旋转体的结构特征
学案1：11.1.5 旋转体
11.1.5旋转体学习目标1.理解旋转体、圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念，初步掌握运用旋转的观点去观察问题；2.理解圆柱、圆锥、圆台和球的轴截面的概念和它在决定几何体时的重要作用．要点整合·夯基础知识点一旋转体、圆柱、圆锥和圆台[填一填]1．圆柱的结构特征定义以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体图示及相关概念轴：叫做圆柱的轴高：在上的边(或它的长度)底面：的边旋转而成的圆面侧面：的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，2.圆锥的结构特征定义以所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体图示及相关概念轴：叫做圆锥的轴高：在上的边(或它的长度)底面：的边旋转而成的圆面侧面：的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边3.圆台的结构特征定义以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体图示及相关概念轴：叫做圆台的轴高：在轴上的边(或它的长度)底面：的边旋转而成的圆面侧面：的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边4.轴截面在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、、．[拓展](1)过圆柱任意两条母线的截面都是矩形；过圆锥任意两条母线的截面都是等腰三角形；过圆台任意两条母线的截面都是等腰梯形．(2)过圆柱、圆锥、圆台的两母线的截面中，轴截面的面积最大．5．旋转体的侧面积与表面积(1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与之和称为旋转体的表面积(或全面积)．(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式几何体侧面展开图表面积公式圆柱S圆柱＝2πr(r＋l)，r为，l为圆锥S圆锥＝πr(r＋l)，r为，l为圆台S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′为，r为，l为[答一答]1．对圆柱、圆锥、圆台：(1)平行于底面的截面是什么样的图形？(2)过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？(3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系．知识点二球[填一填](1)球面可以看成绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为．(2)形成球面的半圆的圆心称为球的，连接球面上一点和球心的线段称为球的，连接球面上两点且通过球心的线段称为球的．(3)由球面的形成过程可看出，球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．(4)球面被经过球心的平面截得的圆称为球的；被不经过球心的平面截得的圆称为球的．(5)球的截面的性质：①球的截面是一个圆面；②球心与截面圆心的连线垂直于截面；③球半径R、截面圆半径r, 则球心到截面的距离d＝.(6)若球的半径为R，则球的表面积为S＝.[答一答]2．在平面几何中，你学习了直线与圆的位置关系，那么平面与球的位置关系如何？典例讲练·破题型类型一旋转体的有关概念[例1]以下对于几何体的描述，错误的是()A．NBA决赛中使用的篮球不是球体B．一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形叫作圆锥C．用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫作圆台D．以矩形的一组对边的中垂线所在直线为轴旋转180°所形成的几何体为圆柱[分析]根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征进行判断．通法提炼1.判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成.(2)明确旋转轴是哪条直线.2.简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.[变式训练1]判断下列各命题是否正确．(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．类型二圆柱、圆锥、圆台中的计算问题[例2]圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392 cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．通法提炼1.圆柱、圆锥、圆台的轴截面将其母线、高、上下底面半径有机地结合在一起，充分利用轴截面可进行相关元素间的计算.2.在研究和处理旋转体的相关问题时，通常作出几何体的轴截面，如圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素. [变式训练2]有一个半径为5的半圆，将它卷成一个圆锥的侧面，求圆锥的高．类型三与球有关的计算问题命题视角1：球面弧长问题[例3]设地球的半径为R，在南纬60°圈上有两点A，B，A在西经90°，B在东经90°，求A，B两点间纬线圈的弧长及A，B两点间的球面距离．通法提炼1.球面上两点间的球面距离，必须是在过此两点的球的大圆中两点所对应的劣弧的长度，不能在过此两点的球的小圆中求.2.球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离，它们之间构成直角三角形，可用勾股定理求解.[变式训练3]如图所示，球O 的半径为2，圆O 1是一小圆，O 1O ＝2，A 、B 是圆O 1上两点，若A 、B 两点间的球面距离为23π，求∠AO 1B 的度数．命题视角2：球的截面问题[例4]在球内有相距9 cm 的两个平行截面，面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的半径． [分析]作轴截面(过与截面圆垂直的半径作截面)，将空间图形化为平面图形．利用截面的性质解直角三角形． 通法提炼在解决球的截面问题时，可作轴截面，将空间图形化为平面图形．由于球心与截面圆心的连线垂直于截面圆，因此经过球心与截面圆心的连线作轴截面如图．则球的半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 有如下关系：d 2＋r 2＝R 2.[变式训练4]在半径等于13 cm 的球内有一个截面，它的面积是25π cm 2，求球心到这个截面的距离．命题视角3：球的表面积问题[例5]设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2通法提炼常见几何体与球的切、接问题的解决策略(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．[变式训练5]有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都 相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．类型四 侧面展开图[例6]如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f (x )的最大值．[分析]求几何体侧面上两点之间的距离的最小值时，往往利用其侧面展开图求解．通法提炼求解旋转体侧面上两点间的最小距离时，一般将几何体侧面展开，从而将空间问题转化为平面问题，将曲线问题转化为直线问题来解决，使复杂问题简单化.