北航计算流体力学大作业

网格生成方法及网格质量控制（文献综述）院系：能源与动力工程学院姓名：学号：指导老师：宁方飞一、前言有限元网格生成是工程科学与计算科学相交叉的一个重要研究领域，在经历了30多年发展后的今天依然十分活跃一方面，有限元法己成为一种能够有效地求解各类工程和科学计算问题的通用数值分析方法：另一方面，计算机硬件运算能力的不断提高也容许人们对工程和科学计算的规模、复杂度、效率、精度等方面提出更高的要求。

作为有限元走向工程应用的桥梁的有限元网格生成由此获得了源源不断的外在动力。

同时，有限元网格生成算法研究中的某些难点问题始终未能获得真正意义上的解决，它们的研究解决对计算几何与计算数学都具有重要的理论价值。

有限元网格生成方法研究领域己取得许多重要成果，形成了独特的方法论体系，提出了许多有效的算法并研制出一些成功的工程化软件产品。

近10年来，有限元网格生成方法研究不断地深入、完善和发展，各国科研人员不断尝试得到适应性强、应用范围广泛的网格生成方法。

研究重点由二维平面问题转移到三维曲面和三维实体问题，从三角形/四面体网格自动生成转移到四边形/六面体网格自动生成，在并行网格生成、自适应网格生成、贴体坐标网格生成、各向异性网格生成等方面亦取得许多重要进展[1]。

另一方面，不同的网格在有限元计算中表现各异。

网格质量对数值求解效率、收敛性和精度的巨大影响也在逐渐被人们认识到。

因此，网格生成后的质量分析、后处理成为新的研究课题。

尤其针对复杂计算区域，或者不易获得实验数据校核的计算区域，更需要获得高质量的计算网格。

二、网格生成方法对不规则区域中的流动与传热问题进行数值计算，首先要解决如何进行区域离散化问题。

现在有多种对不规则区域进行离散生成计算网格的方法，统称为网格生成技术。

本章主要详细介绍结构与非结构网格生成技术。

2.1 概述积分区域的网格划分直接影响到方程离散的难易，数值计算的快慢和所需计算机内存的大小，也影响到数值解的收敛性和准确性。

数值计算中所用网格按网格节点排列是否有序，可分为结构化网格和非结构化网格。

在一个区域中，网格的形式可以是单一的，也可以是几种形式的组合。

网格生成的详细分类见图2.1。

对于结构化网格，常用的方法主要有：正交曲线坐标系中的常规网格、适体坐标法和对角直角坐标法。

由于计算域的不规则性，适体坐标法的三种方法比较常用，下文会做重点介绍。

而对于非结构化网格，常用的方法主要有：分解和映射法、前沿推进法、Delaunay三角化法和其他方法。

下文也会一一介绍[2]。

图2.1 网格生成技术分类2.2 结构化网格生成方法所谓结构化网格是指，它的网格所有节点的连接关系是规则的，例如，网格中的所有网格点能够通过索引方便的查找和确定。

生成边界固定的网格的最常用方法是需要产生一个连续的，并在边界上完全符合的网格。

也就是把一组连续毗邻的矩形可计算区域通过曲线边界映射到一个实际的物理区域，如图2.2。

图2.2 复杂区域网格的映射本节介绍和分析基于简单区域上的网格生成方法。

应用复变函数法构造的网格光滑性较好，在二维翼型计算等方面曾有过广泛的应用，但由于该方法仅限于解决二维问题，且适用的范围较狭小，已逐渐被新的网格生成方法所取代。

这里主要讨论的是代数法和微分方程法。

2.2.1代数法这里介绍超限插值法(TFI)。

它是空间映射方法的一种，在这种方法中我们把物理空间上的坐标作为可计算空间坐标的一个函数，首先在区域的边界开始通过插值方法映射边界上的坐标。

由于计算的数据是由区域中无数个点所给出的，所以我们把这种插值算法叫做超限插值法[4]。

但是这种函数映射必须满足两个要求：(1)这种映射必须是一一映射；(2)计算区域的边界必须映射到物理区域的边界上，并且还存在。

二维情况下，TFI 是把物理坐标x ，y 看成是计算坐标ξ，η的函数，通过物理区域边界上的离散点求该区域内部的点。

TFI 就是通过两个单向插值的和与它们的积来实现的。

两个单向插值函数分别为：()()()()()()()()⎩⎨⎧⋅+⋅-=⋅+⋅-=1,0,1,,1,01,ξηξηηξηξηξηξηξr r p r r p 这两个映射的积映射为：()()()()()()()()()1,10,111,010,011,r r r r p p ⋅+⋅-+⋅-+⋅--=ξηηξηξηξηξηξ由布尔和运算定理，最终的TFI 函数映射关系为：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1,10,111,010,0111,0,1,1,01,,,,r r r r r r r r p p p p p p ⋅-⋅--⋅--⋅---⋅+⋅-+⋅+⋅-=-+=⊕ξηηξηξηξξηξηηξηξηξηξηξηξηξηξηξ公式中，矢量()()()()()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,1,,0,,,0,,1r r r r r r r r ξξηη表示计算区域边界上的点对应的物理区域边界上的点，两种区域边界上的点的对应关系可预先假定。

也就是说，它们的对应关系己知，那么通过公式可以确定计算区域内部任意一点()ηξ,处的物理区域的对应点的位置矢量()ηξ,r ，这样，物理区域的网格便可以计算得到。

