12cos 22n n x π-⎛⎫+⎪⎝⎭5） 21e d xx x x-=⎰exC x-+6) ()214arctan d 1x xx x =+⎰264π.7） 圆 222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩，的面积为 16π8) 级数 ()111!2!nnn n n ∞=+-∑的和为 4e .3-二、（10分）设a 为正常数，使得 2e axx ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的最小值。
22ln e2ln ,axx x x ax a x≤⇔≤⇔≥解（3分）要求a 的最小值，只要求 ()2ln x f x x=的最大值。
（2分）令()()221ln 0x f x x-'== 得e,x = （2分）由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时()2e ef =所以为其最大值， （2分）故a 的最小值为 2e。
（1分）三、（10分）设()f x 在[]01， 上连续，且()()110d d f x x x f x x =⎰⎰，求证：存在 ()01,ξ∈，使得 ()0d 0.f x x ξ=⎰证法1：令()()()0d ,xF x x t f t t =-⎰ （3分） 则()()()()()()1110=0,11d d d 0,F F t f t t f t t t f t t =-=-=⎰⎰⎰应用罗尔定理，()01,ξ∃∈，使得()0,F ξ'= （4分） ()()()()()0d d ,xxF x f t t x f x x f x f t t '=+-=⎰⎰而于是 ()()()0d d 0.F f t t f x x ξξξ'===⎰⎰（3分）证法2 ()()()()()0d ,00,,xF x fx x F F x fx '===⎰令则 （3分）()()()()()1110011d d d 0F fx x x F x x x F x F x x'∴===-⎰⎰⎰()()()1101d ,d 0,F F x x F x x =-⇒=⎰⎰（3分）应用积分中值定理，存在 ()0,1,ξ∈ 使得()()()()1d 10,F x x F F ξξ=-=⎰于是 ()()0d 0.F f x x ξξ==⎰（4分）四、（12分）求广义积分 421d .1x x+∞-⎰22221111d d 2121x x xx+∞+∞=++-⎰⎰解原式 （4分）111arctan ln22241x x x+∞+∞+=+- （4分）11arctan 2ln 3.424π=-- （4分）五、（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线。
江苏省第十四届高等数学(本科四级)竞赛试题
2017年江苏省普通高等学校非理科专业第十四届高等数学（本科四级）竞赛试题解答题：作答时给出相应解题步骤，计算或证明过程（共11小题，总计100分）1.（10分）求下列极限：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++∞→n n n n n n 2222211lim ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅++++∞→2222222211lim n n n n n n . 2.（5分）已知函数f (x )在x=2处连续，42)(lim 2=--→x x x f x ，试证函数f (x )在x=2处可导，并求f′(2). 3.（5分）设[x ]表示实数x 的整数部分，试求定积分x xx d ][412⎰. 4.（5分）设,21;102)(2≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 交换二次积分⎰⎰-+10112d )(d y y x x f y 的次序，并求此二次积分的值. 5.（10分）判断下列命题是否成立？若判断成立，给出证明，若判断不成立，则举一反例，并加以证明其不成立.命题1：若函数f (x )，g (x )在x=a 处皆不连续（a ∈R ），则f (x )+g (x )在x=a 处不连续；命题2：若函数f (x )，g (x )在x=a 处皆连续（a ∈R ），但不可导，则f (x )+g (x )在x=a 处不可导；6.（13分）已知曲线)1(22x x y -=， （1）求单调区间与极值；（2）求凹凸区间；（3）求渐近线；（4）画出此曲线的简图.7.（8分）已知()n n n x n 2)1ln(2)1ln(2-+++=，试判别数列{x n }的单调性.8.（10分）设n ∈N*，⎰=20d sin 2sin πx xnx I n ， （1）求I n -I n-1（n ≥2）； （2）试求定积分⎰=203d sin 6sin πx xx I . 9.（10分）若直线L 通过点P (2,3,12)，与已知直线L 1：⎩⎨⎧=-+=--002z y x z y x 垂直且相交，试求直线L 的方程，并求点P 到直线L 1的距离.10.（12分）求函数332263)(9),(y x y x x y y x f ++-+-=的极值.11.（12分）设{}420),(22≤+≤+≤=y x y x y x D ，，试求二重积分σ⎰⎰++D y x y x d 22.。
江苏省第十届高等数学竞赛试题
江苏省第十届高等数学竞赛试题（本科二级）考试时间：2010年6月5日 上午 8:30—11:30一、 填空题（每小题4分，共8小题）1、 =-→30)(sin )sin(sin sin limx x x x 求 2、 ='+++=y 求, 1)1x ln(x 已知y 22x3、 =-⎰dx e x x x 214、 ，x cos y 2==(n)y 求5、 =-⎰+∞2411dx x 求6、022*********{=+-+≤+--++z y x z y x z y x ，求该区域面积S=7、 =='='-=)1,2(21|,3)2,3(,2)2,3(),,2(z dz y x y x f f f 求且已知8、 =-+∑∞=1!2!)1(1n n n n n二、;)()(],[)(dx x xf dx x f b b a x f ba ba ⎰⎰=上连续，满足在求证：存在),,(b a ∈ξ使得 ⎰=ξa x f 。