[变式训练6]如图所示，一圆柱的底面半径为2，母线长为5，轴截面为矩形ABCD，从点A 拉一绳子沿圆柱侧面到点C，求最短绳长．当堂检测1．下列不是旋转体的是()A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球面2．下列说法中正确的是()A．圆台是直角梯形绕其一边所在的直线旋转而成的B．圆锥是直角三角形绕其一边所在的直线旋转而成的C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的底面与截面之间的部分3．下列说法正确的是()A．到定点的距离等于定长的点的集合是球B．球面上不同的三点可能在同一条直线上C．用一个平面截球，其截面是一个圆D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面4．圆柱、圆锥和圆台过轴的截面分别是．参考答案要点整合·夯基础知识点一旋转体、圆柱、圆锥和圆台[填一填]1．圆柱的结构特征定义矩形的一边图示及相关概念旋转轴轴垂直于轴不垂直于轴不垂直于轴的边2.圆锥的结构特征定义直角三角形一直角边图示及相关概念旋转轴轴垂直于轴不垂直于轴3.圆台的结构特征定义图示及相关概念旋转轴垂直于轴不垂直于轴4.轴截面等腰三角形等腰梯形5．旋转体的侧面积与表面积(1)底面积(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式几何体侧面展开图表面积公式圆柱底面半径母线长圆锥底面半径母线长圆台上底面半径下底面半径母线长[答一答]1．提示：(1)平行于底面的截面，图形都是圆．(2)过轴的截面，对于圆柱是矩形，对于圆锥是等腰三角形，对于圆台是等腰梯形．(3)圆柱的上底面变小，就变为圆台，当上底面变为一个点时，它就变成了圆锥．圆台是由圆锥截得的，“补台成锥”是解决圆台问题的一种重要方法．知识点二球[填一填](1)一个半圆球(2)球心半径直径(4)大圆小圆(5)圆面②垂直③R2－r2(6)4πR2[答一答]2．提示：类比平面上直线与圆的位置关系，平面与球有以下几种位置关系：相离、相切、相交，其中相离是平面与球无公共点，相切是平面与球有且只有一个公共点，相交则是平面与球有无数多个公共点．典例讲练·破题型类型一旋转体的有关概念[例1]【解析】根据球的定义可知A正确．由圆锥的定义知B正确．只有当平面与圆锥的底面平行时底面与截面之间的部分为圆台，故C错误．由圆柱的定义知D正确．【答案】C[变式训练1]解：(1)错误．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错误．应为球面．类型二 圆柱、圆锥、圆台中的计算问题 [例2] 解：方法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm.即A ′O ′＝x cm ，AO ＝3x cm(O ′，O 分别为上、下底面圆心)，过A ′作AB 的垂线，垂足为点D .在Rt △AA ′D 中，∠AA ′D ＝45°，AD ＝AO －A ′O ′＝2x cm ，所以A ′D ＝AD ＝2x cm ， 又S 轴截面＝12(A ′B ′＋AB )·A ′D ＝12×(2x ＋6x )×2x ＝392(cm 2)，所以x ＝7.综上，圆台的高OO ′＝14 cm ，母线长AA ′＝2OO ′＝14 2 cm ，上、下底面的半径分别 为7 cm 和21 cm. 方法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA ′，BB ′交OO ′的延长线于点S (O ′，O 分别为上、下底面圆心)． 在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，所以SO ＝AO ＝3x cm ， 又SO ′＝A ′O ′＝x cm ，所以OO ′＝2x cm. 又S 轴截面＝12×(2x ＋6x )×2x ＝392(cm 2)，所以x ＝7.综上，圆台的高OO ′＝14 cm ，母线长AA ′＝2OO ′＝14 2 cm ，上、下底面的半径分别 为7 cm,21 cm. [变式训练2]解：如图，由题知，半圆的半径等于圆锥的母线长，即SA ＝5.半圆的弧长等于圆锥底面周长，设半径为r ，则有5π＝2πr .∴r ＝52，∴高h ＝52－⎝⎛⎭⎫522＝52 3.即圆锥的高是523. 类型三 与球有关的计算问题命题视角1：球面弧长问题[例3]解：纬度数为60°，则纬度圈小圆的半径r ＝R cos60°＝R 2. 如图所示，设南纬60°圈的中心为O 1，地球球心为O ，则∠AO 1B ＝180°，∴AB ＝2AO 1＝R .∴△AOB 为等边三角形，∴∠AOB ＝60°.∴在南纬60°圈上，AB ︵的长为180π180×R 2＝πR 2； 在球面上，A ，B 两点间的球面距离为60π180×R ＝πR 3.[变式训练3]解：设∠AOB ＝α，由球面距离知：α·2π×2360°＝α90°·π＝23π，解得α＝60°.在△AOB 中，OA ＝OB ，∠AOB ＝α＝60°，所以△AOB 为等边三角形，所以AB ＝OA ＝OB ＝2.在Rt △AO 1O 中，因为OA ＝2，O 1O ＝2，所以O 1A ＝OA 2－O 1O 2＝22－(2)2＝ 2.在等腰三角形AO 1B 中，因为O 1A ＝O 1B ＝2，AB ＝2，O 1A 2＋O 1B 2＝AB 2，所以∠AO 1B ＝90°.命题视角2：球的截面问题[例4]解：两截面与球心的位置关系有两种：(1)两截面位于球心的同侧；(2)球心在两截面之间． 若两截面位于球心的同侧，如图①，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R ，截面圆的半径分别为r ，r 1，由πr 21＝49π，得r 1＝7 cm ，由πr 2＝400π，得r ＝20 cm ，在Rt △OB 1C 1中，OC 1＝R 2－r 21＝R 2－49， 在Rt △OBC 中，OC ＝R 2－r 2＝R 2－400，由题意知OC 1－OC ＝9 cm ，即R 2－49－R 2－400＝9，解得R ＝25 cm ，若球心在两截面之间，如图②，OC 1＝R 2－49，OC ＝R 2－400.由题意知OC 1＋OC ＝9 cm ，即R 2－49＋R 2－400＝9，R 2－49＝9－R 2－400，平方得R 2－400＝－15，此方程无解，说明第二种情况不存在．综上所述，所求球的半径为25 cm.[变式训练4]解：设截面圆的半径为r cm.因为πr 2＝25π，所以r ＝5.设球心到截面的距离为d cm ，则d ＝132－52＝12.所以球心到截面的距离为12 cm.命题视角3：球的表面积问题[例5]【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2.【答案】B[变式训练5]解：设正方体棱长为a ，三个球的半径依次为R 1，R 2，R 3，则有2R 1＝a ，R 1＝a 2，2a ＝2R 2，R 2＝22a ，3a ＝2R 3，R 3＝32a ，所以R 1：R 2：R 3＝1：2： 3. 所以S 1：S 2：S 3＝R 21：R 22：R 23＝1：2：3.即这三个球的表面积之比为1：2：3.类型四 侧面展开图[例6]解：将圆锥的侧面沿SA 剪开，并展开，如图所示，该图形为扇形，且的长度L 就是圆O 的周长，所以L ＝2πr ＝2π.所以∠ASM ＝L 2πl×360°＝2π2π×4×360°＝90°. (1)由题意知，绳子长度的最小值为展开图中的AM ，且AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)，所以f (x )＝ AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，因为12SA ·SM ＝12AM ·SR ， 所以SR ＝SA ·SM AM ＝4x x 2＋16(0≤x ≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16(0≤x ≤4)． (3)因为f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝32.[变式训练6]解：沿BC 剪开，将圆柱侧面的一半展开得到矩形B ′ADC ′，如图所示，连接AC ′，则AC ′的长即为所求最短绳长，由题意可知，B ′C ′＝5，AB ′＝2π，即最短绳长为25＋4π2.当堂检测1．【解析】球面不是旋转体．【答案】D2．【解析】圆台是直角梯形绕垂直于底边的腰所在的直线旋转而得到的，故A 不正确；圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而得到的，故B 不正确；而圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体，故C不正确．故选D.【答案】D3．【解析】对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B 错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C错，故选D.【答案】D4．【答案】矩形、等腰三角形和等腰梯形。