图2. 3就是采用上面介绍的二维超限插值方法在叶轮机两个直叶片之间所生成的结构化网格示意图。

图2.3 采用二维TFI 方法在叶轮机两个直叶片之间生成的结构化网格2.2.2微分方程法下面介绍的这些网格生成方法都是基于一个思想，根据可计算空间坐标系统，为物理空间坐标系统定义一组偏微分方程，然后在可计算空间网格上求解这些方程组，从而得到在物理空间上的对应网格。

最常用的偏微分方程是椭圆形偏微分方程，这种方程适用于边界封闭的区域（对于边界不封闭的区域，我们会假设一个更大的边界来作为区域的边界进行处理）。

另外还有两种方程就是：双曲线方程和抛物线方程。

这两种方程主要用于边界不封闭的区域。

(1)椭圆形方程网格生成这些方法首先对可计算空间坐标1ξ和2ξ定义一个到物理空间坐标x 1，和x 2的偏微分方程（这样的方法可以推广到三维空间）。

最简单的例子就是拉普拉斯方程：02=∇i ξ在二维情况下，极值理论保证了这样的映射关系是一一对应的，拉普拉斯算子是平滑的，所以边界上的溢出导致的不连续性不会传递到区域内部。

为了求解这个形式的方程，我们需要一个在物理区域上的网格，这样方程就可以被转变为其中的x i 是依赖变量，言i ξ是独立变量，对于k ξ2∇夸无就有下面的等式关系：()022=∇+=∇k j i r r g r k ij ξξξξ其中，0=j i r g ij ξξ ，等式中的ij g （度量张量）有这样的关系：j i r r g ij ξξ∙=这个准线性方程就可以在矩形区域中，通过把物理边界上点的位置作为可计算空间的边界上点的数据来得以求解。

任何标准的求解方法都可以使用，也可以用代数方法生成的网格作为初始猜测来坚强收敛性。

基于拉普拉斯方程生成的网格不是非常的灵活。

坐标线趋向于等分，除了邻接的凸或者凹形边界，而且这种方法无法控制在边界上网格线的斜度（因为这是一个二阶方程）。

如果要控制网格的密度和斜度，需要加入一个源项（控制函数）。

(2)双曲线方程网格生成代替椭圆形偏微分方程生成网格的方法，我们还可以用双曲线方程，例如在二维情况下： V y x y x y y x x =+=+011010100ξξξξξξξξ这里第一个方程保证了网格的正交，而第二个方程控制网格单元的面积。

这些方法同样也适用于三维的情况。

他们具有一些特殊的性质：①它们生成的网格都是正交的；②它们不对边界上的不连续点作平滑处理；③它们可以被应用到外部的区域；④网格坐标的生成过程可以作用到边界以外；⑤这一方法在处理凹边界表面时会发生错误（随着这一方法的进行，网格线会重叠，网格单元的体积会变成负值）；⑥这一方法速度快，几乎与一次迭代椭圆形网格生成时间相同。

2.3 非结构化网格生成方法非结构化网格主要是为了有限元方法的应用而发展起来的。

对于有限元方法，可以有很多适用于计算的单元体：四面体单元，棱柱体单元，块状体单元，它们之间的连接关系是不定的，这种特性也就是非结构化网格的本质。

本节将讨论对于非结构化的网格生成的以下几种方法：①分解和映射法，这种方法本质上是一种基于多分块区域和TFI 的网格生成方法；②前沿推进法(Advancing front)；③Delaunay 三角化方法；④一些不常用的方法，这里是气泡堆积法。

目前最流行的方法是Delauney 三角化法和前沿推进法。

2.3.1分解和映射法这种方法是最早发展起来的方法，而且在一些商业FEM 软件包中还在使用。

方法是首先把区域分解为一系列的子区域。

然后每一个单独的区域用映射方法进行网格化。

这种方法可以是无限插值法，但是一种更简便的方法得到了很多的应用，这种方法基于一组图形函数来定义等参的有限元单元，这种等参插值方法是点插值，这里我们给出这种插值在二维空间上应用二次映射（抛物线四边形映射）的方法。

这种情况下，被插值计算的点是在角上的点，和在曲线四边形的边线上的中点（如图2.4），插值公式如下：∑==81i i i x N x ∑==81i i i y N y ∑==81i i i z N z其中：()()()()()()()()()()()()111411114111141111417531---+=-+++=-+-+-=-----=ηξηξηξηξηξηξηξηξN N N N ()()()()()()()()ηξηξηξηξ--=-+=+-=--=112111211121112128262422N N N N 其他的插值公式（如立方体和四次插值等）也可以被使用，而且这种方法可以推广到三维空间。

四边形可以退化为三角形，边界可以看作是C 和Q 型的网格。

图2.4 等参网格2.3.2前沿推进法这种方法原理上基于一种很简单的思想（图2.5）对边界进行离散化（例如，在二维空间里用一组多边形来近似），这就是最初的前沿。

加入三角形或四边形到区域内，并且加入的三角形或四边形中至少有一条边与前沿重合。

在每一步中需要更新前沿。

当不再有新的前沿留下时，（例如在二维空间中没有多边形的边留下时）网格的生成也就完成了。

这种方法要求整个区域的边界是封闭的，但是对于边界不封闭的区域，前沿也可以被推进，直到前沿和区域的距离相等为止。

图2.5 前沿推进法在物理空间中，参数化就是有效的曲线弧长。

首先就是计算每个线段的长度（通常CAD 软件包可以提供这些信息），然后是插值计算出每个线段上大量样点的网格参数，接着计算出每一条线段上需要的网格边的数目Ns ，公式为：dl A l S ⎰=01δ ()S S A N n i n t =在这里，我们假定没有考虑延展。