2018年秋九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.1 比例线段(3)练习 (新版)浙教版
2018年秋九年级数学上册第4章相似三角形4.1比例线段第2课时比例线段同步练习(新版)浙教版
4.1 第2课时比例线段一、选择题1．下面四条线段中，不能成比例的是( )A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a＝1，b＝2，c＝6，d＝ 3C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝2，b＝5，c＝15，d＝2 32．如图K－28－1所示，下列各组比中，比值不相等的是( )图K－28－1A.AEEC和ADBDB.ADAB和DEBCC.ACBC和AEDED.ADDE和DBBC3．如图K－28－2所示，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E，F分别为AB，CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于( )图K－28－2A.2∶1 B．1∶2C.3∶1 D．1∶ 3二、填空题4．如图K－28－3是百度地图的一部分(比例尺为1∶4000000)．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西________度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约为 2 cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为________km.图K －28－35．等腰直角三角形的斜边长与直角边长的比为________，斜边上的中线长与直角边长之比为________．6．点P 在线段AB 上，且AP ∶PB ＝2∶5，则AB ∶PB ＝________，AP ∶AB ＝________．7．已知a ，b ，c ，d 是比例线段，其中a ＝6 cm ，b ＝8 cm ，c ＝24 cm ，则线段d 的长度是________．三、解答题8．如图K －28－4，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F .找出图中的一组比例线段，并说明理由.图K －28－49．已知△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°.(1)求AB AC的值；(2)求AB ∶AC ∶BC 的值．1．[解析] C 用最小与最大的线段的长度相乘，看是否等于另两条线段长度的乘积．2．[答案]D3．[答案]A4．[答案] 45 805．[答案]2∶1 1∶ 2[解析] 设直角边长为k ，则斜边长为2k ，斜边上的中线等于斜边的一半，长为22k. 6．[答案] 7∶5 2∶7[解析] 设AP ＝2k ，则PB ＝5k ，AB ＝7k.7．[答案] 32 cm8．[解：答案不唯一，如BC CD ＝AF AE.理由如下： ∵BC ·AE ＝S ▱ABCD ＝CD·AF，∴BC CD ＝AF AE .9．解：(1)如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，∵∠B ＝30°，∴AD ＝12AB. 在Rt △ADC 中，∵∠C ＝45°，∴AD ＝22AC ，∴12AB ＝22AC ，∴AB AC＝ 2. (2)∵AB＝2AD ，AC ＝2AD ，BD ＝3AD ，CD ＝AD ，∴BC ＝BD ＋CD ＝(3＋1)AD ，∴AB ∶AC ∶BC ＝2∶2∶(3＋1)．。
2018年秋九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.1 比例线段 第2课时 比例线段同步练习 (新版
第4章 相似三角形4．1 比例线段第2课时 比例线段知识点1 线段的比1．正方形的边长与对角线的比是________．2．下列说法中错误的是( )A ．线段的比就是它们的长度之比B ．只要两条线段的长度采用同一单位，那么两条线段的比与所采用的单位无关C ．求两条线段的比，一定要用同一单位，如果单位不同，应先化成同一单位，再求它们的比D ．两条线段的比与两个数的比一样有正有负3．一根旗杆高6 m ，在正午的阳光下，其影长为80 cm ，则旗杆的高与它的影子的长度之比为( )A.340B.4030C.215D.152知识点2 成比例线段4．长度分别是2 cm ，0.4 cm ，5 cm ，1 cm 的四条线段________成比例线段(填“是”或“不是”)．5．已知△ABC 与△DEF 在网格中的位置如图4－1－1所示，每个小正方形的边长都是1.(1)求AB DE ，BC EF ，AC DF的值； (2)在AB ，BC ，AC ，DE ，EF ，DF 这六条线段中，指出其中三组成比例的线段．图4－1－1知识点3 比例尺6．已知A，B两地的实际距离AB＝5000 m，画在地图上的距离是2 cm，则这张地图的比例尺是( )A．2∶5 B．1∶25000C．25000∶1 D．1∶2500007．