高一数学知识点总结_空间几何体的结构知识点
高一数学知识点总结_空间几何体的结构知识点高一数学空间几何体的结构知识点篇1空间几何体的结构知识点1、静态的观点有两个平行的平面，其他的面是曲面;动态的观点：矩形绕其一边旋转形成的面围成的旋转体，象这样的旋转体称为圆柱。
2、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的的曲面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫圆柱的轴;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于圆柱轴的边旋转而成的面叫圆柱的侧面，圆柱的侧面又称圆柱的面。
无论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫圆柱侧面的母线。
表示：圆柱用表示轴的字母表示。
规定：圆柱和棱柱统称为柱体。
3、静态观点：有一平面，其他的面是曲面;动态的观点：直角三角形绕其一直角旋转形成的面围成的旋转体，像这样的旋转体称为圆锥。
4、定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
旋转轴叫圆锥的轴;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面成为圆锥的底面;不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫圆锥的侧面，圆锥的侧面又称圆锥的面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧面的母线。
表示：圆锥用表示轴的字母表示。
规定：圆锥和棱锥统称为锥体。
5、定义：以半直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆台。
还可以看成用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截面于底面之间的部分。
旋转轴叫圆台的轴。
垂直于旋转轴的边旋转而形成的圆面称为圆台的底面;不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫圆台侧面的母线。
表示：圆台用表示轴的字母表示。
规定：圆台和棱台统称为台体。
6、定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的旋转体称为球体，简称为球。
半圆的圆心称为球心，连接球面上任意一点与球心的线段称为球的半径，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径。
表示：用表示球心的字母表示。
新教材2023版高中数学新人教B版必修第四册：旋转体课件
母线：无论旋转到什么位置，
不垂直于轴的边
______________
棱锥和圆锥
锥体：___________统称为锥体
知识点三
定义
图示
及相
关概
念
圆台的结构特征
以____________________所在的直线为旋转轴，将直角
直角梯形垂直于底边的腰
梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
πrl
(2)S圆锥侧＝____________．
π(r1＋r2)l
(3)S圆台侧＝____________．
2．旋转体的表面积
(1)旋转体的侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积．
(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
几何体
侧面展开图
表面积公式
圆柱
2πr(r＋l)
S圆柱＝________，r为底面半径，l
线；
②一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何
体是圆台；
③圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，
圆台的轴截面是等腰梯形；
④到定点的距离等于定长的点的集合是球．
(2)下列三个结论中，错误的个数为(
)
①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆；
②球面积是它大圆面积的四倍；
(1)圆台有无数条母线，它们相等，延长后相交于一点．( √ )
解析：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是圆台，由
此可知此说法正确．
(2)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．( × )
解析：用与底面平行的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台．
(3)用任意一个平面去截球，得到的是一个圆面．( √ )
【新人教版】数学必修二第八章 8.1 第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
【新人教版】数学必修二第八单元第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.3.了解简单组合体的概念及结构特征.知识点一圆柱的结构特征圆柱图形及表示定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图中圆柱表示为圆柱O′O 相关概念：圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边思考圆柱的轴截面有________个，它们________(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有________条，它们与圆柱的高________.答案无穷多全等无穷多相等知识点二圆锥的结构特征圆锥图形及表示定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图中圆锥表示为圆锥SO相关概念： 圆锥的轴：旋转轴圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边思考 圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？答案 圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线. 知识点三 圆台的结构特征圆台图形及表示定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台图中圆台表示为圆台O ′O相关概念： 圆台的轴：旋转轴圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边知识点四球的结构特征球图形及表示定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图中的球表示为球O 相关概念：球心：半圆的圆心半径：连接球心和球面上任意一点的线段直径：连接球面上两点并经过球心的线段知识点五简单组合体的结构特征1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(×)2.