北京市海淀区2021-2022学年人大附中九年级上学期期中数学试卷(含答案解析)

北京市海淀区2021-2022学年人大附中九年级上学期期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．方程x 2－5x －2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A ．1，﹣5，﹣2B ．1，5，2C ．1，5，﹣2D ．0，﹣5，﹣2 2．若点A (3，﹣2)与点B 关于原点对称，则B 点坐标为（ ）A ．(3，2)B ．(﹣3，2)C ．(3，﹣2)D ．(﹣3，﹣2) 3．若点(0，a )，(4，b )都在二次函数y ＝(x －2)2的图象上，则a 与b 的大小关系是（ ） A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．无法确定 4．用配方法解方程2410x x -=+，正确的是（ ）A ．2(2)5x -=B ．2(2)3x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x += 5．如图，Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，以B 点为中心，将ABC 旋转至DBE ，使E 点恰好在AB 上，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小宇的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A ，B ，连接AB ，再作出AB 的垂直平分线，交AB 于点C ，交AB于点D ，测出,AB CD 的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出40cm,10cm AB CD ==，则轮子的半径为（ ）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm7．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，与x 轴的一个交点为(1，0)，则下列说法中不正确的是（）A．a＜0，c＜0 B．4a＋b＝0C．方程ax2＋bx＋c＝0的实数根为x1＝1，x2＝3 D．不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为1＜x＜38．如图，AB是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于P点，连接OP与半圆交于C点；AC长为半径作弧，两弧交于Q点，连接OQ与半圆（2）分别以A、C为圆心，大于12交于D点；（3）连接AD、BD、BC，BD与OC交于E点．根据以上作图过程及所作图形，下轮结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE OE．所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题9．利用圆弧，可以设计出很多有趣的图案．下图是小宇设计的三幅图案，所有中心对称图形的序号是___________．10．将抛物线y＝12x2向下平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为_____________．11．如图，在⊙O中，若AB BC CD==，则AC与2CD的大小关系是：AC__2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）12．一元二次方程220x x k++=有两个相等的实数根，则k的值为__________．13．如图，AB是半圆O的直径，C、D点在半圆O上，若∠BOC＝80°，则∠BDC＝_______．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，AOB可以看作是将DCE绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是___________．15．某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为x，则可列方程为_______________．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2y ax bx =+，其中0a b +>，下列结论： ①若这个函数的图象经过点(2,0)，则它必有最大值；②若这个函数的图象经过第三象限的点P ，则必有0a <；③若0a <，则方程20ax bx +=必有一根大于1；④若0a >，则当112x ≤≤时，必有y 随x 的增大而增大． 结合图象判断，所有正确结论的序号是____________．三、解答题17．解方程：267x x -=．18．如图，AB ＝AC ，CA 平分∠BCD ，E 点在BC 上，且∠BAE ＝∠CAD ＝90°，求证：CD ＝BE ．19．已知a 是方程x 2－2x －1＝0的一个根，求代数式(a －2)2＋(a ＋1)(a －1)的值． 20．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是AB 的中点．求证：A B ∠=∠．21．下图是小宇设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程．已知：∠MON ．求作：射线OP ，使得OP 平分∠MON ．作法：如图，①在射线OM 上任取一点A ，以A 为圆心，OA 长为半径作圆，交OA 的延长线于B 点； ②以O 为圆心，OB 长为半径作弧，交射线ON 于C 点；③连接BC ，交⊙A 于P 点，作射线OP ．