人大附中初三数学基础练习3-分式-教师版
练习3 分式
知识点一：分式的概念
1. 在1x ，12，212
x +，axy π，3x y +，1a m +中分式的个数有（ ） A ．2 个
B ．3 个
C ．4 个
D ．5 个
答案：B 知识点二；分式有意义的条件
2.（17北京中考）若代数式4
x x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A. x ＝0 B. x ＝4 C. x ≠0 D. x ≠4
答案：D
知识点三：分式的值
3.（19北京中考）若分式1x x
-的值为0，则x 的值为 . 答案：1
知识点四：分式的基本性质
4.不改变分式的分子、分母的值，把分式0.0150.3a a b
+- 的分子和分母中各项的系数都化成整数，则所得的结果为___________. 答案：
50030100a a b
+- 知识点五：分式的约分
5.（19丰台）化简22a b a b +-的结果是( )
A ．1a b -
B ．1b a -
C ．a b -
D ．b a -
答案：A
6.（18昌平期末）把分式
3b ab b +约分得( ) A ．3b +
B ．3a +
C ．13b +
D ．13
a + 答案：D
知识点六：分式的乘除
7. （17西城期末）计算：26x z xz y y
÷= ． 答案：6x
8．（18北京期末）计算
2211
a a a ---的结果是 ． 答案：2
9．（18密云期末）计算： 2269243m m m m m -+--- 解：2m 3-m 3-m 2-m 2-m 2m 3-m 2+=⨯+=））（（）（原式
知识点七：分式的加减
10. （18朝阳期末）计算：221a a b a b ---． 解：原式22()()()()a b a b b a b a b a b a b a b +-===+-+--．
知识点八：分式的化简求值----直接代入
11. （19海淀期末）化简求值：2221112a a a a a a ---÷++，其中2a =． 解：原式2221211
a a a a a a -+=-+- 21(2)1(1)(1)
a a a a a a a -+=-++- 2211
a a a +=-++ 1
a a =-+， 当2a =时，原式2
3=-．
12. (18西城二模) 先化简、再求值：25691,22x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭
其中x =—5 解：原式=
()23223x x x x -+⋅+- =13
x - 当x =—5时，原式=18
-
知识点九：分式的化简求值----整体代入
13.（19北京）如果m ＋n ＝1，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭
的值为( ) A. －3 B. －1 C. 1 D. 3
答案：D
14. (18北京)如果a －b ＝ 222a b a b a a b ⎛⎫+-⋅ ⎪-⎝⎭
的值为( )
A. B. C. D. 答案：A
15.(17北京)如果2
210a a +-= ，那么代数式242a a a a ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的值是（ ） A. －3 B. －1 C. 1 D. 3 答案：C
16.(16北京)如果a ＋b ＝2，那么代数式 2b a a a a b ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭
的值是( ) A. 2 B. －2 C.
12 D.12
- 答案：A。
2024北京人大附中初三一模数学试题及答案
2024北京人大附中学初三模拟数学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）2022年5月18日是第46个国际博物馆日，今年国际博物馆日的宣传主题是“博物馆的力量”，在以下几幅古代纹样图案中，利用中心对称进行整体构图的是（）A．B．C．D．2．（2分）在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为（）A．1.4×105B．1.4×106C．14×105D．140×1043．（2分）下列各组角中，互为余角的是（）A．30°与150°B．35°与65°C．45°与45°D．25°与75°4．（2分）下列说法中错误的是（）A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B．关于某条直线对称的两个图形全等CD．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧5．（2分）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的点数记为x，则x＞3的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．a+b＞0D．＜07．（2分）李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自己一个月（30天）每天所走的步数，并绘制成如图统计表，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A．1.6，1.5B．1.7，1.6C．1.7，1.7D．1.7，1.558．（2分）某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的y与x的数据如表：A．B．C．D．二、填空题9．（2分）若有意义，则x的取值范围是．10．（2分）把多项式a3﹣2a2b+ab2分解因式的结果是．11．（2分）若n为整数，且n＜＜n+1，则n的值为．12．（2分）分式方程的解x＝．13．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝．14．（2分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC 于点D．若AB：AC＝2：3，△ABD的面积为4，则△ACD的面积为．15．（2分）如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE＝°．16．（2分）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要分钟．17．（5分）计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．18．（5分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．19．（5分）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；③作直线P A，PB；所以直线P A，PB为⊙O的切线．根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP＝∠＝°（）（填推理的依据）．∴OA⊥AP，⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线P A，PB为⊙O的切线（）（填推理的依据）．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．21．（6分）已知双曲线y＝和直线y＝kx+2相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且+＝10，求k 的值．22．（6分）在△ABF中，C为AF AB＝AC．（1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若∠BAF＝2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线；（3）在（2）中，若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，2）．（1）求m的值；（2）过点A作x轴的平行线l，直线y＝2x+b与直线l交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象交于点C，与x轴交于点D．①当点C是线段BD的中点时，求b的值；②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围．24．（6分）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．（2）请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米（精确到0.1）；（3）公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．25．（6分）如图1，长度为6千米的国道AB两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如表：（3）结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）．（2）将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点M（x1，y1），N （x2，y2）为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范围．27．（6分）如图，△ABC是等边三角形，D，E两点分别在边AB，AC上，满足BD＝AE，BE与CD交于点F．（1）求∠BFD的度数；（2）以C为中心，将线段CA顺时针旋转60°得到线段CM，连接MF，点N为MF的中点，连接CN．①依题意补全图形；②若BF+CF＝k•CN，求k的值．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是（填字母）；（2）直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成n时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：140万＝1400000＝1.4×106．故选：B．【点评】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3．【分析】根据余角的定义判断即可．【解答】解：45°+45°＝90°，故选：C．【点评】本题主要考查了余角和补角的定义．余角：如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．4．【分析】根据轴对称图形的定义和性质及直角三角形的性质逐一判断即可得．【解答】解：A．成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴，此选项正确；B．关于某条直线对称的两个图形全等，此选项正确；C．两个全等三角形的对应高相等，此选项正确；D．两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，此选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的定义及其性质．5．【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中x＞3的情况有4，5，6共3种情况，根据概率公式计算可得．【解答】解：任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中x＞3的情况有4，5，6共3种情况，所以x＞3的概率是．故选：A．【点评】本题主要考查概率公式，掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．6．【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，∴a＜b，故A错误；|a|＞|b|，故B错误；a+b＜0，故C错误；＜0，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定a，b的取值范围．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．7．【分析】在这组数据中出现次数最多的是1.7万步，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．【解答】解：在这组数据中出现次数最多的是1.7，即众数是1.7；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数的平均数是（1.6+1.6）÷2＝1.6，所以中位数是1.6．故选：B．【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．8．【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案．【解答】解：由表格中数据可得：0≤x＜8，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：y＝kx，则将（2，1.5）代入得：1.5＝2k，解得：k＝，故函数解析式为：y＝x（0≤x＜8），由表格中数据可得：8≤x，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：y＝，则将（12，4）代入得：a＝48，故函数解析式为：y＝（x≥8）．故函数图象D正确．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．二、填空题9．【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行判断即可．【解答】解：由题意得：x+1≠0，∴x≠﹣1；故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义，是解题的关键．10．【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：a3﹣2a2b+ab2＝a（a2﹣2ab+b2）＝a（a﹣b）2，故答案为：a（a﹣b）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用乘法公式是解题关键．11．【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．【解答】解：∵＜＜，即4＜＜5，且n为整数，n＜＜n+1，∴n＝4，故答案为：4．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提．12．【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．【解答】解：去分母得：2x＝3﹣2×2（x﹣1），去括号得：2x＝3﹣4x+4，移项，合并同类项得：6x＝7，∴x＝，经检验，x＝是原方程的解，∴x＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法的一般步骤是解题的关键．13．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD，进而得出答案．【解答】解：∵∠ABD＝50°，∴∠ACD＝50°，∵∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．故答案为：100°．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．14．【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到点D到AB、AC的距离相等，然后根据三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD＝AB：AC，从而可求出S△ACD．【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC的距离相等，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝2：3，∴S△ACD＝S△ABD＝×4＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．15．【分析】利用等腰三角形的性质先求出∠C、∠BEC，再利用三角形的外角与内角的关系得结论．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝70°．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BC＝BE，∴∠C＝∠BEC＝70°．∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠ABE＝∠BEC﹣∠A＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”等知识点是解决本题的关键．16．【分析】由题意可知，煮饭准备时间需3分钟，煮饭需要30钟，妈妈可在等待饭熟的这30分钟内先完成煲汤和炒菜，所以妈妈做这顿饭至少需要3+30＝33分钟．【解答】解：3+30＝33（分钟），答：妈妈做晚饭最少要用33分钟，故答案为：33．【点评】本题考查了学生在生活中利用统筹方法解决实际问题的能力．三、解答题：本大题有12个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