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(√)3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.(×)4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(×)一、旋转体的结构特征例1下列说法正确的是________.(填序号)①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.答案③④解析①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④正确.反思感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成.②明确旋转轴是哪条直线.(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.跟踪训练1下列说法，正确的是()①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.A.①②B.②③C.①③D.②④答案 D解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.二、简单组合体的结构特征例2(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.解①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.(2)如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD 绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.解如下图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.反思感悟(1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力.(2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.跟踪训练2(1)如图所示的简单组合体的组成是()A.棱柱、棱台B.棱柱、棱锥C.棱锥、棱台D.棱柱、棱柱答案 B(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆柱、一个圆锥C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥答案 D解析图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图②，包括一个圆柱、两个圆锥.三、旋转体的有关计算例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示). 由已知可得O 1A ＝2 cm ，OB ＝5 cm. 又由题意知腰长AB ＝12 cm ， 所以高AM ＝122－(5－2)2 ＝315(cm).(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l ， 则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25， 解得l ＝20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解.跟踪训练3 如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长.解 设圆台的母线长为l cm ，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO 作截面，如图所示.则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm. 所以SA ′SA ＝O ′A ′OA . 所以33＋l＝r 4r ＝14.解得l ＝9，即圆台的母线长为9 cm.1.下列说法中正确的是( ) A.将正方形旋转不可能形成圆柱B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线 答案 C解析 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A 错误；B 中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以B 错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D 错误. 2.(多选)下列命题中正确的是( )A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形答案ACD3.下列几何体是台体的是()答案 D解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.4.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.球体D.棱台答案 D解析圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)或等腰梯形(圆台)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形.5.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为________ cm2.答案16π或9π解析当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2.1.知识清单：(1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征.(2)球的结构特征.(3)简单组合体的结构特征.2.方法归纳：分类讨论.3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.1.下列几何体中不是旋转体的是()答案 D2.如图所示的简单组合体的结构特征是()A.由两个四棱锥组合成的B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的答案 A3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体答案 B解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.4.若圆柱的母线长为10，则其高等于()A.5B.10C.20D.不确定答案 B解析圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.5.如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的()答案 D解析图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故所求平面图形的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成.6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________.(填序号)答案①④解析①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________.(用Q表示)答案Q 2解析设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.