在一张比例尺为1∶4000000的地图上，杭州到嘉兴的图上距离约是2 cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为________km.8．已知在△ABC和△A′B′C′中，ABA′B′＝BCB′C′＝ACA′C′＝32，A′B′＋B′C′＋A′C′＝16 cm，则AB＋BC＋AC＝( )A．48 cm B．24 cmC．18 cm D．36 cm9．已知四条线段a，b，c，d能组成比例线段，且a＝14 cm，b＝16 cm，c＝13 cm，则d＝_______________________.10．如图4－1－2所示，已知AD，CE分别是△ABC中BC，AB边上的高．求证：AD∶CE ＝AB∶BC.图4－1－211．如图4－1－3，在线段AB上存在一点C，满足AC∶CB＝CB∶AB＝k.(1)求k的值．(2)如果三条线段a，b，c满足a∶b＝b∶c＝k，问这三条线段能否构成三角形，如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．图4－1－3详解详析1．1∶ 2 [解析] 设正方形的边长为1，则其对角线长为2，故两者之比为1∶ 2.2．D [解析] 线段的长不可能为负数．3．D [解析] 6 m ＝600 cm ，60080＝152. 4．是 [解析] 2∶0.4＝20∶4＝5∶1.5．解：(1)∵AB ＝4 2，BC ＝6，AC ＝2 5，DE ＝2 2，EF ＝3，DF ＝5， ∴AB DE ＝2，BC EF ＝2，AC DF＝2. (2)AB DE ＝BC EF，AB ，DE ，BC ，EF 是成比例线段； AB DE ＝AC DF，AB ，DE ，AC ，DF 是成比例线段； BC EF ＝AC DF，BC ，EF ，AC ，DF 是成比例线段． 6．D7．80 [解析] 杭州到嘉兴的图上距离约是2 cm ，2×4000000＝8000000(cm)＝80 km.8．B [解析] ∵AB ＝32A ′B ′，BC ＝32B ′C ′，AC ＝32A ′C ′，∴AB ＋BC ＋AC ＝32(A ′B ′＋B ′C ′＋A ′C ′)＝32×16＝24(cm)． 9．22413 cm 或918 cm 或1047cm [解析] 此题答案不唯一，由题意，可列出下面的等式：ab ＝cd 或ac ＝bd 或ad ＝bc ，所以可求得d 的值为22413或918或1047. 10．证明：由三角形的面积公式得12AB ·CE ＝12BC ·AD ，∴AB ·CE ＝BC ·AD ，∴AD ∶CE ＝AB ∶BC .11．解：(1)∵AC ∶CB ＝CB ∶AB ＝k ， 若设AB ＝1，则CB ＝k ，AC ＝k 2.又∵AC ＋CB ＝AB ，∴k 2＋k ＝1，∴k ＝－1±52.又∵k ＞0，∴k ＝5－12.(2)线段a ，b ，c 不能构成三角形． 理由：∵a ∶b ＝b ∶c ＝k ，∴b ＝kc ＝5－12c ，a ＝kb ＝(5－12)2c ＝3－52c ，∴a ＋b ＝c ，∴线段a ，b ，c 不能构成三角形．。
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似 4.1成比例线段第1课时比例线段同步练习及答案
1 第1课时 成比例线段知识点 1 线段的比1．下列说法中正确的有( )①两条线段的比是两条线段的长度之比，比值是一个正数；②两条线段的长度之比是同一单位下的长度之比；③两条线段的比值是一个数量，不带单位；④两条线段的比有顺序，a b 与b a 不同，它们互为倒数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA ＝3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为( )A ．3∶4B ．2∶3C ．3∶5D ．1∶2知识点 2 成比例线段3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，34．教材随堂练习第3题变式题若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中a ＝3 cm ，b ＝6 cm ，c ＝2 cm ，则d ＝__________．知识点 3 比例的基本性质5．已知x 2＝y 3，那么下列式子中一定成立的是( ) A ．2x ＝3y B ．3x ＝2yC ．x ＝2yD ．xy ＝66．若3a ＝5b ，则a b＝________．7．等边三角形的一边与这条边上的高的比是( ) A.3∶2 B.3∶1C ．2∶ 3D ．1∶ 38．如果a ＋2b b ＝52，那么a b的值是( ) A.12 B ．2 C.15D ．5 9．如图4－1－1所示，已知矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′，AB ＝8 cm ，BC ＝12 cm ，A ′B ′＝4 cm ，B ′C ′＝6 cm.(1)求A ′B ′AB 和B ′C ′BC的值； (2)线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段吗？图4－1－110．