射线OP 就是要求作的角平分线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：∵OB是⊙A直径，P点在⊙A上∴∠OPB＝90°（）（填依据）∴OP⊥BC∵OB＝OC∴OP平分∠MON（）（填依据）22．关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．23．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋mx＋n的对称轴为直线x＝2，且经过点A(0，3)．（1）求这个二次函数的解析式，并画出它的图象；（2）将这个二次函数的图象沿y轴向下平移，请回答：当向下平移单位时，所得到的新的函数图象与x轴的两个交点的距离为4．24．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．（1）①当运动停止时，t的值为；②设P、C之间的距离为y，则y与t满足关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；（2）设△PCQ的面积为S．①求S的表达式（用含t的式子表示）；②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？25．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接BC，过O点作OD⊥BC于D点，交弧BC于E点，连接AE交BC于F点．（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E；（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2mx＋m2－1．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若这条抛物线过点(m－2，y1)，(m＋n，y2)，且y1＜y2，结合图象，求n的取值范围．（3）直线y＝﹣x＋b与x轴交于A(3，0)，与y轴交于B点，过B点作垂直于y轴的直线l交这条抛物线于P、Q点，若△OAP和△OAQ中有且仅有一个为钝角三角形，结合图像，求m的取值范围．27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D为平面内一点，且AD＜AB，以A点为中心，将线段AD逆时针旋转180°－α，得到线段AE．（1）如图1，当D点在线段BC上时，恰有AE∥BC，连接DE交AC于F点，求证：F为线段DE中点；（2）连接BE、CD，取BE中点G，连接AG．①如图2，当D点在△ABC内部时，用等式表示线段AG与CD之间的数量关系，并证明；②令α＝90°，若当A、D、G三点共线时，恰有∠AGB＝120°，直接写出此时DGCD的值．28．在平面直角坐标系xOy中，已知线段AB和图形W，如果对于给定的角α（0°＜α≤90°），线段AB上存在一点C，使得线段AB绕点C顺时针旋转α角之后，所得线段与图形W 有公共点，则称图形W是线段AB的α﹣联络图形．例如，下图中的正方形即为线段AB的90°﹣联络图形．已知点A(1，0)（1）若点B(3，0)，直线y＝﹣1是线段AB的α﹣联络图形，则α可能是下列选项中的（填序号）．①15°②30°③54°（2）若点B(t，0)，直线y AB的60°﹣联络图形，求t的取值范围．（3）若第一象限内的点B满足AB＝2，点P(m，0)，Q(m－1，若存在某个点B 和某个α，使得线段PQ是线段AB的α﹣联络图形，直接写出m的取值范围．参考答案1．A【分析】根据一元二次方程一般式，找出所求即可．【详解】解：方程x 2－5x －2＝0，二次项系数是1，一次项系数是5-，常数项是2-，故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，其一般形式为20(a 0)++=≠ax bx c ．2．B【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数求解即可．【详解】若点A (3，﹣2)与点B 关于原点对称，则B 点坐标为(﹣3，2)故选B【点睛】本题考查了平面直角坐标系中对称点的坐标特点，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．3．C【分析】根据二次函数解析式可知对称轴为2x =，则点(0，a )，(4，b )关于对称轴对称，进而即可判断a b =【详解】二次函数y ＝(x －2)2的对称轴为2x =，点(0，a )，(4，b )都在二次函数y ＝(x －2)2的图象上， 又点(0，a)，(4，b)关于2x =对称,a b ∴=故选C【点睛】本题考查了二次函数图象的对称性，理解二次函数图象的性质是解题的关键．4．D【分析】先把常数项1-移项后，给方程左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方，即可得出答案．【详解】解：2410x x -=+移项得：241x x +=，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方得：24414x x ++=+，配方得：2(2)5x +=，故选D ．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤．5．B【分析】先根据勾股定理可得AB ＝5，再根据旋转的性质可得BE ＝BC ＝3，由此即可求得AE 的长．【详解】解：∵∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴5AB ，∵以B 点为中心，将ABC 旋转至DBE ，使E 点恰好在AB 上，∴BE ＝BC ＝3，∴AE ＝AB －BE ＝2，故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理以及旋转的性质，熟练掌握勾股定理以及对应点到旋转中心的距离相等是解决本题的关键．