∴4r2＝Q，解得r＝Q 2，∴此圆柱的底面半径为Q 2.8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.答案 3解析由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径为r＝1，所以该圆锥的高为h＝l2－r2＝22－12＝ 3.9.一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.解如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝233(cm).SA＝SOcos 30°＝232＝433(cm).所以S△ASB＝12SO·2AO＝433(cm2).所以圆锥的母线长为433cm，圆锥的轴截面的面积为433cm2. 10.如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离.∵AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.11.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()A.4B.3 2C.2 3D.2 6答案 D解析圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，由题意知l＝5，R＝7，r＝6，求得h＝26，即两底面之间的距离为2 6.12.已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是______cm.答案8解析如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可.由题意知，R＝10 cm，由πr2＝36π，得r＝6，所以d＝R2－r2＝100－36＝8(cm).13.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________.答案52π2＋4解析如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的，由题意可知GH ＝5，GF 1＝5π2，GE 1＝254π2＋25＝52π2＋4.所以从点E 沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是52π2＋4. 14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________.(填序号)答案 ①⑤解析 由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴，故只能是①⑤.15.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( ) A.4 B.3 C.2 D.0.5 答案 B解析 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π和8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5， r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21，d 2＝R 2－r 22，∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1，∴R 2＝9，∴R ＝3.16.圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.解(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM 的长度，设OB＝l，则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，解得θ＝π2，l＝20 cm.∴OA＝40 cm，OM＝30 cm.∴AM＝OA2＋OM2＝50 cm.即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，则PQ为所求的最短距离.∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24 cm.故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.。
人教A版 必修2 1.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及简单组合体的结构特征
原平面图形作适当的分割，一般分割成矩形、梯形、三角形 或圆(半圆或四分之一圆周)等基本图形，然后结合圆柱、圆
锥、圆台、球的形成过程进行分析．
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【活学活用2】 说出下列几何体的结构特征，如下图所示：
解
图(1)是由两个同底的四棱锥拼接而成的简单组合体；
图(2) 是由一个圆台挖去一个圆锥后剩下的部分得到的组合 体；图(3)是由一个四棱锥和一个四棱柱拼接而成的组合 体．图(4)是由一个圆柱挖去一个三棱柱所剩下部分得到的 组合体．
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解 轴．
(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于
(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体 是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
(3)正确．
(4)错．应为球面． [规律方法] 准确理解旋转体的定义、把握其结构特征，多
角度思考全面地进行分析才能正确地作出判定．
提示
②
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类型一
旋转体的结构特征
【例1】 判断下列各命题是否正确； (1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是
圆柱的母线；
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围 成的几何体是圆台；
(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等
腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形； (4)到定点的距离等于定长的点的集合是球． [思路探索] 利用旋转体的定义和结构特征判定．
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5．用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台 上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是
基本立体图形(第2课时)圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征(人教A版2019必修第二册)
圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥.
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如图，与棱台类似，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之
间的部分叫做圆台.生活中的纸杯就是具有圆台结构特征的物体.
与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线.圆台也用表示它的轴的
字母表示，如图中的圆台，记作圆台’ .