教材习题4.1第2题变式题如图4－1－2，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长．图4－1－211．已知三条线段的长度分别是4，8，5，试写出另一条线段的长度，使这四条线段为成比例线段．1．D.2．A .3．B 4.4 cm 5.B 6.53 7.C8．A9．解：(1)∵AB ＝8 cm ，BC ＝12 cm ，A ′B ′＝4 cm ，B ′C ′＝6 cm ， ∴A ′B ′AB ＝48＝12，B ′C ′BC ＝612＝12.(2)由(1)知A ′B ′AB ＝12，B′C ′BC ＝12，∴A ′B ′AB ＝B ′C′BC ，∴线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．10．解：∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE 4.2，解得AE ＝5.6(cm)，则AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．11．解：设所求的线段长度为x .当x ∶4＝8∶5时，可求得x ＝325；当x ∶4＝5∶8时，可求得x ＝208＝52；当4∶8＝5∶x 时，可求得x ＝404＝10.所以所求的线段长度可能为325或52或10.。
九年级数学 第4章 相似三角形 4.1 比例线段 第3课时 黄金分割导学 数学
b2＝ac
1.黄金数：____b_a_＝_bc_ ；
2.黄金三角形：顶角为36 º或 108 º的等腰三角形；
3.黄金矩形：宽与长的比等 于黄金数的矩形
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1.P是线段
AB的黄金分
割点；
2.线段AP与
AB的比叫做 黄金比
4．1 比例线段
反思(fǎn sī)
判断一个点是不是某条线段(xiànduàn)的黄金分割点，有哪些方法？
则(20－x)∶20＝( 5－1)∶2， 解得 x＝30－10 5. 综上，主持人站到离 A 点 10( 5－1)m 或(30－10 5)m 处主持节目较为合适．
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4．1 比例(bǐlì)线段
【归纳总结】应用黄金分割解决(jiějué)生活中问题的步骤
(1)审：审题理解黄金分割的意义，找出黄金分割中成比例的对应
No 长代入比例式，转。2.黄金三角形：顶角(dǐnɡ jiǎo)为36 º或108 º的等腰三角形。3.黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形
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么c等于( B )
A．10
B．8 C．－8
D．±8
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4．1 比例线段
知识点二 黄金分割(huángjīnfēngē)
如果点 P 把线段 AB 分成两条线段 AP 和 PB，使 AP>PB，且
__AP_BP_＝_AA_BP__ ， 那 么 称 线 段
AB
被点
P_黄__金_分_割__(h_uán，gjīn黄fēБайду номын сангаасgē金)
九年级数学上册第4章相似三角形4.1比例线段第1课时比例的基本性质练习浙教版(2021年整理)
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第4章相似三角形4．1 比例线段第1课时比例的基本性质知识点1 四个数成比例1．下列各组数中，能成比例的是( )A．3，4，5，6 B．－1，－2，2,4C．－3，1，3，0 D．－1，2，－3，42．已知三个数a＝1,b＝2，c＝3，试写出一个数，使之组成一个比例式．知识点2 比例的基本性质3．已知2x＝3y（y≠0)，则下列结论成立的是（)A。
错误!＝错误! B。
错误!＝错误!C。
错误!＝错误! D.错误!＝错误!4．如果把ad＝bc写成比例式,那么下列式子错误的是( )A．a∶b＝c∶d B．a∶c＝b∶dC．b∶a＝d∶c D．b∶d＝c∶a5．如果错误!＝错误!＝3，那么错误!＝__________,错误!＝________. 6．2017·萧山区模拟已知错误!＝错误!，则错误!的值为________．7．若（x＋2）∶x＝11∶9，则x＝________．8．求下列各式中x的值:(1）3∶x＝6∶12； (2）x∶(x＋1）＝（1－x)∶3。
9．已知错误!＝错误!,则错误!的值是（）A。
错误! B。
浙教版数学九年级上册 第四章 相似三角形 单元练习(含答案)