人大附中初三数学基础练习4-根式—教师版
练习4 根式 知识点一：根式概念（有意义） 1. 如果二次根式4+x 有意义，那么 x 的取值范围是__________． 答案：x ≥−42. 函数31y x =-的自变量x 的取值范围是 ．答案：x ≥133. 用一组,a b 的值说明式子“2()ab ab =”是错误的，这组值可以是a = ，b = . 答案：答案不唯一，如a =1，b =2-.知识点二：根式的估算4． 写出一个比3大且比4小的无理数： ．解：写出一个比3大且比4小的无理数：π，故答案为：π．5. 比较大小：51－ 1.（填“＞”“＝”或“＜”）答案：>6. 估计无理数11在连续整数__________与__________之间．答案：3，4.7. 一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在 （） A. 2与3之间 B.3与4之间 C. 4与5之间 D.5与6之间 答案：B.8. 用教材中的科学计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于 （）A ．B 与C 之间 B ．C 与D 之间 C ．E 与F 之间 D ．A 与B 之间 答案：A9. 已知a ，b 为两个连续的整数，且b a <<5，则=a b ．答案：9.10. 实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，则实数a 可能是 （） A.3 B. 23C. 22D. 10答案：C.11. 如图，数轴上的A ，B ，C ，D 四个点中，与表示数3-的点最接近的是 （）A ． 点AB ． 点BC ． 点CD ． 点D答案：B.知识点三：根式的运算 12.计算：1022cos30(3.14)π--︒++-．答案：1=2122-⨯+原式.3=2+. 13.计算：11()tan 6022-+-︒--．答案：原式=22+-3=. 知识点四：非负数和为零 14． 已知2(3)0x y -+=，则⋅x y 的值为 ．答案：2-.15. 若√2a −1和b 31-互为相反数，求ba 的值. 答案：互为相反数，和b a 3112-- 2331,21031,012031,012031,01203112=∴==∴=-=-∴=-=-∴≥-≥-=-+-∴b a b a b a b a b a b a 16. 已知ABC ∆三边长分别是a b c ，，，28(10)0b c -+-=，试判断 ABC △的形状. 答案：2212080(10)0ab c --≥-≥，，， 且 28(10)0b c -+-=，28=0(10)0b c --=，，，解得：6810a b c ===，，. 2222268100a b c ∴+=+==. ∴ABC ∆为直角三角形，其中=90C ∠︒.。
人大附中初二数学上学期期末复习分式.doc
人大附中初二数学上学期期末复习————分式姓名： 学号：知识点1.分式的概念：形如BA的式子(A 、B 都为整式，B 中含有字母，B 0≠) 2.分式有意义的条件是分母不为零；( B ≠0) 分式没有意义的条件是分母等于零；(B=0)分式值为零的条件是分子为零且分母不为零。
(A=0且B ≠0 )3.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
4.分式的通分和约分：关键先是分解因式。
5.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减;异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减. 混合运算：运算顺序和整式部分一样一样。
6.两个规定：01a = （a ）； 1ppaa -=（a ） 7.分式方程：分母中含未知数的方程。
解分式方程的步骤： （1）、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
（2）、解这个整式方程。
（3）、把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
（4）、写出原方程的根。
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所得整式方程的根。
8.列方程应用题（一）步骤(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数，注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：检验是否为方程的解及是否符合题意；（6）答：不要忘记写。
;,a c ac a c a d ad b d bd b d b c bc ⋅=÷=⋅=n nn b a b a =)(A A C B B C ⋅=⋅，0)A A C CB BC ÷=≠÷（复习题1．在式子a 1,π xy 2,4c b 3a 32,x ＋ 65,7x ＋8y ,10x y + ,x x 2 中,分式的个数是( )（A ）5． （B ）4． （C ）3． （D ）2．2. 1）当x = 时，分式321x -无意义．2）要使分式2331x x +-有意义，则x 需满足的条件为 ．3．1）在y =中， x 的取值范围是 ．2）当x = 时，分式222x x x ---的值为零 3）若分式2231244x x x -++的值为0，则x 的值为4. (1)ab b x a y 41,3,2 的最简公分母是___________ (2)11,112-+x x 的最简公分母是__________ 5.化简：(1)()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-÷-+2222y x y xy y xy y x (2)21346522+-⨯--++x x x x x x （3） 111xx x++-（4）211a a a +-- (5) 29333a a a a a ⎛⎫++÷⎪--⎝⎭（6）212111a a a a a -+⎛⎫+- ⎪-⎝⎭（8）2211a a a ⎛⎫- ⎪--⎝⎭÷111a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭6．先化简，再求值：(1)2222a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭，其中32a b ==，．(2)22112111x x xx x x x --÷-++++，其中21x =-．(3)33)225(423-=---÷--a a a a a ，其中7．已知2244450x y x y +--+=，求x yy x-的值等于 . 8．已知7x y +=且12xy =，则当x y<时，11x y -的值等于 ．9. 21()3--= ; 324()()b ab a -⋅-= ；()202114.3132-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+π= ;（7）10. 某种零件的直径约为4280毫米，用科学记数法表示为______________米 11．判断下列哪些是分式方程？（1）0332=+-x x ；（2）x x 351215=-；（3）221=+-x x ；（4）3232+-+x x x ；（5）523=-y x ；（6）32121---=-x x x ；（7）01111=--+x x12.用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）A ．230y y +-= B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=13.解下列分式方程： (1)21--x x =2 (2) 223-x ＋x x -1 ＝3．(3)51144x x x -+=-- (4) 21233x x x-=---(5)114112=---+x x x (6)32651222-=+----x x x x x x x14. 已知1232724839x x --⎛⎫⎛⎫⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭则x=_____________ 15．关于x的方程xmx x --+-2322=3有增根，则m 的值是 _____________ 16.若关于x 的方程1011--=--m xx x 有增根，则m 的值是 _____________ 17.已知解关于x 的分式方程 xx x k x x 1212+=-+ 所得的根是增根时， k = ． 18.若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = ． 19.k 为何值时，关于x 的方程无解？20.a 为何值时，关于x 的方程有解？21. 使分式 的值是正数的x 的取值范围是______________.22.当a 为何值时，关于x 的方程123(2)(3)x x x ax x x x ++-=-+-+的解为负数？ 23.已知m >0, 关于x的方程(m-1)x+2m =5有正整数解, 求整数m 的值.24.x 取何整数时，分式22x 9x 5x 6---的值为整数？52762+-x x25.当x 变化时，分式2522x x ++的最大值是_______26.已知a,b,c 是ABC ∆的三边试比较b a c+和()22b a c +的大小.27.如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是 -4，2235x x +-，且点A 、B到原点的距离相等，求x 的值28.请从下列三个代数式中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简该分式．21a -，2a a -，221a a -+，然后请你自选一个合理的数代入求值．29.某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时．已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件？30.某人骑自行车比步行每小时多走8千米．如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时？31.已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米？32．某中学组织学生到离校15米的西山春游，先遣部队与大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作．求先遣部队与大队的速度各是多少？。
2024北京人大附中初三3月月考数学试卷和答案
2024北京人大附中初三3月月考数 学（时间：120分钟 满分：100分）一、选择题（共16分，每小题2分）1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆锥D. 圆柱2. 2023年我国规模以上内容创作生产营业收人累计值前三个季度分别约为6500亿元13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元．将39500用科学记数法表示应为（ ）A. 239510⨯ B. 43.9510⨯ C. 33.9510⨯ D. 50.39510⨯3. 不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）A. 23B.34C.25D.354. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若60AOC ∠=︒，40BOE ∠=︒，则DOE ∠的度数为（ ）A.60︒B. 40︒C. 20︒D. 10︒5. 正六边形的外角和是（ ）A. 180︒B. 360︒C. 540︒D. 720︒6. 已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（ ）A. 1- B. 1C. 2D. 37. 如图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是（ ）A. B.C. D.8. 如图，正方形边长为a ，点E 是正方形ABCD 内一点，满足90AEB ∠=︒，连接CE ．给出下面四个结论：①AE CE +；②CE ；③BCE ∠的度数最大值为60︒；④当CE a =时，1tan 2ABE ∠=．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）A. ①②B. ①③C. ①④D. ①③④二、填空题（共16分，每小题2分）9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是___________．10.分解因式：3a 2﹣12=___．11. 方程322x x=+的解为_______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数6y x=的图象经过点(2,)A m 和点(2,)B n -，则m n +=______．13. 如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高5m PO =，树影3m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5m AP =，则树的高度AB 长是______米．14. 如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，40BAC ∠︒=，则ADC ∠=________°．15. 用一组a ，b ，m 的值说明“若a b <，则ma mb >”是错误的，这组数可以是=a ___________，b =___________，m =___________．16. 从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路3035t ≤≤3540t <≤4045t <≤4550t <≤合计A59151166124500B 5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．三、解答题（共52分）17. 