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的圆锥的母线长为12 ，则圆台的母线长是多少？
解：如图是圆台的轴截面，由题意知 = 2 ，’ ’ = 1 ， = 12 .
’ ’
’
由∆ ∼ ∆，得
= ，得’
所以’ = − ’ = 12 − 6 = 6().
’
’
所以圆台的母线长为6 .
=
’ ’
1
2
∙ = × 12 = 6().
练习
方法技巧：
解决旋转体中计算问题的方法策略
(1)巧用轴截面实现空间图形平面化：旋转体中有关底面半径、母线、高以及
有关球的问题的计算，可巧用轴截面求解，即将立体问题转化为平面问题.
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆
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现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，
还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体.
图1
图2
简单组合体的构成有两种基本形式，一种是由简单几何体拼接而成，如图1中的物
体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图2中的几何体.
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思考2：棱柱、棱锥与棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？
当底面发生变化时，它们能否相互转化？圆柱、圆锥与圆台呢？
第一章 1.1 第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征
第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.3.了解简单组合体的概念及结构特征.知识点一 圆柱的结构特征思考 圆柱的轴截面有无穷多个，它们全等(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有无穷多条，它们与圆柱的高相等. 知识点二 圆锥的结构特征思考 圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？答案圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线.知识点三圆台的结构特征知识点四球的结构特征知识点五简单组合体的结构特征(1)概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的.(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(×)2.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(√)3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.(×)4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(×)题型一旋转体的结构特征例1下列说法正确的是________.(填序号)①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.考点空间几何体题点空间几何体结构应用答案③④⑤解析①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④⑤正确.反思感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成.②明确旋转轴是哪条直线.(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.跟踪训练1下列说法，正确的是()①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.A.①②B.②③C.①③D.②④考点空间几何体题点空间几何体结构应用答案 D解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.题型二简单组合体的结构特征例2(1)请描述如图所示的几何体是如何形成的.解①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.(2)如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.解如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.反思感悟(1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力.(2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.跟踪训练2(1)如图所示的简单组合体的组成是()A.棱柱、棱台B.棱柱、棱锥C.棱锥、棱台D.棱柱、棱柱答案 B(2)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆柱、一个圆锥C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案 D解析图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥.题型三旋转体的有关计算例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.考点圆台的结构特征题点与圆台有关的运算解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.又由题意知腰长为12 cm，所以高AM ＝122－(5－2)2 ＝315(cm).(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l ， 则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25， 解得l ＝20(cm).即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.跟踪训练3 如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长.解 设圆台的母线长为l cm ，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO 作截面，如图所示.则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm. 所以SA ′SA ＝O ′A ′OA .所以33＋l ＝r 4r ＝14.解得l ＝9，即圆台的母线长为9 cm.圆柱侧面展开图的应用典例如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离.∵AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.[素养评析](1)求几何体表面上两点间的最小距离的步骤①将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；②将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；③结合已知条件求得结果.(2)解决此类问题需要将空间图形转化为平面图形，也就是借助空间形式认识事物的位置关系、形态、变化等，同时，要理解运算对象，探究运算思路，所以本题体现了直观想象与数学运算的核心数学素养.1.下列几何体是台体的是()考点圆台的结构特征题点圆台的概念的应用答案 D解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.2.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图1中的几何体的是()图1考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案 B解析由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，故B正确.3.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.球体D.棱台考点棱台的结构特征题点棱台的概念的应用答案 D解析圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形，故选D.4.如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________.答案圆柱5.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________.考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算答案 2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝34AB2，∴3＝34AB2，∴AB＝2.故圆锥的母线长为2.1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.球面、球体的区别和联系3.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.4.处理组合体问题常采用分割思想.5.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.一、选择题1.下列几何体中不是旋转体的是()考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案 D2.如图所示的简单组合体的结构特征是()A.由两个四棱锥组合成的B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的答案 A3.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A.一个球体B.