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．如果2a =5b ，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．a b =25B ．a 5=2b C ．a 2=b 5D ．a 5=b 22．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC =6，DE =3，EF =2，则AB 的长为（ ）A ．3B ．125C ．165D ．1853．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA >PB ，若AB =2，则PA 的长度是（ ）A ．5−1B ．3−5C ．25−4D ．14．如图， 在▱ABCD 中， E 是边AB 上一点， 连结AC ，DE 相交于点F ． 若AE EB =23，则 AF CF 等于（ ）A ．13B ．23C ．25D ．355．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．6．△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2,DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是( ) A．1：2B．1：4C．1：8D．1:27．如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,∠C=90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为( )A．52B．103C．3D．228．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A1上，若OA:A A1=1:2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（ ）A．1:2B．2:1C．1:3D．3:19．如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE,EF，若A C2+D E2=A E2，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）A．1:2B．1:3C．2:3D．2:510．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）A ．4B ．154C ．3D ．114二、填空题11．如图，AC 、BD 交于点O ，连接AB 、CD ，若要使△AOB ∽△COD ，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)12．已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE =1:3，△ABC 与△DEF 的周长比是 ．13．如图，在这架小提琴中，点C 是线段AB 的黄金分割点（BC >AC ）．若AB =60cm ，则BC = cm ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3 6 ，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．16．如图，正方形ABCD 中，BF =FG =CG ，BE =2AE ，CE 交DF 、DG 于M 、N 两点，有下列结论：①DF ⊥EC ；②S △MFC =59S 四边形MFBE ；③DM ：MF =2：1；④MN NC =913．其中，正确的有 ．三、解答题17．（1）已知线段a =2，b =6，求线段a ，b 的比例中项线段c 的长．（2）已知x ：y =3：2，求2x−yx的值．18．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，AD BD =32，求DE BC 的值．19．如图，AD 、BC 相交于点P ，连接AC 、BD ，且∠1=∠2，AC =6，CP =4，DP =2，求BD 的长．20． 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边上一点，∠EAB =∠EBC ．（1）求证：△ABE∽△BEC ；（2）若AB=4，DE=3，求BE的长．21．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB=BC，AC=12，BD=16．（1）求证：四边形ABCD时菱形；（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若∠M=12∠BAC，求MNOM．22．如图，AB∥CD，且AB=2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．（1）求证：△FDM∽△FBM；（2）若F是BC的中点，BD=18，求BM的长；（3）若AD=BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP⋅BP=BF⋅CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OB=OC=4．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；（3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A、B、D的圆与DF交于E点，求△ABE的面积．