质数和合数质数和合数
质数和合数
下面的说法正确吗？说说你的理由。 （1）所有的奇数都是质数。 （2）所有的偶数都是合数。 （3）在1，2，3，4，5，…中，除了质数以
外都是合数
（4）两个质数的和是偶数。
5、在自然数中，除了质数以外都是合数。 （ 6、1既不是质数，也不是合数。 （ ） ） ）
7、在自然数中，有无限多个质数，没有最大的质数。（
新人教版五年级数学下册
质数和合数
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（ 或素数）。如2,3,5,7都是质数。 质数只有两个因数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合 数。如4,6,15,49都是合数。 合数至少有3个因数。
1不是质数，也不是合数。
按照“因数的个数”来分类：
97
79 89 上 回 下
100以内的质数表
2 3 5 7 11 13 17 19
23
59
29
61
31
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53
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上
回
下
100以内的质数歌
2、3、5、7、 11、13、17、19、 23、29、 31、37、 41、43、47、 53、59、 61、67、 71、73、79、 83、89、 97
1 自然数
只有一个因数（只有1）。
质数 只有两个因数（1和它本身）。 因数超过两个（除了1和它本身以 合数 外还有别的因数）。
按照“是不是2的倍数”来分类：
奇数 自然数 偶数
上
回
下
自然数可以怎样分类？
自然数
（按因数的个数分类）
质数和合数的区别
质数和合数的区别质数和合数是数论中常见的概念，它们在数学中具有重要的地位。
本文将探讨质数和合数的区别，并进一步探讨它们的性质和应用。
一、质数的定义和性质质数是指大于1且只能被1和自身整除的自然数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
相反，能够被除了1和它自身外的其他整数整除的自然数被称为合数。
质数的性质可以总结如下：1. 质数只有两个正因数：1和自身。
这意味着除了1和质数本身，质数没有其他的因数。
2. 任何一个大于1的自然数都可以用质数的乘积表达。
这是数学基本定理的一个重要推论，即任何一个大于1的自然数都可以唯一地分解为质数的乘积。
3. 计算质数的方法不是很简单，因为没有规律可循。
我们只能通过试除法或其他复杂的算法来确定一个数是否为质数。
二、合数的定义和性质合数是指除了1和自身之外还能被其他正整数整除的自然数。
合数可以通过质数的乘积来表示，这在数论中被称为合数的因子分解。
合数的性质如下：1. 合数至少有3个正因数：1、自身和其他一个正整数。
与质数不同，合数有多个因数。
2. 合数可以分解为质数的乘积。
任何一个合数都可以通过质数的乘积来表示，而且这个质数的乘积是唯一的。
3. 对于给定的合数，我们可以通过试除法或其他算法找到它的全部因子。
三、质数和合数的区别质数和合数之间的区别主要体现在以下几个方面：1. 因数个数不同：质数只有两个因数，而合数至少有3个因数。
2. 因子分解不同：任何一个合数都可以分解为质数的乘积，而质数不能再进行分解。
3. 可以试除判断：我们可以通过试除法来判断一个数是否为质数，但无法用同样的方法判断一个数是否为合数。
因为合数的因数是复杂的，可能需要更多的计算才能确定。
四、质数和合数的应用质数和合数在数学和计算机科学中有着重要的应用。
1. 质数的应用：质数在密码学中扮演着重要的角色，例如RSA算法中使用了两个大质数的乘积的安全性。
此外，质数还在数论、组合数学等领域中得到广泛应用。
2. 合数的应用：合数的分解对于因式分解、最大公约数、最小公倍数等问题具有重要意义。
判断一个数是质数还是合数的方法
判断一个数是质数还是合数的方法平川区黄峤教管中心玉湾小学张彦娟一、质数和合数的意义：质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
（除2以外所有的质数都是奇数。
）备注：1、最小的质数是2。
2、既是偶数又是质数的数是2。
3、两个质数相乘的积一定是合数。
合数：一个数除了1和它本身以外还有其他的因数，这个数叫作合数。
备注:1、最小的合数是4。
2、最大的一位合数是9。
3、1既不是质数，也不是合数。
二、判断一个数是质数还是合数有两种方法：方法一：⑴判断一个数是质数还是合数需要看这个数的因数的个数，只有2个因数的数一定是质数，有3个或3个以上因数的数是合数。
⑵个位上是0,2,4,6,8和5的数（除了0,2和5）一定不是质数，质数个位上的数字只能是1,3,7和9。
方法二：判断一个自然数是不是质数，可以用所有比它小的质数从小到大依次去除它，除到商比除数小，而且还有余数，它就是质数，否则不是质数。
