立体几何中的常见模型化方法
立体几何问题的模型化处理策略——以长(正)方体为例
中学数学研究
2020 年第 3 期 (上)
立体几何问题的模型化处理策略
—–以长 (正) 方体为例
湖南省衡阳市第八中学 (421008) 谢德斌
高考中立体几何板块的考查, 其中空间中的线线、线面、
面面关系及其相关量的计算与证明是主要方向, 在高三复习
教学中, 如何使学生的空间想象能力更上一个台阶, 是摆在
CD 的夹角,θ ∈ [0, 2π) .
−−→
−−→ √ −−→
那么向量 AB′ =[(coπs θ], sin θ, −1), |AB′| = 2. 设 AB′
与 a 所成夹角为 α ∈ 0, , 则
2
√
[ √]
cos α
=
|(cos θ, sin θ, −1) · (0, 1, 0)| |a| · |−A−B→′|
2020 年第 3 期 (上)
中学数学研究
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例 1 (2013 年 新 课 标 Ⅱ 卷) 已 知 m, n 为 异 面 直 线, m⊥ 平 面 α , n⊥ 平 面 β. 直 线 l 满 足l⊥n , l⊥m , l ⊄ α, l ⊄ β, 则 ( )
形, 如图 (8).
A. α//β 且 l//α
广大数学教师面前的一大课题. 本文试图以长方体和正方体
及它们变形出来的模型为例, 归纳整理模型化处理策略在立
体几何问题的应用, 培养学生空间感, 寻找解题的突破口, 提
高解题能力.
问题呈现 (2017 年高考全国 Ⅲ 卷第 16 题)a, b 为空间
中两条互相垂直的直线, 等腰直角三角形 ABC 的直角边
当 −A−B→′ 与 a 夹角为 60◦ 时, 即 α = π ,
初中数学常用几何模型及构造方法大全
初中数学常用几何模型及构造方法大全初中数学中常用的几何模型有点线面体等，下面是一些具体的模型及其构造方法的介绍。
1.点：点是最基本的几何模型，没有大小和形状，通常用字母表示，如点A。
构造一个点的方法是利用直尺和量角器可以在纸上画出一个点。
2.线段：线段是由两个点A、B确定的一段有限长度的直线。
构造一个线段的方法是使用直尺在纸上连接两个点A、B。
3.直线：直线是不限长度的连续的直线，由无数个点连成。
构造一条直线的方法是使用直尺和铅笔，通过两个点A、B可以画出一条直线。
4.射线：射线是起始点A和其中一点B组成的，且延伸方向上没有终点的线段，A点称为射线的起点。
构造一个射线的方法是先画一个点A，然后通过这个点再延伸一段。
5.角：角是由两条射线共享一个端点所组成的图形，其中这个端点称为角的顶点，两条射线称为角的腿。
构造一个角的方法是先画出射线，然后再画出另一条射线与之相交，两射线的交点即为角的顶点。
6.平行线：平行线是在同一个平面上永远不会相交的直线。
构造平行线的方法是使用直尺和量角器，通过已知的一条直线上的一点和一条角度相等的直线可以画出平行线。
7.相交线：相交线是在同一个平面上交叉的直线。
构造相交线的方法是使用直尺和量角器，在纸上画出两条直线，交点即为相交线的点。
8.三角形：三角形是由三条线段组成的图形。
构造一个三角形的方法是使用直尺和量角器，先画出一个线段作为一条边，再使用量角器构造两条角度相等的线段作为其它两边。
9.直角三角形：直角三角形是一个角为90度的三角形。
构造直角三角形的方法是使用直尺和量角器，首先画出一条线段，然后构造一个90度的角作为其中一条边。
10.等边三角形：等边三角形是三边相等的三角形。
构造等边三角形的方法是使用直尺和量角器，首先画出一条线段作为其中一条边，然后通过量角器构造另外两条边，使得三边相等。
除了以上列举的几何模型，还有圆、四边形、多边形等，它们的构造方法有一些特定的规则，可以通过直尺、圆规和量角器等几何工具进行构造。
高中数学中的常用几何模型及构造方法大全
高中数学中的常用几何模型及构造方法大全一、全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转1、对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
2、对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
3、旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题4、旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
5、自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称6、共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