6．C【分析】由垂径定理，可得出BC 的长；连接OB ，在Rt △OBC 中，可用半径OB 表示出OC 的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径即可．【详解】解：设圆心为O ，连接OB ．Rt △OBC 中，BC =12AB =20cm ，根据勾股定理得：OC 2+BC 2=OB 2，即：（OB -10）2+202=OB 2，解得：OB =25；故轮子的半径为25cm ．故选：C ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．D【分析】观察图象，得：抛物线开口向下，与y 轴交于负半轴，可得a ＜0，c ＜0；根据抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，可得40a b += ；设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为(),0x ，再由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为(1，0)，可得抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为()3,0，可得到方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实数根为x 1＝1，x 2＝3，根据图象可得当1x < 或3x > 时，抛物线的图象位于x 轴的下方，从而得到不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为1x < 或3x >，即可判断．【详解】解：A 、观察图象，得：抛物线开口向下，与y 轴交于负半轴，∴a ＜0，c ＜0，故A 正确，不符合题意；B 、∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2， ∴22b a-= ，即40a b += ，故B 正确，不符合题意； C 、设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为(),0x ，∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为(1，0)，∴212x -=- ，解得：3x = ，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为()3,0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实数根为x 1＝1，x 2＝3，故C 正确，不符合题意；观察图象得：当1x < 或3x > 时，抛物线的图象位于x 轴的下方，∴不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为1x < 或3x >，故D 不正确，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与x 轴、y 轴的交点，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．8．D【分析】根据作图可知①正确，再根据圆周角定理和垂直平分线的性质得到②正确，根据平行线的性质证明DOE BCE △△判断即可；【详解】由（1）可知，OP 垂直平分AB ，由（2）可知，点D 是AC 的中点，∴AD DC =，∴ABD CBD ∠=∠，∴BD 平分∠ABC ，故①正确；连接DC ，AC ，∵OD 垂直平分AC ，∴AD DC =，又∵OA OC =，OD OD =，∴OAD OCD ≅△△，∴45AOD COD ∠=∠=︒，又∵OB OC =，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，∴BC ∥OD ，故②正确；∴DOE BCE ∠=∠，ODE CBE ∠=∠，∴DOE BCE △△， ∴OD CB OE CE=，设OB r =，则OD r =，BC =，∴r OE =，∴CE ，故③正确；故选D ．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．9．①③【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：①是中心对称图形，符合题意；②不是中心对称图形，不符合题意；③是中心对称图形，符合题意；故答案为：①③．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 10．2132y x =- 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得答案.【详解】∵将抛物线y ＝12x 2向下平移3个单位长度， ∴抛物线平移后的表达式为2132y x =-， 故答案为：2132y x =- 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键. 11．<【分析】如图，连接AB 、BC ，根据题意知，AB ＝BC ＝CD ，又由三角形三边关系得到AB +BC ＞AC 得到：AC ＜2CD ．【详解】解：如图，连接AB 、BC ，∵AB BC CD ==∴AB ＝BC ＝CD ，在△ABC 中，AB +BC ＞AC ．∴AC ＜2CD ．故答案是：＜．【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是利用三角形三边关系得到AB +BC ＞AC ．12．1【分析】根据一元二次方程根的判别式等于0即可求得k 的值．