计算：06cos 455(2)+--π-°．18. 解不等式组：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩．19. 已知230x x --=，求代数式(2)(2)(2)x x x x +---的值．20. 如图，在ABC 中， AB AC =．（1）使用直尺和圆规，作AD BC ⊥交BC 于点D （保留作图痕迹）；（2）以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ．①BEC ∠= °；②写出图中一个与CBE ∠相等的角 ．21. 如图，在四边形ABCD 中，90ACB CAD ∠=∠=︒，点E 在BC 上，//,AE DC EF AB ⊥，垂足为F ．（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分4,5,cos 5BAC BE B ∠==，求BF 和AD 的长．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．（1）求该一次函数的表达式及点A 的坐标；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．23. 列方程解应用题无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？24. 如图，AB 是O 的直径，点E 是OB 的中点，过点E 作弦CD AB ⊥，连接AC ，AD ．（1）求证：ACD 是等边三角形；（2）若点F 是AC的中点，过点C 作CG AF ⊥，垂足为点G ．若O 的半径为2，求CG 的长．25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为1y ，2y （单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录1y ，2y 与x 的几组对应值如下：x （分钟）05101520…1y （克）2523.52014.57…2y （克）252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点()1,x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（2）进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足二次函数：210.04y x bx c =-++．场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足一次函数2y kx c=+（0k ≠）．则b = ，c = ，k = ；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为A x ，B x ，则A x B x （填“>”，“=”或“<”）．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线22y ax ax c =-+（0a >）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若11x a =+，22x a =+，比较1y 与2y 的大小，并说明理由；（3）若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，总有12y y <，求m 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．（1）①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；（2）连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，P 是O 外一点，给出如下的定义：若在O 上存在一点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在O 上，则称Q 为点P 关于O 的关联点．（1）当点P 在直线2y x =上时，①若点()1,2P ，在点1Q ⎛ ⎝⎭，()20,1Q ，()31,0Q 中，点P 关于O 的关联点是______；②若P 关于O 的关联点Q 存在，求点P 的横坐标p 的取值范围；（2）已知点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动点M 满足1AM ≤，若M 关于O 的关联点N 存在，直接写出MN 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每小题2分）1. 【答案】A【分析】结合长方体的三视图特征判断即可．【详解】解：∵长方体的三视图都是长方形，三棱柱的三视图中有三角形，圆锥和圆柱的三视图中有圆，∴该几何体符合长方体的三视图特征，故选A ．【点睛】本题考查了三视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图；掌握常见几何体的三视图特征是解题的关键．2. 【答案】B【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将39500用科学记数法表示应为43.9510⨯．故选：B ．3. 【答案】D【分析】根据概率计算公式进行求解即可．【详解】解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个黄球，∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为33235=+ ；故选：D ．【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．4. 【答案】C【分析】根据对顶角相等可得60BOD ∠=︒，再根据角的和差关系可得答案．【详解】解：60AOC ∠=︒ ，60BOD ∴∠=︒，40BOE ∠=︒ ，∴604020DOE BOD BOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．5. 【答案】B【分析】根据任何多边形的外角和是360︒即可求出答案．【详解】解：正六边形的外角和是360︒．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是360︒，外角和与多边形的边数无关．6. 【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，∴2(2)410a --⨯⨯=，解得：1a =，故选：B ．7. 【答案】D【分析】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．由图1可设y kx b =+（k ，b 为常数，且0,0k b <>，由图2可设z my =（m 为常数，0m >），将y kx b =+代入z my =得z mkx mb =+，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．【详解】解：由图1可设y kx b =+（k ，b 为常数，且0,0k b <>，由图2可设z my =（m 为常数，0m >），将y kx b =+代入z my =得：()z m kx b mkx mb =+=+，z ∴与x 的函数关系为一次函数关系，0k < ，0b >，0m >，0mk ∴<，0mb >，z ∴与x 的函数图象过一、二、四象限．故选：D ．8. 【答案】C【分析】如图所示，连接AC 交BD 于H ，取AB 中点O ，连接OC ，先证明点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动，当A E C 、、三点共线，即点E 运动到点H 时AE CE AC +=， 当C O E 、、三点共线时，CE 有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当CE 与O 相切时BCE ∠有最大值，证明Rt Rt OBC OEC △≌△，得到CE BC a ==，OCE OCB ∠=∠，则1tan 2OE OCE CE ==∠，再证明ABE BCO OCE ==∠∠∠，得到1tan tan 2ABE OCE ==∠∠，即可判断③④．【详解】解：如图所示，连接AC 交BD 于H ，取AB 中点O ，连接OC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90AHB ∠=︒；∵90AEB ∠=︒，∴点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动， ∵90AHB ∠=︒，∴点H 在圆O 上，∵AE CE AC +≥==，∴当A E C 、、三点共线，即点E 运动到点H 时，AE CE AC +=，故①正确；∵点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动， ∴当C O E 、、三点共线时，CE 有最小值，在Rt OBC △中，由勾股定理得OC ==，∴CE 12a -=，故②错误；如下图所示，当CE 与O 相切时BCE ∠有最大值，∵OB OE OC OC ==，，∴()Rt Rt HL OBC OEC ≌，∴CE BC a ==，OCE OCB ∠=∠，∴1tan 2OE OCE CE ==∠，∴30OCE ≠︒∠，∴60BCE ≠︒∠，∴BCE ∠的度数最大值不是60︒，故③错误；∵BC EC OB OE ==，，∴OC 垂直平分BE ，∴ABE BOC BOC BCO +=+∠∠∠∠，∴ABE BCO OCE ==∠∠∠，∴1tan tan 2ABE OCE ==∠∠，故④正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E 的运动轨迹是解题的关键．二、填空题（共16分，每小题2分）9. 【答案】1x ≥【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数非负是解决本题的关键．根据二次根式被开方数非负可得10x -≥，解不等式即可．【详解】由题意得：10x -≥，解得：1x ≥，故答案为：1x ≥．10. 【答案】3（a +2）（a ﹣2）【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】3a 2﹣12=3（a 2﹣4）=3（a +2）（a ﹣2）．11. 【答案】4x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：()322x x =+，解得：4x =，检验：当4x =时，()20x x +≠，所以4x =是分式方程的解，故答案为：4x =．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12. 【答案】0【分析】将(2,)A m ，(2,)B n -两点代入反比例函数求得m 和n 的值，再计算求值即可；【详解】解：∵点A 和B 在反比例函数图象上，∴632m ==，632n ==--，∴330m n +=-=，故答案为：0；【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的性质，掌握函数图象上的点满足函数关系式是解题关键．13. 【答案】2【分析】由题意知AB PO ∥，得出Rt ABC Rt POC ∽，根据AB AC PO PC=求出AB 的值．【详解】解：由题意知AB PO∥在Rt ABC 和Rt POC △中 C C CAB CPOABC POC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ Rt ABC Rt POC∽∴AB AC PO PC =∴353 4.5AB =+解得2AB =故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似比．14. 【答案】50【分析】连接BC ，则由圆周角定理可以得到∠ADC =∠ABC ，再根据直径所对的圆周角是90度，得到∠ACB =90°，再根据∠BAC =40°即可求解.【详解】解：如图所示，连接BC∴∠ADC =∠ABC∵AB 是直径∴∠ACB =90°∵∠BAC =40°∴∠ABC =180°-90°-40°=50°∴∠ADC =∠ABC =50°故答案为：50.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15. 【答案】 ①. 1 ②. 2 ③. 0【分析】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理证明，而判断一个命题是假命题，只需举反例即可．本题中依据题意选出适当的a 、b 、c 即可，答案不唯一．【详解】解：当1,2,0a b m ===时，满足a b <，而0,0ma mb ==，不满足ma mb >，∴1,2,0a b m ===符合题意．故答案为：1,2,0.16. 【答案】C【分析】样本容量相同，观察统计表，可以看出C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，即可得出结论.【详解】解：样本容量相同，C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，∴乘坐C 线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．故答案为：C.【点睛】考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键.三、解答题（共52分）17. 【答案】4【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，然后根据实数的计算法则求解即可．【详解】解：06cos 455(2)-+--π-°651=-+-4=．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．18. 【答案】35x <<【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．【详解】解：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，解不等式①得：3x >，解不等式②得：5x <，∴不等式组的解集为35x <<．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19. 【答案】2【分析】先利用平方差公式，及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，再把已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：(2)(2)(2)x x x x +---，2242x x x =--+，2224x x =--，∵230x x --=，∴23-=x x ． 0∴原式22()42x x =--=．【点睛】此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20. 【答案】（1）见详解 （2）①90；②CAD∠【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．（1）利用基本作图，作BC 的垂直平分线得到AD ；（2）①根据等腰三角形的性质得到DB DC =，则BC 为D 的直径，然后根据圆周角定理得到90BEC ∠=︒；②先利用AB AC =得到A ABC CB =∠∠，再根据圆周角定理得到90BEC ∠=︒，根据等角的余角相等得到CBE CAD ∠=∠．【小问1详解】如图，AD 即为所作．【小问2详解】①AB AC = ，AD BC ⊥，DB DC ∴=，AD 平分BAC ∠，BC ∴为D 的直径，90BEC ∴∠=︒；②AB AC = ，ABC ACB ∴∠=∠，BC ∴为D 的直径，90BEC ∴∠=︒，AD BC ⊥ ，90CBE BCE ∠+∠=︒ ，90CAD ACD ∠+∠=︒，CBE CAD ∴∠=∠．