二、模型变换说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
1、中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
立体几何问题的模型化处理
立体几何问题的模型化处理立体几何学涉及空间几何结构和形状的研究，是几何学的重要组成部分，最初发源于希腊数学家 Euclid，是今天几何学学科内容的基础。
立体几何涉及圆等、椭圆、球等多种几何体的形状、体积、表面积等参数的测量，这些参数的计算需要深入的数学理论。
传统的立体几何问题由人力解决，但随着科学技术的发展，计算机和相关软件的进步，立体几何问题可以通过模型化处理来解决。
模型化处理是指使用数学建模和计算机软件，结合实际需求，建立立体几何问题的数学模型，将所有参数和步骤都统一到一起。
从而建立出几何体的数学模型，使用计算机求解，从而解决几何问题。
具体来讲，模型化处理的立体几何问题的流程可以分为以下几个步骤：首先，构建立体几何问题，在计算机平台上实现把问题从实际中抽象化，建立几何问题的数学模型；其次，利用数学建模方法，根据实际问题的要求，定义各种参数，建立立体几何问题的数学模型，使用计算机求解，从而解决几何问题；再者，根据模型的要求，计算机会计算出所有相关参数，包括体积、表面积等；最后，根据计算出的结果，对立体几何问题进行实际应用，使用计算机解决实际问题，得出最终的结果。
立体几何问题的模型化处理，有助于提高此学科的研究水平，为实际应用提供可靠的数学模型和计算结果，可以用于工程计算和科学研究。
除了正常的立体几何问题外，随着计算机科学的发展，计算机可以用于更多形式的几何问题，包括虚拟和超现实几何。
例如，三维绘图软件用于设计，游戏引擎可以实现虚拟环境，像3D打印机等产品可以将虚拟环境转换为实际物件，这些应用都需要立体几何问题的模型化处理。
因此，立体几何问题的模型化处理是几何学领域一个重要的研究课题，它不仅涉及到理论数学，而且关联到计算机科学、数值计算等多学科，也有助于探索数学研究的新发现和前沿研究。
总之，立体几何问题的模型化处理可以更好地实现几何学的概念，提高几何学的研究水平，为实际应用提供可靠的数学模型和计算结果，为科学技术发展和数学研究做出重大贡献。
立体几何问题的模型化处理
91D 图1D 图2中学立体几何的的基础是对空间点、线、面、体的各种位置关的讨论和研究.高考中也常以棱柱、棱锥等简单的几何体为载体，考查空间中的线线关系、线面关系、面面关系及其相关量的计算与证明.然而，在教学中，如何使学生的空间想象能力有进一步的提高，更上一个台阶，是摆在广大数学教师面前的一大难题。
笔者根据自己的教学实践摸索出“构造模型法”帮助学生突破思维定势，寻找解题的突破口，提高解题能力.常见的模型有正方体模型、长方体模型、“三节棍”模型等. 1 构造正方体模型解题当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时、通常可考虑构造正方体模型，把这些线、面变成正方体中的线段或某一个面，进而加以解决.例1 对于直线,m n 和平面α，下面问题中的真命题是 A ，如果,m n αα⊂⊄，,m n 是异面直线，那么//n α B ，如果,m n αα⊂⊄，,m n 是异面直线，那么n 与α相交 C ，如果m α⊂，//n α，,m n 共面，那么//m n D ，如果//,//m n αα，,m n 共面，那么//m n 分析：构造正方体，如图1，对于A ，设α为平面ABCD ，m 为AB ，n 为1C C 则n α⊥，A 错.对于B ，设α为平面ABCD ，m 为AB ，n 为11A D ，则//n α，B 错.对于D ，设α为平面ABCD ，m 为11A B ，n 为11B C ，此时m 与n 相交于1B ，D 错. 于是选C 。
事实上，这个不难验证.例2 由空间上一点O 出发的四条射线，两两所成的角都相等，求这个角.解：先构造一个正方体，如图2，正方体的中心O 到四个顶点A 、B 、C 、D 连线所夹的角相等，则AOD ∠就是所求的角. 设正方体的棱长为a ，则2OA OD a ==，101A 图31A 图4D 图52221,cos 23OA OD AD AD AOD OA OD +-=∠==-⋅则所求的角为1arccos3π-. 评注：这个例子是把一个正四面体内接于一个正方体中，因此，在立体几何中一般能用“正四面体”解决的问题都可用“正方体”模型解决.正四面体的体积是它外接“正方体”体积的13，并可由这个模型推导出正四面体的体积312V a =（a 为四面体的棱长）. 