第2章 质点动力学 习题答案讲解

0 0 h v
f
mg
1 v 2 . 97 m s 代入数据解得：
2-23. 如图，一弹簧弹性系数为k，一端固定在A点，另一 端连接一质量为m的物体，该物体靠在光滑的半径为a的 圆柱体表面上，弹簧原长为AB。在变力F作用下物体极缓
慢地沿表面从位置B移到了C，试分别用积分法和功能原
理法求力F所做的功。
定理和牛顿第二定律求物体A自静止落下 h 1 m 时的速度。 解二：任意时刻A和B的合外力为 dv F mg k mg 2ma 2m dt dv (1 k ) g 2 dt dv (1 k ) gdx 2 dx 2vdv dt 两边积分得：(1 k ) g dx 2vdv
1cm。问第二次锤击时，钉被击入木板多深？假定每次锤
击前速度相等，且锤与铁钉的碰撞时完全非弹性碰撞。
解：设铁锤与钉子的质量分别为M和m。 每一次锤击，设锤子碰撞前的速度为v0 ， 碰撞后锤子和钉子的速度为 根据动量守恒定理
M
v0
v，
m
v
M Mv 0 ( M m )v v v0 M m
dv dv mg sin m mg sin ds m ds dt dt

v 0 v0
l

v0
gl sind vdv gl sind vdv m
1 2 2 2 gl (1 cos ) (v v0 ) v v0 2 gl (cos 1) 2 1 2 v 0 2 gl (cos 1) l
I mvB mv0 m 2Rg j 2m Rg i
2-17. 一质量为60kg的人以2m/s的水平速度从后面跳上 质量为80kg的小车上，小车原来的速度为1m/s。 （1）小车的速度将如何变化？（2）人如果迎面跳上小
车，小车速度又将如何变化？
（1）解：根据动量守恒定理， 60 2 80 1 (60 80)v
F
解一：物体从B到C的过程中机械能守恒，
F做的功即物体重力势能和弹力势能的增 加量。
1 W mga sin k (a ) 2 2
O
a C
B A
2-24. 如图，已知子弹的质量为m=0.02kg，木块的质量为 M=8.98kg，弹簧的弹性系数为k=100N/m，子弹以初速度
2mg cos 45 mg a 2m m 2m 2 1 g 5
TA
2m
m
TB 2 m
a
45
a
2-12. 已知条件Βιβλιοθήκη Baidu图，求物体系的加速度和A、B两绳中 的张力。绳与滑轮的质量和所有摩擦不计。 解：分析平面上的物体：
TB 2m a 2 5
2 1 mg
2m
根据动量定理，mv2 mv0 I 代入相关数据解得：v 2 24 m s
1
2-4. 一长为 l 、质量均匀的链条，放在光滑的水平桌面 上，若使其长度的一半悬于桌边下，由静止释放，则刚 好链条全部离开桌面时的速率为？ 解：由动能定理，链条刚 好离开桌面时，重力做
功等于链条此时的动能：
1 1 l 1 l 2 mv mg mg 2 2 2 2 4 3 v gl 2
2-5. 一弹簧原长0.5m，弹力系数k，上端固定在天花板 上，当下段悬挂一盘子时，其长度为0.6m，然后在盘中 放置一物体，长度变为0.8m，则盘中放入物体后，在弹
簧伸长过程中弹力做的功为？
解：在这个过程中，弹性势能增加了
1 1 2 3 2 2 W k ( 2 L) kL kL 2 2 2
第三次拉伸弹簧需要做功
1 1 5 2 2 2 W k ( 3 L) k ( 2 L) kL 2 2 2
所以第三次和第二次拉伸做功比例为5:3。
2-21. 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板都钉的阻力与铁
钉深入木板的深度成正比。第一次锤击时，钉被击入木板
2-14. 长为l的轻绳，一端固定，另一端系一质量为m的 求小球沿逆时针转过 角度时的角速度和绳子张力。
小球，使小球从悬挂着的位置以水平初速度 v0 开始运动，
解：法向方程
T mg cos m 2 l
2 m v0 2 gl (cos 1) l


l

v0
m
2 v0 T m l 2 g 3 g cos
45
x
2-16. 一质量为m的滑块，沿图示轨道以初速度 v0 2 Rg 无摩擦地滑动，求滑块由A运动到B的过程中所受的冲量。 解：根据动能定理， 1 1 2 2 mv B mv 0 mgR 2 2
y
vB
B
代入数据解得：vB 2Rg
建立如图直角坐标系，
m
O
x
A
v0
滑块所受的冲量为：
（2）解：物体系的加速度：
(m A mB ) g mC g a ( m A mB mC ) 1.1 m s 2
分析物体C，T mC g mC a
f
T
代入数据解得：T 1.7 N
2-12. 已知条件如图，求物体系的加速度和A、B两绳中 的张力。绳与滑轮的质量和所有摩擦不计。 解：物体系的加速度：
可知每次锤击后，速度
v 都不变。
根据题意可设木板阻力 f kx ，
v
其中 x 为钉子深入的深度，单位cm。
第一次锤击后钉子深入木板的过程，
根据动能定理可得：
1 1 1 2 0 mv fdx kxdx mv 2 k 2 (1) 0 0 2 第二次锤击后，设钉子再次钉入 l ，
解得：v 1.43 m s 1
（2）解：根据动量守恒定理， 60 2 80 1 (60 80)v
解得：v 0.286 m s 1
2-18. 原子核与电子之间的吸引力大小随它们的距离r而 变化，其规律为 f k 的过程中，核的吸引力所做的功。 解： W
第2章 质点动力学 习题答案
2-1. 质量为0.25kg的质点，受力 F t i 的作用，t=0 时 该质点以 v 2 j m s 1 的速度通过坐标原点，则该质点
在任一时刻的位置矢量是？
F ti 4t i 解：a m 0.25 t t 2 v adt (4t i )dt 2t i v0 0 0 2t 2 i 2 j t t 2 3 2 r v dt ( 2t i 2 j )dt t i 2tj r0 0 0 3 2 3 t i 2tj 3
r
2
，求电子从 r1 运动到 r2 (r1 r2 )