0)(（10分）三、为侧面的中点，为，边长为正方体F D C E D C B A ABCD 1111112-的中心，11BCC B 求（1）形成的二面角；与底面平面ABCD EF A 1（2）积。
截正方体得到的截面面EF A 1 （10分）四、等腰梯形ABCD ，其中AB+BC+CD=8，梯形绕AD 边旋转，得到的旋转体体积最大，求AD ，BC ，AB 的长。
（12分）五、满足：已知区域求D dxdy y x D ,)sin (cos 22⎰⎰+。
0,0,122≥≥≤+y x y x （12分）六、）的积分。
，）到（，沿曲线从（）（求1100)1(2-++++⎰dy y x dx e y x Lx 曲线L 的方程 。
：)10(2)21(222{≤≤=≤≤=+x x y x x y x L （12分）七、已知}{n a 单调增加，113213;5,2,1-+-====n n n a a a a a a 满足且 ),2(*N n n ∈≥n n a x 1=设， 的敛散性。
江苏省高等数学竞赛试题-解析几何部分
解析几何1.椭圆2226x y +=到直线4x y +=的最大和最小距离。
解2226x y +=上点(,)x y 到4x y +=的距离1d (,)42x y x y =+-，()221d (,)42x y x y =+-。
令()()22214262F x y x y λ=+-++-， ()()'''22420440260x y F x y x F x y x F x y λλλ⎧=+-+=⎪⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎪⎩ 解得21x y =±⎧⎨=±⎩17d(2,1),d(2,1),22=--=所以71maxd ,mind 22==。
2.已知两平面曲线(,)0,(,)0f x y x y ϕ==，又(,)αβ和(,)ζη分别为两曲线上点，试证如果这两点是这两条曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-。
证 问题为求22201212()()u d x x y y ==-+-在条件11(,)0f x y =及22(,)0x y ϕ=下的最值。
20111222(,)(,)F d f x y x y λλϕ=++，则由111122221211211221222()02()02()02()0x x y y x x y y F x x f F y y f F x x F y y λλλϕλϕ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪⎨=--+=⎪⎪=--+=⎪⎩得1212112212121122(,)(,)(,)(,)x x y y f x y x y x x y y f x y x y ϕϕ-==-，若20u d =在1122,,,x y x y αβζη====处达到最值，其中(,)0,(,)f αβϕζη==，则必有1212(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，即(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，证毕。
江苏数学竞赛试题及答案
江苏数学竞赛试题及答案【试题一】题目：求证：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
【答案】证明：我们使用数学归纳法来证明这个等式。
1. 当\( n = 1 \)时，左边为\( 1^2 = 1 \)，右边为\( \frac{1\cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 \)，等式成立。
2. 假设当\( n = k \)时等式成立，即\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} \)。
3. 当\( n = k + 1 \)时，我们需要证明\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)。
4. 根据假设，将\( k \)的和代入，得到\( \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 \)。
5. 简化上述表达式，我们得到\( \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)，这正是我们需要证明的等式。
6. 因此，根据数学归纳法，对于任意正整数\( n \)，等式成立。
【试题二】题目：已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求\( f(x) \)的极值。
【答案】解：首先求导得到\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)。
令\( f'(x) = 0 \)，解得\( x = 0 \)或\( x = 2 \)。
1. 当\( x < 0 \)或\( x > 2 \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递增。
2. 当\( 0 < x < 2 \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递减。
江苏省高数竞赛选拔题
高等数学竟赛练习题二
一、填空题(每小题4分,共40分)
1. 设{ EMBED Equation.DSMT4 |lim ()0→+∞+-=x ax b , 则 , .