例3 已知平面α及以下三个几何体， （1）长、宽、高均不相等的长方体；（2）底面为平行四边形，但不是菱和矩形的四棱锥； （3）正四面体问这三个几何体在平面α上的射影可以为正方形吗？ 请加以说明.分析：对于（1），只要将长方体底面绕较短的边旋转抬起到一定高度可使其在底面（即水平面α）上的射影可变为正方形.对于（2）与（3）的判断，须借助构造正方体方能判断. 对于（2），如图3，在正方体1111ABCD A BC D -中，分别 在1BB 、1DD 上取E 、F ，使得11111,33BE BB D F D D ==， 则四棱锥11A AEC F -符合条件.对于（3），把正四面体11A BC D -放在正方体ABCD -1111A B C D 中，如图4，即可得其在底面α上的射影为正方形.评注：对于（2）、（3）如果没有一个正方体作为载体，很难想象它们的射影可以得出一个正方形.例4 已知PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=，PA AC BC ==，求AB 与PC 所成的角.解：构造一个正方体，如图5，PC 与AB 两异面直线所成的角为DB 与AB 所成的角，而ABD ∆是等边三角形，得PC 与AB 成60角. 评注：此题为巧建“正方体”模型快速求解两111 11A 图6ABCDE F图7异面直线所成的角，也可用正方体模型来快速判定 两直线的位置关系，如异面、平行、相交. 2 构造长方体模型解题在某些类似的问题中，当用正方体模型解决不了 时，可考虑构造长方体模型.例5过球O 的球面上一点P 作球的两两垂直的三条弦PA 、PB、PC ，且PA =PB =PC =O 的半径.分析：构造长方体，以P 为顶点的三条棱PA 、PB 、PC 两两垂直，球O 就是这个长方体的外接球，对角线PD就是球O 的直径，设半径等于R，则有2R =2R =评注：从同一点出发的三条棱两两互相垂直，其长度分别为,,a b c ，就可以构造长方体模型，外接球的直径就是对角线的长，所以2R 例6 已知四面体的四个面都是边长分是5、6、7的全等三角形，求这个四面体的体积. 分析：若按常规思路，这个问题的解答很繁.通过分析已知条件，构造长方体1111ABCD A BC D -，如 图6，其中四面体11D AB C 符合条件。
高中数学几何模型建立的实用技巧
高中数学几何模型建立的实用技巧数学几何是高中数学的重要组成部分，它涉及到空间形状、图形变换等内容。
在学习数学几何的过程中，建立模型是非常重要的一环。
本文将介绍一些在高中数学几何中建立模型的实用技巧，帮助学生更好地理解和应用几何知识。
一、图形的投影在几何学中，图形的投影是指将三维空间中的图形映射到二维平面上。
建立图形的投影模型可以帮助我们更好地理解和分析图形的特性。
例如，在学习平行四边形的性质时，我们可以将平行四边形的三维模型投影到平面上，通过观察投影图形的特点，来推导出平行四边形的性质，如对角线相等、对角线平分等。
二、图形的剖分图形的剖分是指将一个复杂的图形分解成若干简单的几何形状，以便更好地研究和分析。
在几何学中，剖分图形是一种常用的建模方法。
例如，在学习三角形的性质时，我们可以将三角形剖分成若干个小三角形，通过观察小三角形的特点，来推导出三角形的性质，如三角形内角和为180度、三角形的面积计算等。
三、图形的相似性相似性是几何学中一个重要的概念，它描述了两个图形在形状上的相似程度。
建立相似模型可以帮助我们更好地理解和应用相似性的性质。
例如，在学习三角形的相似性时，我们可以通过将两个相似三角形放在一起进行比较，观察它们的边长比例和角度的对应关系，从而推导出相似三角形的性质，如边长比例定理、角度对应定理等。
四、图形的平移、旋转和翻转平移、旋转和翻转是几何学中常见的图形变换操作，它们可以帮助我们更好地理解和分析图形的特性。
建立平移、旋转和翻转模型可以帮助我们更好地应用这些变换操作。
例如，在学习平行四边形的性质时，我们可以通过将平行四边形进行平移、旋转和翻转，观察它们的位置关系和形状变化，从而推导出平行四边形的性质，如平行四边形的对角线互相平分等。
五、图形的投影、剖分、相似性和变换的综合应用在实际问题中，图形的投影、剖分、相似性和变换往往是综合应用的。
建立综合应用模型可以帮助我们更好地解决实际问题。
例如，在解决建筑设计问题时，我们可以通过将建筑物进行投影、剖分、相似性和变换，来计算建筑物的面积、体积、角度等参数，从而更好地满足设计要求。
立体几何平行证明题常见模型及方法
立体几何平行证明题常见模型及方法 证明空间线面平行需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