三、问题解析：下面哪些数是合数？哪些数是质数？2 25 9 21 31 91 57 421、方法解析：因为除了1和它本身以外还有其他的因数的数是合数，所以先根据“2,5和3的倍数特征”来判断这些数除了1和它本身两个因数以外是否有因数2,5,3，如果有就为合数。
2和42有因数2，但2只有1和2两个因数，所以2是质数，42是合数。
9,21,57有因数3，它们都是合数。
25有因数5，也是合数。
91有因数7，是合数。
只有31除了1和它本身之外再没有其他的因数，所以31是质数。
2、解答：25,9,21，91,57,42是合数，2,31是质数。
四、100以内的质数：100以内的质数有：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43，47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97，共25个。
什么是质数和合数
什么是质数和合数一．概念描述现代数学：一个大于1的整数，如果除1和它本身以外，没有其他的约数，这样的数就叫作质数，也叫素数。
一个大于1的整数，如果除了1和它本身以外，还有其他的约数，这样的数就叫作合数。
小学数学：2004年北京版教材第10册第56页提出：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫作质数（也叫作素数）。
—个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫作合数。
2013年人教版教材五年级下册第23页提出：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。
二．概念解读①由质数和合数的概念可以知道，在非0的自然数中，1既不是质数也不是合数。
历史上曾将1也包含在质数之内，但后来为了算术基本定理，最终1被数学家排除在质数之外。
在小学阶段，学生学习质数和合数，是为后面学习求最大公因数、最小公倍数以及约分、通分打下基础。
②在数论中，质数有着重要的地位，一直吸引着许多数学家们不断去探索。
2500年前，古希腊数学家欧几里得证明了质数的个数是无限的，并提出少量质数可写成“2的n次方减1”的形式---这里n也是一个质数。
此后，许多数学家曾对这种质数进行研究。
17世纪的法国教士梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2的n次方减1”形式的质数称为梅森质数。
由于梅森质数有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家，如欧几里得、费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等和无数的业余数学爱好者对它进行研究和探寻。
目前，人类仅发现47个梅森质数。
其中最大的质数是第46个梅森质数“2的43112609次方-1”，该质数有12978189位。
如果用常用的二号字将这个巨数连续写下来，其长度可超过50千米！是否有无穷多个梅森质数是数论中未解决的难题之一。
由于这种质数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”。
特别值得一提的是，我国数学家和语言学家周海中于1992年首先给出了梅森质数分布的准确表达式，从而揭示了梅森质数的重要规律，为人们探寻梅森质数提供了方便。
质数与合数
【例5】用1,2,3,4,5,6,7,8,9组成若干个质数。要求每个数字 恰好用一次。请问，这些质数之和的最小值是多少？
分析 质数之和要求最小，那么就要使组成的这些数尽可能小。所以，先从一位 的质数考虑，有：2、3、5、7，剩下的数字为1、4、6、8、9。再考虑两 位的质数，由于除了2以外的质数都是奇数，所以两位质数的个位不可以 为偶数，4、6、8这三个偶数肯定在十位上，继续分析，8只能和9组成质 数89,则剩下的数为1、4、6。4和1组成质数41，还剩下一个6，可以将7放 在个位组成质数67。 组成的质数：2、3、5、41、67、89 质数之和的最小值：2+3+5+41+67+89=207
总共25个。
两点说明：
除了2以外其他的质数都是奇数；
除了2和5以外，其余质数的个位数字只能是1,3,7,9。
（想一想为什么？）
在解题时，质数2和5是两个很有“特点”的质数，其余 质数的个位只能是1,3,7,9，2是质数里唯一的偶数，5是 质数里面唯一的以5结尾的质数。
如何判断一个数是否为质数？（以113为例）
判断一个数是否为质数的方法 用比它小的质数验证，验证到某一个质数的平方刚好大 于这个数为止。若其中有这个数的因数，那么这个数就 是合数；若没有它的因数，那么这个数就是质数
【例1】200到220之间有唯一的质数，它是______。
分析 质数中除了2以外都是奇数，先排除200-220之间的偶数，再根据3、5、7、 11整除的特征，可以判断出唯一的质数为211。
