2021-2022年北京市人大附中分校九年级第二学期中考数学的练习卷
2020-2021学年北京人大附中九年级(下)限时练习数学试卷(10)
2020-2021学年北京人大附中九年级（下）限时练习数学试卷（10）一、选择题(本题共16分，每小题2分)1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．科克曲线B．笛卡尔心形线C．赵爽弦图D．斐波那契螺旋线2．港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米，其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道，将数字55000用科学记数法表示为（）A．5.5×104B．55×103C．5.5×103D．0.55×1053．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．B．C．D．4．如图，直线l1∥l2，AB＝BC，CD⊥AB于点D，若∠DCA＝20°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°5．如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b．对于以下四个式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|；④，其中值为负数的是（）A．①②B．③④C．①③D．②④6．某校初中篮球队共有25名球员，为了球队的健康发展和培养球员，要求从13岁到16岁每个年龄段都必须有球员，下表是该球队的年龄分布统计表：年龄（单位：岁）13141516频数（单位：名）311x11﹣x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．平均数、方差C．众数、方差D．众数，中位数7．小明和妈妈在家门口打车出行，借助某打车软件，他看到了当时附近的出根车分布情况，若以他现在的位置为原点，正东、正北分别为x轴、y轴正方向，图中点A的坐标为，那么离他最近的租车所在位置的坐标大约（）A．（3.2，1.3）B．（﹣1.9，0.7）C．（0.7，﹣1.9）D．（3.8，﹣2.6）8．如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小字在甲路口西南角的A处，需要步行到对于乙路口东北角B处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间与小宇的步行时间如下表所示：人行横道交通信号灯的切换时间小宇的步行时间甲路口每1min沿人行横道穿过一条马0.5min路乙路口每2min在甲、乙两路口之间（CD段）5min假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计．若小宇在A处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从A处到达B处所用的最短时间为（）A．6.5min B．7min C．8min D．9min二、填空题(本题共16分，每小题2分)9．分解因式：x2y2﹣9y2＝．10．用一个a的值说明命题“如果a2≥1，那么a≥1”是错误的，这个值可以是a＝．11．方程组的解为．12．如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值是．13．如果a﹣3b＝0，那么代数式（a﹣）÷的值是．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在如图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是．15．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE所在直线折叠，点D 恰好落在边BC上的点F处，若AB＝8，DE＝5，则折痕AE的长为．16．一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行程之间的关系：根据图1，有以下四个说法：①在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐增加；②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km；③大约在这第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始于那段最长直线路程的行驶；④在图2的四条曲线（注：S为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹其中，所有正确说法的序号是．三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27.28题，每小题5分)17．计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．18．解不等式组：．19．已知x2+x﹣1＝0，求代数式（3x+1）2﹣x（x﹣2）的值．20．下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P（如图1），求作：⊙P，使它与直线l相切．作法：如图2，①在直线l上任取两点A，B；②分别以点A，点B为圆心，AP，BP的长为半径画弧，两弧交于点Q；③作直线PQ，交直线l于点C；④以点P为圆心，PC的长为半径画⊙P．所以⊙P即为所求．根据小融设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接AP，AQ，BP，BQ，∵AP＝，BP＝，∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．∵PO⊥l，PC是⊙P的半径，∴⊙P与直线l相切（）（填推理的依据）．21．列方程（组）解应用题：截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽，某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗，已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求乙种树苗每棵的价格．22．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD＝3，tan∠CAB＝时，求AE的长．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A （1，m），与x轴交于点B．（1）求m，k的值；（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3于点D．①当n＝2时，求线段CD的长；②若CD≥OB，结合函数图象，直接写出n的取值范围．24．为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节，为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组的是：80 80 81 81.5 82 83 83 8485 86 86.5 87 88 88.5 89 89c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：平均数中位数众数优秀率83.3847846%根据以上信息，回答下列问题（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是（填“A”或“B”）．（2）根据上述信息，推断学校综合素质展示的水平更高，理由为（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到分的学生才可以入选．25．四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝CD．（1）如图1，求证∠ABC＝2∠ACD；（2）如图2，过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P，tan∠CAB＝，BC＝1，求PD的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣5（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）用含a的式子表示b；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）若抛物线与y轴的一个交点为A（0，﹣4），且当m≤x≤n时，y的取值范围是﹣5≤y≤n，结合函数图象，求m，n所满足的条件．27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．（1）如图1，当点E在线段CD上时，①依题意补全图形；②求证：点G为BF的中点．（2）如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．28．对平面内的∠AOB和一点P，如果在∠AOB的边OA和OB上分别存在点M和点N（点M与点N可以重合），满足PM＝PN＝1，则称点P是∠AOB的“聚点”，若P1和P2是∠AOB的任意两个不同的聚点，把线段P1P2的最大长度称为∠AOB的“轴距”，简记为d（∠AOB）．已知点A（4，0），点B（n，3），（1）如图1，当n＝0时，在点P1（1，2），P2（﹣4，0），P3（﹣1，1），P4（﹣，﹣），∠AOB的聚点有；（2）当0≤n≤4时，求∠AOB的轴距d（∠AOB）的取值范围；（3）如图2，当n＝﹣时，点T在∠AOB的平分线OC所在的直线上运动，以T为圆心作半径为2的圆，若⊙T上存在∠AOB的聚点，直接写出点T的横坐标x T的取值范围．。
2021-2022学年北京人大附中分校九年级(下)限时练习数学试卷(4)(附答案详解)
2021-2022学年北京人大附中分校九年级（下）限时练习数学试卷（4）1.冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办.下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为()A. B.C. D.2.据《央视网》2021年10月26日报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”.截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，将数字0.00000023用科学记数法表示应为()A. 2.3×10−6B. 2.3×10−7C. 0.23×10−6D. 23×10−83.小明想在2个“冰墩墩”和1个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是()A. 12B. 13C. 23D. 164.大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是()A. 3cmB. 4cmC. 6cmD. 9cm5.如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα=23，则满足条件的∠α是()A. B.C. D.6.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是()A. √3rB. (1+√22)r C. (1+√32)r D. √2r7.在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是()A. P→A→QB. P→B→QC. P→C→QD. P→D→Q8.如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的A处，需要步行到对于乙路口东北角B处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间与小宇的步行时间如下表所示：人行横道交通信号灯的切换时间小宇的步行时间甲路口每1min沿人行横道穿过一条马路0.5min乙路口每2min在甲、乙两路口之间(CD段)5min 假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计．若小宇在A处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从A处到达B 处所用的最短时间为()A. 6.5minB. 7minC. 8minD. 9min在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．9.若√1−xx2+310.如图是由哪个立体图形展开得到的______．11.如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成如图2，已知OA=OB=OC=OD=20√3cm，∠COD=60°，则点A到地面(CD所在的平面)的距离是______cm．12.斛是中国古代的一种量器．据《汉书⋅律历志》记载：“斛底，方而圜(ℎuán)其外，旁有庣(tiāo)焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的边长为______尺．(k≠0)的图象有两个交点，则13.在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y=x与y=kxk的取值范围是______．14.为了疫情防控工作的需要，枣庄某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME=7.5米，学生身高BD=1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A 时测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是______.(结果保留根号)15.小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中，为区别口味，他打算制作“∗∗饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°(如图).已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm，则标签长度l应为______cm.(π取3.1)16.为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一(9)班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名(没有并列)，对应名次的得分都分别为a ，b ，c(a >b >c 且a ，b ，c 均为正整数).选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，小奕同学第三轮的得分为______分．第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小恩 aa27 小地 abc 11 小奕cb1017.计算：(13)−1+√18+|−2|−6sin45°．18. 解不等式组{3(x −1)<5x +1x−12≥2x −4，并求它的整数解．19. 如果a 2+3a +1=0，求代数式(a 2+9a+6)⋅2a 2a+3的值．20. 下面是小晗同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：在△ABC 中，AB =BC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求作：∠BPC ，使∠BPC =∠BAC ． 作法：①分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于点E 和点F ，连接EF 交BD 于点O ；②以点O 为圆心，OB 的长为半径作⊙O；③在劣弧AB上任取一点P(不与点A、B重合)连接BP和CP.所以∠BPC=∠BAC.根据小玟设计的尺规作图过程．(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接OA、OC.∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD，(______)(填推理的依据)．∴OA=OC．∵EF是线段BC的垂直平分线，∴OB=______.(______)∴OB=OA.⊙O为△ABC的外接圆．∵点P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC(______)(填推理的依据)．21.已知关于x的一元二次方程x2−2ax+a2−1=0．