一个球体中间挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球体中间挖去一个长方体考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案 B解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.4.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )考点 简单组合体的结构特征题点 与旋转有关的组合体答案 A解析 此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A 中的平面图形旋转而形成的.5.一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为( ) A.10 3 cm B.20 3 cm C.20 cmD.10 cm考点 圆锥的结构特征题点 与圆锥有关的运算答案 A解析 如图所示，在Rt △ABO 中，AB ＝20 cm ，∠A ＝30°，所以AO ＝AB ·cos 30°＝20×32＝103(cm). 6.下列命题：①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；③圆台中所有平行于底面的截面都是圆面；④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形.其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①④D.①③④答案 D7.一个底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为()A.πB.2πC.3πD.4π答案 A8.下列结论正确的是()A.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台B.经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案 D解析需用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误.故选D.二、填空题9.正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________.考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案两个同底的圆锥组合体解析由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体.10.如图中的组合体的结构特征有以下几种说法：①由一个长方体割去一个四棱柱构成；②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；③由一个长方体挖去一个四棱台构成；④由一个长方体与两个四棱台组合而成.其中说法正确的序号是________.考点 简单组合体的结构特征题点 与拼接、切割有关的组合体答案 ①②11.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.考点 圆锥的结构特征题点 与圆锥有关的运算答案 3解析 由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl 2，所以母线长为l ＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr ＝2π，所以底面圆半径为r ＝1，所以该圆锥的高为h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.12.边长为5的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从点E 沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离为________.答案 52π2＋4 解析 如图，矩形E 1F 1GH 是圆柱沿着其母线EF 剪开半个侧面展开而得到的，由题意可知GH ＝5，GF 1＝5π2，GE 1＝254π2＋25＝52π2＋4. 所以从点E 沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是52π2＋4. 三、解答题13.一个圆锥的高为2 cm ，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积. 解 如图轴截面SAB ，圆锥SO 的底面直径为AB ，SO 为高，SA 为母线，则∠ASO ＝30°.在Rt △SOA 中，AO ＝SO ·tan 30°＝233(cm). SA ＝SO cos 30°＝232＝433(cm). 所以S △ASB ＝12SO ·2AO ＝433(cm 2). 所以圆锥的母线长为433 cm ，圆锥的轴截面的面积为433cm 2.14.如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是( )A.①③B.①②C.②④D.②③答案 A15.圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.考点 圆台的结构特征题点 与圆台有关的运算 解 (1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM 的长度，设OB ＝l ，则θ·l ＝2π×5，θ·(l ＋20)＝2π×10，解得θ＝π2，l ＝20 cm. ∴OA ＝40 cm ，OM ＝30 cm.∴AM ＝OA 2＋OM 2＝50 cm.即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQ ⊥AM 于点Q ，交弧BB ′于点P ，则PQ 为所求的最短距离.∵OA ·OM ＝AM ·OQ ，∴OQ ＝24 cm.故PQ ＝OQ －OP ＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.。
《空间几何体》基础的知识点
《空间几何体》知识点总结一、 空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其 中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2 ）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱.2.1棱锥一一有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的 几何体叫做棱锥。
2.2圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台 3.2圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台4.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球二、 空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2. 三视图一一正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而 画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3. 直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4. 斜二测法：在坐标系 x'o'y'中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性 不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线 段长度减半。
三、空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积① 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2② 圆柱的表面积S = 2二「I • 2二r 2 ③圆锥的表面积 S =理「I •二r 2、空间几何体的体积 ④圆台的表面积S 二rl + Tt r 2 2 2 R ⑤球的表面积S = 4二R ⑥扇形的面积公式s 扇形 360^1|r （其中I 表示弧长，r 表示半径） ①柱体的体积 v = s 底②锥体的体积 1 VjS 底 h③台体的体积 v =丄（S 上S 上 S 下 • S 下）h ④球体的体积v3 知识赠送以下资料英语万能作文（模板型）Along with the adva nee of the society more and more problems arebrought to our atte nti on, one of which is that....随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是As to whether it is a blessing or a curse, however, people take differe nt attitudes.然而，对于此类问题，人们持不同的看法。
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半径
O' O M P
球心
6.义： 用一个平面去截一个球,截面是圆面(黄色圆面)
截面的性质：
1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面. 2.球心到截面的距离d与球的半径r,有下面的关系:
O
R
ß
d
r
观察球被平面所截发生的现象
大圆小圆
大小圆的定义
1.大圆：球面被经过球心
4、例题讲解（例题1） 例1、如图，在底 面半径为2，母线 长为4的圆锥中内 接有一个高为的圆 柱，求这个圆柱的 底面半径。
A
C1
O1
O B C
例题1
解：如图，连接AO，交内接圆柱上底面于O1，连接O1C1， 由题意知 OC 2, AC 4, OO1 3 2 2 在 Rt AOC 中，有 AO AC OC
的 平面截得的圆叫做大 圆.如⊙O(浅蓝色圆面）.
o
2.小圆：球面被不经过球 心的平面截得的圆叫做小 圆. 如⊙O′(黄色圆面）.