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】∠A=∠C(答案不唯一)12．【答案】1:313．【答案】(305−30)14．【答案】9415．【答案】21516．【答案】①④17．【答案】（1）解：∵线段a=2，b=6，线段c是线段a、b的比例中项，∴c2=ab=12，∴c=23（负值舍去）；（2）解：∵x：y=3：2，∴可设x=3k，y=2k(k≠0)，∴2x−yx=6k−2k3k=43．18．【答案】3519．【答案】BD=320．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AB//CD，∴∠EBA=∠BEC，又∵∠EAB=∠EBC，∴△ABE∽△BEC．（2）解：∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB =DC =4，∵DE =3，∴CE =1，∵△ABE∽△BEC ，∴AB EB =EBEC，∴AB ⋅CE =B E 2=4×1=4，∴BE =2．21．【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD 中，OA=OC ，OB=OD∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∵ AB=BC∴ 平行四边形ABCD 是菱形。
北师大版九年级 上册 第四章 4.1成比例线段 同步练习(及答案)
北师大版九年级上册第四章图形的相似4.1成比例线段同步练习1.已知AB=3 m,CD=30 cm,则AB：CD= .2.在一张地图上,甲、乙两地间的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1 500 m,则这张地图的比例尺为.3.如果,那么;如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么.4.已知3、4、5、a成比例,则a= .5.如图4-1-1所示,甲、乙、丙三个矩形中,长与宽的比分别是多少?哪两个矩形的长和宽的比值是相等的?图4-1-16.如图4-1-2所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是AB边的中线,则CD：AB= .图4-1-27.若(a+2b)：(a-2b)=9：5,则a：b= .8.已知线段a=2,b=3,c=6,且,则d= .9.已知线段a,b,c满足关系式,且b=4,则ac= .10.若a=5 cm,b=2 cm,c=10 cm,d=4 cm,则a,b,c,d这四条线段比例.(填“成”或“不成”)11.如图4-1-3所示,已知,AD=6.4 cm,DB=4.8 cm,EC=4.2 cm,求AC的长.图4-1-312.若,则的值为( )A.1B.C.D.13.在Rt△ABC中,AC=8,斜边BC=10,则△ABC中的最短边与最长边的比值是.14.已知四条线段a,b,c,d之间有如下关系：a：b=c：d,且a=12,b=8,c=15,则线段d= .15.已知三条线段长为5 cm、3 cm、6 cm,请再写出一条线段之长,使之与前面三条线段长能够组成一个比例式,则你写出的线段长度可能为.16.下面四组线段中,不能组成比例的是.(填序号)①a=3,b=6,c=5,d=10;②a=1,b=,c=,d=;③a=4,b=6,c=2,d=4;④a=2,b=1,c=2,d=.17.如图4-1-4所示,在▱ABCD中,DE⊥AB于点E,BF⊥AD于点F.(1)AB,BC,BF,DE这四条线段能否成比例?如果不能,请说明理由;如果能,请写出比例式;(2)若AB=10,DE=2.5,BF=5,求BC的长.图4-1-4参考答案1.10：12.1：50 0003.ad=bc4.5.解：甲4：3,乙2：1,丙4：3;矩形甲与丙的长和宽的比值相等.6.1：27.7：18.99.1610.成11.解：∵,∴,∴AE=5.6 cm.∴AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8 (cm).12.D13.14.1015. cm或10 cm或 cm16.③。
2018年秋九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.1 比例线段 第1课时 比例的基本性质同步练习 (新版)浙教版