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．22.如图，一次函数y1=−x+2的图象与反比例函数y2=k的图象相交于A，B两点，点B的坐标为x(2m,−m)．(1)求出m值并确定反比例函数的表达式；(2)请直接写出当x<m时，y2的取值范围．23.如图，在△ABC中，D为AB边上一点、F为AC的中点，过点C作CE//AB交DF的延长线于点E，连结AE．(1)求证：四边形ADCE为平行四边形．(2)若EF=2√2，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．24.如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若sinC=4，AC=6，求⊙O的直径．525.为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组白鼠给服甲离子溶液，B组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同，经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比．按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如表：～A2表示实验数据的范围为121若记A为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到P(A)的估计值为0.70．(1)a=______；b=______．(2)实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：(3×0.01)+(4×0.08)+(5×0.27)+ (6×0.30)+(7×0.22)+(8×0.12)=6.00，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值；(3)甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+4．(1)将y=−x2+2mx−m2+4写成y=a(x−ℎ)2+k的形式为______；(2)当−1≤x≤2时，求y=−x2+2mx−m2+4的最大值；(3)已知A(m−1,y1)，B(3,y2)是抛物线y=−x2+2mx−m2+4上两点．①若m=0，比较y1，y2的大小，并说明理由；②若y1<y2，求m的取值范围．27.在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．(1)①请补全图形；②写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；(2)取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．28.对于平面直角坐标系内的点P和点Q，若点Q能绕着点P旋转α°之后(0<α<180)，落在y轴上，则称Q是P的转换点．(1)已知点A(2,1)．①如图，在B1(4,2)，B2(3,0)，B3(2,−2)中，是A的转换点的是______；②M(3,m)是点A的转换点，则m的取值范围是______；(2)已知直线y=34x+32上所有点都是N(t,0)的转换点，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B【解析】解：0.00000023=2.3×10−7．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的情况数，其中选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的有4种，则小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”额概率是46=23．故选：C．画树状图，共有6种等可能的结果，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”结果有4种，再由概率公式求解即可此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4.【答案】B【解析】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，由相似三角形的性质得到：1015=x6．解得x=4．即蜡烛火焰的高度是4cm．故选：B．直接利用相似三角形的对应边成比例解答．本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．5.【答案】B【解析】解：A.观察图形可得tanα=32，不符合题意；B.观察图形可得tanα=23，符合题意；C.观察图形可得tanα=12，不符合题意；D.观察图形可得tanα=13，不符合题意．故选：B．根据正切的定义分别求出每个图形中的α的正切值可得答案．本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中的灵活应用是解题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查作图−复杂作图，正多边形与圆的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中档题．如图连接CD，AC，DG，AG，在直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图连接CD，AC，DG，AG．∵AD是⊙O直径，∴∠ACD=90°，在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，∴AC=√3r，∵DG=AG=CA，OD=OA，∴OG⊥AD，∴∠GOA=90°，∴OG=√AC2−OA2=√(√3r)2−r2=√2r，故选：D．7.【答案】B【解析】解：B，D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A，B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．故选：B．分类讨论投篮线路经过A，B，C，D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．8.【答案】B【解析】解：由已知得：0.5+0.5+0.5+5+0.5=7(min)故选：B．(1)甲路口出发向北走0.5min(2)等红灯0.5min(3)向东走0.5min(4)走过CD5min(5)乙路口向东走0.5min本题考查有理数的加法运算．9.【答案】x ≤1【解析】解：由题意可得{1−x ≥0x 2+3≠0， 解得：x ≤1，故答案为：x ≤1．根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)，分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．10.【答案】三棱柱【解析】解：如图，是三棱柱的展开图，故答案为：三棱柱．根据三棱柱的特征进行分析解答．本题考查几何体的展开图，理解三棱柱的特征是解题关键．11.【答案】60【解析】解：连接CD ，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，∵OC =OD ，∠COD =60°，∴△COD 是等边三角形，∴∠ODC =60°，在Rt △AED 中，AD =OA +OD =40√3cm ，∴AE =ADsin60°=40√3×√32=60(cm)，∴点A 到地面(CD 所在的平面)的距离是60cm ，故答案为：60．连接CD ，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，先证明△COD 是等边三角形，从而求出∠ODC =60°，然后在Rt △AED 中，利用锐角三角函数进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．12.【答案】√2【解析】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE为直径，∠ECD=45°，由题意得AB=2.5，∴CE=2.5−0.25×2=2，∴CD=√22CE=√2．故答案为：√2．根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．13.【答案】k>0【解析】解：联立两解析式得：{y=x y=kx，消去y得：x2−k=0，∵两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点，∴△=b2−4ac=4k>0，即k>0．故k的取值范围是k>0．故答案为：k>0．联立两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由两函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点得到根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．14.【答案】4√3米【解析】解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME=7.5米，∴CA=EF=BD=1.5米，CD=AB，设FC=x，在Rt△MFC中，∵∠MCF=60°，∴∠FMC=30°，∴MC=2FC=2x，MF=√3x，∵∠MDC=30°，∴∠CMD=60°−30°=30°，∴CD=CM=2x，∵ME=MF+EF，∴√3x+1.5=7.5，解得：x=2√3，∴MC=2x=4√3(米)，答：体温监测有效识别区域AB的长为4√3米．故答案为：4√3米．首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．15.【答案】9.3=3π=9.3(cm)，【解析】解：标签长度l=90⋅π⋅6180故答案为：9.3．利用弧长公式求解即可．．本题考查弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式l=nπr18016.【答案】2【解析】解：由题意可得：(a+b+c)×6=27+11+10=48，∴a+b+c=8，∵a，b，c均为正整数，若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为4×6=24<27，∴a必大于4，又∵a>b>c，∴b+c最小取3，∴4<a<6，∴a=5，b=2，c=1，∴小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二；小地同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三；又∵表格中第二轮比赛，小地第一，小奕第三，∴第二轮比赛中小恩第二，∴第三轮中小恩第一，小地第三，小奕第二，∴小奕的第三轮比赛得2分，故答案为：2．根据三维同学的最后得分情况列出关于a，b，c的等量关系式，然后结合a>b>c且a，b，c均为正整数确定a，b，c的值，从而确定小奕同学第三轮的得分．本题考查方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键．17.【答案】解：原式=3+3√2+2−6×√22=3+3√2+2−3√2=5．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：{3(x−1)<5x+1 ①x−12≥2x−4 ②，由①得：x>−2，由②得：x≤73，∴不等式组的解为−2<x≤73，∴其整数解为：x=−1，0，1，2．【解析】首先计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19.【答案】解：原式=(a2+9a +6aa)⋅2a2a+3=a2+6a+9a ⋅2a2 a+3=(a+3)2a ⋅2a2 a+3=2a(a+3)=2a2+6a．∵a2+3a+1=0，∴a2+3a=−1，∴原式=2×(−1)=−2．【解析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a2+3a+1=0，即可求得所求式子的值．本题考查分式的化简求值，解题关键是明确分式化简求值的方法．20.【答案】等腰三角形的性质OC线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)同弧所对的圆周角相等【解析】(1)解：如图，(2)怎么：连接OA、OC，∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD，(等腰三角形的性质)∴OA=OC．∵EF是线段BC的垂直平分线，∴OB=OC.(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)∴OB=OA.⊙O为△ABC的外接圆．∵点P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC(同弧所对的圆周角相等)．故答案为：等腰三角形的性质；OC，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；同弧所对的圆周角相等．(1)根据几何语言画出对应的几何图形即可；(2)先根据等腰三角形的性质得到BD⊥AC且AD=CD，再根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，所以OB=OA.则⊙O为△ABC的外接圆，然后根据圆周角定理得到∠BPC=∠BAC．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质和圆周角定理．21.【答案】(1)证明：依题意，得Δ=(−2a)2−4(a2−1)=4a2−4a2+4=4，∵Δ>0，∴该方程总有两个不相等的实数根；(2)解：解方程x2−2ax+a2−1=0，得x1=a−1，x2=a+1，∵方程的两个根均为负数，∴{a−1<0,a+1<0.解得a<−1．【解析】(1)求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△≥0，根据判别式的意义即可证明；(2)根据题意得不等式组，解不等式组求得a的取值范围即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，用到的知识点：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．22.【答案】解：(1)∵据题意，点B的坐标为(2m,−m)且在一次函数y1=−x+2的图象上，代入得−m=−2m+2．∴m=2．∴B点坐标为(4,−2)，把B(4,−2)代入y2=k得k=4×(−2)=−8，x∴反比例函数表达式为y2=−8；x(2)当0<x<2时，y2的取值范围是y2<−4，当x<0时，y2>0．【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．(1)把B的坐标代入y1=−x+2求得m的值，得出B(4,−2)，再代入入y2=k即可求得k的x值；(2)根据图象即可求得．23.【答案】(1)证明：∵CE//AB ，∴∠DAF =∠ECF ，∵F 为AC 的中点，∴AF =CF ，在△DAF 和△ECF 中{∠DAF =∠ECFAF =CF ∠AFD =∠CFE，∴△DAF≌△ECF(ASA)，∴AD =CE ．∵CE//AB ，∴四边形ADCE 为平行四边形．(2)作FH ⊥DC 于点H ，∵四边形ADCE 为平行四边形，∴AE//DC ，DF =EF =2√2， ∴∠FDC =∠AED =45°．在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF =2√2，∠FDC =45°，∴sin∠FDC =FHDF =√22，得FH =2，tan∠FDC =HFHD =1，得DH =2．在Rt △CFH 中，∠FHC =90°，FH =2，∠FCD =30°，∴FC =2FH =4． 由勾股定理，得HC =√CF 2−FH 2=√42−22=2√3．∴DC =DH +HC =2+2√3．【解析】本题是平行四边形的判定方法，勾股定理和全等三角形的判定的综合应用，正确作出辅助线是关键．(1)首先证明△DAF≌△ECF ，则AD =CE ，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得；(2)作FH ⊥DC 于点H ，在Rt △DFH 中利用三角函数求得FH 的长，在Rt △CFH 中利用勾股定理即可求解．24.