21. 【答案】（1）见详解；（2）4BF =，3AD =【分析】（1）由题意易得AD ∥CE ，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF =CE =AD ，然后由45,cos 5BE B ==可进行求解问题．【详解】（1）证明：∵90ACB CAD ∠=∠=︒，∴AD ∥CE ，∵//AE DC ，∴四边形AECD 是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形AECD 是平行四边形，∴CE AD =，∵EF AB ⊥，AE 平分BAC ∠，90ACB ∠=︒，∴EF CE =，∴EF =CE =AD ，∵45,cos 5BE B ==，∴4cos 545BF BE B =⋅=⨯=，∴3EF ==，∴3AD EF ==．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．22. 【答案】（1）112y x =-+，(2,0)A （2）4m >-【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．（1）先利用待定系数法求出函数解析式为112y x =-+，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A 点坐标；（2）当函数y x n =+与y 轴的交点在点A （含A 点）上方时，当0x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值．【小问1详解】解： 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(0,1)，(2,2)-，∴122b k b =⎧⎨-+=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，该一次函数的表达式为112y x =-+，令0y =，得1012x =-+，2x ∴=，(2,0)A ∴；【小问2详解】解：当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，1212x m x ∴+>-+，4m ∴>-．23. 【答案】150件【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．设1名快递员平均每天配送包裹x 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹5x，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可．【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹x 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹5x ，依题意可得：60006000254x x+=，解得：150x =．经检验，150x =是原分式方程的解且符合题意．答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．24. 【答案】（1）证明见解析；（2）CG =．【分析】（1）连接OC ，先证明AB 是CD 的垂直平分线，从而求得AC AD =，利用特殊三角函数值判断60COE ∠=︒，则可推得60CAD ∠=︒，利用“有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形”即可得证；（2）先根据()1中的结论及圆周角定理得到30GAC ∠=︒，证明AEC AGC ≌即可得CG CE =，根据勾股定理即可求出直角COE 中CE 的长，即CG 的长．【小问1详解】证：如图，连接OC ，AB 是O 的直径，且CD AB ⊥，CE DE ∴=，BC BD =，BAC BAD ∴∠=∠，AB ∴是CD 的垂直平分线，AC AD ∴=，OC OB = ，点E 是OB 的中点，∴点C 在线段OB 的垂直平分线上，1122OE BE OB OC ===，Rt COE ∴ 中,1cos 2OE COE OC ∠==，即60COE ∠=︒，BC BC =，1302BAD BAC COE ∴∠=∠=∠=︒，即60CAD BAC BAD ∠=∠+∠=︒ACD ∴是等边三角形．【小问2详解】解：由()1得，ACD 是等边三角形，60ADC ∴∠=︒，F 是AC 的中点，12CF AC ∴=，1302GAC ADC BAC ∴∠=∠=︒=∠，CD AB ⊥ ，CG AF ⊥，90AEC AGC ∴∠=∠=︒，在AEC 和AGC 中，AEC AGC GAC EAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEC AGC AAS ∴ ≌，CG CE ∴=，O 半径为2，且点E 是OB 中点，2OC OB ∴==，1OE =，Rt COE ∴中，CE ===，CG CE ∴==【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、圆周角定理、垂直平分线的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理并能灵活运用特殊三角函数值．25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为1y ，2y （单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录1y ，2y 与x 的几组对应值如下：x （分钟）05101520…1y （克）2523.52014.57…2y （克）252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点()1,x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（2）进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足二次函数：210.04y x bx c =-++．场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足一次函数2y kx c =+（0k ≠）．则b = ，c = ，k = ；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为A x ，B x ，则A x B x （填“>”，“=”或“<”）．【答案】（1）见详解 （2）0.1b =-，25c =，1k =-（3）>【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；（3）依据题意，分别求出当4y =时x 的值，即可得出答案．【小问1详解】解：（1）由题意，作图如下．【小问2详解】解：由题意，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足函数关系210.04y x bx c =-++．又点(0,25)，(10,20)在函数图象上，∴2250.04101020c b c =⎧⎨-⨯++=⎩．解得：0.125b c =-⎧⎨=⎩．∴场景B 函数关系式为210.040.125y x x =--+．对于场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足函数关系2y kx c =+．又(0,25)，(10,15)在函数图象上，∴251015c k c =⎧⎨+=⎩．解得：251c k =⎧⎨=-⎩．∴场景B 函数关系式为225y x =-+．∴0.1b =-，25c =，1k =-．【小问3详解】解：由题意，当4y =时，场景A 中，20.040.1254x x --+=，解得：1221.7x x =≈=，（舍），即：21.7A x ≈，场景B 中，425B x =-+，解得：21B x =，A B x x ∴>．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线22y ax ax c =-+（0a >）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若11x a =+，22x a =+，比较1y 与2y 的大小，并说明理由；（3）若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，总有12y y <，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线1x =（2）12y y <（3）1122m -<<【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．（1）利用抛物线对称轴公式求出即可；（2）根据条件点M 、N 都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可；（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析MN 中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得到m 的取值范围．【小问1详解】解：抛物线22y ax ax c =-+（0a >）的对称轴为：212a x a -=-=，∴抛物线的对称轴为直线1x =；【小问2详解】∵0a >，抛物线开口向上，对称轴为直线1x =，121,2x a x a =+=+，∴()11,M x y ，()22,N x y 都在对称轴右侧，∵当1x >时，y 随x 的增大而增大，且12x x <，∴12y y <；【小问3详解】∵11m x m <<+，212m x m +<<+，∴122123222x x m m +++<< ，∵12,0y y a <>，∴()11,M x y 距离对称轴更近，12x x <，则MN 的中点在对称轴的右侧，∴2112m +<，2312m +>，解得：1122m -<<．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．（1）①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；（2）连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②见解析（2）CF DF=【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；②连接AD ，则AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出BAD ∠=α，90B α∠=︒-，根据90AEF ∠=︒，得出90AFE α∠=︒-，则B AFE ∠=∠；（2）延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，倍长中线法证明HBE FDE ≌，进而证明AHB AFC ≌，即可得证．【小问1详解】解：①如图所示，②连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，∵()24590BAC αα∠=︒<<︒∴BAD ∠=α，90B α∠=︒-，∵EF AE ⊥，∴90AEF ∠=︒，90AFE α∠=︒-，∴B AFE ∠=∠；【小问2详解】CF DF =；证明如下，延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，∵E 为BD 的中点，E 为HF 的中点∴,EH EF EB ED ==，又HEB FED ∠=∠，∴HBE FDE≌()SAS ，∴BH FD =，∵AE HF ⊥，EH EF =，∴AHF △是等腰三角形，则AH AF =，HAE FAE α∠=∠=，，∵2BAC HAF α∠=∠=，∴HAF BAF BAC BAF ∠-∠=∠-∠，即BAH CAF ∠=∠，∴AHB AFC≌()SAS ，∴CF BH =，∴CF FD =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，P 是O 外一点，给出如下的定义：若在O 上存在一点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在O 上，则称Q 为点P 关于O 的关联点．（1）当点P 在直线2y x =上时，①若点()1,2P ，在点1Q ⎛⎝⎭，()20,1Q ，()31,0Q 中，点P 关于O 的关联点是______；②若P 关于O 的关联点Q 存在，求点P 的横坐标p 的取值范围；（2）已知点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动点M 满足1AM ≤，若M 关于O 的关联点N 存在，直接写出MN 的取值范围．【答案】（1）①1Q ，2Q ；②p ≤≤（2）存在，14MN ≤≤【分析】（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；②设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，根据勾股定理得出221x y +=，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线分线段成比例得出p =同理可得p 的最小值为，即可求解；（2）依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得MN 的最值，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，1PQ 连线的中点在O 的内部， 2PQ 的中点的纵坐标为1，则点2,P Q 关于1y =对称点P 关于O 的关联点是1Q ，2Q ，故答案为：1Q ，2Q ．②如图所示，设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，∵设O 上的点的坐标为(),x y ，则221x y +=，联立2212x y y x⎧+=⎨=⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当P 点的对称点为M 时，点P 的横坐标最大，∵1,123ON OP ==+=,NA PB ∥，∴NPx ON OP x =,∴p =同理可得p的最小值为∴p ≤≤【小问2详解】解：依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，如图所示，∵1AM ≤，则M 在半径为1的A 上以及圆内，M 关于O 的关联点N∴MN 的最大值为314OM ON +=+=，如图所示，当M 在线段OA 上时，MN 取最小值，∵52OA ==∴511122MT OM OT OA AM OT =-=--=--=∴21MN MT ==∴14MN ≤≤【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
中考数学总复习第3课时分式基础过关训练新人教版(new)
第3课时分式知能优化训练中考回顾1.(2017天津中考)计算的结果为（）A。
1 B。
a C.a+1 D答案：A2.（2017新疆中考)已知分式的值是0,则x的值是()A.—1 B。
0 C.1 D.±1答案:C3。
(2017重庆中考)要使分式有意义，x应满足的条件是(）A。
x〉3 B。
x=3 C。
x〈3 D。
x≠3答案:D4.（2017四川成都中考)化简求值：,其中x=-1。
解:原式=当x=—1时,原式=5。
(2017青海西宁中考)先化简，再求值:÷m2,其中m-n=解:原式==∵m—n=，∴n-m=—原式==-模拟预测1。