O
1.定义
7、球面距离
球面上两点之间的最短连线的长 度，就是经过这两点的大圆在这 两点间的一段劣孤的长度. 即：球面距离是球面上过 两点的大圆在这两点之间 的劣弧的长度.
1、旋转体的概念，截面 2、球面上两点间的距离 3、地球经、纬度的含义 4、组合体的研究
c =2π·AK = 2π·OAcosOAK 2 OAcos 40 ≈2×3.142×6370×0.7660， 由计算器算得 C≈3.066×104（km）. 答：北纬40°纬线长约等于3.066×104km.
K
40°
A B
O
组合体
课堂练习
1、下列命题中，正确的个数是（ C ） １.绕着矩形的任意一边所在直线旋转一周都能形 成圆柱 ２.经过球面上不同的两点只能做一个大圆 ３.绕着直角三角形的任意一条直角边所在直线旋 转一周都能形成圆锥 ４.半圆以其直径为轴旋转所成的曲面是球 ５. 到定点的距离等于定长的所有点的集合是球 Ａ０ Ｂ１ Ｃ２ Ｄ３
2.填空题
课堂练习
设地球的半径为R，在北纬30 °纬线上有甲乙两
地，它们的经度相差120 ° ，那么这两地的纬
线的长为_____.
3 AK OA COS 30 R 2 2 甲乙两地弧长 AK 3
3 R . 3
30°
C 地
B
K轴
O
赤
A
纬度30 °
经度120 °
道
课堂小结
度在东经120º 梢偏东，洛杉矶的经度为西经120º 稍偏西。从界地 图上看似乎沿北纬30º 的圆距离最近，可为什么从上海飞往美国 杉矶的飞机会迫降在东北方向的阿拉斯加呢？这岂不是在绕远道？
北极
阿拉斯加
上海
0°
A
O1
B
O
洛山矶
夏威夷群岛
南极
球面距离最小的理论根据
结合平面几何知识:在以两个定点为端点的弧中，半 径越大弧长越小.在球面上北京、纽约间的最短距离是过 这两点的大圆上劣弧的长.
O`
以直角三角形的一 条直角边所在直线为旋 转轴，其余两边旋转形 成的面所围成的旋转体 叫圆锥。
轴 侧面 母线
C B O A
底面
3.圆柱、圆锥的图形之间的关系？
思考：1．过圆柱，圆锥，圆台的旋转轴的
面是什么图形？
2．平行于圆柱，圆锥，圆台的底面
的截面是什么图形？ 性质1：平行于底面的截面都是圆。 性质2：过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩 形，等腰三角形，等腰梯形。
O
Q
P
球面距离
两点的球面距离公式
⌒ PQ的长度
R
Q
O
球面上两点距离不能通过 解三角形直接求得，一般地 是先求出大圆半径R和这两 点在大圆上的劣弧所对的圆 心角θ，再求出弧长L=Rθ. 飞机、轮船都是尽可能以 大圆弧为航线航行.
P
球面距离:上海和洛杉矶都在北纬30º 稍偏北的位置，上海的经
人民教育出版社，第一册 旋转体的结构特征
一、观察下列图形，组成它们的面有何 特征？它们分别是由什么图形如何旋转 而形成的？（注意和棱柱、棱锥的区别）
1.圆柱的结构特征
O`
以矩形的一边 所在的直线为旋转 轴，其余三边旋转 形成的面所围成的 旋转体叫做圆柱。
A`
母线
C B
轴 侧面
O A
底面
2.圆锥的结构特征
AO1 AO OO1 3
42 22 2 3
根据相似三角形的性质有 OC 即
O1C1 3 2 2 3
O1C1
AO1 AO
解得 O1C1 1
所以圆柱的底面半径为1
5. 球的形成
6.球的结构特征
（1）球面是一个半圆绕着它的 直径所在的直线旋转一周所形 成的曲面，球面围成的几何体， 叫做球体，简称为球。 （2）形成球的半圆的圆心叫做 球心，连接球面上一点和球心 的线段叫做球的半径，连接球 面上两点且经过球心的线段叫 做球的直径。
B A
A O
m
O1
B
经度的定义
纬度的定义
例3.我国首都靠近北纬40°纬线。求北纬40°纬线的 长度约等于多少km（地球半径约为6 370km）.
A
K
40°
A
O
B
O
B
如图，A是北纬40°纬线上的一点，AK是它的半径 ， 所 以 OK⊥AK. 设 c 是 北 纬 40° 的 纬 线 长 ， 因 为 ∠AOB=∠OAK=40°，所以