【答案】(1)证明：∵AB =AC ，AD =DC ，∴∠C =∠B ，∠1=∠C ，∴∠1=∠B ，又∵∠E =∠B ，∴∠1=∠E ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE =90°，∴∠E+∠EAD=90°，∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；(2)解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DA=DC，∴CF=12AC=3，在Rt△CDF中，∵sinC=DFDC =45，设DF=4x，DC=5x，∴CF=√CD2−DF2=3x，∴3x=3，解得x=1，∴DC=5，∴AD=5，∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，∴△ADE∽△DFC，∴AEDC =ADDF，即AE5=54，解得AE=254，即⊙O的直径为254．【解析】(1)根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；(2)过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=12AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC=DFDC =45，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．25.【答案】1035【解析】解：(1)根据题意知，b100+0.2+0.15=0.7，0.05+a100+0.15=0.3，解得a=10，b=35，故答案为：10、35；(2)估计乙离子残留百分比的平均值为(3×0.05)+(4×0.10)+(5×0.15)+(6×0.35)+(7×0.20)+(8×0.15)=6.00；(3)甲离子溶液待检药物相对更安全，理由：服用甲、乙离子溶液残留百分比的平均值相同，但服用甲离子溶液残留的中位数和方差均小于乙种溶液，即服用甲离子溶液残留的百分比超过5.9的少于乙溶液，且百分比稳定．(1)根据P(A)的估计值为0.70得出b100+0.2+0.15=0.7，0.05+a100+0.15=0.3，解之可得答案；(2)分别用组中值乘以对应频率，再相加即可；(3)在残留百分比的平均值相同的前提下，比较中位数和方差即可得出答案．本题主要考查方差，解题的关键是掌握频率、加权平均数的定义及中位数和方差的意义．26.【答案】y=−(x−m)2+4【解析】解：(1)y=−x2+2mx−m2+4=−(x2−2mx+m2)+4=−(x−m)2+4，故答案为：y=−(x−m)2+4；(2)y=−(x−m)2+4−1≤x≤2时抛物线开向下，对称轴为x=m．①m<−1时，当x=−1时，y最大=−(−1−m)2+4=−(m+1)2+4．②m=−1时，y最大=4．③−1<m<2时，在顶点处取得最大值，y最大=4．④m=2时，y最大=4．⑤m>2时，当x=2时，y最大=−(2−m)2+4=−(m−2)2+4．给上所述，当m<−1时，y最大=−(m+1)2+4．当−1≤m≤2时，y最大=4．当m>2时，y最大=−(m−2)2+4．(3)①y1>y2，理由如下：若m=0，则对称轴是y轴，∵A(−1,y1)，B(3,y2)，∴B到y轴的距离大于A到y轴的距离．∵a<0，∴y1>y2．②y1=−(m−1−m)2+4=−1+4=3．y2=−(3−m)2+4=−m2+6m−5．∵y1<y2∴3<−m2+6m−5m2−6m+8<0(m−2)(m−4)<0∴2<m<4．(1)利用配方法化简即可．(2)根据对称轴m在x的取值范围的哪一侧即可求出最值．(3)①m=0代入到抛物线的解析式和A点中，根据x离对称轴的远近，就可以得到y的大小．②把两个点的横坐标代入到抛物线的解析式得到y1、y2的解析式，解不等式即可求得．本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．27.【答案】解：(1)①补全图形如下：②CD，AD，ED之间的数量关系是CD2+AD2=DE2，证明如下：连接AE，如图：∵∠ABC=90°，BA=BC，∴∠C=∠BAC=45°，∵线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，∴∠ABE=90°−∠ABD=∠CBD，BE=BD，在△ABE和△CBD中，{AB=BC∠ABE=∠CBD BE=BD，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴∠BAE=∠C=45°，AE=CD，∴∠EAD=∠EAB+∠BAC=90°，∴AE2+AD2=DE2，∵AE=CD，∴CD2+AD2=DE2；(3)CE=2BF，CE⊥BF，证明如下：设BF交CE于H，延长BF至G，使FG=BF，连接AG，如图：∵F是AD中点，∴AF=DF，∵FG=BF，∠AFG=∠DFB，∴△AFG≌△DFB(SAS)，∴∠GAF=∠FDB，AG=BD，∵BD=BE，∴AG=BE，∵∠FDB=∠DBC+∠DCB=∠DBC+45°，∴∠GAF=∠DBC+45°，∴∠GAB=∠GAF+∠BAC=∠DBC+45°+45°=∠DBC+90°，∵∠CBE=∠DBC+∠DBE=∠DBC+90°，∴∠GAB=∠CBE，∵AB=BC，∴△GAB≌△EBC(SAS)，∴BG=CE，∠ABG=∠BCE，∵BG=2BF，∴CE=2BF，∵∠ABG+∠GBC=90°，∴∠BCE+∠GBC=90°，∴∠BHC=90°，∴CE⊥BF．【解析】(1)①根据题意补全图形即可；②连接AE，根据∠ABC=90°，BA=BC，得∠C=∠BAC=45°，由线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，可得∠ABE=90°−∠ABD=∠CBD，BE=BD，即可得△ABE≌△CBD(SAS)，有∠BAE=∠C=45°，AE=CD，故∠EAD=∠EAB+∠BAC=90°，可得AE2+AD2=DE2，从而CD2+AD2=DE2；(3)设BF交CE于H，延长BF至G，使FG=BF，连接AG，根据F是AD中点，可证明△AFG≌△DFB(SAS)，得∠GAF=∠FDB，AG=BD，可得AG=BE，∠GAB=∠DBC+90°，又∠CBE=∠DBC+∠DBE=∠DBC+90°，得∠GAB=∠CBE，知△GAB≌△EBC(SAS)，故BG=CE，∠ABG=∠BCE，从而CE=2BF，可证CE⊥BF．本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及勾股定理、角的和差等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．28.【答案】B1，B3m≥1+√3或m≤1−√3【解析】解：(1)①AB1=√5，AB2=√2，AB3=3．AB1>2，AB2<2，AB3>2．∴A的转换点的是B1，B3．②如图，点M轨迹为直线x=3．AM=√AC2+CM2=√(3−2)2+(m−1)2．当AM=2时解得m=1±√3．∴m≥1+√3或m≤1−√3．(2)如图，作NM⊥直线y=34x+32于点M.直线交x轴y轴于点H，K．∴0H =2，OK =32，HK =52．∴sin∠KHO =OK KH =MN HN =35． 即MN =35HN =35|t +2|．由题意得N 到直线距离≥N 到y 轴距离，即35|t +2|≥|t|，①t ≥0时，0≤t ≤3．②−2<t <0时，−34≤t <0．③t ≤−2时无解．故答案为：−34≤t ≤3．(1)求出点与点距离进行比较．(2)构造直角三角形，通过相似求线段长度，再通过不等式求解．本题考查一次函数综合应用，解题关键是理解题意，数形结合通过构造线段长度作差求解．。
北京市海淀区人大附中2021-2022学年中考三模数学试题含解析
2021-2022中考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．方程2x 2﹣x ﹣3=0的两个根为（ ）A ．x 1=32，x 2=﹣1B ．x 1=﹣32，x 2=1C ．x 1=12，x 2=﹣3D ．x 1=﹣12，x 2=3 2．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．3．反比例函数y=a x （a ＞0，a 为常数）和y=2x在第一象限内的图象如图所示，点M 在y=a x 的图象上，MC ⊥x 轴于点C ，交y=2x 的图象于点A ；MD ⊥y 轴于点D ，交y=2x 的图象于点B ，当点M 在y=a x 的图象上运动时，以下结论： ①S △ODB =S △OCA ；②四边形OAMB 的面积不变；③当点A 是MC 的中点时，则点B 是MD 的中点．其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 4．已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，则下列结论：①ac>0；②a-b+c<0； ③当x 0<时，y 0<；2a b 0+=④，其中错误的结论有( )A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④5．下列各式计算正确的是（ ）A ．a 2＋2a 3＝3a 5B ．a •a 2＝a 3C ．a 6÷a 2＝a 3D ．（a 2）3＝a 56．估计3﹣2的值应该在（）A．﹣1﹣0之间B．0﹣1之间C．1﹣2之间D．2﹣3之间7．一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．若代数式11xx+-有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠19．已知二次函数y=-x2-4x-5，左、右平移该抛物线，顶点恰好落在正比例函数y=-x的图象上，则平移后的抛物线解析式为（）A．y=-x2-4x-1 B．y=-x2-4x-2 C．y=-x2+2x-1 D．y=-x2+2x-210．在平面直角坐标系中，点(2，3)所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为_____．12．函数12yx=，当x＜0时，y随x的增大而_____．13．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于_____．14．反比例函数y =2kx-的图像经过点(2，4)，则k的值等于__________．15．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AM 是BC 边上的中线，cos∠AMC3=5，则tan∠B 的值为__________．16．关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______．17．在计算器上，按照下面如图的程序进行操作：如表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：上面操作程序中所按的第三个键和第四个键分别是_____、_____．x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2y ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 5三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，若22OA OB OC OD====AB，求证：四边形ABCD 是正方形19．（5分）徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B 前往北京．已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？20．（8分）计算（﹣12）﹣2﹣（π﹣3）032|+2sin60°；21．（10分）水龙头关闭不紧会造成滴水，小明用可以显示水量的容器做图①所示的试验，并根据试验数据绘制出图②所示的容器内盛水量W（L）与滴水时间t（h）的函数关系图象，请结合图象解答下列问题：容器内原有水多少？求W与t之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升？图①图②22．（10分）某校数学综合实践小组的同学以“绿色出行”为主题，把某小区的居民对共享单车的了解和使用情况进行了问卷调查.在这次调查中，发现有20人对于共享单车不了解，使用共享单车的居民每天骑行路程不超过8千米，并将调查结果制作成统计图，如下图所示：本次调查人数共人，使用过共享单车的有人；请将条形统计图补充完整；如果这个小区大约有3000名居民，请估算出每天的骑行路程在2～4千米的有多少人？23．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，210BC CD==，CE⊥AD于点E．（1）求证：AE＝CE；（2）若tan D＝3，求AB的长．24．（14分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且BE平分∠ABC，∠ABE=∠ACD，BE，CD交于点F．（1）求证：AB AE AC AD=；（2）请探究线段DE，CE的数量关系，并说明理由；（3）若CD⊥AB，AD=2，BD=3，求线段EF的长．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】利用因式分解法解方程即可．【详解】解：（2x-3）（x+1）=0，2x-3=0或x+1=0，所以x1=32，x2=-1．故选A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2、B【解析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c ＜0，∴抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a ＜0、b ＞0，对称轴为x=2b a＞0， ∴对称轴在y 轴右侧，故第四个选项错误．故选B ．3、D【解析】根据反比例函数的性质和比例系数的几何意义逐项分析可得出解.【详解】①由于A 、B 在同一反比例函数y=2x图象上，由反比例系数的几何意义可得S △ODB =S △OCA =1,正确； ②由于矩形OCMD 、△ODB 、△OCA 为定值，则四边形MAOB 的面积不会发生变化，正确； ③连接OM ，点A 是MC 的中点，则S △ODM =S △OCM =2a ，因S △ODB =S △OCA =1,所以△OBD 和△OBM 面积相等，点B 一定是MD 的中点．正确；故答案选D ．考点：反比例系数的几何意义.4、C【解析】①根据图象的开口方向，可得a 的范围，根据图象与y 轴的交点，可得c 的范围，根据有理数的乘法，可得答案； ②根据自变量为-1时函数值，可得答案；③根据观察函数图象的纵坐标，可得答案；④根据对称轴，整理可得答案．【详解】图象开口向下，得a ＜0，图象与y 轴的交点在x 轴的上方，得c ＞0，ac ＜，故①错误；②由图象，得x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0，故②正确；③由图象，得图象与y 轴的交点在x 轴的上方，即当x ＜0时，y 有大于零的部分，故③错误；④由对称轴，得x=-2b a=1，解得b=-2a ， 2a+b=0故④正确；故选D ．【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．5、B【解析】根据幂的乘方,底数不变指数相乘;同底数幂相除,底数不变,指数相减;同底数幂相乘,底数不变指数相加,对各选项分析判断利用排除法求解【详解】A.a 2与2a 3不是同类项，故A 不正确；B.a •a 2＝a 3,正确；C ．原式＝a 4，故C 不正确；D ．原式＝a 6，故D 不正确；故选：B ．【点睛】此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题的关键在于掌握运算法则.6、A【解析】【详解】解：∵12，∴1-2﹣2＜2-2，∴-1﹣2＜0在-1和0之间．故选A ．【点睛】7、A【解析】∵∆=12-4×1×（-2）=9>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.点睛:本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.8、D【解析】试题分析：∵代数式11x +- ∴10{0x x -≠≥，解得x≥0且x≠1．故选D ．考点：二次根式，分式有意义的条件．9、D【解析】把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数y =﹣x 的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，而平移时，顶点的纵坐标不变，即可求得函数解析式．【详解】解：∵y =﹣x 1﹣4x ﹣5=﹣（x +1）1﹣1，∴顶点坐标是（﹣1，﹣1）．由题知：把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数y=﹣x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数．