【详解】解：∵一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，∴2240k ∆=-=即440k -=解得1k =故答案为：1【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根．13．140︒【分析】连接AC ，根据圆周角定理求得BAC ∠，进而根据圆的内接四边形对角互补，即可求得BDC ∠【详解】如图，连接AC ,BC BC =1402BAC BOC ∴∠=∠=︒ 180********BDC BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：140︒【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形对角互补，掌握以上知识是解题的关键． 14．（2，2）【分析】根据旋转的性质可得：旋转中心到对应点的距离相等，则旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，由此即可作图求得答案．【详解】解：如图，连接AE ，分别作线段AE 、线段OC 的垂直平分线，相交于点F （2，2）， 则点F （2，2）即为旋转中心，故答案为：（2，2）．本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心到对应点的距离相等以及垂直平分线的性质是解决本题的关键．15．200（1+x ）2=320【分析】根据销售额平均每月的增长率为x ，先求出9月份销售额(200+200x)万元，10月份(200+200x)+ (200+200x)x=200（1+x ）2,然后让10月销售额=320，列方程即可．【详解】解：设销售额平均每月的增长率为x ，根据题意得200（1+x ）2=320．故答案为200（1+x ）2=320．【点睛】本题考查增长率问题，抓住增加额=前一月销售额×增长率，根据8月份销售额，利用增长率表示出10月份销售额是解题关键．16．①③④【分析】①将点(2,0)代入2y ax bx =+中，得2b a =-，再将其代入0a b +>，判断出a 与0的关系，从而判断最值即可；②通过0a >，0b >，可得抛物线过一、二、三象限，从而判断出0a <错误即可；③根据0a <，0a b +>判断出对称轴的取值范围，再利用抛物线的对称性可判断方程的根；④当0a >时，0b ≥或0b <进行分类讨论，先判断对称轴的范围，最后判断增减性即可．【详解】解：①将(2,0)代入2y ax bx =+中，得420a b +=，∴2b a =-，∵0a b +>，∴20a b a a a +=-=->，即0a <∴抛物线开口向下，有最大值，②∵抛物线2y ax bx =+过原点，且0a b +>，∴当0a >，0b >时，对称轴02b x a=-<， ∴图象经过第三象限时，不一定有0a <，故②错误；③抛物线2y ax bx =+过原点，且0a b +>，∴方程20ax bx +=的其中一个根为0，当0a <时，b a >-， 则有对称轴122b x a =->， 根据抛物线的对称性可知：方程20ax bx +=的另一根大于1，故③正确；④当0a >，0b ≥时，抛物线对称轴02b x a =-≤， ∴112x ≤≤，y 随x 增大而增大， 当0a >，0b <时，即0a b -<<， 抛物线对称轴122b x a =-<， ∴112x ≤≤，y 随x 增大而增大， 综上所述：若0a >时，则当112x ≤≤，y 随x 增大而增大， 故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握其性质．17．127,1x x ==-【分析】先化为一般形式，进而根据因式分解法解一元二次方程即可【详解】解：267x x -=2670x x --=()()710x x -+=解得127,1x x ==-【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18．见解析【分析】先根据等边对等角可得∠B ＝∠ACB ，再结合角平分线的定义等量代换可得∠B ＝∠ACD ，再根据全等三角形的判定与性质即可证得结论．【详解】证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∵CA 平分∠BCD ，∴∠ACD ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠ACD ，在ABE △与ACD △中，B ACD AB ACBAE CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()BAE CAD ASA △≌△，∴BE ＝CD ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．19．5【分析】先根据条件a 是方程210x x +-=的一个根，得出221a a -=，然后把所给的代数式化简为22(2)3a a -+，代入221a a -=计算即可．【详解】∵a 是方程2-210x x -=的一个根，∴2210a a --=．∴221a a -=．∴()()()2211a a a +－＋－22441a a a =-++-2243a a =-+22(2)3a a =-+ 213=⨯+5=．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解方程根的概念、利用整体代入的方法进行求解是解题的关键．20．见解析【分析】连接OC ，由C 是AB 的中点，得到AC BC =，则∠AOC =∠BOC ，然后证明△AOC ≌ △BOC 即可得到∠A =∠B ．【详解】证明：连接OC ．