本讲总结
两个定义：质数、合数 两个特殊：0、1 两个“明星数”：2、5 两个重点：0-100以内的质数、如何判断一个数是质数 重点例题：例2、例4、例5
质数和合数知识点整理
质数和合数知识要点1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.1、质数或素数：只有1和它本身两个因数..2、合数：除了1和它本身还有别的因数至少有三个因数：1、它本身、别的因数..3、1：只有1个因数..“1”既不是质数;也不是合数..注：①最小的质数是2;最小的合数是4;连续的两个质数是2、3..②每个合数都可以由几个质数相乘得到;质数相乘一定得合数..③ 20以内的质数：有8个2、3、5、7、11、13、17、19④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数;是的就是合数;不是的就是质数..关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式..树状图例：分析：先把36写成两个因数相乘的形式;如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数;那我们继续分解;一直分解到全部因数都是质数为止..把36分解质因数是：36=2×2×3×35、用短除法分解质因数一个合数写成几个质数相乘的形式..例：分析：看上面两个例子;分别是用短除法对18;30分解质因数;左边的数字表示“商”;竖折下面的表示余数;要注意步骤..具体步骤是：6、互质数：公因数只有1的两个数;叫做互质数..两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和87、两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；三、经验之谈：书写分解质因数的结果时不能把质因数相乘写在等号左边;把合数写在右边;比如36=2×2×3×3就不能写成2×2×3×3=36；短除法是除法一种简化;利用短除法分解质因数时;除数和商都不能是1;因为1不是质数一、填空..1、最小的自然数是 ;最小的质数是 ;最小的合数是 ;最小的奇数是 ..2、20以内的质数有 ;20以内的偶数有 ;20以内的奇数有 ..3、20以内的数中不是偶数的合数有 ;不是奇数的质数有 ..4、三个连续奇数的和是87;这三个连续的奇数分别是、、 ..二、判断题;对的在括号里写“√”;错的写“×”..1任何一个自然数;不是质数就是合数.. 2偶数都是合数;奇数都是质数.. 37的倍数都是合数.. 420以内最大的质数乘以10以内最大的奇数;积是171.. 5只有两个约数的数;一定是质数.. 6两个质数的积;一定是质数.. 72是偶数也是合数..81是最小的自然数;也是最小的质数.. 9除2以外;所有的偶数都是合数.. 10最小的自然数;最小的质数;最小的合数的和是7.. 111既不是质数也不是合数.. 12个位上是3的数一定是3的倍数..13所有的偶数都是合数.. 14所有的质数都是奇数.. 15两个数相乘的积一定是合数..三、下面的数中;哪些是合数;哪些是质数..1、13、24、29、41、57、63、79、87合数有：质数有：四写出两个都是质数的连续自然数 ..五写出两个既是奇数;又是合数的数 ..六在内填入适当的质数..10＝＋ 10＝× 20＝＋＋8＝× ×七两个质数的和是18;积是65;这两个质数分别是多少八一个两位质数;交换个位与十位上的数字;所得的两位数仍是质数;这个数是 ..九用10以内的质数组成一个三位数;使它能同时被3、5整除;这个数最小是 ;最大是 ..。
质数与合数
一、 质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、质因数与分解质因数1．质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.2． 唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯ 其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.3. 部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.4. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q(均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.重点：分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。
质数和合数
质数和合数自然数按照约数的多少分为三类：1、质数、合数。
质数：也称素数，是指只有1和本身这两个约数的自然数。