∵左、右平移时，顶点的纵坐标不变，∴平移后的顶点坐标为（1，﹣1），∴函数解析式是：y=﹣（x－1）1－1=﹣x1+1x ﹣1，即：y=﹣x1+1x﹣1．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律，上下平移时，点的横坐标不变；左右平移时，点的纵坐标不变．同时考查了二次函数的性质，正比例函数y=﹣x的图象上点的坐标特征．10、A【解析】根据点所在象限的点的横纵坐标的符号特点，就可得出已知点所在的象限.【详解】解：点（2,3）所在的象限是第一象限.故答案为：A【点睛】考核知识点：点的坐标与象限的关系.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、60°【解析】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠CBD=30°，∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；故答案是：60°12、减小【解析】先根据反比例函数的性质判断出函数12yx=的图象所在的象限，再根据反比例函数的性质进行解答即可．【详解】解：∵反比例函数12yx=中，12k=>，∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小.故答案为减小.【点睛】 考查反比例函数的图象与性质，反比例函数()0,k y k x=≠ 当0k >时，图象在第一、三象限.在每个象限，y 随着x 的增大而减小，当k 0<时，图象在第二、四象限.在每个象限，y 随着x 的增大而增大.13、210°【解析】根据三角形内角和定理得到∠B ＝45°，∠E ＝60°，根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：如图：∵∠C ＝∠F ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，∴∠B ＝45°，∠E ＝60°，∴∠2+∠3＝120°，∴∠α+∠β＝∠A+∠1+∠4+∠B ＝∠A+∠B+∠2+∠3＝90°+120°＝210°，故答案为：210°．【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．14、1【解析】解：∵点（2，4）在反比例函数2k y x-=的图象上，∴242k -=，即k =1．故答案为1． 点睛：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 15、23【解析】根据cos ∠AMC 3=5，设3MC x =， 5AM x =，由勾股定理求出AC 的长度，根据中线表达出BC 即可求解． 【详解】 解：∵cos ∠AMC 3=5， 35MC cos AMC AM ∠==， 设3MC x =， 5AM x =，∴在Rt △ACM 中，4AC x ==∵AM 是 BC 边上的中线，∴BM=MC=3x ，∴BC=6x ，∴在Rt △ABC 中，42tan 63AC x B BC x ∠===， 故答案为：23． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数值的求解问题，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义．16、k ＜2且k≠1【解析】试题解析：∵关于x 的一元二次方程（k-1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k-1≠0且△=（-2）2-4（k-1）＞0，解得：k ＜2且k≠1．考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的定义．17、＋， １【解析】根据表格中数据求出x 、y 之间的关系，即可得出答案．【详解】解：根据表格中数据分析可得：x 、y 之间的关系为：y=2x+1，则按的第三个键和第四个键应是“+”“1”．故答案为+，1．【点睛】此题考查了有理数的运算，要求同学们能熟练应用计算器，会用科学记算器进行计算．三、解答题（共7小题，满分69分）18、详见解析.【解析】四边形ABCD 是正方形，利用已知条件先证明四边形ABCD 是平行四边形，再证明四边形ABCD 是矩形，再根据对角线垂直的矩形是正方形即可证明四边形ABCD 是正方形．【详解】证明：在四边形ABCD 中，OA=OC,OB=OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵OA=OB=OC=OD ，又∵AC=AO+OC,BD=OB+DO ，∴AC=BD ，∴平行四边形是矩形，在△AOB 中，AO AB =，BO AB = 222221122AO BO AB AB AB +=+= ∴△AOB 是直角三角形，即AC ⊥BD ，∴矩形ABCD 是正方形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及勾股定理的运用和勾股定理的逆定理的运用，题目的综合性很强．19、A 车行驶的时间为3.1小时，B 车行驶的时间为2.1小时．【解析】设B 车行驶的时间为t 小时，则A 车行驶的时间为1.4t 小时，根据题意得：700t ﹣7001.4t=80，解分式方程即可，注意验根.【详解】解：设B 车行驶的时间为t 小时，则A 车行驶的时间为1.4t 小时，根据题意得：700t ﹣7001.4t=80， 解得：t=2.1，经检验，t=2.1是原分式方程的解，且符合题意，∴1.4t=3.1．答：A 车行驶的时间为3.1小时，B 车行驶的时间为2.1小时．【点睛】本题考核知识点：列分式方程解应用题.解题关键点：根据题意找出数量关系，列出方程.20、1【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】原式=1．【点睛】此题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21、（1）0.3 L ；（2）在这种滴水状态下一天的滴水量为9.6 L.【解析】（1）根据点()0,0.3的实际意义可得；（2）设W 与t 之间的函数关系式为W kt b =+，待定系数法求解可得，计算出24t =时W 的值，再减去容器内原有的水量即可.【详解】（1）由图象可知，容器内原有水0.3 L.（2）由图象可知W 与t 之间的函数图象经过点（0，0.3），故设函数关系式为W ＝kt ＋0.3.又因为函数图象经过点（1.5，0.9），代入函数关系式，得1.5k ＋0.3＝0.9，解得k ＝0.4.故W 与t 之间的函数关系式为W ＝0.4t ＋0.3.当t ＝24时，W ＝0.4×24＋0.3＝9.9（L ），9.9－0.3＝9.6（L ），即在这种滴水状态下一天的滴水量为9.6 L.【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是利用待定系数法正确求出一次函数的解析式.22、（1）200，90 （2）图形见解析（3）750人【解析】试题分析：（1）用对于共享单车不了解的人数20除以对于共享单车不了解的人数所占得百分比即可得本次调查人数；用总人数乘以使用过共享单车人数所占的百分比即可得使用过共享单车的人数；（2）用使用过共享单车的总人数减去0～2,4～6,6～8的人数，即可得2～4的人数，再图上画出即可；（3）用3000乘以骑行路程在2～4千米的人数所占的百分比即可得每天的骑行路程在2～4千米的人数.试题解析：（1）20÷10%=200，200×（1-45%-10%）=90 ；（2）90-25-10-5=50，补全条形统计图（3）503000200=750(人)答: 每天的骑行路程在2～4千米的大约750人23、（1）见解析；（2）AB＝4【解析】(1)过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证；(2)由(1)可知：CF=DE，四边形AEFB是矩形，从而求得AB=EF，利用锐角三角函数的定义得出DE和CE的长，即可求得AB的长．【详解】（1）证明：过点B作BH⊥CE于H，如图1．∵CE ⊥AD ，∴∠BHC ＝∠CED ＝90°，∠1＋∠D ＝90°．∵∠BCD ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠D ．又BC ＝CD∴△BHC ≌△CED （AAS ）．∴BH ＝CE ．∵BH ⊥CE ，CE ⊥AD ，∠A ＝90°，∴四边形ABHE 是矩形，∴AE ＝BH ．∴AE ＝CE ．（2）∵四边形ABHE 是矩形，∴AB ＝HE ．∵在Rt △CED 中，tan 3CE D DE ==， 设DE ＝x ，CE ＝3x ， ∴10210CD x ==．∴x ＝2．∴DE ＝2，CE ＝3．∵CH ＝DE ＝2．∴AB ＝HE ＝3－2＝4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键．24、（1）证明见解析；（2）DE=CE ，理由见解析；（3）52EF =．【解析】试题分析：(1)证明△ABE∽△ACD，从而得出结论;(2) 先证明∠CDE=∠ACD，从而得出结论；（3）解直角三角形示得.试题解析：（1）∵∠ABE =∠ACD，∠A=∠A，∴△ABE∽△ACD，∴AB AE AC AD=；（2）∵AB AE AC AD=，∴AD AE AC AB=，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴∠AED =∠ABC，∵∠AED =∠ACD+∠CDE，∠ABC=∠ABE+∠CBE，∴∠ACD+∠CDE=∠ABE+∠CBE，∵∠ABE =∠ACD，∴∠CDE=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠CDE=∠ABE=∠ACD，∴DE=CE；（3）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=∠CDE+∠ADE=90°，∵∠ABE =∠ACD，∠CDE=∠ACD，∴∠A=∠ADE，∠BEC=∠ABE+∠A=∠A+∠ACD=90°，∴AE=DE，BE⊥AC，∵DE=CE，∴AE=DE=CE，∴AB=BC，∵AD=2，BD=3，∴BC=AB=AD+BD=5，在Rt △BDC 中，4CD ===，在Rt △ADC 中，AC ===∴DE AE CE === ∵∠ADC =∠FEC =90°， ∴tan AD EF ACD CD CE∠==，∴·242AD CE EF CD ===．。
北京人大附中 2021-2022 学年度九年级下学期月考数学试题(含答案与解析)
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【详解】解：画树状图如下：
一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，
∴P（一红一黄）= = ．故选C．
5.“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动．如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱的高BC＝6 cm，圆锥的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是( )
A. B.
C. D.
2.把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（ ）
A.y＝（x+1）2+3B.y＝（x﹣2）2+3C.y＝（x﹣1）2+5D.y＝（x﹣1）2+3
3.一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为（ ）
3.非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔。
4.考试本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1.北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的（如图）．下面四个图案中，可以通过平移图案得到的是（）
（2）若 ， ， ，求 长．
22.如图，点 是 直径 上一点，过 作 交 于点 ，连接 ，延长 至点 ，连接 ，使 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
23.已知点P（1，3），Q（3，m）是函数 图象上两点.
（1）求k值和m值.
（2）直线 与 图象交于A，直线 与直线 平行，与x轴交于点B，且与 的图象交于点C.若线段OA，OB， BC及函数 图象在AC之间部分围成的区域内（不含边界）恰有2个整点，结合函数图象，直接写出b的取值范围.（注：横纵坐标均为整数的点称为整点）
2020-2021学年北京人大附中九年级(下)限时练习数学试卷(8)(附答案详解)
2020-2021学年北京人大附中九年级（下）限时练习数学试卷（8）1.下列几何体中，三视图完全相同的是()A. 圆锥B. 圆柱C. 球D. 三棱柱2.实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，以下各式中值最大的是()A. |a+b+c|B. |a+b−c|C. |a−b+c|D. |a−b−c|3.如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠BAD、∠ABC、∠BCD的外角，下列判断正确的是()A. ∠1+∠3=∠ABC+∠DB. ∠1+∠3=180°C. ∠2=∠DD. ∠1+∠2+∠3=360°4.在经过长达3个月的火星停泊轨道运行探测后，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日稳稳降落在火星乌托邦平原南部的预选着陆区，迈出了我国星际探测征程的重要一步，火星作为地球的近邻，到地球的最近距离约为5500万千米，将5500万用科学记数法表示应为()A. 5.5×103B. 5.5×106C. 5.5×107D. 5.5×10105.已知△ABC与△DEF全等，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，点E在AC边上，B，F，C，D四点在同一条直线上.若∠A=40°，∠CED=35°，则以下说法正确的是()A. EF=EC，AE=FCB. EF=EC，AE≠FCC. EF≠EC，AE=FCD. EF≠EC，AE≠FC6.心理学家找了1000位受试者进行暗室实验.每位受试者都要观看并辨别6、8、9三张数字卡，发现将实际数字看成某个数字的概率如表：看成数字 实际数字 689其他6 0.4 0.3 0.2 0.1 8 0.3 0.4 0.1 0.2 90.20.20.50.1例如：实际数字是6被看成6、8、9的概率分别为0.4、0.3、0.2，而被看成其他数字的概率是0.1.根据表中的数据，下列说法中正确的是( )A. 如果可实际数字是8，则至少有一半的可能性会被看成8B. 在数字6、8、9中，被误认的可能性以8最低C. 如果被看成的数字是6，则实际上就是6的可能性不到一半D. 如果被看成的数字是9，则实际上就是9的可能性超过347. 如图，锐角△ABC 中，点D 在BC 边上，∠B =∠BAD =∠CAD.现需在线段AD 上作点P ，使得∠APC =∠ADB ，以下是甲、乙两人的作法：甲：作AC 的中垂线交AD 于点P ，点P 即为所求作点；乙：以C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AD 于点P(异于点D)，点P 即为所求作点； 对于甲、乙两人的作法，以下判断正确的是( )A. 两人都正确B. 两人都错误C. 只有甲正确D. 只有乙正确8. 如图，△ABC 中AB >BC >CA ，现将△ABC 绕点C 顺时针旋转，使得点A′在BC 的延长线上，B 的对应点为B′.记旋转前后三角形的内心分别为I ，I′，旋转前后三角形的外心分别为O ，O′，则以下说法正确的是( )A. II′//BCB. OO′//BCC. IC//I′A′D. OC//O′A′9. 若1√x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______ ．10. 写出一个二元一次方程，使得{x =1y =2是该二元一次方程的一组解：______ ．⋅(2m+n)的值是______ ．11.如果n=4m≠0，那么代数式3m−n4m2−n212.将一次函数y=√3x的图象平移后经过点(0,3)，这个平移变换可以是竖直向上平移3个单位也可以是水平______ ．13.如图，已知平行四边形ABCD，通过测量、计算得平行四边形ABCD的面积约为______ cm2.(结果保留一位小数)交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，14.