4．1 比例线段[4.1 第1课时 比例的基本性质]一、选择题1．下列各组数中，成比例的是( )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，32．若把ad ＝bc 写成比例式，则下列式子错误的是( )A ．a ∶b ＝c ∶dB ．a ∶c ＝b ∶dC ．b ∶a ＝d ∶cD ．b ∶d ＝c ∶a3．2017·兰州已知2x ＝3y (y ≠0)，则下列结论成立的是() A.x y ＝32B.x 3＝2yC.x y ＝23D.x 2＝y 34．已知a b ＝23，那么aa ＋b 的值为( )A.13B.25C.35D.345．已知a b ＝513，则a －ba ＋b 的值是( )链接学习手册例2归纳总结A ．－23B ．－32C ．－94D ．－496．已知a b ＝34，则a 2ab －a 2的值是( )A ．3B ．4C ．－4D ．－3二、填空题7．若3x ＝7.29，则x ＝________．8．2017·金华若a b ＝23，则a ＋b b＝________． 9．2017·扬州若a b ＝2，b c ＝6，则a c＝________． 10．已知x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么代数式x ＋3y －z x －3y ＋z的值为________. 11．已知a ＋2b 2a －b ＝95，则a ∶b ＝________． 三、解答题12．已知a b ＝c d，判断下列比例式是否成立，并说明理由． (1)a －b a ＝c －d c ；(2)a b ＝a ＋2b c ＋2d.13．已知a 3＝b 4＝c 5≠0，求2a －b ＋c a ＋3b的值.14．2016·嘉兴模拟已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且a 5＝b 4＝c 6≠0，求： (1)2a ＋b 3c的值； (2)若△ABC 的周长为90，求各边的长．15分类讨论已知1，2，2三个数，再添上一个数，使四个数能构成一个比例式，求这个数．1．[答案]B2．[答案]D3．[答案]A4．[答案]B5．[答案]D6．[答案]A7．[答案]1548．[答案]539．[答案] 1210．[答案] －53[解析] 设x ＝k ，y ＝3k ，z ＝5k ，则x ＋3y －z x －3y ＋z ＝k ＋9k －5k k －9k ＋5k ＝－53. 11．[答案] 19∶1312．解：(1)比例式成立．理由如下：∵a b ＝c d ，∴b a ＝d c， ∴1－b a ＝1－d c ，即a －b a ＝c －d c. (2)比例式不一定成立．理由如下：设a b ＝c d＝k ，则a ＝bk ，c ＝dk ， ∴a ＋2b c ＋2d ＝bk ＋2b dk ＋2d ＝b d ，而a b ＝c d， ∴a b 不一定等于a ＋2b c ＋2d.13．解：设a 3＝b 4＝c 5＝k ，所以a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，则2a －b ＋c a ＋3b ＝6k －4k ＋5k 3k ＋12k ＝715. 14．解：(1)令a 5＝b 4＝c 6＝k ， 所以a ＝5k ，b ＝4k ，c ＝6k ，所以2a ＋b 3c ＝10k ＋4k 18k ＝79. (2)因为a ＋b ＋c ＝90，所以5k ＋4k ＋6k ＝90，解得k ＝6，所以a ＝30，b ＝24，c ＝36.15解：设添加的数为x ，则比例式有三种可能：x 1＝22或1x ＝22或12＝2x， 解得x ＝22或2或2 2. 即这个数为22或2或2 2.。
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4.1 比例线段(3)
(见B 本35页)
A 练就好基础 基础达标
1．已知两条线段的长分别为3和12，则它们的比例中项是( B )
A ．4
B ．6
C ．9
D ．36 2．一条线段的黄金分割点有( B )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无数个
3．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( A )
A ．12.36 cm
B ．13.6 cm
C ．32.36 cm
D ．7.64 cm
第4题图
4．如图所示，扇子的圆心角为x ，余下的扇形的圆心角为y ，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观，若取黄金比为0.6，则x 为( B )
A ．216°
B ．135°
C ．120°
D ．108°
5．已知线段AB ＝10 cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点(AC>BC)，则AC 的长为6．据有关测定，当气温处于人体正常体温(37 ℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为__23__℃.(结果保留整数)
7．已知：线段a ＝1，b ＝
5－12，c ＝3－5
2
. 请证明b 是a ，c 的比例中项． 证明：∵b 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫5－122＝3－5
2， a ·c ＝3－52，
∴b 2
＝ac, ∴b 是a ，c 的比例中项．
8．(1)已知a ＝4，c ＝9，若b 是a ，c 的比例中项，求b 的值；
(2)已知线段MN 是AB ，CD 的比例中项，AB ＝4 cm ，CD ＝5 cm ，求MN 的长．并思考两题有何区别．
解：(1)∵b 是a ，c 的比例中项， ∴a ∶b ＝b∶c，∴b 2
＝ac ，
∴ b ＝±ac.∵a ＝4，c ＝9, ∴b ＝±36＝±6，即b ＝±6.