∵ C 是AB 的中点，∴ AC BC =，∴ ∠AOC =∠BOC ，∵ OA =OB ，OC =OC ，∴ △AOC ≌ △BOC （SAS ），∴ ∠A =∠B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，同圆中等弧所对的圆心角相等，解题的关键在于能够熟练掌握同圆中，等弧所对的圆心角相等．21．（1）见解析；（2）直径所对的圆周角为90︒；在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合【分析】（1）按照题中的作法，补全作图即可；（2）根据圆和等腰三角形的有关性质，结合上下文，求解即可．【详解】解：（1）作图如下：（2）∵OB是⊙A直径，P点在⊙A上∴∠OPB＝90°（直径所对的圆周角为90︒）∴OP⊥BC∵OB＝OC∴OP平分∠MON（在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合）故答案为：直径所对的圆周角为90︒；在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合【点睛】此题考查了尺规作图，圆的有关性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆和等腰三角形的有关性质．22．（1）见解析；（2）1【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式即可；（2）解方程，根据题意列出不等式，求不等式的正整数解即可．【详解】解：（1）关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －4＝0中，1,,24a b m c m ==-=-， ()()()2222442481640b ac m m m m m ∴∆=-=---=-+=-≥∴方程总有两个实数根； （2）2240x mx m -+-=∴(2)(2)0x x m -+-=解得122,2x x m ==-方程有一个实数根为负数，20m ∴-<解得2m <m 是正整数1m ∴=【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以是知识是解题的关键．23．（1）243y x x =-+；图像见解析；（2）3【分析】（1）根据二次函数的对称轴为直线x ＝2求出m 的值，然后将点A (0，3)代入函数解析式即可得出n 的值，二次函数解析式可得，画出图像即可；（2）根据题意得出平移后的函数解析式，然后判断平移方式即可．【详解】解：（1）∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的对称轴为直线x ＝2， ∴222b m x a =-=-=， ∴4m =-，将点A (0，3)代入二次函数解析式得：3n =，∴二次函数解析式为：243y x x =-+，图像如下：；（2）将原图像向下平移，则对称轴不变，新的函数图象与x 轴的两个交点的距离为4，则新函数图像经过点(0,0),(4.0)，则平移后得解析式为：2(4)4y x x x x =-=-，则24y x x =-由243y xx =-+向下平移3个单位得到，故答案为：3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的平移，熟练掌握二次函数的图像与性质是解本题的关键．24．（1）①2；②一次函数；（2）①2612S t t =-+；②1t =，面积最大为6【分析】（1）①根据P Q 、运动速度，以及AC 、BC 的长度，即可求解；②求得y 与t 的关系式，即可求解；（2）①求得线段PC 、CQ 的长度，即可求得S 的表达式；②根据表达式可得S 与t 为二次函数的关系，根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）①运动停止时，P Q 、分别到达终点C 点和B 点，632()t s =÷=②由题意可得：3AP t =，63PC AC AP t =-=-，即63y t =-，∴y 与t 满足一次函数的关系故答案为一次函数（2）①由题意可得：3AP t =，4CQ t =63PC AC AP t =-=-△PCQ 的面积2114(63)61222S PC CQ t t t t =⨯=⨯⨯-=-+ 故答案为：2612S t t =-+②由二次函数的性质可得：60a =-<，开口向下，对称轴为1t =∴当1t =时，S 取得最大值，最大值为6【点睛】此题考查了函数与几何的综合应用，涉及了正比例函数的性质，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质，理解题意，找到题中的等量关系．25．（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据垂径定理可知，EC EB =，进而可得EAB EAC ∠=∠，由OA OE =可得E EAB ∠=∠，进而即可证明2BAC E ∠=∠；（2）由AB 是直径，可得90BCA ∠=︒，根据,OF AB OA OB ⊥=，可得FAB FBA ∠=∠，进而可得30B E ∠=∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得,EF AF ，进而求得AE 的长．【详解】（1）OD BC∴EC EB =∴EAB EAC ∠=∠OA OE =，∴E EAB ∠=∠，E EAC ∴∠=∠2BAC BAE EAC E ∴∠=∠+∠=∠（2）AB 是直径,OF AB OA OB ⊥=FA FB ∴=FAB FBA ∴∠=∠又OA OE =E EAB B ∴∠=∠=∠2E BAC ∠=∠390BAC B B ∴∠+∠=∠=︒30B E ∴∠=∠=︒60BFO ∴∠=︒OD BC ⊥30FOD ∴∠=︒2OF EF FD ∴==1FD =2OF EF ∴==在Rt AFO △中，30FAB B ∠=∠=︒24AF FO ∴==426AE AF FE ∴=+=+=6AE ∴=【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等，垂直平分线的定理，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，求得30B E ∠=∠=︒是解题的关键．