平行转化：线线平行 线面平行 面面平行；类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法）（1） 方法一：中位线法 以锥体为载体变式 3 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=5，AC=BC=2，∠C=90°，点D 是A 1C 1的中点. 求证：BC 1//平面AB 1D ；方法2：构造平行四边形法 例1如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， E 、F分别为AB SC ,的中点．证明○1EF ∥平面SAD ○2BF ∥平面SDEFS CD变式1：若E 、F 分别为AD SB ,的中点．证明EF ∥平面SCD变式2 若E 、F 分别为SD B ,A 的中点．证明EF ∥平面SCB例2 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点.设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1//平面FCC 1 方法3：面面平行法 （略） 举一反三 1 如图，已知AB ⊥平面A C D ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点.(1) 求证：//AF 平面BCE ；(2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ； 2 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求出该几何体的体积；(2)若N 是BC 的中点，求证：AN ∥平面CME ；(3)求证：平面BDE ⊥平面BCD.3直四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB∥DC ，AB ＝2AD ＝2DC ＝2，E 为BD1的中点，F 为AB 中点．(1)求证EF ∥平面ADD1A1；（2）求几何体DD1AA1EF 的体积。
高中立体几何解题模型
高中立体几何解题模型一、引言立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的图形和形体。
高中立体几何解题模型是指在高中阶段，通过建立适当的模型来解决立体几何问题。
本文将介绍高中立体几何解题模型的基本原理、常见方法和实例应用。
二、基本原理高中立体几何解题模型的基本原理是将现实世界中的三维问题转化为数学问题，通过建立适当的数学模型来解决。
这需要运用几何知识和数学方法，包括平面几何、向量、坐标系等。
在建立模型时，需先确定问题所涉及的空间图形类型（如球体、圆柱体、棱锥等），并了解其性质和特点。
然后，在具体问题情境下，根据已知条件和要求，选择合适的变量进行表示，并建立相应方程或不等式组。
三、常见方法1. 平面投影法平面投影法是一种常用于求解棱柱、棱锥等空间图形表面积和体积的方法。
它利用平行投影将三维图形投影到平面上，从而简化问题的求解。
以求解棱柱体的表面积为例，可以将棱柱体展开成一张平面图，并计算各个面的面积，最后将其相加即可得到总表面积。
2. 截面法截面法常用于求解球体、圆锥体等空间图形的体积。
它通过在空间中截取一个或多个平行于底面的截面，并计算这些截面的面积和高度来求解体积。
以求解球体的体积为例，可以通过选择一个与球心重合的直径作为截面，然后计算每个截面的半径和高度，最后利用圆锥体的体积公式进行计算。
3. 向量法向量法是一种常用于求解空间图形之间关系和性质的方法。
它利用向量的性质和运算，建立坐标系或向量方程来描述图形之间的关系。
以求解两直线之间夹角为例，可以利用向量内积公式计算两个直线所对应向量之间的夹角。
四、实例应用1. 棱柱表面积问题已知一个棱柱体的底边是一个等边三角形，边长为a，高度为h，求其表面积。
解：首先，我们可以将棱柱体展开成一个平面图。
根据展开图可知，棱柱体的表面积由两个底面和三个侧面组成。
底面的面积为等边三角形的面积，即√3/4 * a^2。
侧面的面积可以通过计算矩形的长和宽得到，其中长为h，宽为a。
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立体几何中的常见模型化方法
建构几何模型的两个角度：一是待研究的几何体可与特殊几何体建立关联，二是数量关系有明显特征的几何背景.
例题一个多面体的三视图如图1所示，则该多面体的体积是
A. 23/3
B. 47/6
C.6
D.7
分析该几何体的三视图为3个正方形，所以可建构正方体模型辅助解答.
解图2为一个棱长为2的正方体.
由三视图可知，该几何体是正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V=8-2×1/3×1/2×1×1×1=23/3选A.