(2)∵MN 是线段， ∴MN ＞0. ∵线段MN 是AB ，CD 的比例中项，∴AB ∶MN ＝MN∶CD，
∴MN 2
＝AB CD.
∴MN ＝±AB·CD .
∵AB ＝4 cm ，CD ＝5 cm ，
∴MN ＝±20＝±25，MN 不可能为负值， 则MN ＝2 5.
通过解答(1)，(2)发现，b ，MN 同时作为比例中项出现，b 可以取负值，而线段MN 不可以取负值． 9．如图所示，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB 的长为20 m ，那么主持人应走到离点A 约多少米处才最自然得体？(精确到0.1 m)
第9题图
解：根据黄金比得
20×(1－0.618)≈7.6(m)．
∵黄金分割点有2个，
∴20－7.6＝12.4(m)．
所以主持人应走到离A点7.6 m或12.4 m处才最自然得体．
B 更上一层楼能力提升
第10题图
10．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图所示，某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( C)
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
11．已知P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，如图所示，则S1与S2的关系为( C)
A．S1>S2B．S1<S2 C．S1＝S2D．无法比较
第11题图
12．若b是a和c的比例中项，则关于x的一元二次方程ax2＋2bx＋c＝0的根的情况是__有两个相等的实数根__．
13．已知点P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10 cm，则PQ长为20)__cm__．
第14题图
14．如图所示，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′＝EB.类似地，在AB上折出点B″使AB″＝AB′.这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
证明：设正方形ABCD的边长为2，
∵E为BC的中点，∴BE＝1，
∴AE＝AB2＋BE2＝ 5.
又∵B′E＝BE＝1，
∴AB′＝AE－B′E＝5－1.
又∵AB″＝AB′＝5－1，
∴点B″是线段AB 的黄金分割点． C 开拓新思路 拓展创新
15．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段AB ＝1，点P 1是线段AB 的黄金分割点(AP 1＜BP 1)，点P 2是线段AP 1的黄金分割点(AP 2＜P 1P 2)，点P 3是线段AP 2的黄金分割点(AP 3＜P 2P 3)，…，依此
类推，则AP n 的长度是__⎫2n
__．
第15题图
16．如图所示，矩形ABCD 内有一正方形AEFD ，且BC BE ＝AB
BC ，问点E 是线段AB 的黄金分割点吗？
(1)一变：把一根长为4 cm 的铁丝折弯成一个矩形框，并使矩形框的宽与长的比为黄金比，你能求出这个矩形框的面积吗？
(2)二变：把一根长为6 cm 的铁丝折弯成一个矩形框，并使矩形框的宽与长的比为黄金比，你能求出这个矩形框的长与宽的差吗？
第16题图
解：因为四边形AEFD 为正方形，所以BC ＝EF ＝AE ，因为BC BE ＝AB BC ，所以AE BE ＝AB
AE ，所以点E 是线段AB 的
黄金分割点．
(1)设矩形框的宽为x (cm)，则长为(2－x) cm ，根据题意得x 2－x ＝5－1
2，解得x ＝3－5，经检验，
x ＝3－5是原分式方程的根，所以2－x ＝5－1，所以该矩形框的面积为(3－5)(5－1)＝(45－8)cm 2
.
(2)设矩形框的宽为y(cm)，则长为(3－y) cm ，根据题意得y 3－y ＝5－12，解得y ＝9－35
2，经检验y
＝
9－352是原分式方程的根，所以3－y ＝35－32＝32(5－1)(cm)，所以这个矩形的长与宽的差为3
2
(5－1)－9－352＝65－122
＝(35－6) cm.。