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b与双曲线y=kx若x1−x2=4，则y1−y2的值为______ ．15.如图，点A的坐标是(1,1)，点B的坐标是(4,2)，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，利用图中网格，满足∠ACB=45°的整点C的个数为______ ．16.设四位候选人ABCD，共五人进行投票，每张选票按照偏好度对候选人进行排序，例如选票“ABCD”表示对四位候选人的偏好度从高到低依次为A>B>C>D.最后综合五张选票形成排序结果，规则如下：对于任意两名候选人M，N，比较选票中M和N的偏好度，若偏好M的人更多，那么在最终排序结果中M在N之前.已知前四张选票依次为：ACBD、ABDC、BCAD、CDBA，并且最终排序结果为ABCD，那么第五张选票的情形可能为______ .(写出一种满足条件的情形即可))−1+|√3−2|−(π−3.14)0+3tan30°．17.计算：(1418.解方程：2xx−2−8x2−2x=119.解不等式组：{8(x−1)>5x−17 x−6≤x−102．20.关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．21.下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；③作直线PA，PB；所以直线PA，PB为⊙O的切线．根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．证明：连接OA，OB．∵OP为⊙M的直径，∴∠OAP=∠______=______°(______)(填推理的依据)．∴OA⊥AP，______⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB为⊙O的切线(______)(填推理的依据)．22.如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，点E为线段AO上一点(不含端点)，点F是点E关于AD的对称点，连接CF与BD相交于点G．(1)证明：AF//BD；(2)若OG=1，OE=2.求BD的长．23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+b经过点(0,2)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x<4时，对于x的每一个值，函数y=−x+b的值与函数y=kx−k的值之和都大于0，直接写出k的取值范围．24.一家公司打算招聘若干英文翻译，现有30位应试者进行了听说能力和读写能力两项测试，他们的成绩(百分制)如图所示．(1)若按照听说测试和读写测试的总成绩将30位应试者分为两组，合理的分类方式应为直线______ .(填“l1”或“l2”)(2)听说和读写测试成绩之和靠前的15位应试者为第Ⅰ组，靠后的15位应试者为第Ⅱ组，记第Ⅰ组的平均成绩为x1，第Ⅱ组的平均成绩为y1，若将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩变为x2，第Ⅱ组的平均成绩为变y2，则，x1______ x2，y1______ y2(填“>”“<”或“=”)．(3)下列推断合理的是______ .(填写所有合理推断的序号)①30位应试者听说能力测试成绩的中位数小于读写能力测试成绩的中位数；②若公司分别赋予听说能力和读写能力7和3的权，那么应试者A加权后的成绩低于应试者B；③若公司招聘了应试者C，建议公司通过培训提高该应试者的听说能力；④图中矩形框中应试者读写能力测试成绩的方差大于听说能力测试成绩的方差．25.如图，过⊙O外一点C作⊙O的切线CB，CD，切点分别为点B，D，直径AB的长为4，BC=2，连接OC，AD．(1)求证：四边形OADC是平行四边形；(2)点G为半径OB上一点，连接CG交⊙O于E，延长CG交⊙O于F，当EF=AD时，求OG的长．x2−x+c．26.已知抛物线C1：y1=12(1)直接写出抛物线C1的顶点坐标______ (用含c的式子表示)；(2)将抛物线C1平移得抛物线C2：y2=a(x−ℎ)2，若2<x≤m时y2≤x恒成立，求m的最大值．=k，点F在BC的延长线上，27.四边形ABCD是平行四边形，E是边BC上一点，BEEC且CF=CE，连接AF交CD于点M，连接AE交DC延长线于N．(1)如图1，∠B=90°，k=1，①依题意补全图形；②求DM的值；CN(2)写出一个k的值，使得对于任意的平行四边形ABCD总有DM=CN，并证明．28.对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M(x1,y1)，N(x2,y2)，我们定义：d1(M,N)=|x1−x2|+|y1−y2|，d2(M,N)=√(x1−x2)2+(y1−y2)2，我们将d1(M,N)，d2(M,N)分别称作两点M、N间的“Ⅰ型距离”和“Ⅱ型距离”．(1)已知A(−1,0)，B(0,√3)①A，B间的“Ⅰ型距离”是______ ；A，B间的“Ⅱ型距离”是______ ；②点M，N是直线AB上任意两点，求d1(M,N)的值；d2(M,N)(2)直线l：y=kx+b(k>0)和抛物线C：y=kx2+b在y轴右侧交于点P，若存在直线l上一点Q(x1,y1)(x1<1)和抛物线C上一点R(x2,y2)(x2>1)，使得d1(P,Q)=d1(P,R)且d2(P,Q)=d2(P,R)，直接写出k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.圆锥的主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为圆形，因此选项A 不符合题意；B.圆柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；C.球的主视图是圆，左视图是圆，俯视图是圆，因此选项C符合题意；D.三棱柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是三角形，因此选项D不符合题意；故选：C．根据各种几何体的三视图的形状进行判断即可．本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．2.【答案】B【解析】解：由题意可得：a<b<0<c，∴a+b−c的结果是最小的，其绝对值最大，故选：B．结合数轴及有理数加减法的运算法则和绝对值的意义分析求解．本题考查有理数的加减混合运算及绝对值的意义，利用数形结合思想解题是关键．3.【答案】A【解析】解：∵∠1+∠DAB=180°，∠3+∠BCD=180°，∴∠1+∠3+∠DAB+∠BCD=360°，∵∠ABC+∠BCD+∠D+∠DAB=360°，∴∠1+∠3=∠ABC+∠D，故A符合题意；∵∠1+∠3只有∠ABC和∠D互补时才等于180°，故B不符合题意；∵只有∠ABC和∠D互补时，∠2=∠D，故C不符合题意；∵多边形的外角和是360°，∴∠1+∠2+∠3<360°，故D不符合题意；故选：A．由平角的定义得到，∠1+∠DAB=180°，∠3+∠BCD=180°，即∠1+∠3+∠DAB+∠BCD=360°，再根据四边形的内角和是360°，等量代换即可得解．此题考查了多边形的内角与外角，熟记四边形的内角和是360°是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：5500万=55000000=5.5×107，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.【答案】B【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠DEF，∠ACB=∠DFE，∵∠A=40°，∠CED=35°，∴∠D=40°，∴∠ACB=40°+35°=75°，∴∠B=180°−40°−75°=65°，∴∠EFD=∠BCA=75°，∴EF=EC，∴BC=EF=EC，∴得不出AE=FC，故选：B．根据全等三角形的性质得出对应边相等好对应角相等解答即可．此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等好对应角相等得出边角关系解答．6.【答案】C【解析】解：由表得：A.如果可实际数字是8，则实际上就被看成8的概率是0.4<12，故此说法错误，不符合题意；B.在数字6、8、9中，6被误认的可能性是1−0.4=0.6，在数字6、8、9中，8被误认的可能性是1−0.4=0.6，在数字6、8、9中，9被误认的可能性是1−0.5=0.5，∴被误认的可能性以9最低，故此说法错误，不符合题意；C.如果被看成的数字是6，则实际上就是6的可能性的概率是0.4<12，故此说法正确，符合题意；D.如果被看成的数字是9，则实际上就是9的可能性是0.50.2+0.2+0.5=59<34，故此说法错误，不符合题意；故选：C．利用表格中的概率数据分析各个选项得出答案即可；此题主要考查了利用频率估计概率以及列表法求概率，正确分析表中数据是解题关键．7.【答案】A【解析】解：设∠B=∠BAD=∠CAD=α，根据甲的作法得到图1，∵P点在AC的垂直平分线上，∴PA=PC，∴∠PCA=∠PAC=α，∴∠APC=180°−∠PAC−∠PCA=180°−2α，∵∠ADB=180°−∠B−∠BAD=180°−2α，∴∠APC=∠ADB，所以甲的作法正确；根据乙的作法得到图2，∵CD=CP，∴∠CDP=∠CPD，∴∠APC=∠ADB，所以乙的作法正确．故选：A．设∠B=∠BAD=∠CAD=α，利用甲的作法得到图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PC，则∠PCA=∠PAC=α，则根据三角形内角和可证明∠APC=∠ADB，于是可判断甲的作法正确；利用乙的作法得到图2，根据等腰腰三角形的性质得到∠CDP=∠CPD，然后根据等角的补角相等可判断乙的作法正确．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．8.【答案】A【解析】解：如图，过点I作ID⊥BC于D，I′D′⊥CA′于D′，连接II′．∵旋转前后三角形的内心分别为I，I′，∴ID=I′D′，∵ID//I′D′，∴四边形IDD′I是平行四边形，∴II′//BC，故选：A．如图，过点I作ID⊥BC于D，I′D′⊥CA′于D′.证明四边形IDD′I是平行四边形，推出II′//BC，可得结论．本题考查三角形的内心，三角形的外心等知识，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题．9.【答案】x >0【解析】解：根据题意，得{x ≥0x ≠0． 解得x >0．故答案是：x >0．根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0求解可得．本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0．10.【答案】x +y =3(答案不唯一)【解析】解：例如1+2=3；将数字换为未知数，得x +y =3．答案不唯一．再如x −y =−1等等．故答案为：x +y =3(答案不唯一)．利用方程的解构造一个等式，然后将数值换成未知数即可．此题是解二元一次方程的逆过程，是结论开放性题目．二元一次方程是不定解方程，一个二元一次方程可以有无数组解，解题的关键是明确一组解可以构造无数个二元一次方程．11.【答案】12【解析】解：3m−n 4m 2−n 2⋅(2m +n)=3m −n (2m +n)(2m −n)⋅(2m +n) =3m−n 2m−n ，当n =4m ≠0时，原式=3m−4m 2m−4m =−m −2m =12，故答案为：12．利用平方差公式先将分母分解因式，然后即可将所求式子化简，再将n =4m ≠0代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．12.【答案】向左移动√3个单位【解析】解：设水平向右平移a个单位，则平移后直线方程是y=√3(x−a)，把(0,3)代入，得3=√3(0−a)，解得a=−√3．即将一次函数y=√3x的图象水平向左移动√3个单位后经过(0,3)，故答案是：向左移动√3个单位．设水平向右平移a个单位，则平移后直线方程是y=√3(x−a)，将(0,3)代入求得a的值即可．此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b的值发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．13.【答案】5.0【解析】解：如图所示，过点D作DE⊥BC于点E，经测量DE=1.8cm，BC=2.8cm，S▱ABCD=BC⋅DE=2.8×1.8=5.04≈5.0(cm2)，故答案为：5.0．过点D作DE⊥BC于点E，测量出BC，DE的长，再利用平行四边形的面积公式即可求出▱ABCD的面积．本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式．14.【答案】4关于直线y=−x对称，【解析】解：∵直线y=x+b与双曲线y=kx∴点A(x1,y1)，B(x2,y2)关于直线y=−x对称，∴x1=−y2，y1=−x2，∵x1−x2=4，∴y1−y2=−x2−(−x1)=4；综上，y1−y2的值为4，故答案为4．利用反比例函数和一次函数y=x+b的性质判断点A和点B关于直线y=−x对称，然后根据关于直线y=−x对称的点的坐标特征得出x1=−y2，y1=−x2，即可求得y1−y2的值．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，得到A、B点的坐标之间的关系是解题的关键．15.【答案】4【解析】解：如图，满足∠ACB=45°的整点C的个数有4个；故答案为：4．根据等腰直角三角形的锐角是45度，以AB为直角边画出等腰直角三角形可解答．本题考查的是等腰直角三角形的性质，新定义：整点，解题的关键是理解整点的意义，正确画出等腰直角三角形，进而求解．16.【答案】ABCD或ABDC【解析】解：设每张选票左起第一位置的偏好度为a，第二个位置的偏好度为b，第三个位置的偏好度为c，第四个位置的偏好度为d，由题意知，a>b>c>d，∴前四张票中A的偏好度为：2a+c+d，B的偏好度为：a+b+2c，C的偏好度为：a+2b+d，D的偏好度为：b+c+2d，要使最终排序结果为ABCD，则，①第五张票可以是ABCD，此时A：3a+c+d>B：a+b+2c+d>C：a+2b+c+d>D：b+c+3d；②第五张票还可以是ABDC，此时A：3a+c+d>B：a+2b+2c>C：a+2b+2d>D：b+2c+2d；∴第五张票的可能情形为ABCD或ABDC，故答案为：ABCD或ABDC．设出四个位置的偏好度，计算偏好度总和，根据最后排序判断第五张票的可能性．本题主要考查推理论证，设出偏好度给A，B，C，D四位候选人排序是解题的关键．17.【答案】解：原式=4+2−√3−1+3×√33=8−√3+√3=8．【解析】先进行负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数的计算，再进行加减运算即可．此题考查的是负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角三角函数的运算，准确进行计算是解决此题关键．18.【答案】解：去分母得：2x2−8=x2−2x，即x2+2x−8=0，分解因式得：(x−2)(x+4)=0，解得：x=2或x=−4，经检验x=2是增根，∴分式方程的解为x=−4．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19.【答案】解：{8(x−1)>5x−17①x−6≤x−102②，解不等式①，得x>−3，解不等式②，得x≤2，∴原不等式组的解为：−3<x≤2．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.【答案】(1)证明：依题意，得△=[−(m+3)]2−4(m+2)=m2+6m+9−4m−8=(m+1)2．∵(m+1)2≥0，∴△≥0．∴方程总有两个实数根．(2)解：解方程，得x1=1，x2=m+2，∵方程的两个实数根都是正整数，∴m+2≥1．∴m≥−1．∴m的最小值为−1．【解析】(1)先根据方程总有两个实数根列出关于m的代数式，判断△≥0即可；(2)根据题意得到x1=1和x2=m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键．21.【答案】OBP90 直径所对的圆周角是直角OB过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线【解析】证明：连接OA，OB．∵OP为OM的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°(直径所对的圆周角是直角)．∴OA⊥AP，OB⊥BP．∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB为⊙O的切线(过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线)．故答案为：OBP，90，直径所对的圆周角是直角，OB，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线．根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵点F是点E关于AD的对称点，∴∠EAD=∠FAD，AE=AF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD=∠ODA，∴∠FAD=∠ODA，∴AF//BD；(2)∵O是矩形ABCD的对角线的交点，∴O是AC的中点，∵AF//BD，∴G为CF的中点，∴OG是△CAF的中位线，∴AF=2OG=2×1=2，∴AE=2，∵OE=2，∴OA=4，∴AC=2OA=8，∴BD=AC=8．【解析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质即可得出结论；(2)根据O是AC的中点，利用中位线性质求出AF，再求出OA即可．本题考查矩形的性质、翻折的性质以及三角形中位线的性质，关键是利用中位线性质得出AF的长．23.【答案】解：(1)∵一次函数y=−x+b经过点(0,2)，∴将点(0,2)代入y=−x+b，得b=2，∴一次函数的解析式为：y=−x+2．(2)令y1=−x+2，y2=kx−k，∴y1+y2=−x+2+kx−k=(k−1)x+2−k，∵当x<4时，(k−1)x+2−k>0，∴k−1<0，解得k<1，，解(k−1)x+2−k>0，得x<k−2k−1>4，∴k−2k−1∴解得k>2，3<k<1．综上，k的取值范围是23【解析】(1)根据点(0,2)在一次函数图象上，用待定系数法代入求解即可；(2)根据题意列出不等式(k−1)x+2−k>0，因为不等式的解包含x<4，所以k−1<>4，求解即可．0、k−2k−1本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，要结合题意进行求解，必要时可以利用函数图象辅助完成．24.【答案】l1<<①③【解析】解：(1)由图可以看出这30位应试者的成绩大部粉分布在直线l1附近，∴合理的分类方式应为直线l1，故答案为：l1．(2)将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩会增大，第Ⅱ组的平均成绩也会增大，即x1<x2，y1<y2，故答案为：x1<x2，y1<y2．(3)由图可知，30位应试者听说能力测试成绩的中位数介于60分到70分之间，他们读写能力测试成绩的中位数介于70分到80分之间，∴30位应试者听说能力测试成绩的中位数小于读写能力测试成绩的中位数，故①符合题意；由图可以看出应试者A听说能力强于应试者B的听说能力，他们两人之的读写能力差的不多，若公司分别赋予听说能力和读写能力7和3的权，那么应试者A加权后的成绩高于应试者B，故②不符合题意；由图可以看出应试者C的听说能力在60分左右、其读写能力在90分左右，若公司招聘了应试者C，建议公司通过培训提高该应试者的听说能力，故③符合题意；由图可看出应试者其听说能力测试成绩集中在50分到60分，其读写能力测试成绩分布较听说能力成绩而言稍均匀，图中矩形框中应试者读写能力测试成绩的方差小于听说能力测试成绩的方差，故④不符合题意；故答案为：①③．(1)观察矩形中30位应试者的成绩分布情况，横轴表示应试者读写能力测试成绩，纵轴表示听说能力测试成绩，可以看出这30位应试者的成绩大部粉分布在直线l1附近；(2)将第Ⅰ组的后三名调至第Ⅱ组后，第Ⅰ组的平均成绩会增大，第Ⅱ组的平均成绩也会增大；(3)观察图像结合中位数、加权平均数及方差的意义进行推导，即可得出相关的结论．本题考查方差、加权平均数及中位数，要将方差、加权平均数及中位数的意义与实际数据相结合，解题的关键要从图入手．25.【答案】(1)解：连接OD，∵CB、CD为⊙O的切线，∴CD=CB，∵AB=4，BC=2，∴CB=BO=OD=CD=2，∴四边形OBCD是菱形，∴CD=OB=OA，CD//OA，∴四边形OADC是平行四边形；(2)解：过点O分别作OM⊥CF于点M，ON⊥DA与点N，∵EF=AD，∴OM=ON=√2，∴OC=2OM，在Rt△COM中，sin∠OCM=OM OC =12，∴∠OCM=30°，作GK⊥CO于点K，设GK=a，则OK=GK=a，CG=2GK=2a，CK=√3a，∵CK+OK=OC，∴√3a+a=2√2，解得：a=√6−√2，∵△OGK为等腰直角三角形，∴OG=√2GK=√2a=√2(√6−√2)=2√3−2．∴OG的长为2√3−2．【解析】(1)连接OD，根据切线长定理得到CD=CB，证明四边形OBCD是菱形，得到CD=OB=OA，CD//OA，从而得到四边形OADC是平行四边形；(2)过点O分别作OM⊥CF于点M，ON⊥DA与点N，证明∠OCM=30°，作GK⊥CO于点K，设GK=a，可得a+√3a=2√2，求出a的值，即可得出OG的长．本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，解直角三角形，菱形的判定和性质，关键是作出辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形的知识解决问题．26.【答案】(1,2c−12)【解析】解：(1)∵y1=12x2−x+c=12(x−1)2+2c−12，∴抛物线C1的顶点坐标(1,2c−12)，故答案为：(1,2c−12)；(2)∵将抛物线C1平移得抛物线C2：y2=a(x−ℎ)2，∴a=12，∴抛物线C2：y2=12(x−ℎ)2，令y3=x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0′，且x0<x0′，∵抛物线C2可以看作抛物线y=12x2左右平移得到的，观察图象，随着抛物线C2的不断平移，x0，x0′的值不断增大，∴当满足2<x≤m时y2≤x恒成立，m的最大值在x0′处取得，可得：x0=2时，所对应的x0′既为m的最大值，于是，将x0=2代入12(x−ℎ)2=x，有12(2−ℎ)2=2，解得：ℎ=4或ℎ=0(舍去)，∴y2=12(x−4)2，此时，y2=y3，得12(x−4)2=x，解得：x0=2，x0′=8，∴m的最大值为8．(1)把抛物线的一般式化为顶点式，即可求顶点坐标；(2)将抛物线C1平移得抛物线C2：y2=a(x−ℎ)2得出a=12，令y3=x，设其图象与抛物线C2交点的横坐标为x0，x0′，且x0<x0′，观察图象，随着抛物线C2的不断平移，x0，x0′的值不断增大，当满足2<x≤m时y2≤x恒成立，m的最大值在x0′处取得，可得：x0=2时，所对应的x0′既为m的最大值．本题考查二次函数与不等式的关系以及一般式与顶点式的转化，关键是利用数形结合的思想的应用．27.【答案】解：(1)①如图，图形即为所求．②∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AD//BC，∠B=∠BCD=∠ECN=90°，∵∠AEB=∠CEN，BE=EC，∴△ABE≌△NCE(ASA)，∴CN=AB，∴CN=CD，∵AD//CF，CF=CE=12BC=12AD，∴DMMC ADCF=2，∴DMDC =23，∴DMCN =23．(2)如图2中，设EC=CF=a．∵BE=kEC，∴BE=ka，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC=(k+1)a，AD//BC，AB//CD，∴CNAB =CEBE=1k，∵CF//AD，∴DMMC =ADCF=k+11，∴DMDC =k+1k+2，∵DM=CN，AB=CD，∴1k =k+1k+2，∴k=√2或−√2(舍弃)．∴当k=√2时，对于任意的平行四边形ABCD总有DM=CN．理由：当k=√2时，∵CN//AB，∴CNAB =√22，∵CF//AD，∴DMMC =ADCF=1+√21，∴DMDC =√22+√2=√22，∴CNAB =DMCD，∵AB=CD，∴CN=DM，∴当k=√2时，对于任意的平行四边形ABCD总有DM=CN．【解析】(1)①根据要求作出图形即可．②首先证明AB =CN =CD ，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．(2)当k =√2时，对于任意的平行四边形ABCD 总有DM =CN.再利用平行线分线段成比例定理，证明CN AB =DM CD ，可得结论．本题属于几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考压轴题．28.【答案】1+√3 2【解析】解：(1)①已知A(−1,0)，B(0,√3)，根据定义，∴d 1(A,B)=∣−1−0∣+∣0−√3∣=1+√3，d 2(A,B)=√(−1−0)2+(0−√3)2=√1+3=2．故答案为：1+√3，2．②设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A 、B 坐标代入得：{−k +b =0b =√3，解得：{k =√3b =√3． ∴直线AB 解析式为y =√3x +√3．∵M ，N 在AB 上，设M(a,√3a +√3)，N(b,√3b +√3)，∴d 1(M,N)=∣a −b ∣+∣√3a −√3b ∣=(1+√3)∣a −b ∣．d 2(M,N)=√(a −b)2+(√3a −√3b)2=√4(a −b)2=2∣a −b ∣．∴d 1(M,N) d 2(M,N)=(1+√3)∣a−b ∣2∣a−b ∣=1+√32．(2)联立{y =kx +b y =kx 2+b，解得：{x 1=0 y 1=b (此点在y 轴上，故舍去)，{x 2=1y 2=k +b ． 故交点P 坐标为(1,k +b)．由题可知点Q 在直线l 上，设点Q(x 1,kx 1+b)，R 在抛物线C 上，设点R(x 2,kx 22+b)，∴d 1(P,Q)=∣x 1−1∣+∣k(x 1−1)∣=(1+k)(1−x 1)，d 1(P,R)=∣ x 2−1∣+∣k(x 2+1)(x 2−1)∣=(x 2−1)[k(x 2+1)+1]．∵d 1(P,Q)=d 1(P,R)，即(1+k)(1−x 1)=(x 2−1)[k(x 2+1)+1]①，同理，由d 2(P,Q)=d 2(P,R)可得：(1−x 1)√1+k 2=(x 2−1)√1+k 2(x 2+1)2 ②，∵x1<1，x2>1，k>0，∴①②得：√1+k2=2√k2(x2+1)2+1，两边同时平方后得：(1+k)2 1+k2=[k(x2+1)+1]2k2(x2+1)2+1，∴1+2k 1+k2=1+2k(x2+1)k2(x2+1)2+1，∴2k 1+k2=2k(x2+1)k2(x2+1)2+1，∴1 1+k2=(x2+1)k2(x2+1)2+1，即k2(x2+1)2+1=(x2+1)(1+k2)，化简整理得：k2x22+k2x2−x2=0，∵x2>1，∴k2x2+k2−1=0，∴x2=1−k2k2>1，即1−k2>k2，∴2k2<1，解得：−√22<k<0或0<k<√22，∵k>0，故0<k<√22．(1)①根据新定义直接计算即可；②先求出直线AB的解析式为y=√3x+√3，再设M(a,√3a+√3)，N(b,√3b+√3)，根据定义分别计算出d1(M,N)=(1+√3)∣a−b∣，d2(M,N)=2∣a−b∣，即可得到d1(M,N) d2(M,N)的值；(2)联立直线l和抛物线C，求出点P坐标为(1,k+b).设点Q(x1,kx1+b)，点R(x2,kx22+b)，则d1(P,Q)=(1+k)(1−x1)，d1(P,R)=(x2−1)[k(x2+1)+1].由d1(P,Q)=d1(P,R)，可得(1+k)(1−x1)=(x2−1)[k(x2+1)+1]①，同理，由d2(P,Q)=d2(P,R)可得：(1−x1)√1+k2=(x2−1)√1+k2(x2+1)2②，然后①②并化简整理可得：k2x2+k2−1=0，继而可得x2=1−k2k2>1，解得0>k>−√22或0<k<√22，又k>0，故0<k<√22．本题考查了对新定义的理解与运用，以及用待定系数法求函数解析式，理解题目所给的定义、得到点P的坐标是解题的关键．。
2022学年北京人大附中中考数学模拟试题(含答案解析)
2022学年北京人大附中中考数学模拟测试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是( )A．∠3=∠A B．∠D=∠DCE C．∠1=∠2 D．∠D+∠ACD=180°2．为喜迎党的十九大召开，乐陵某中学剪纸社团进行了剪纸大赛，下列作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．计算33xx x-+的结果是（）A．6xx+B．6xx-C．12D．14．如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则∠C与∠D的大小关系为（）A．∠C＞∠D B．∠C＜∠D C．∠C=∠D D．无法确定5．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( )A．众数B．方差C．平均数D．中位数6．在1－7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（ ）A ．3月份B ．4月份C ．5月份D ．6月份7．如图，在底边BC 为23，腰AB 为2的等腰三角形ABC 中，DE 垂直平分AB 于点D ，交BC 于点E ，则△ACE 的周长为( )A ．2+3B ．2+23C ．4D ．33 8．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根9．若30m n +-=，则222426m mn n ++-的值为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．010．下列各数中，相反数等于本身的数是（ ）A ．–1B ．0C ．1D ．2二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．用半径为6cm ，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为_______cm ．12．直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____．13．某中学数学教研组有25名教师，将他们分成三组，在38~45（岁）组内有8名教师，那么这个小组的频率是_______。
2021-2022学年北京市首都师大附中中考数学全真模拟试题含解析