r2
r1
r2 k 1 1 f dr 2 dr k r r r1 r 2 1
3 m 2 10 kg的子弹，在枪筒中前进时受到 2-19. 质量为
8000 的合力为 F 400 x 9
2-2. 一质量为10kg的物体在力 f (120t 40) i 作用 1 下，沿x轴运动，t=0时其速度 v0 6i m s ，则t=3时
其速度是？
f (120t 40)i (12t 4) i 解：a m 10 t t 2 v adt (12t 4) i dt (6t 4t ) i v0 0 0 2 (6t 4t 6) i 1 v (3) 72i m s
。子弹射出枪口的速度为
300m/s，试计算枪筒的长度。 解：设枪筒的长度为
l ，根据动能定理
l l 1 8000 2 mv 0 Fdx 400 x dx 0 0 2 9
代入数据并求解得： l 0.45 m
2-20. 从轻弹簧的原长开始第一次拉伸长度L，在此基础 上，第二次使弹簧再伸长L，第三次再伸长L。求第三次 拉伸和第二次拉伸弹簧时做功的比值。 1 2 W kL 解：第一次拉伸弹簧需要做功 l 2 第二次拉伸弹簧需要做功
2-15. 一质量为0.25kg的小球以20m/s的速度和45°的 仰角投向竖直放置的木板，设小球与木板碰撞时间为 0.05s，反弹角与入射角相等，小球速率不变，求木板
对小球的冲力。
解：建立直角坐标系：
y
P mv mv0 20 20 20 20 0.25 i j 0.25 i j 2 2 2 2 7.07i P 7.07i F 141.1i t 0.05
mB g (mA mC ) g
代入数据解得：
1 0.111 9
2-11. A、B、C三个物体，质量分别是 m A mB 0.1kg， （2）如果将物体A移到B上面，如图(b)所示，求系统的
mC 0.8kg，当如图(a)放置时，物体系正好作匀速运动。
加速度和绳子的张力。
2-14. 质量均为M的三条小船以相同的速率 v 沿一直线 同向航行，从中间的小船向前后两船同时以相同速率 u （相对于该船）抛出质量同为 m 的小包。从小包被抛出
至落入前后船的过程中，试分别对前、中、后船建立动
量守恒方程。
v中 ， v后 解：设小包抛出之后，三船的速度分别变为 v前 ，
m Mv m (v u) ( M m )v前 v前 v u M m Mv m (v u) m (v u) ( M 2m )v中 v中 v Mv m (v u) ( M m )v后 v后 m v u M m
1 1 2 k (0.8 0.5) k (0.6 0.5) 2 0.04 k 2 2
弹力做的功为 -0.04k 。
mC 0.8kg ，当如图(a)放置时，物体系正好作匀速运动。
（1）求物体C与水平桌面的摩擦系数； （1）解：分析物体系的受力
2-11. A、B、C三个物体，质量分别是 m A mB 0.1kg ，
定理和牛顿第二定律求物体A自静止落下 h 1 m 时的速度。
v 解一：设A下落 1m 后的速度为
根据动能定理： 1 ( 2m )v 2 0 mgh k mgh 2 1 v 2 . 97 m s 代入数据解得：
，
f
mg
2-22. 如图，物体A和B的质量分别为 m A mB 0.05kg ， 物体B与桌面的滑动摩擦系数为 k 0.1 。试分别用动能
2-3. 一物体质量为10kg，受方向不变的力 F 30 40t
的作用，在开始的2s内，此力的冲量大小为？若物体的 初速度大小为 10m s ，方向与力同向，则在2s末物体
1
速度的大小等于？
2 2 解： I Fdt ( 30 40t )dt 140
0 0
v
根据动能定理可得：
1 l 1 2 0 mv kxdx mv 2 (1 l ) 2 k 2 k 2 ( 2) 1 2 比较（1）（2）式解得：l 1 2
取其中的正解得：l 0.414 cm
2-22. 如图，物体A和B的质量分别为 m A mB 0.05kg ， 物体B与桌面的滑动摩擦系数为 k 0.1 。试分别用动能
TA m
a
45
a
TB 2 m
分析悬挂的物体：TA mg TB ma
3 2 2 mg 代入数据解得： TA 5
2-13. 长为l的轻绳，一端固定，另一端系一质量为m的小 球，使小球从悬挂着的位置以水平初速度 v0 开始运动， 求小球沿逆时针转过 角度时的角速度和绳子张力。
解：在任一时刻，牛顿第二定律的切向方程