解后反思大部分几何体可通过对正方体或长方体分割得到，所以将三视图问题放在正方体或长方体模型中研究，能够快速得到直观图，并且线面的位置关系、线段的数量关系明显，计算简便.
变式1 已知正三棱锥P-A BC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为____
分析由于在正三凌锥P-ABC中，PA，PB，PC两两互
相垂直，所以可以将该正三棱锥看作正方体的一部分，构造正方体模型.
解构造如图3所示的正方体.
此正方体外接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，球心为正方体对角线的中点O，且EP⊥平面ABC，EP与平面ABC相交于点F.由于FP为正方体体对角线长度的1/3，所以又OP为球的半径，所以OP=.故球心O到截面ABC的距离
解后反思从正方体的8个顶点之中选取不共面的点，可构造出多种几何体，这些几何体可以分享正方体的结构特征.
变式2-个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
A.3π
B.4π
C.3π
D.6π
分析将一个正方体切掉四个大的“角”，就可得到一个正四面体.
解如图4所示，构造一个棱长为1的正方体
ABCD-A1B1C1D1，连接AB1，AD1，AC，CD1，CB1，B1D1，?t 四面体B1-ACD1为符合题意的四面体，它的外接球的直径AC1=，所以此正方体外接球的表面积S=4πR2=3π.选A.
解后反思正四面体的体积也可通过这种切割的方法求得.由图形分析可知，正四面体的体积是它的外接正方体体积的}.若正四面体的棱长为a，则其体积为
变式3 四面体A-BCD中，共顶点A的三条棱两两互相垂直，且其长分别为1，2，3.若四面体A-BCD的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为____.
分析共顶点的三条棱两两互相垂直且长度不相等，这具有长方体的结构特征，可构造长方体来解决问题.
解构造一个棱长分别为1，2，3的长方体，我们可发现四面体A-BCD是这个长方体的一个“角”，它们的外接球相同.所以2R=.故这个球的表面积S=4πR2=14π.
解后反思可构造长方体的几何体在高考中属于高频考点.本题中条件“共顶点A的三条棱两两互相垂直”可变为“共顶点A的三个面两两垂直”，这也是长方体的结构特征之一
变式4 如图5，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥上BC，DA =2，AB=4，BC=6，则球O的体积是____.
分析DA，AB，BC的位置符合长方体三条相连接棱的结构特征，可构造长方体模型.
解以DA，AB，BC为棱长构造长方体.设长方体的外接球O的半径为R，则长方体的体对角线长为球O的直径，即CD.所以
解后反思这种几何体的结构特征是三条棱顿次连接，并且垂直，通常称为“三节棍”模型.
变式5 由空间上一点O出发的4条射线，两两所成的角都相等，求这个角的余弦值.
分析由于是4条射线，并且两两所成的角都相等，联想到正四面体的结构特征――正四面体的中心与四个顶点
的连线两两所成的角相等.
解构造正四面体模型，如图6所示.射线OA，OB，OC，OD两两所成的角相等，∠AOB即为所求.设正四面体的棱长为a，则正四面体的高h=由余弦定理可得
解后反思本题也可建构在正方体中，同学们可以试一试.
变式6 已知直线l与平面a平行，P是直线l上的一个定点，平面a内的动点B满足PB与直线l所成的角为30°，那么点B的轨迹是
A.两条直线
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
分析由已知条件，构造圆锥模型.
解由于P是直线l上的一个定点，平面α内的动点B满足PB与直线l所成的角为30°，所以点B在以P为顶点的圆锥侧面上.又直线l与平面α平行，所以平面α与圆锥的轴平行，即平行于圆锥的轴的平面截圆锥的侧面，可得截面图形为双曲线.选C.
解后反思本题中，点B的轨迹符合圆锥的结构特征是解题的突破口.
变式7 如图7，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P 的轨迹是
A.圆
B.椭圆
C.一条直线
D.两条平行直线
分析考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P到直线AB的距离为定值，可构造圆柱模型.
解由已知可得动点P的轨迹在圆柱面上.由于AB是平面α的斜线段，所以平面α斜截圆柱面，得到的截面图形为椭圆.选B.
解后反思本题中，点P的轨迹符合圆柱的结构特征是解题的突破口.
模型化方法的本质是根据题意进行数学建模，提升空间想象能力.对常见几何体的结构特征特别熟悉，是建构合理模型的关键.。