26．（1）(1)A m -，；（2）2n <-或2n >；（3）2m <-【分析】（1）根据二次函数顶点坐标公式求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数的性质列出不等式，求解即可；（3）根据题意可得P Q 、两点在y 轴的左右两侧，根据二次函数与一元二次方程的关系，可得22213x mx m +=－－有两个异号的实数根，根据根与系数的关系，求解即可．【详解】解：（1）∵()()2224122412244m m b m ac b m a a ------=-===-，，∴(1)A m -，； （2）∵此二次函数对称轴为x=m ，且a =1＞0开口向上∴当x m <时，y 的值随x 的增大而减小，当x m >时，y 的值随x 的增大而增大；又∵12y y < ∴2m m m n m --<+-，化简得2n >∴2n >或2n <-（3）将A (3，0)带入y x b =-+中得，3b =∴3y x =-+当x =0时，y =3所以B （0，3）若△OAP 和△OAQ 中有且仅有一个为钝角三角形，可得P Q 、两点在y 轴的左右两侧， 根据二次函数与一元二次方程的关系，可得22213x mx m +=－－，有两个异号的实数根 设22213x mx m +=－－的两个根为1x ，2x ，22240x mx m -+-=则122x x m +=，2124x x m =-由题意可得：121200x x x x +<⎧⎨>⎩，即22040m m <⎧⎨->⎩解得2m <- 故答案为2m <-【点睛】此题考查了二次函数的有关性质，涉及了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．27．（1）见解析；（2）2AG CD =，理由见解析；（3【分析】（1）根据角度的计算，可得EAC DAC ∠=∠，根据旋转可得AD AE =，根据等腰三角形的性质三线合一，即可证明F 为线段DE 中点；（2）①延长AG 至点H ，使得GH AG =，即可证明四边形ABHE 是平行四边形，进而证明ABH ≌CAD ，可得AH CD =，进而可得2AG CD =；②由①可知12AG CD =，根据已知条件和含30度角的直角三角形的性质，进而可得，CD GE =，在Rt AGE △中，设AD AE ==DG DG CD GE == 【详解】11(180)9022B C αα∴∠=∠=︒-=︒- 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．28．（1）②；（2）1t ≤-；（3）11m ≤≤【分析】（1）将线段AB 绕点A 逆时针旋转，使点B 落到直线1y =-上的C 点，过点C 作CD AB ⊥于点D ，求出AB ，CD 的长度，根据直角三角形的性质得30CAD ∠=︒；（2）根据一次函数的性质得(0C ，()30D -，，则OC =3OD =，在Rt OCD △中，根据正切得60OCD ∠=︒，连接AC ，在Rt OCA △中，根据正切得30OCA ∠=︒，则22AC OA ==，根据603090ACD OCD OCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒得AC CD ⊥，即2t ≤-；（3）当AB PQ ⊥时，过点Q 作OC x ⊥轴于点C ，在Rt PCQ 中，根据正切得60QPC ∠=︒，在Rt APB △中，sin AB APB AP ∠=，则AP =1OP =，当点B 在y 轴上时，在Rt AOB 中，根据余弦得60OAB ∠=︒，所以当m =1时，线段AB 在直线PQ 上，即可得．【详解】解：（1）如图所示，将线段AB 绕点A 逆时针旋转，使点B 落到直线1y =-上的C 点，过点C 作CD AB ⊥于点D ，∵A （1，0），B （3，0），∴312AB AC ==-=，1CD =， ∴12CD AC =， ∴在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，故答案为：②；（2）在y x =中，当0x =时，y =当0y =时，0x =+x = 3x =-∴(0C ，()30D -，，∴OC =3OD =，∵在Rt OCD △中，tanOD OCD OC ∠==== ∴60OCD ∠=︒，如图所示，连接AC ，∵A （1，0），∴OA =1，∵在Rt OCA △中，tanOA OCA OC ∠== ∴30OCA ∠=︒，∴22AC OA ==，∴603090ACD OCD OCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，90903060OAC OCA ∠=︒-∠=︒-︒=︒， 即AC CD ⊥，∴1t ≤-；（3）如图所示，当AB PQ ⊥时，过点Q 作OC x ⊥轴于点C ，∵(,0)P m ，(Q m -，∴1CP =，QC =∵在Rt PCQ 中，tan QC QPC PC ∠===∴60QPC ∠=︒，∵在Rt APB △中，sin AB APB AP∠=，∴sin 60AB AP ===︒∴1OP OA AP =+=， 如图所示，当点B 在y 轴上时，∵在Rt AOB 中，1cos 2OA OAB AB ∠==， ∴60OAB ∠=︒， ∴当m =1时，线段AB 在直线PQ 上，∴m的取值范围是：11m ≤≤． 【点睛】本题考查了旋转，直角三角形的性质，一次函数的性质，正弦，余弦，正切，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．。