《有限元方法25讲》课程教案

x 方向位移为 u，y 方向位移为 v，如下图 0.1.3 所示。
0.1.3 平面问题中的变形表达
从图 0.1.3 可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方面：沿各个方向上的
长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。
(1) 定义 x 方向的相对伸长量为
εx
=
P′A′ − PA PA
应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。
⎧σ x ⎫
⎪⎪σ
y
⎪ ⎪
{σ
}
=
⎪⎪⎨⎪τσxzy
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
⎡⎣σ
x
σy
σz
τ xy
τ yz
τ zx ⎤⎦T
⎪τ ⎪⎪⎩τ
yz zx
⎪ ⎪ ⎪⎭
弹性体在载荷作用下，还将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。
(0.1.1)
1
图 0.1.1 应力分量
达)、余能(以应力为基本变量的表达)等，下面分别给出具体的表达式。 ⑴ 外力功
)
2ν
)
物理方程中的弹性矩阵[D]亦可表示为
⎡λ + 2G λ
λ 0 0 0⎤
⎢ ⎢
λ
λ + 2G
λ
0
0
0
⎥ ⎥
[D]
=
⎢ ⎢
⎢
λ 0
λ λ + 2G 0 0 0 ⎥
0
0
G
0
0
0⎥ ⎥
⎢0
0
0 0 G 0⎥
⎢
⎥
⎣0
0
0 0 0 G⎦
{ε} = [C]{σ }
其中 C 是柔度矩阵。 [C] = [D]−1 ，它和弹性矩阵是互逆关系。
ν E
−ν E
⎢0 0
E 1 00 E 0 10
⎥
0
⎥ ⎥
⎥
0⎥
⎢
⎢ ⎢
0
0
0
G 0
1 G
⎥
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢⎣ 0
0
0
0
0
1⎥ G ⎥⎦
物理方程的另一种形式是用应变表示的本构方程
σx
=
E(1−ν ) (1+ν )(1− 2ν
) ⎢⎣⎡ε x
+
ν 1−ν
(ε y
+εz
)⎥⎦⎤
σ
y
=
E(1 −ν ) (1 +ν )(1 − 2ν
εx
=
∂u ∂x
εy
=
∂v ∂y
εz
=
∂w ∂z
γ xy
=
∂u ∂y
+
∂v ∂x
(0.1.7)
几何方程的矩阵是
其中 [L]是微分算子
γ
yz
=
∂w ∂z
+
∂v ∂y
γ zx
=
∂u ∂z
+
∂w ∂x
{ε}= [L]{u}
(0.1.8)
5
⎡∂
⎢ ⎢
∂x
⎢ ⎢
0
0
∂ ∂y
0
⎤ ⎥
⎥
0
⎥ ⎥
⎢
⎥
[L]
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
) ⎢⎣⎡ε
y
+ν 1−ν
(ε x
+εz
)⎥⎦⎤
σz
=
(1
E(1 − +ν )(1
ν −
)
2ν
)
⎢⎣⎡ε
z
+ν 1−ν
(ε y
) + ε x
⎤ ⎥⎦
τ xy
=
E
2(1 +
ν
)
γ
xy
τ yz
=
E
2(1 +
ν
)
γ
yz
τ zx
=
E
2(1 +
ν
)
γ
zx
应力通过应变的表达式可用矩阵形式表示：
{σ } = [D]{ε}
−u
=
∂v dx ∂x dx + ∂u dx
=
∂v ∂x
∂x
∂x
P'B’线与 PB 线的夹角为
β
=
⎛ ⎜⎝ u
+
∂u ∂y
⎞ dy ⎟⎠
−
u
=
∂u
dy
∂y
则定义夹角的总变化为
γ xy
=α
+
β
=
∂u ∂y
+
∂v ∂x
在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间的几何关系有
其中
(0.1.10b)
7
⎡ ⎢
1
⎢ ⎢
ν
⎢1−ν
ν 1−ν
1
ν 1−ν
ν 1−ν
0 0
0 0
0
⎤ ⎥
⎥
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
ν
ν
1
0
0
[D]
=
E (1−ν ) (1+ν )(1− 2ν
)
⎢1−ν ⎢ ⎢0
1−ν 0
⎢
0
1− 2ν
2(1−ν )
0
⎥ 0⎥
⎥ ⎥ 0⎥ ⎥
⎢ ⎢0 0 0 ⎢
0
1− 2ν
2(1−ν )
对于不同类型问题，几何方程和物理方程的有关矩阵符号的意义汇集于下表。板与壳的基本方程 将分别在本书有关章节中给出。
6．弹性问题中的能量表示 弹性问题中的自然能量包括两类：①施加外力在可能位移上所做的功，②变形体由于变形而存
储的能量。 出于研究的需要，还要定义一些由自然能量所组合的物理量，如势能(以位移为基本变量的表
正应变； γ xy ,γ yz ,γ zx 为剪应变。应变的正负号与应力的正负号相对应，即应变以伸长时为正，缩短
为负；剪应变是以两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小为正，反之为负。图 0.1.2 的(a)，(b)
分别为 ε x 和 γ xy 的应变状态。
应变的矩阵形式是
图 0.1.2 ε x 和 γ xy 的应变的正方向
(0.1.11)
(0.1.12) (0.1.13) (0.1.14) (0.1.15)
弹性体 V 的全部边界为 S。 一部分边界上已知外力 px , py , pz 称为力的边界条件，这部分边界
用 Sσ 表示；另一部分边界上弹性体的位移 u,v,w 已知，称为几何边界条件或位移边界条件，这部分 边界用 Su 表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即
Ty = nxτ yx + nyσ y + nzτ yz
(0.1.18)
Tz = nxτ zx + nyτ zy + nzσ z
以上公式的矩阵形式为 其中
[T ] = [ p] [T ] = [n]{σ}
(在 Sσ 上)
(0.1.19) (0.1.20)
9
[n] = ⎡⎢⎢n0x
0 ny
0 0
ny nx
0.1 弹性力学的基本方程
在有限单元法中经常要用到弹性力学的基本方程和与之等效的变分原理，现将它们连同相应的 矩阵表达形式和张量表达形式综合引述于后。关于它们的详细推导可从弹性力学的有关教材中查到。 0.1.1 弹性力学基本方程的矩阵形式
弹性体的基本假设 为突出所处理问题的实质，并使问题得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基本 假定。 (1)物体内的物质连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述 对象。 (2)物体内的物质均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因 此，各个位置材料的描述是相同的。 (3)物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定，即认为物体内同一位置的物质在各个方 向上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。 (4)线弹性(1inear elasticity)假定，即物体变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后， 物体可恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。 (5)小变形(small deformation)假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时， 可以忽略高阶小量(二阶以上)。 以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大 多数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理， 以抓住问题的实质。
(0.1.17)
图 0.1.5
设 边 界 外 法 线 为 N ， 其 方 向 余 弦 为 nx ,ny ,nz ， ny = cos(n, y) ， n y = cos (n , x ) ，
nx
=
cos(n
,
x
)
，且
n
2 x
+
n
2 y
+ nz2
= 1则边界上弹性体的内力可由下式确定
Tx = nxσ x + nyτ xy + nzτ xz
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
+
Fx
=
0
∂τ yx ∂x
+
∂σ y ∂y
+
∂τ yz ∂z
+
Fy
=
0
∂τ zx ∂x
+
∂τ zy ∂y
+
∂σ z ∂z
+
Fz
=
0
(0.1.4)
其中 Fx , Fy , Fz 为单位体积的体积力在 x, y, z 方向的分量。