合数：至少有3个约数，即除1和本身外还有其他的约数。
注：1既不是质数，也不是合数；2是最小的质数，也是唯一的偶质数；3是最小的奇质数；4是最小的合数。
学习例题：例1、判断79、89、91、271、493这五个数是合数还是质数？例2、两个质数的和是91，这两个质数的积是多少？例3、判断数143、111111*********是质数还是合数？2100 是质数还是合数？例4、判断1思考与练习：1、在（）内填上15以内的质数。
10=（）＋（）=（）×（）=（）－（）2、如果两个质数的和是奇数，则其中一个质数肯定是。
3、两个质数的和是43，这两个质数的差是。
7的个位数字4、n7的个位数字的变化规律是，周期是，25是；n8的个位数字的变化规律是，周期是，568的个位数字是。
5、四个不同的质数的和为奇数，则最小的质数是。
6、4258742587=（）×（），所以4258742587是。
（填质数或合数）7、判断43、53、713这三个数是合数还是质数？8、两个质数的和是60，这两个质数的积最大是多少？9、判断1234568234567是质数还是合数？376 是质数还是合数？10、判断111、写出8个连续整数，使得这8个数都是合数。
12、写出40~70之间的质数。
13、判断437是质数还是合数？请说明理由。
14、两个质数的和是40，这两个质数的乘积最大是多少？799 是质数还是合数？请说明理由。
15、判断216、一个质数的2倍与另一个质数的7倍的和为52，求这两个质数。
17、一个质数的平方与一个奇数的和为125，这两个数的积为多少？18、判断3333334111111是质数还是合数？请说明理由。
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3.质数和合数质数和合数（1）第4课时学习内容质数和合数（课本第14页例1及第16页练习四1~3题）。
第1 课时课型新授学习目标 1.使学生能理解质数、合数的意义，会正确判断一个数是质数还是合数。
2.知道100以内的质数，熟悉20以内的质数。
3.培养学生自主探索、独立思考、合作交流的能力。
4.让学生在学习活动中体验到学习数学的乐趣，培养学习数学的兴趣。
教学重点质数、合数的意义。
教学难点教具运用教学方法二次备课教学过程（板书）2.教学质数和合数的判断。
3.出示课本第14页例题1。
找出100以内的质数，做一个质数表。
（1）提问：如何很快地制作一张100以内的质数表？（2）汇报：①根据质数的概念逐个判断。
②用筛选法排除。
③注意1既不是质数，也不是合数。
【课堂作业】完成教材第16页练习四的第1~3题。
【课堂小结】这节课，同学们又学到了什么新的本领？学生畅谈所得。
【课后作业】完成练习册中本课时练习。
板书设计质数和合数（1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
1既不是质数，也不是合数。
教学反思【作业设计】
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4. 右图是一张靶纸,靶纸上的1、3、5、7、9表示射中该靶区的分数.甲说:我打了六枪,每枪都中靶得分,共得了27分.乙说:我打了3枪,每枪都中靶得分,共得了27分.
6. 一次数学考试共有20道题,规定答对一题得2分,答错一题扣1分,未答的题不计分.考试结束后,小明共得23分.他想知道自己做错了几道题,但只记得未答的题的数目是个偶数.请你帮助小明计算一下,他答错了_____道题.
7. 有一批文章共15篇,各篇文章的页数分别是1页、2页、3页……14页和15页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有_____篇.
8. 一本书中间的某一张被撕掉了,余下的各页码数之和是1133,这本书有
_____页,撕掉的是第_____页和第_____页.
9. 有8只盒子,每只盒内放有同一种笔.8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支.在这些笔中,圆珠笔的支数是钢笔的支数的2倍,钢笔支数是铅笔支数的1/3,只有一只盒里放的水彩笔.这盒水彩笔共有_____支.
10. 某次数学竞赛准备了35支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给6支，二等奖每人发给3支，三等奖每人发给2支，后来改为一等将每人发13支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支.那么获二等奖的有_____人.
二、小学数学解答题
11．如下图，从0点起每隔3米种一棵树.如果把3块“爱护树木”的小木牌分别挂在3棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌树之间的距离是偶数（以米为单位）.试说明理由.
4.。