使分式有意义,x应满足的条件是(）A。
x≠1 B.x≠2C。
x≠1或x≠2 D.x≠1，且x≠2解析:根据题意得，(x-1)(x-2)≠0，解得x≠1，且x≠2.故选D.答案：D2.如图,电路的总电阻为10 Ω,若R1=2R2，则R1，R2的值分别是()A。
R1=30 Ω,R2=15 ΩB.R1=Ω,R2=ΩC.R1=15 Ω，R2=30 ΩD。
R1=Ω,R2=Ω答案：A3.化简的结果等于(）A.a—2B.a+2 C D答案:B4.若=2,则的值等于(）A B。
1 C D.2答案：C5。
若代数式—1的值为零,则x=.答案:36.若x+y=1,且x≠0，则的值为.答案:17。
化简并求值:，其中x,y满足｜x—2｜+（2x-y—3）2=0。
解：原式=∵|x-2｜+（2x—y-3）2=0,∴|x—2｜=0,(2x-y—3）2=0.∴x=2，y=1。
∴原式=8.化简求值：，其中x是不等式〈x+的最大整数解。
解：原式===，解不等式〈x+得x<3，∴该不等式的最大整数解为x=2,∴当x=2时,原式=尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
2023人大附中初三数学试卷
2023人大附中初三数学试卷摘要：1.人大附中初三数学试卷概述2.试卷结构与题型分析3.解题策略与技巧4.备考建议正文：人大附中初三数学试卷作为一项重要的学业测评工具，旨在考查学生在中考阶段数学知识的掌握程度。
本文将对2023年人大附中初三数学试卷进行详细解析，帮助同学们了解试卷结构、掌握解题策略，并为备考提供有效建议。
一、试卷概述2023年人大附中初三数学试卷秉承公平、公正、透明的原则，严格按照中考大纲要求进行设计。
试卷内容涵盖初中数学各知识点，注重基础与能力并重，充分体现了素质教育的要求。
整体而言，试卷难度适中，有利于选拔具备扎实数学基础和解决问题能力的学生。
二、试卷结构与题型分析1.选择题：选择题共10题，每题4分，总计40分。
题目涉及初中数学基础知识，注重考查学生的基本概念理解和应用能力。
2.填空题：填空题共10题，每题4分，总计40分。
题目以初中数学基本知识为主，注重考查学生的计算能力和基本技能。
3.解答题：解答题共4题，每题20分，总计80分。
题目涵盖初中数学重点知识点，考查学生的综合运用能力和分析问题、解决问题的能力。
4.操作题：操作题1题，占20分。
题目涉及数学实验、数学建模等实际操作，注重考查学生的实践能力和创新意识。
三、解题策略与技巧1.审题要细：在做题时，务必仔细阅读题目，充分理解题意。
特别是选择题和填空题，要注意题干中的关键词，避免粗心大意导致错误。
2.基础扎实：熟练掌握初中数学基本概念、公式、定理，是解决各类题目的前提。
在做题过程中，要善于运用基础知识，化繁为简。
3.分析综合：对于解答题和操作题，要学会分析题目所给信息，将问题分解为若干小问题，逐步解决。
同时，要具备较强的综合能力，将所学知识融会贯通。
4.答题规范：做到步骤清晰、逻辑严密。
对于计算题，要注意数据的精确度；对于论述题，要注重论据充分、论证严密。
四、备考建议1.系统复习：按照中考大纲要求，对初中数学知识点进行全面、系统的复习。
人大附中初三数学基础练习8- 分式方程(教师版)
练习8 分式方程知识点一：分式方程的概念1. 关于x 的分式方程是（ C ） A. 24232x x -++= B. 2m x x mn m +-=- C.2312121xx x =+-+ D. 32x xπ-=2. 若x=4是分式方程213a x x -=-的根，则a 的值是（ A ） A ．6 B ．－6 C ．4 D ．－43. 写出一个解为1二、分式方程的解法4. 方程2331x x =-的解是( C ) A ．311x = B ．113x = C ．37x = D ．73x =5. 分式方程x x -1-1=3(x -1)(x+2)的解为( D )A .x=1B .x=2C .x=-1D .无解6. 如果分式13-+x x 的值为0,那么x 的值是 3 .7. 小明在解分式方程1-11-2x x x =时过程如下： 解:去分母得x 2=1,所以x=±1.他的解法存在的错误是没有验根 ，方程正确的解是 x=-1.8. 解方程（1）解方程：4-21-2-2x x x=．解：去分母，得2)4-(-)2(2=+x x x去括号，得24-222=++x x x移项并合并同类项，得2x =-2系数化为 1，得x =-1经检验，x =-1是原方程的解，所以原方程的解是x =-1．（2）解方程：125102xx x x -+=--解：去分母，得2(1)4(5)x x x --=-，去括号，得21420x x x -+=-，移项并合并同类项，得321x -=-，系数化为 1，得7x =，经检验，7x =是原方程的解，所以原方程的解是7x =．知识点三：分式方程的实际应用9. 为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课．小马经过2个月的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的2倍还多300字，现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间 相同．求小马现在每分钟阅读的字数．设小马原来每分钟阅读的字数为x 字，依题意，可列方程10. 列方程解应用题据了解，2019年世园会园区整体结构布局是“一心两轴三带多片区”．“一心”为核心景观区，包括 中国馆、国际馆、演艺中心、中国展园和部分世界展园；“两轴”以冠帽山、海坨山为对景，形成 正南北向的山水园艺轴和近东西向的世界园艺轴；“三带”包括妫河生态休闲带、园艺生活体验带 和园艺产业发展带．为保障2019年世园会的顺利举办，各场馆建设与室内设计都在稳步推进．周 末，小明约了几位好友到距离家10千米的场馆路边查看工程进度情况，一部分人骑自行车先走，过了13小时，其余的人乘公交车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑自行车人速度的2 倍，求骑车学生每小时走多少千米？解：设骑车学生每小时走x 千米，则汽车的速度是每小时2x 千米，根据题意得：1010123x x -=， 解得：15x =，经检验，15x =是原方程的解，且符合题意．答：骑车学生每小时走15千米．。
北京人大附中2018-2019学年九年级(下)开学数学试卷(解析版)
2018-2019学年北京人大附中九年级（下）开学数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（）A．正方体B．三棱锥C．四棱锥D．圆柱2．（2分）下列计算，正确的是（）A．a2﹣a＝a B．a2•a3＝a6C．a9÷a3＝a3D．（a3）2＝a6 3．（2分）如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列哪个图形（）A．B．C．D．4．（2分）如果a+b＝2，那么的值是（）A．2B．4C．﹣2D．﹣45．（2分）在下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2分）数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是（）A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|﹣b7．（2分）下面的统计图反映了我国2013年到2017年国内生产总值情况．（以上数据摘自国家统计局《中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报》，其中国内生产总值绝对数按现价计算，增长速度按不变价格计算）根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（）A．从2013﹣2016年，我国国内生产总值逐年下降B．从2013﹣2017年，我国国内生产总值的增长率逐年下降：C．从2013﹣2017年，我国国内生产总值的平均增长率约为6.7%D．计算同上年相比的增量，2017年我国国内生产总值的增量为近几年最多8．（2分）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法①当输入值x为16时，输出值y为②当输出值y为时，输入值x为3或9③存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．④对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①④D．②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）使分式有意义的x的取值范围是．10．（2分）如图，BD平分∠ABC，点E为BA上一点，EG∥BC交BD于点F．若∠1＝35°，则∠ABC的度数为．11．（2分）1月21日，2019年春运拉开了帷幕，2月3日腊月二十八当天，北京西站迎来春运高峰，单日发送旅客达到2622000人，将262000用科学记数法表示为．12．（2分）如图，DE分别是△ABC边AC，BC的中点，若△CDE的面积为2，则四边形ABED的面积为．13．（2分）春节假期，小陈驾车从珠海出发到香港，去时在港珠澳大桥上用了40分钟，返回时平均速度提高了25千米/小时，在港珠澳大桥上的用时比去时少了10分钟，求小陈去时的平均速度，设他去时驾车的平均速度为x千米/小时，则可列方程为．14．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ACO＝40°，则∠B的度数为．15．（2分）图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱体铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．①图2中折线ABC表示槽中水的深度与注水时间之间的关系（选填“甲”或“乙”）；②点B的纵坐标表示的实际意义是．16．（2分）某水果公司以2.2元/千克的成本价购进10000kg苹果．公司想知道苹果的损坏率，从所有随机拙取若干进行统计，部分结果如表：（结果估计这批苹果损坏的概率为精确到0.1），据此，若公司希望这批苹果能获得利润23000元，则销售时（去掉损坏的苹果）售价应至少定为元/千克．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）17．（5分）计算：18．（5分）解不等式组19．（5分）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A求作：直线AP，使得AP∥l作法：如图①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．②连接AC，AB，延长BA到点D；③作∠DAC的平分线AP．所以直线AP就是所求作的直线根据小星同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（填推理的依据）∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（填推理的依据）∴∠DAC＝2∠ABC∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP∴∠DAP＝∠ABC∴AP∥l（填推理的依据）20．（5分）已知关于x的方程x2﹣6x+k+7＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求方程的根．21．（5分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以AD，OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE．（1）求证：四边形AOBE是菱形；（2）若∠EAO+∠DCO＝180°，DC＝2，求四边形ADOE的面积．22．（6分）在美国职业篮球联赛（NBA）2018赛季常规赛结束后，某球迷为了比较A、B 两名球员的表现以反映球员的防守表现，篮板数既可以反映进攻表现，又可以反映防守表现．数据值越高，说明球员在该项上表现越好（1）在这两名球员整个常规赛季的比赛中总得分较高的一位是（填A或B）（2）根据统计图判断，这两位球员中，哪一位在常规赛季的防守表现更好，并说明理由；（3）两位球员所在的球队都进入了季后赛，该球迷为了进一步比较两人在季后赛前的状态，对两人常规赛季最后10场比赛的数据进行了分析，所得的数据如下：请根据上述数据，分别从得分和助攻两个角度比较A、B两位球员在季后赛前的表现．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数（x＞0）的图象G经过点A（，4）．（1）求k的值：（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，点B的坐标为（﹣1，﹣1），点C的坐标为（0，t），点D的坐标为（t，0）（其中t＞0），直线BC，BD分别交图象G于点P，Q．将图象G在点P，Q之间的部分与线段BP，BQ围成的区域（不含边界）记为W①当点P恰好与A重合时，求出此时t的值和区域W内的整点个数：②若区域内恰好有5个整点，结合函数图象，直接写出t的取值范围．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DN，且有DN∥AC．（1）求证：△ACD是等边三角形．（2）连接并延长CB，交DN于E，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为2，求EF 的长．25．（6分）有这样一个问题如图1，在等边△ABC中，AB＝4，D为BC的中点，E，F分别是边AB，AC上的动点，且∠EDF＝60°，若BE+AF＝3，试求BE的长．爱钻研的小峰同学发现，可以通过几何与函数相结合的方法来解决这个问题，下面是他的探究思路，请帮他补充完整．（1）注意到△ABC为等边三角形，且∠EDF＝60°，可得∠BED＝∠CDF，于是可证△BED∽△CDF，进而可得，注意到D为BC中点，BD＝CD＝2，因此BE和CF 满足的等量关系为．（2）设BE＝x，AF＝y，则x的取值范围是．结合（1）可得y与x的函数关系为．（3）在平面直角坐标系xOy中，根据已有的经验画出y与x的函数图象，请在图2中完成画图．（4）回到原问题，要使BE+AF＝3，即为x+y＝3，利用（3）中的图象，通过测量，可以得到原问题的近似解为BE＝（精确到0.1）．问题的精确解，则可以通过解方程组求得．26．（6分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）（1）抛物线的对称轴为x＝．（2）若抛物线与x轴交于P，Q两点，且PQ＝4，①求抛物线的表达式；②将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为图象G，将图象G在直线y＝t（上方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不变，得到个新函数的图象，记这个函数的最大值为M，最小值为m，若M﹣m≤6，求t的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点（不与B，C重合），延长DC 到点E，使得CE＝CD，过点E作AB的平行线，与AC的延长线交于点F，直线FD与AB交于点G，设∠ABC＝α．对于一般的情况，如图1，（1）直接写出∠AFD＝．用含α的代式表示；（2）取AB的中点M，求证：DF＝2MG；对于α＝45°的特殊情况，如图2，（3）连接EG，若EG⊥AD，求的值．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b），若某函数在a﹣1≤x≤a+1内有定义，且对此范围内的任意x的值，对应的y都满足b﹣1≤y≤b+1，就称这个函数是点A的“限定函数”．（1）以下函数：①y＝﹣x②y＝③y＝2x2﹣1④y＝﹣（x﹣1）2原点O的限定函数是（填序号）；（2）如图1，点A（m，n）是函数y＝﹣上的动点，若函数y＝﹣是点A的限定函数”，求m的取值范围．