2021-2022中考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示sinα的值，错误的是（ ）A ．CDBCB ．ACABC ．ADACD ．CDAC2．若2m ﹣n ＝6，则代数式m-12n +1的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为（ ）A 29B 34C ．2D 414．下列实数0，233，π，其中，无理数共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3tan 3CAB ∠=，3AB =，点D 在以斜边AB 为直径的半圆上，点M 是CD 的三等分点，当点D 沿着半圆，从点A 运动到点B 时，点M 运动的路径长为（ ）A ．π或2π B ．2π或3π C ．3π或π D ．4π或3π 6．据国家统计局2018年1月18日公布，2017年我国GDP 总量为827122亿元，首次登上80万亿元的门槛，数据827122亿元用科学记数法表示为（ ） A ．8.27122×1012B ．8.27122×1013C ．0.827122×1014D ．8.27122×10147．对于不等式组1561333(1)51x x x x ⎧-≤-⎪⎨⎪-<-⎩，下列说法正确的是（ ）A ．此不等式组的正整数解为1，2，3B ．此不等式组的解集为716x -<≤ C ．此不等式组有5个整数解 D ．此不等式组无解8．下列四个实数中，比5小的是( ) A ．30-1B ．27C ．37-1D ．17+19．如图，AB CD ⊥，且AB CD =.E 、F 是AD 上两点，CE AD ⊥，BF AD ⊥.若CE a =，BF b =，EF c =，则AD 的长为（ ）A ．a c +B ．b c +C ．a b c -+D ．a b c +-10．按如下方法，将△ABC 的三边缩小的原来的12，如图，任取一点O ，连AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，得△DEF ，则下列说法正确的个数是（ ）①△ABC 与△DEF 是位似图形 ②△ABC 与△DEF 是相似图形③△ABC 与△DEF 的周长比为1：2 ④△ABC 与△DEF 的面积比为4：1．A ．1B ．2C ．3D ．411．计算tan30°的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．12．若x ＞y ，则下列式子错误的是（ ） A ．x ﹣3＞y ﹣3B ．﹣3x ＞﹣3yC ．x+3＞y+3D ．x y>33二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为9m ，那么这栋建筑物的高度为_____m ．14．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，PA ＞PB ，AB ＝4 cm ，则PA ＝____cm ． 15．如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是_____．16．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M 、N 两点关于对角线AC 对称，若DM=1，则tan ∠ADN= ．17．在ABC 中，A ∠：B ∠：C ∠=1：2：3，CD AB ⊥于点D ，若AB 10=，则BD =______18．如图，在矩形ABCD 中，AD=3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE=EF ，则AB 的长为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠.若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元.请问该学校九年级学生有多少人？20．（6分）已知P是O的直径BA延长线上的一个动点，∠P的另一边交O于点C、D，两点位于AB的上方，AB＝6，OP=m，1sin3P＝，如图所示．另一个半径为6的1O经过点C、D，圆心距1OO n＝．（1）当m=6时，求线段CD的长；（2）设圆心O1在直线AB上方，试用n的代数式表示m；（3）△POO1在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由．21．（6分）一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：销售单价x（元/kg）120 130 (180)每天销量y（kg）100 95 (70)设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？22．（8分）如图，在ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE,试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．23．（8分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．24．（10分）AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．（1）连接BC，求证：BC＝OB；（2）E是AB中点，连接CE，BE，若BE＝2，求CE的长．25．（10分）甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量(件)与时间(时)的函数图象如图所示．（1）求甲组加工零件的数量y与时间之间的函数关系式．（2）求乙组加工零件总量a的值．（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？26．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点M，点E在边BC上，且∠DAE=∠DCB，联结AE，AE与BD交于点F．（1）求证：2=⋅；DM MF MB（2）连接DE，如果BF=3FM，求证：四边形ABED是平行四边形.27．（12分）如图抛物线y=ax2+bx，过点A（4，0）和点B（6，23），四边形OCBA是平行四边形，点M（t，0）为x轴正半轴上的点，点N为射线AB上的点，且AN=OM，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）当△AMN的周长最小时，求t的值；（3）如图②，过点M作ME⊥x轴，交抛物线y=ax2+bx于点E，连接EM，AE，当△AME与△DOC相似时．请直接写出所有符合条件的点M坐标．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解析】【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．【详解】∵∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B=α，A、在Rt△BCD中，sinα=CDBC，故A正确，不符合题意；B、在Rt△ABC中，sinα=ACAB，故B正确，不符合题意；C、在Rt△ACD中，sinα=ADAC，故C正确，不符合题意；D、在Rt△ACD中，cosα=CDAC，故D错误，符合题意，故选D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2、D【解析】先对m-12n+1变形得到12（2m﹣n）+1，再将2m﹣n＝6整体代入进行计算，即可得到答案.【详解】m12-n+1＝12（2m﹣n）+1当2m﹣n＝6时，原式＝12×6+1＝3+1＝4，故选：D．【点睛】本题考查代数式，解题的关键是掌握整体代入法.3、D【解析】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB=13S矩形ABCD，∴12AB•h=13AB•AD，∴h=23AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE即PA+PB．故选D．4、B【解析】根据无理数的概念可判断出无理数的个数．【详解】解：无理数有：3，π.故选B.【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．5、A【解析】根据平行线的性质及圆周角定理的推论得出点M的轨迹是以EF为直径的半圆，进而求出半径即可得出答案，注意分两种情况讨论．【详解】当点D与B重合时，M与F重合，当点D与A重合时，M与E重合，连接BD，FM，AD，EM，∵2,33CF CM CE EFAB BC CD CA AB=====∴//,//,2FM BD EM AD EF=,FMC BDC CME CDA ∴∠=∠∠=∠∵AB是直径90BDA∴∠=︒即90BDC CDA ∠+∠=︒ ∴90FMC CME ∠+∠=︒∴点M 的轨迹是以EF 为直径的半圆， ∵2EF =∴以EF 为直径的圆的半径为1 ∴点M 运动的路径长为1801=180ππ 当1'3CM CD =时，同理可得点M 运动的路径长为12π故选：A ． 【点睛】本题主要考查动点的运动轨迹，掌握圆周角定理的推论，平行线的性质和弧长公式是解题的关键． 6、B 【解析】由科学记数法的定义可得答案. 【详解】解：827122亿即82712200000000，用科学记数法表示为8.27122×1013， 故选B. 【点睛】科学记数法表示数的标准形式为10n a ⨯ (1n ≤＜10且n 为整数). 7、A 【解析】解：1561333(1)51x x x x ⎧-≤-⎪⎨⎪-<-⎩①②，解①得x ≤72，解②得x ＞﹣1，所以不等式组的解集为﹣1＜x ≤72，所以不等式组的整数解为1，2，1．故选A ．点睛：本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． 8、A 【解析】首先确定无理数的取值范围，然后再确定是实数的大小，进而可得答案．【详解】解：A、∵5＜30＜6，∴5﹣1＜30﹣1＜6﹣1，∴30﹣1＜5，故此选项正确；B、∵272825.=>∴275>，故此选项错误；C、∵6＜37＜7，∴5＜37﹣1＜6，故此选项错误；D、∵4＜17＜5，∴51716<+<，故此选项错误；故选A．【点睛】考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键.通常使用夹逼法.9、D【解析】分析：详解：如图,∵AB⊥CD,CE⊥AD,∴∠1=∠2,又∵∠3=∠4,∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,即∠A=∠C.∵BF⊥AD,∴∠CED=∠BFD=90°,∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,ED=BF=b,又∵EF=c,∴AD=a+b-c.故选:D.点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键.10、C【解析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF 是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【详解】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，∵将△ABC的三边缩小的原来的12，∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，故③选项错误，根据面积比等于相似比的平方，∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．故选C．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，中等难度,熟悉位似图形的性质是解决问题的关键．11、C【解析】tan30°=．故选C．12、B【解析】根据不等式的性质在不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个A 、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；B 、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误；C 、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；D 、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确．故选B ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1【解析】分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．详解：设这栋建筑物的高度为xm ， 由题意得，2=19x ， 解得x=1，即这栋建筑物的高度为1m ．故答案为1．点睛：同时同地的物高与影长成正比，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出这栋高楼的高度，体现了方程的思想．14、 2【解析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AB ，代入运算即可． 【详解】解：由于P 为线段AB=4的黄金分割点，且AP 是较长线段；则AP=4×12=)21cm ，故答案为：（2）cm.【点睛】此题考查了黄金分割的定义，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的12，难度一般．先根据相似三角形面积的比是4：9，求出其相似比是2：1，再根据其对应的角平分线的比等于相似比，可知它们对应的角平分线比是2：1．故答案为2：1.点睛：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．16、43【解析】M 、N 两点关于对角线AC 对称，所以CM=CN ，进而求出CN 的长度．再利用∠ADN=∠DNC 即可求得tan ∠ADN ．【详解】解：在正方形ABCD 中，BC=CD=1．∵DM=1，∴CM=2，∵M 、N 两点关于对角线AC 对称，∴CN=CM=2．∵AD ∥BC ，∴∠ADN=∠DNC ，4tan 3DC DNC NC ∠== 4tan 3ADN ∴∠= 故答案为43 【点睛】本题综合考查了正方形的性质，轴对称的性质以及锐角三角函数的定义．17、2.1【解析】先求出△ABC 是∠A 等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解．【详解】解：根据题意，设∠A 、∠B 、∠C 为k 、2k 、3k ，则k+2k+3k=180°，解得k=30°，∵AB=10，∴BC=12AB=1，∵CD⊥AB，∴∠BCD=∠A=30°，∴BD=12BC=2.1．故答案为2.1．【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半、求出△ABC是直角三角形是解本题的关键．18、【解析】【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，∴EF=BC=3，AE=AB，∵DE=EF，∴AD=DE=3，∴，∴，故答案为.【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、1人【解析】解：设九年级学生有x人，根据题意，列方程得：19361936?0.8⋅=，整理得0.8（x+88）=x，解之得x=1．经检验x=1是原方程的解．答：这个学校九年级学生有1人．设九年级学生有x 人，根据“给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元”可得每个文具包的花费是：1936x 元，根据“若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元”可得每个文具包的花费是：1936?x 88+，根据题意可得方程19361936?0.8x x 88⋅=+，解方程即可． 20、 (1)CD=25;(2)m=23812n n- ;(3) n 的值为955或9155 【解析】分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论；（2）解Rt △POH ，得到Rt 3m OH OCH ＝．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论； （3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论．详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．在Rt △1sin 63POH P PO =中，＝，，∴2OH =．∵AB ＝6，∴3OC ＝．由勾股定理得： 5CH =∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==（2）在Rt △1sin 3POH P PO m 中，＝，＝，∴3m OH ＝． 在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝． 在Rt △O CH 中，22m ⎛⎫＝．可得： 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -：＝． （3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n -＝，解得9n ：＝． 即圆心距等于O 、1O 的半径的和，就有O 、1O 外切不合题意舍去．ii ）11O P OO ＝，由22233m m n m -+-（）（） n ＝， 解得：23m n ＝，即23n 23812n n-＝，解得9155n ：＝． ②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 28132n m n-＝． ∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132n n n-＝，解得955n ：＝． 综上所述：n 的值为955或9155． 点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．21、 (1)y=﹣0.5x+160，120≤x≤180；(2)当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．【解析】试题分析：（1）首先由表格可知：销售单价没涨10元，就少销售5kg ，即可得y 与x 是一次函数关系，则可求得答案；（2）首先设销售利润为w 元，根据题意可得二次函数，然后求最值即可．试题解析：（1）∵由表格可知：销售单价没涨10元，就少销售5kg ，∴y 与x 是一次函数关系，∴y 与x 的函数关系式为：y =100﹣0.5（x ﹣120）=﹣0.5x +160，∵销售单价不低于120元/kg ．