2. 设当时，函数与是同阶无穷小，则常数 .
3. 设，则 .
4. 已知函数在点处连续，且，则
.
5. 设常数，则方程在区间内的实根的个数为 .
6. 设，其中在点的某邻域内有定义，则在点处可导的充分必要条件是 .
7. 抛物线在点处的曲率半径为 .
8. 设（为正整数），，则
.
9. .
10. 设，则 .
二、求．
三、已知，且求．
四、计算（）．
五、设曲线在点处的切线方程为，试求：
．
六、设，等分闭区间，分点为
，
求 ．
七、设 ,
(1) 求函数的单调区间与极值;
(2) 求函数的图形的凹凸区间与拐点．
八、设在上连续，在内可导,且，证明: 在内至少存在一点，使.
九．设在上二阶可导，且，，证明：
在上单调减少。
十二届江苏省高等数学竞赛本科一级解答
y2 = 1 沿逆时针方向. b2 ∫∫ 2. 求曲面积分 xdydz + xzdzdx,
Σ
其中， Σ : x2 + y 2 + z 2 = 1 (z ≥ 0) 取上侧.
x−y x+y dx+ 2 dy . x2 + y 2 x + y2 2′ 2′ 2′
1. 解
L
(b2 x2
a2 b2 (x − y ) a2 b2 (x + y ) dx+ 2 2 dy = 2 2 2 2 + a y )(x + y ) (b x + a2 y 2 )(x2 + y 2 )
L
∂P y 2 − x2 − 2xy ∂Q = = (x, y ) ̸= (0, 0) 时， ， 由Green 公式知 ∂x ∂y x2 + y 2 ∫ 2π x−y x+y x−y x+y 原式 = dx + 2 dy = dx + 2 dy = dθ = 2π. 2 2 2 2 x + y2 x + y2 L x +y x2 +y 2 =ε2 x + y 0 ∫∫ 2. 解
(x4 + sec2 x − 1)dx
3′ 3′
2. 解 设切点为 (a, a2 ), 切线为 y − a2 = 2a(x − a), 将 (2, 3) 代入得 a = 1, 3, 于是切线
为 y = 2x − 1, y = 6x − 9. ∫ 2 ∫ 3 2 2 所求面积为： S = (x − 2x + 1)dx + (x2 − 6x + 9)dx = . 3 1 2 三、 （每小题
江苏高等数学竞赛试题汇总定稿版
江苏高等数学竞赛试题汇总HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x =4.21xx e dx x-=⎰5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x =5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）
江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→561434lim4x x x2. =+++∞→433321limn n n 3. =?→xx tdtt x x 3230sin sin lim4.)1ln(x y -=，则=)(n y5.=?xdx x arctan 26.=211arccosdx xx 7.点)3,1,2(-到直线22311zy x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n knn n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223∑=∞→+-i n i n n n（2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求21)1(cos limxx f x --→三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。
（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<="" 0时，)(x="" f="" p="" 严格减少，)(lim="">x f x →存在，且)0(f 是)(x f 的极小值。
（2）函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导（0>δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。
四．（10分）求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。
五．（12分）过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。
（1）求切线L 的方程。