（3）如图2，半圆为以O为圆心，为半径的圆在x轴上方的部分，在x轴负半轴上有一动点M，过M作半圆的切线，切点为P，点P关于y轴对称点为Q．将射线PM、劣弧、射线OQ在半圆外的部分组合成一个新函数的图象（图中实线），若这个函数是原点O的“限定函数”，写出tan∠MOP的取值范围．2018-2019学年北京人大附中九年级（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【解答】解：由图可得，这个几何体是四棱锥，故选：C．2．【解答】解：A、a2﹣a，不能合并，故A错误；B、a2•a3＝a5，故B错误；C、a9÷a3＝a6，故C错误；D、（a3）2＝a6，故D正确；故选：D．3．【解答】解：设这个新多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得：n＝5，故选：C．4．【解答】解：当a+b＝2时，原式＝﹣＝＝＝a+b＝2，故选：A．5．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．6．【解答】解：数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，由它们的位置可得a＜0，a+b ＞0，b＞0且|a|＜|b|，则a﹣b＜0，ab＜0，|a|﹣b＜0，故运算结果一定是正数的是a+b．故选：A．7．【解答】解：A．从2013﹣2016年，我国国内生产总值逐年增长，此选项错误；B．∵7.8%＞7.3%＞6.9%＞6.7%，∴2013﹣2016年，我国国内生产总值的增长率逐年降低，但2016﹣2017年增长率上升，此选项错误；C．∵×（7.8%+7.3%+6.9%+6.7%+6.9%）＝7.12%，∴2013﹣2017年，我国国内生产总值的平均增长率约为7.12%，此选项错误；D．2016﹣2017年我国国内生产总值增长的最多，此选项正确．故选：D．8．【解答】解：①输入值x为16时，，，即，故①正确；②x的值不唯一．x＝3或x＝9或81等，故②不正确；③当x＝0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；故③正确；④对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故④不正确；故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：当分母x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义．故答案是：x≠1．10．【解答】解：∵EG∥BC，∠1＝35°，∴∠DBC＝35°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝70°．故答案为：70°11．【解答】解：将2622000用科学记数法表示为：2.622×106．故答案为：2.622×106．12．【解答】解：∵D、E分别是△ABC边AC，BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝（）2，即＝，解得，S△ABC＝8，∴四边形ABED的面积＝8﹣2＝6，故答案为：6．13．【解答】解：设他去时驾车的平均速度为x千米/小时，则返回时驾车的平均速度为（x+25）千米/小时，依题意，得：x＝（x+25）．故答案为：x＝（x+25）．14．【解答】解：连接OA，如图，∵∠ACO＝40°，OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO＝40°，∴∠AOC＝100°，∴∠B＝50°．故答案为：50°．15．【解答】解：①图2中折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系；②点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平（或铁块的高度）；故答案为：乙；乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平（或铁块的高度）；16．【解答】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左右，所以苹果的损坏概率为0.1．根据估计的概率可以知道，在10000千克苹果中完好苹果的质量为10000×0.9＝9000千克．设每千克苹果的销售价为x元，则应有9000x＝2.2×10000+23000，解得x＝5．答：出售苹果时每千克大约定价为5元可获利润23000元．故答案为：0.1，5．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）17．【解答】解：原式＝2×+﹣1﹣2+1＝+﹣1﹣2+1＝0．18．【解答】解：∵解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x＜1，∴不等式组的解集是x＜1．19．【解答】解：（1）如图所示，直线AP即为所求．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），∴∠DAC＝2∠ABC，∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP，∴∠DAP＝∠ABC，∴AP∥l（同位角相等，两直线平行），故答案为：（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．20．【解答】解：（1）由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4（k+7）＝8﹣4k＞0，解得：k＜2．（2）∵k＜2，且k为正整数，∴k＝1．将k＝1代入到方程x2﹣6x+k+7＝0中，得x2﹣6x+8＝0，∵x2﹣6x+8＝（x﹣4）（x﹣2）＝0，解得：x1＝4，x2＝2．21．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO．∵四边形ADOE是平行四边形，∴AE∥DO，AE＝DO，AD∥OE．∴AE∥BO，AE＝BO，∴四边形AOBE是平行四边形．∵AD⊥AB，AD∥OE，∴AB⊥OE．∴四边形AOBE是菱形；（2）设AB与EO交点为M．∵AB∥CD，∴∠DCO＝∠BAO．∵四边形AOBE是菱形，∴∠EAO＝2∠BAO．∵∠EAO+∠DCO＝180°，∴∠BAO＝120°，∠EAM＝60°．又AM＝AB＝1，∴BM＝．∴EO＝2，∴△AEO面积为×2×1＝，∴四边形ADOE面积＝2．22．【解答】解：（1）从图中看到A球员的场均得分是7.5×28.1＝210.75分，B运动员是8.3×27.5＝225.5分，因此两名球员整个常规赛季的比赛中总得分较高的一位是B，故答案为：B．（2）防守情况看盖帽，抢断，篮板情况，从图中看到，A球员均场盖帽2.6大于B球员的0.9，A球员均场抢断1.5大于B球员均场抢断1.4，A球员均场篮板11.1大于B球员均场篮板8.6，综合比较A球员的防守明显好于B球员，因此A球员在常规赛季的防守表现更好．（3）从得分角度看，B球员的平均得分高于A球员的平均得分，但是从方差角度看，A 球员的平均得分比B球员稳定；从助攻角度看，B球员助攻得分远高于A球员，但从方差角度看，A球员助攻得分比B 球员稳定；因此，综合看，A球员得分和助攻的表现都很稳定，而B球员在季后赛前整体状况优于A 球员．23．【解答】解：（1）点A（，4）代入，∴k＝6，（2）①∵点P恰好与A重合，∴设AB直线解析式为y＝kx+b，将A（，4）和B（﹣1，﹣1）代入，，∴，∴y＝2x+1，点C（0，t）代入y＝2x+1，∴t＝1，∴D（1，0），设直线BD的解析式为y＝mx+n，将点B（﹣1，﹣1），D（1，0）代入，，∴，∴y＝x﹣，∵点（0，1），（1，3），（3，1）在W区域的边界上，∴区域W内的整点有5个；如图：②由①可知t＝1刚好有5个点，即点（0，0），（1.1），（2，1），（1，2），（2，2），当点（1，2）在直线BC上时，此时解析式为y＝x+，C（0，t）在y＝x+上，t＝，此时D（，0），BD的解析式为y＝x﹣，点（2，1）在BD直线上，∴t＝时，W区域内有3个整数点，∴＜t≤1时，区域内恰好有5个整点；24．【解答】（1）证明：连OD，并反向延长交AC于点G，∵DN是⊙O的切线，∴OD⊥DN，由切线的性质，可证∵DN∥AC，∴OG⊥AC，∴AD＝DC，∵CD⊥AB，∴AC＝AD，∴△ACD是等边三角形；（2）解：∵CD⊥AB，∠CAD＝60°，∴∠CAB＝30°，∴，∴，∴，BC＝2，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由（1）知DG⊥AC，OD⊥DN，∴四边形GDCE是矩形，∴CE＝DG＝OG+OD＝1+2＝3，DE＝CG＝，∴＝，∵AC∥DE，∴△ACF∽△EDF，∴，设EF＝x，则AF＝，∴，解得x＝．25．【解答】解：（1）由△BED∽△CDF，可得，∵BD＝CD＝2，∴BE•CF＝4，故答案为BE•CF＝4．（2）由题意：1≤x≤4．∵由△BED∽△CDF，可得，∵BD＝CD＝2，BE＝x，CF＝4﹣y，∴x（4﹣y）＝4，∴y＝4﹣．故答案为1≤x≤4，y＝4﹣．（3）函数图象如图所示：（4）观察图象可知两个函数的交点P的横坐标约为1.6，故BE＝1.6故答案为1.6．26．【解答】解：（1）x＝﹣＝1，故答案是1；（2）①令y＝0，则x＝1±，则PQ＝2＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；②图象翻折前后如下图所示，点M坐标为（1，4），则MS＝4﹣t，则点M′纵坐标为t﹣（4﹣t）＝2t﹣4，当点M′在点H上时，即2t﹣4≥﹣5，即：t≥，此时M＝t，m＝﹣5，t+5≤6，解得：t≤1，即：﹣≤t≤1；当点M′在点H下方时，t＜﹣，M＝t，m＝2t﹣4，则t﹣2t+4≤6，解得：t≥﹣2，即：﹣2≤t＜﹣；故：t的取值范围为即：﹣≤t≤1或﹣2≤t＜﹣．27．【解答】解：（1）∵AB∥EF∴∠ABC＝∠E＝α，∵CD＝CE，CF⊥DE∴DF＝EF，∴∠FDC＝∠E＝α∵CF⊥DE∴∠AFD＝90°﹣∠CDF＝90°﹣α故答案为：90°﹣α（2）设BG＝a，GM＝b，∴BM＝a+b，∵点M是AB中点，∴AM＝BM＝a+b，∴AG＝AM+GM＝a+b+b＝a+2b，∵DF＝EF∴∠E＝∠FDE，∵AB∥EF∴∠E＝∠B，∴∠B＝∠EDF＝∠GDB∴BG＝GD＝a，∵AC⊥BC∴∠A＝90°﹣∠B，∠DFC＝90°﹣∠EDF∴∠A＝∠DFC∴AG＝GF＝a+2b∴DF＝GF﹣GD＝2b，∴DF＝2GM，（3）由（2）可知：设BG＝GD＝a，GM＝b，则DF＝2b＝EF，AG＝a+2b＝GF，∵∠ABC＝45°∴∠GDB＝45°∴∠AGD＝90°＝∠BGD＝∠DFE∴BD＝a，DE＝2b，DC＝CE＝b，∠AGH+∠DGH＝90°，∵AH⊥GE∴∠GAH+∠AGH＝90°∴∠GAH＝∠DGH，且∠AHG＝∠DHG＝90°∴△AGH∽△GDH∴∵∠GAH＝∠DGH，∠AHG＝∠EFG＝90°∴△AGH∽△GEF∴∴∴∴a＝2b∴BC＝BD+CD＝a+b＝3b∴＝＝328．【解答】解：（1）原点O的限定函数满足的条件是：﹣1≤x≤1内有定义，且对此范围内的任意x的值，对应的y都满足﹣1≤y≤1，对于函数③y＝2x2﹣1，图象如下图1所示，满足﹣1≤x≤1内有定义，且对此范围内的任意x的值，对应的y都满足﹣1≤y≤1；同理函数①也满足条件；故答案是①③；（2）点A坐标（m，n），则m﹣1≤x≤m+1，n﹣1≤y≤n+1，①当点A在y轴右侧时，且m﹣1≥0，n＝﹣m2，由题意得：，其中n＝﹣m2，解得：，即m≤，此时m的值符合图中虚线所示的位置；②当点A在y轴左侧时，且m﹣1＜0，同理可得：m≥﹣，综合①②可得：﹣≤m≤；（3）如图2，用边长为2的正方形框定x、y的取值范围，交PM于点N交x轴于点K、H，交OQ于点S，此时的情况是临界点的情况．①射线PM部分的情况，在临界点时，KN＝1，设：OM＝x，则KM＝1﹣x，tan∠KMN＝＝＝tan∠PMO＝＝，解得：x＝，tan∠MOP＝＝；②射线OQ部分的情况，射线OQ为第一象限角平分线，则直线OQ与y轴的夹角为45°，则直线OP与y轴的夹角也为45°，故此时tan∠MOP＝1，故：≤tan∠MOP≤1．。
人大附中初三数学基础练习12-一次函数（教师版）
人大附中初三数学基础练习12-一次函数（教师版）练习12 一次函数知识点一：一次函数与正比例函数的概念1. 若()23m y m xm -=-+是一次函数，则m =______. 【答案】3-【详解】∵()23m y m x m -=-+是一次函数，∴2130m m -=-≠且，∴33m m =±≠且，∴3m =-2. 若()1my m x =-是正比例函数，则m 的值为_____. 【答案】1-【详解】∵()1my m x =-是正比例函数，∴110m m =-≠且，∴11m m =±≠且，∴1m =-知识点二：一次函数的图像与性质3. 对于一次函数24y x =-+，下列结论错误的是（）A .函数值随自变量的增大而减小B .函数的图象不经过第三象限C .函数的图象向下平移4个单位长度得2y x =-的图象D .函数的图象与x 轴的交点坐标是(0,4)【答案】D【详解】∵一次函数24y x =-+中20k =-<,∴函数值y 随x 的增大而减小,故A 正确;∵一次函数24y x =-+中20k =-<,b=4>0,∴此函数的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,故B 正确;由“上加下减”的原则可知,函数的图象向下平移4个单位长度得2y x =-的图象,故C 正确; ∵令y=0,则x=2,∴函数的图象与x 轴的交点坐标是(2,0),故D 错误.4. 写出一个y 随x 的增大而减小，且不经过第三象限的一次函数解析式．【答案】(答案不唯一，满足0,0k b <≥即可)【详解】∵y 随x 的增大而减小，∴0k <∵一次函数不经过第三象限，∴0b ≥5. 在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝(k －2)x －b 的图象大致如图所示，则下列结论正确的是（）A. k ＞2，b ＞0B. k ＞2，b ＜0C. k ＜2，b ＞0D. k ＜2，b ＜0【答案】C【详解】∵一次函数y ＝(k －2)x －b 的图象经过第二、三、四象限，∴k －2＜0，－b ＜0.解得k ＜2，b ＞0. 故选C6. 已知点A （x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在直线y =kx+b 上，且直线经过第一、二、四象限，当x 1＜x 2时，y 1与y 2的大小关系为________.【答案】y 1>y 2【详解】∵一次函数y =kx+b 经过第二、四象限，∴k ＜0，∴y 随x 的增大而减小∴y 1>y 2知识点三：一次函数的平移规律7. 把函数y =x 向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是（） A ．()2,2B ．()2,3C ．()2,4D ．(2,5)【答案】D【详解】由“上加下减”的原则可知，将直线y =x 向上平移3个单位后，所得直线的表达式是y =x +3，当x =2时，y =x +3=2+3=5，所以点（2，5）在平移后的直线上，故选D.8. 若直线21y x =+下移后经过点(5,1)，则平移后的直线解析式为____________．【答案】29y x =-【详解】解：设平移后的解析式为：2y x b =+，将 (5,1)带入2y x b =+中，110b ∴=+，解得：9b =-，故平移后的直线解析式为：29y x =-．知识点四：一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式（组）9. 