且不高于180元/kg ，∴自变量x 的取值范围为：120≤x ≤180；（2）设销售利润为w 元，则w =（x ﹣80）（﹣0.5x +160）=，∵a =＜0，∴当x ＜200时，y 随x 的增大而增大，∴当x =180时，销售利润最大，最大利润是：w ==7000（元）．答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．【解析】（1）由全等三角形的判定定理AAS证得结论．（1）由（1）中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，∠1=∠1；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC，则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE⊥DF．【详解】解：（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF．∴∠1=∠1．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE，∵在△ADE与△BFE中，12DEA FEB AE BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BFE（AAS）．（1）CE⊥DF．理由如下：如图，连接CE，由（1）知，△ADE≌△BFE，∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠1．∵DF平分∠ADC，∴∠1=∠2．∴∠2=∠1．∴CD=CF．∴CE⊥DF．23、（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.分析：（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF 是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45°，∵∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．24、（2）见解析；（2）【解析】（2）连接OC，根据圆周角定理、切线的性质得到∠ACO=∠DCB，根据CA=CD得到∠CAD=∠D，证明∠COB=∠CBO，（2）连接AE，过点B作BF⊥CE于点F，根据勾股定理计算即可．【详解】（2）证明：连接OC，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CD为⊙O切线∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＝∠DCB＝90°﹣∠OCB，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠D．∴∠COB＝∠CBO．∴OC＝BC．∴OB＝BC；（2）连接AE，过点B作BF⊥CE于点F，∵E是AB中点，∴AE BE=，∴AE＝BE＝2．∵AB为⊙O直径，∴∠AEB＝90°．∴∠ECB＝∠BAE＝45°，22AB=，∴122CB AB==．∴CF＝BF＝2．∴3EF=∴13CE=+【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．25、 (1)见解析（2）300（3）2小时【解析】解：（1）设甲组加工的零件数量y 与时间x 的函数关系式为y kx =．根据题意，得6360k =，解得60k =．所以，甲组加工的零件数量y 与时间x 的函数关系式为:60y x =.（2）当2x =时，100y =．因为更换设备后，乙组工作效率是原来的2倍， 所以，10010024.8 2.82a -=⨯-．解得300a =． （3）乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y 与时间x 的函数关系式为100100( 2.8)100180y x x =+-=-．当0≤x ≤2时，6050300x x +=．解得3011x =．舍去． 当2<x ≤2.8时，10060300x +=．解得103x =．舍去． 当2.8<x ≤4.8时，60100180300x x +-=．解得3x =．所以，经过3小时恰好装满第1箱．当3<x ≤4.8时，601001803002x x +-=⨯．解得398x =．舍去． 当4.8<x ≤6时．603003002x +=⨯．解得5x =．因为5－3=2，所以，再经过2小时恰好装满第2箱．26、(1) 证明见解析;(2) 证明见解析.【解析】分析：（1）由AD ∥BC 可得出∠DAE =∠AEB ，结合∠DCB =∠DAE 可得出∠DCB =∠AEB ，进而可得出AE ∥DC 、△AMF ∽△CMD ，根据相似三角形的性质可得出FM DM =AM CM，根据AD ∥BC ，可得出△AMD ∽△CMB ，根据相似三角形的性质可得出AM CM =DM BM ，进而可得出FM DM =DM BM ，即MD 2=MF •MB ； （2）设FM =a ，则BF =3a ，BM =4a ．由（1）的结论可求出MD 的长度，代入DF =DM +MF 可得出DF 的长度，由AD ∥BC ，可得出△AFD ∽△△EFB ，根据相似三角形的性质可得出AF =EF ，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形ABED 是平行四边形．详解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠AEB ．∵∠DCB =∠DAE ，∴∠DCB =∠AEB ，∴AE ∥DC ，∴△AMF ∽△CMD ，∴FM DM =AM CM ． ∵AD ∥BC ，∴△AMD ∽△CMB ，∴AM CM =DM FM BM DM ∴，=DM BM ，即MD 2=MF •MB ． （2）设FM =a ，则BF =3a ，BM =4a ．由MD 2=MF •MB ，得：MD 2=a •4a ，∴MD =2a ，∴DF =BF =3a ．∵AD ∥BC ，∴△AFD ∽△△EFB ，∴AF EF =DF BF=1，∴AF =EF ，∴四边形ABED 是平行四边形．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的性质以及矩形，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质找出FM DM =AM CM 、AM CM =DM BM；（2）牢记“对角线互相平分的四边形是平行四边形”． 27、（1）3x 223x ，点D 的坐标为（223）；（2）t=2；（3）M 点的坐标为（2，0）或（6，0）． 【解析】 （1）利用待定系数法求抛物线解析式；利用配方法把一般式化为顶点式得到点D 的坐标；（2）连接AC ，如图①，先计算出AB=4，则判断平行四边形OCBA 为菱形，再证明△AOC 和△ACB 都是等边三角形，接着证明△OCM ≌△ACN 得到CM=CN ，∠OCM=∠ACN ，则判断△CMN 为等边三角形得到MN=CM ，于是△AMN 的周长=OA+CM ，由于CM ⊥OA 时，CM 的值最小，△AMN 的周长最小，从而得到t 的值；（3）先利用勾股定理的逆定理证明△OCD 为直角三角形，∠COD=90°，设M （t ，0），则E （t 3223t ），根据相似三角形的判定方法，当AM ME OC OD =时，△AME ∽△COD ，即|t-4|：3223t |：43，当AM ME OD OC =时，△AME ∽△DOC ，即|t-4|433223：4，然后分别解绝对值方程可得到对应的M 点的坐标． 【详解】 解：（1）把A （4，0）和B （6，3y=ax 2+bx 得164036623a b a b +⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝，解得3623a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为y=36x 2-233x ； ∵y=36x 2-233x =3(x 6-2) 2-233； ∴点D 的坐标为（2，-233）； （2）连接AC ，如图①，()2246(23)-+， 而OA=4，∴平行四边形OCBA 为菱形，∴OC=BC=4，∴C （2，3），∴()2224(23)-+，∴OC=OA=AC=AB=BC ，∴△AOC 和△ACB 都是等边三角形，∴∠AOC=∠COB=∠OCA=60°，而OC=AC ，OM=AN ，∴△OCM ≌△ACN ，∴CM=CN ，∠OCM=∠ACN ，∵∠OCM+∠ACM=60°，∴∠ACN+∠ACM=60°，∴△CMN 为等边三角形，∴MN=CM ，∴△AMN 的周长=AM+AN+MN=OM+AM+MN=OA+CM=4+CM ，当CM ⊥OA 时，CM 的值最小，△AMN 的周长最小，此时OM=2，∴t=2；（3）∵C （2，，D （2，-3），∴CD=3，∵=，OC=4， ∴OD 2+OC 2=CD 2，∴△OCD 为直角三角形，∠COD=90°，设M （t ，0），则E （t 2t ）， ∵∠AME=∠COD ，∴当AM ME OC OD =时，△AME ∽△COD ，即|t-4|：4=|6t 2-3t |：3， 整理得|16t 2-23t|=13|t-4|， 解方程16t 2-23t =13（t-4）得t 1=4（舍去），t 2=2，此时M 点坐标为（2，0）； 解方程16t 2-23t =-13（t-4）得t 1=4（舍去），t 2=-2（舍去）；当AM ME OD OC =时，△AME ∽△DOC ，即|t-4|2：4，整理得|16t 2-23t |=|t-4|， 解方程16t 2-23t =t-4得t 1=4（舍去），t 2=6，此时M 点坐标为（6，0）； 解方程16t 2-23t =-（t-4）得t 1=4（舍去），t 2=-6（舍去）； 综上所述，M 点的坐标为（2，0）或（6，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、平行四边形的性质和菱形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；熟练掌握相似三角形的判定方法；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
2021-2022学年北京市海淀区人大附中中考数学全真模拟试卷含解析
2021-2022中考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．计算（—2）2－3的值是（ ）A 、1B 、2C 、—1D 、—22．如图，一个铁环上挂着6个分别编有号码1，2，3，4，5，6的铁片．如果把其中编号为2，4的铁片取下来，再先后把它们穿回到铁环上的仼意位置，则铁环上的铁片（无论沿铁环如何滑动）不可能排成的情形是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ ）A ．10πB ．15πC ．20πD ．30π4．如图，在,//ABC DE BC ∆中，,D E 分别在边,AB AC 边上，已知13AD DB =，则DE BC 的值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．255．欧几里得的《原本》记载，形如22x ax b +=的方程的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=，2a BC =，AC b =，再在斜边AB 上截取2a BD =.则该方程的一个正根是（ ）A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长6．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，不等式组1010x x +⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=,6AC =,8BC =,点,P Q 分别在,AB BC 上，AQ CP ⊥于D ，45CQ BP =则ACP ∆的面积为（ ）A ．232B ．252C ．272D ．2929．如图所示是放置在正方形网格中的一个ABC ∆ ,则tan ABC ∠的值为( )A．255B．55C．2D．1210．－10－4的结果是（）A．－7 B．7 C．－14 D．13二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，已知CD是Rt△ABC的斜边上的高，其中AD=9cm，BD=4cm，那么CD等于_______cm.12．分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝_____．13．分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是_____．14．抛物线y=mx2+2mx+5的对称轴是直线_____．15．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______．16．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP＝AB，过点C作CE⊥BP 交直线BP于E.(1) 若，求证：；(2) 若AB＝BC．①如图2，当点P与E重合时，求的值；②如图3，设∠DAP的平分线AF交直线BP于F，当CE＝1，时，直接写出线段AF的长.18．（8分）某景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a= ，b= ；（2）确定y2与x之间的函数关系式：（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到该景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？19．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF、DF（1）求证：BF是⊙A的切线．（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．20．（8分）截至2018年5月4日，中欧班列（郑州）去回程开行共计1191班，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在河南采购一批特色商品，经调查，用1600元采购A型商品的件数是用1000元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价少20元，已知A型商品的售价为160元，B型商品的售价为240元，已知该客商购进甲乙两种商品共200件，设其中甲种商品购进x件，该客商售完这200件商品的总利润为y元（1）求A、B型商品的进价；（2）该客商计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）在（2）的基础上，实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若客商保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该客商获得最大利润的进货方案．21．（8分）爸爸和小芳驾车去郊外登山，欣赏美丽的达子香（兴安杜鹃），到了山下，爸爸让小芳先出发6min，然后他再追赶，待爸爸出发24min时，妈妈来电话，有急事，要求立即回去．于是爸爸和小芳马上按原路下山返回（中间接电话所用时间不计），二人返回山下的时间相差4min，假设小芳和爸爸各自上、下山的速度是均匀的，登山过程中小芳和爸爸之间的距离s（单位：m）关于小芳出发时间t（单位：min）的函数图象如图，请结合图象信息解答下列问题：（1）小芳和爸爸上山时的速度各是多少？（2）求出爸爸下山时CD段的函数解析式；（3）因山势特点所致，二人相距超过120m就互相看不见，求二人互相看不见的时间有多少分钟？22．（10分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处,如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB 的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．23．（12分）如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中，牌面上的数字都是偶数的概率．24．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DFAC CG=．求证：△ADF∽△ACG；若12ADAC=，求AFFG的值．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解析】本题考查的是有理数的混合运算根据有理数的加法、乘方法则，先算乘方，再算加法，即得结果。