如图，在平面直角坐标系中，存在直线y 1＝2x 和直线y 2＝－x ＋3（1）直接写出直线y 2＝－x ＋3与坐标轴的交点坐标：______, ______;（2）求出直线y 1＝2x 和直线y 2＝－x ＋3的交点坐标__________;（3）结合图象，直接写出y 2＜y 1的解集：_________________.【答案】（1）（3，0）（0，3）；（2）交点坐标（1，2）；（3）x >1【详解】（1）令y =0，得x =3，令x =0，得y =3，所以直线和x 轴交点为（3，0），和y 轴交点为（0，3）；（2）由23y x y x =??=-+?，解得12x y =??=?，所以两直线交点坐标为（1，2）；（3）由图象可知y 2＜y 1的解集为x >1.10. 如图，正比例函数1y kx =与一次函数2y x b =-+的图象交于点P ．下面有四个结论：①0k >；②0b >；③当0x >时，10y >；④当2x <-时，kx x b >-+．其中正确的是（） A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④【答案】A 【详解】直线1y kx =经过第一、三象限，0k ∴>，故①正确；2y x b =-+与y 轴交点在负半轴，0b ∴<，故②错误；正比例函数1y kx =经过原点，且y 随x 的增大而增大，∴当0x >时，10y >；故③正确；当2x <-时，正比例函数1y kx =在一次函数2y x b =-+图象的下方，即kx x b <-+，故④错误．故选：A ．11. 如图，直线y ＝ax ＋b (a ≠0)过点A (0，4)，B (－3，0)，则方程ax ＋b ＝0的解是（） A. x ＝－3B. x ＝4C. x ＝－43D. x ＝－34【答案】A【详解】方程ax ＋b ＝0的解，即为函数y ＝ax ＋b 图象与x 轴交点的横坐标，∵直线y ＝ax ＋b 与x 轴交点B (－3，0)，∴方程ax ＋b ＝0的解是x ＝－3.知识点五：待定系数法求一次函数解析式12. 已知，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点A (3，2)和点B (2，3).求直线l 的解析式.【答案】y ＝－x ＋5【详解】设直线l 的表达式y ＝kx ＋b ，将A (3，2)，B (2，3)代入得，3223k b k b +=??+=?解之得15k b =-??=? ∴直线l 的解析式为y ＝－x ＋513. 已知，在平面直角坐标系中，直线y kx b =+经过点(1,1)A 和点(3,5)B -．（1）求直线AB 所对应的函数表达式．（2）若点(,2)P a -在直线AB 上，求a 的值．【答案】（1）2y x =-+ （2）4a =【详解】（1）直线y kx b =+经过点(1,1)A 和点(3,5)B -，把(1,1)A 和点(3,5)B -代入y kx b =+得：135k b k b +=??-+=?，解得：12k b =-??=?，∴直线AB 所对应的函数表达式为2y x =-+；（2）把2y =-代入2y a =-+得：22a -=-+，解得：4a =，所以a 的值为4．。
2024年北京市人大附中中考数学模拟试卷及答案解析
2024年北京市人大附中中考数学模拟试卷一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米，其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道，将数字55000用科学记数法表示为（）A．5.5×104B．55×103C．5.5×103D．0.55×105 2．（2分）下列图形中，既不是轴对称也不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．三棱柱B．长方体C．三棱锥D．圆锥4．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a+2＞0B．|a|＞b C．a+b＞0D．ab＞05．（2分）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，如果|a|＝|b|，下列结论中错误的是（）A．a+c＞0B．a﹣b＞0C．b+c＞0D．ac＜06．（2分）不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）A．B．C．D．7．（2分）下列命题中的假命题是（）A．对角线互相平分的四边形是中心对称图形B．有一个角是直角的平行四边形是轴对称图形C．对角线互相垂直的平行四边形是中心对称图形D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形8．（2分）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（）A．3B．2C．1D．0二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）在△ABC中，D，E，F分别为三边中点，若△DEF面积为2，则△ABC的面积是．11．（2分）解分式方程：＝得．12．（2分）已知反比例函数与的图象如图所示，则k1、k2的大小关系是k1 k2.（填“＞”，“＜”或“＝”）13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若∠OAB ＝35°，则∠ABP＝°．14．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝6x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是．15．（2分）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD，AFIJ和BFGH都是正方形．如果图中△BCE与△FDE的面积比为，那么tan∠GFI的值为．16．（2分）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e的卡片写有数字．三、解答题（本题共68分，第17至22题，每小题5分，第23至26题，每小题5分，第27至28题，每小题5分）17．（5分）计算：+4sin60°．18．（5分）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．19．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝+1．20．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，在BD上取两点E，F，使DF＝BE，连接AE，CF．（1）若AE∥CF，试说明△ABE≌△CDF；（2）在（1）的条件下，连接AF，CE，试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由．21．（5分）如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF．（1）求证：四边形ACFE是菱形；（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，∠ACB＝30°时，求BG的长．22．（5分）疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．观看直播课节数的频数分布表节数x频数频率0≤x＜1080.1610≤x＜20100.2020≤x＜3016b30≤x＜40a0.24x≥4040.08总数501其中，节数在20≤x＜30这一组的数据是：20202122232323232526262627282829请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是；（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有人．23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD，过点A作AG∥DC，过点C作CG∥DA，AG与CG相交于点G．（1）求证：四边形ADCG是菱形；（2）若AB＝10，tan∠CAG＝，求BC的长．24．（6分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点A在直线l上，AD与直线l相交所得的锐角为60°．点F在直线l上，AF＝8，EF⊥直线l，垂足为点F且EF＝6，以EF为直径，在EF的左侧作半圆O，点M是半圆O上任一点．发现：AM的最小值为，AM的最大值为，OB与直线l的位置关系是．思考：矩形ABCD保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点E落在AD边上时，求半圆与矩形重合部分的周长和面积．25．（6分）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校共有3000人，数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为；估计全校非常了解交通法规的有人．（2）补全条形统计图；（3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求丙和丁两名同学同事被选中的概率．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2（m是常数）．（1）求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线y＝1的距离为1，直接写出m的取值范围；（3）如果点A（a，y1），B（a+2，y2）都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1＞y2，求a的取值范围．27．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD，AE⊥CD于点E，以点A为圆心，CD长为半径画弧，交AE于点F，连接DF．（1）依题意补全图形：①设∠BCD＝α，则∠DFA的度数为；（用含α的式子表示）②求证：DF∥BC；（2）探究DF、AF、BC之间的数量关系并证明．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝α，则称线段MN是点A的“α﹣相关线段”．例如，图1中线段MN是点A的“30°﹣相关线段”．（1）已知点A的坐标是（2，0）．①在图2中画出点A的“30°﹣相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；②若点A的“α﹣相关线段”经过点，求α的值．（2）若存在α，β（α≠β）使得点P的“α﹣相关线段”和“β﹣相关线段”都经过点（0，4），记，求t的取值范围．2024年北京市人大附中中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）1．【分析】用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．【解答】解：55000＝5.5×104．故选：A．【点评】本题主要考查了科学记数法以及有效数字，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；注意后面的单位不算入有效数字．2．【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．3．【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．【解答】解：根据几何体的三视图可知，则该几何体是三棱柱．故选：A．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．4．【分析】由题图知：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，进而解决此题．【解答】解：由题知：﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1．∴a+2＜0，|a|＞b，a+b＜0，ab＜0．∴选项B符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查数轴上的点表示的实数以及绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的实数以及绝对值是解决本题的关键．5．【分析】利用|a|＝|b|，可知a与b互为相反数，从而a＜0，b＞0，c＞0，|c|＞|b|＝|a|，进一步判断即可．【解答】解：∵|a|＝|b|，且根据a，b在数轴上位置，∴a与b互为相反数，∴a＜0，b＞0，c＞0，且|c|＞|b|＝|a|，A、a+c，异号两数和，取绝对值大的数的符号，故a+c＞0，是正确的；B、a﹣b，左边的数减去右边的数，是小于0的．故a﹣b＞0，是错误的；C、b+c，两个正数相加，得正数，故b+c＞0，是正确的；D、ac，异号两数积，同号得正，异号得负，故ac＜0，是正确的；故选：B．【点评】本题考查的是有理数的简单运算，解题的关键是两个数的绝对值相等，这两个数相等或互为相反数．本题得看位置知两数互为相反数．6．【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到白球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的结果共有2种，所以两次都摸到白球的概率是＝，故选：D．【点评】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．7．【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的概念以及平行四边形、矩形、菱形的判定定理判断即可．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是中心对称图形，故本选项命题是真命题，不符合题意；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是轴对称图形，故本选项命题是真命题，不符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是中心对称图形，故本选项命题是真命题，不符合题意；D、等边三角形既是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项命题是假命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．【分析】四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可．【解答】解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，所以甲只能是胜两场，即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．故选：D．【点评】此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析即可．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．【解答】解：由题意可得：1﹣x≥0，解得：x≤1，故答案为：x≤1．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．10．【分析】由于D，E，F分别为三边中点，可得△DEF与△ABC的对应边的比为，即其面积比为，进而可得结论．【解答】解：如图，∵D，E，F分别为三边中点，即＝，＝2，∴＝＝，而S△DEF＝8．∴S△ABC故答案为8．【点评】本题主要考查了三角形中位线的性质以及三角形对应边与对应面积的关系，能够掌握并熟练求解．11．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x＝x﹣2，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解，故答案为：x＝﹣1【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．【分析】，“图象离坐标轴越远，|k|越大”．【解答】解：如图，因为反比例函数的图象离坐标轴比反比例函数的图象离坐标轴远，所以k2、＞k1．故答案为：＜．【点评】本题考查了反比例函数图象和反比例系数k的关系，“图象离坐标轴越远，|k|越大”．13．【分析】根据切线的性质得PA＝PB，OA⊥PA，则∠OAP＝90°，可得∠BAP＝55°，从而得到∠ABP的度数．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴PA＝PB，OA⊥PA，∵∠OAB＝35°，∴∠BAP＝90°﹣∠OAB＝55°，∵PA＝PB，∴∠ABP＝∠BAP＝55．故答案为：55．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．14．【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案．【解答】解：由正比例函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象和性质可知，其交点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称，∴y1+y2＝0，故答案为：0．【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确判断的前提．15．【分析】证明△BCE∽△FDE，可得，而△BCE与△FDE的面积比为，即得，设BC＝4t＝AD＝AB，则DF＝3t，在Rt△AFB中，有tan∠BFA＝＝，又∠GFI＝90°﹣∠AFG＝∠FBA，从而推导出tan∠GFI＝tan∠BFA＝．【解答】解：∵ABCD都是正方形，∴∠FDC＝90°＝∠BCD，∵∠FED＝∠CEB，∴△BCE∽△FDE，∴，∵△BCE与△FDE的面积比为，∴，设BC＝4t＝AD＝AB，则DF＝3t，∴AF＝AD+DF＝7t，在Rt△AFB中，tan∠BFA＝＝＝，由“青朱出入图”可知：∠GFI＝90°﹣∠AFG＝∠FBA，∴tan∠GFI＝tan∠BFA＝．故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．16．【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【解答】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，∴第一行中C为白2；第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c为白3，∴第二行中a为黑2，b为黑3；第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3矛盾，∴第二行中e为白4．故答案为：B；4．【点评】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．三、解答题（本题共68分，第17至22题，每小题5分，第23至26题，每小题5分，第27至28题，每小题5分）17．【分析】先把60°的正弦值代入算式，再根据负整数指数幂的性质、零指数幂的性质和绝对值的性质计算乘方和去绝对值符号，然后进行计算即可．【解答】解：原式＝4﹣1+2﹣+4×＝＝．【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质和特殊角的三角函数值．18．【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜，所以不等式组的解集为：，所以不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．19．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝+1时，原式＝＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△CDF；（2）由全等三角形的性质可得AB＝CD，由“SAS”可证△ABE≌△CDF，可得结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDF，∵AE∥CF，∴∠AEB＝∠CFD，∵BF＝DE，∴BF+EF＝DE+EF，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）解：AF＝CE，理由如下：如图：∵△ABE≌△CDF，∴AB＝CD，AE＝CF，在△ABF和△CDE中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AF＝CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝90°，求得AE＝AC，EF＝CF，根据平行线的性质得到∠EAD＝∠AFC，求得AE＝EF＝AC＝CF，于是得到结论；（2）如图，根据矩形的性质得到∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB，根据直角三角形的性质得到BC＝2，CE＝4，由勾股定理得到BE＝＝2，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴AF⊥CE，∵CD＝DE，∴AE＝AC，EF＝CF，∴∠EAD＝∠CAD，∵AE∥CF，∴∠EAD＝∠AFC，∴∠CAD＝∠CFA，∴AC＝CF，∴AE＝EF＝AC＝CF，∴四边形ACFE是菱形；（2）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB，∵AB＝2，CD＝DE，∴BC＝2，CE＝4，∴BE＝＝2，∵AB＝CD＝DE，∠BAE＝∠EDG＝90°，∠AGB＝∠DGE，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴BG＝EG，∴BG＝BE＝．【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．22．【分析】（1）根据频数分布表即可求出a，b；（2）结合（1）根据频数分布表即可补全频数分布直方图；（3）根据节数在20≤x＜30这一组的数据是：20202122232323232526 262627282829即可得观看直播课节数的中位数；（4）利用样本估计总体的方法即可估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的人数．【解答】解：（1）a＝50﹣8﹣10﹣16﹣4＝12，b＝1﹣0.16﹣0.20﹣0.24﹣0.08＝0.32；故答案为：12，0.32；（2）补全的频数分布直方图如下：（3）∵节数在20≤x＜30这一组的数据是：20202122232323232526262627282829∴随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是（23+25）÷2＝24，故答案为：24；（4）500×（0.24+0.08）＝160（人）．答：估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有160人．故答案为：160．【点评】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解决本题的关键是综合掌握以上知识．23．【分析】（1）根据直角三角形的性质和菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ACG，设BC＝3x，AC＝4x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AG∥DC，CG∥DA，∴四边形ADCG是平行四边形，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，∴AD＝CD＝AB，∴四边形ADCG是菱形；（2）解：∵CG∥DA，∴∠BAC＝∠ACG，∴tan∠CAG＝tan∠BAC＝＝，∴设BC＝3x，AC＝4x，∴AB＝5x＝10，∴x＝2，∴BC＝3x＝6．【点评】本题考查了菱形的判定，三角函数的定义，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．24．【分析】发现：先依据勾股定理求得AO的长，然后由圆的性质可得到OM＝3，当点M 在AO上时，AM有最小值，当点M与点E重合时，AM有最大值，然后过点B作BG⊥l，垂足为G，接下来求得BG的长，从而可证明四边形OBGF为平行四边形，于是可得到OB与直线l的位置关系．思考：连接OG，过点O作OH⊥EG，依据垂径定理可知GE＝2HE，然后在△EOH中，依据特殊锐角三角函数值可求得HE的长，从而得到EG的长，接下来求得∠EOG得度数，依据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：发现：由题意可知OM＝OF＝3，AF＝8，EF⊥l，∴OA＝＝＝．当点M在线段OA上时，AM有最小值，最小值为﹣3．当点M与点E重合时，AM有最大值，最大值＝＝10．如图1所示：过点B作BG⊥l，垂足为G．∵∠DAF＝60°，∠BAD＝90°，∴∠BAG＝30°．∴GB＝AB＝3．∴OF＝BG＝3，又∵GB∥OF，∴四边形OBGF为平行四边形，∴OB∥FG，即OB∥l．故答案为：﹣3；10；平行．思考：如图2所示：连接OG，过点O作OH⊥EG．∵∠DAF＝60°，EF⊥AF，∴∠AEF＝30°．∴∠GOE＝120°．∴GE＝2EH＝2××3＝3．∴半圆与矩形重合部分的周长＝+3＝2π+3；S重合部分＝S扇形GOE﹣S△GOE＝．【点评】本题主要考查的是切线的性质和判定、特殊锐角三角函数值的应用、切线长定理，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．25．【分析】（1）由A的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C人数所占比例，由总人数可求全校非常了解交通法规的人数即可得；（2）总人数乘以D的百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得B的人数，据此补全图形即可得；（3）画树状图列出所有等可能结果，再利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为24÷40%＝60（人），∴扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°×＝90°，全校非常了解交通法规的有：3000×40%＝1200（人），故答案为：90°，1200；（2）D类别人数为60×5%＝3，则B类别人数为60﹣（24+15+3）＝18，补全条形图如下：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中丙和丁两名学生同时被选中的结果数为2，所以丙和丁两名学生同时被选中的概率为＝．【点评】本题主要考查条形统计图以及列表法与树状图法等知识；条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，熟知各项目数据个数之和等于总数．26．【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线开口向下可得抛物线顶点在直线y＝2与直线y＝0之间，从而列不等式求解．（3）由顶点在第四象限可得m的取值范围，由抛物线开口向下，y1＞y2，可得a与m之间的关系，进而求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2＝﹣（x﹣m）2+m﹣2，∴抛物线顶点坐标为（m，m﹣2）．（2）∵抛物线开口向下，∴当抛物线与直线y＝0有两个交点且与直线y＝2无交点时满足题意，∵抛物线顶点坐标为（m，m﹣2），∴0＜m﹣2＜2，解得2＜m＜4．（3）∵抛物线顶点（m，m﹣2）在第四象限，∴，解得0＜m＜2，∵抛物线开口向下，∴x≥m时，y随x增大而减小，∴点A，B在对称轴右侧时，满足题意，即a≥m，当点A在对称轴左侧时，设点A（a，y1）关于对称轴对称点A'坐标为（2m﹣a，y1），∴点B在A'右侧时，满足题意，即2m﹣a＜a+2，解得a＞m﹣1，∴a＞m﹣1，∵0＜m＜2，∴a≥1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．27．【分析】（1）①根据题意画出图形，连接CF并延长交AB于点G，首先根据题意证明出△ABC是等腰直角三角形，然后证明出△CAF≌△BCD（SAS），进而得到△AGC是等腰直角三角形，然后证明出△AGF≌△CGD（HL），得到FG＝GD，∠AFG＝∠CDG＝∠BCD+∠B＝α+45°，然后利用∠DFA＝∠AFG+∠GFD求解即可；②由①得到∠FDG＝45°，∠B＝45°，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；（2）根据勾股定理和等腰直角三角形的性质得到，，然后利用勾股定理得到AG2+GF2＝AF2，然后代入求解即可．【解答】（1）①解：如图所示，连接CF并延长交AB于点G，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°，∵AE⊥CD，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD＝α，∵AC＝BC，AF＝CD，∴△CAF≌△BCD（SAS），∴∠ACF＝∠B＝45°，∵∠CAB＝45°，∴∠AGC＝∠CGD＝90°，∴△AGC是等腰直角三角形，∴AG＝CG，又∵AF＝CD，∴△AGF≌△CGD（HL），∴FG＝GD，∠AFG＝∠CDG＝∠BCD+∠B＝α+45°，∵∠FGD＝90°，∴∠GFD＝∠GDF＝45°，∴∠DFA＝∠AFG+∠GFD＝α+45°+45°＝α+90°，故答案为：α+90°；②证明：由①可得，∠FDG＝45°，∵∠B＝45°，∴∠B＝∠FDG，∴DF∥BC；（2）解：BC2+DF2＝2AF2．理由如下：∵△AGC是等腰直角三角形，∴AG2+CG2＝AC2，AG＝CG，∴2AG2＝AC2，∴整理得，∵AB＝AC，∴，∵△FGD是等腰直角三角形，∴同理可得，∵∠AGF＝90°，∴AG2+GF2＝AF2，∴，整理得AC2+FD2＝2AF2，∴BC2+DF2＝2AF2．【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．28．【分析】（1）①如图所示，以点O为旋转中心，将线段AO顺时针旋转30°，得到线段OM，过点M作x轴的垂线段，交x轴于点F，沿x正方向作线段MN，使得MN∥x 轴，MN＝OA，连接AN，线段MN即为所求．②因为点O到点的距离＝，OA＝2，所以点只能为点M或点N．（2）以点O圆心，以PO的长度为半径作⊙O，过点（0，4）作直线l，交⊙O于点M、点M′，将圆⊙O沿直线l移动，将圆心O移动至⊙O上的点P，点M、点M′的对应点分别为点N、点N′，当点M与点M′重合，且坐标为（0，4）时，PO＝4，当点N 与点N′重合，且坐标为（0，4）时，．【解答】解：（1）①如图2.1所示，以点O为旋转中心，将线段OA顺时针旋转30°，得到线段OM，过点M作x轴的垂线段，交x轴于点F，沿x正方向作线段MN，使得MN∥x轴，MN＝OA，连接AN，线段MN即为所求．MF＝OM sin∠AOM＝2×sin30°＝1，．点M的坐标为，点N的坐标为．②∵点O到点的距离＝，OA＝2，∴点只能为点M或点N．当点M为时，如图2.2所示，根据题意可知，∴∠AOM＝α＝60°．当点N为时，如图2.3所示，设MN与y轴交于点F．。