质点动力学习题解答1
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作业05(质点动力学3)
1..21t t >。
2. 人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动,卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B ,用L 和K E 分别表示卫星对地心的角动量及动能,则应有[ ]。
A . K
B KA B A E E L L >>, B. KB KA B A E E L L >=,
C. KB KA B A E E L L <=,
D. KB KA B A E E L L <<,
答:[B ]
解:人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动时,它们之间的引力沿着径向,因此角动量守恒
B A L L =
同时,由角动量的定义
B B A A v r v r =
由于B A r r <,所以B A v v >
因此
KB B A KA E mv mv E =>=222
121 3. 体重相同的甲乙两人,分别用双手握住跨过无摩擦滑轮绳子两端。忽略滑轮和绳子的质量。当它们由同一高度向上爬时,相对于绳子,甲的速率是乙的两倍,则到达顶点的情况是
[ ]。
A . 甲先到达 B. 乙先到达 C. 同时到达
答:[C ]
解:由于此二人受到的力相同,质量相同,则加速度就相同。同时到达。
4. 一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动,有一力)(0j y i x F F +=作用在质点上,该质点从坐标原点运动到)2,0(R 位置的过程中,此力F 对它做的功为_____。
答: 2
02R F A = 解:如图首先进行坐标变换,即将坐标原点移到圆周轨道的圆心/o
处,实际上,就是将x 轴平移R 。在新的坐标系中,圆周轨道θ角处(矢径r ),质点受到的力为 ]
)1(sin [cos ])([)(0//00j i R F j R y i x F j y i x F F ++=++=+=θθ 在新的坐标系中,矢径为 j R i R r θθsin cos += θθθRd j i r d )cos sin ( +-=
元功表示为
θ
θθθθθθd R F Rd j i j i R F r
d F dA cos )cos sin (])1(sin [cos 200=+-⋅++=⋅= 所以,质点从坐标原点运动到)2,0(R 位置的过程中,F 对它做的功为 2022
/2/02cos R F d R F dA A ===⎰⎰-θθππ
5. 一个半径为R 的水平圆盘以恒定角速度ω作匀速转动,一质量为m 的人要从圆盘边缘走到圆盘中心处,圆盘对他做的功为_______。
答: 222
1ωmR A -= 解:人在从圆盘边缘走向圆盘中心处的过程中,尽管他的角速度不变,但圆周半径减小,线速度变小,动能变小。由动能定理,得到人在dr r r +→的过程中,圆盘对他做的元功为
dr mr dr m rdr m r m dr r m mv dv v m dA 22222
22222)(2
121)(2121)(21ωωωωω=+=-+=-+= 因此,在O R →的过程中,圆盘对他做的功为
220221ωωmR dr mr dA A R
-===⎰⎰ 6. 今有劲度系数为k 的弹簧(质量忽略不计)竖直放置,下端是一小球,球的质量为m ,开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触,今将弹簧上端缓慢地提起,直到小球刚能脱离地面为止,在此过程外力做功为________。
答: k g m A 2/2
2=
解:过程结束,弹簧伸长量为
k mg x /=∆
以小球和弹簧为系统,它们之间的作用力是弹力(保守力),拉力是外力,没有非保守内力,根据功能原理,外力做功为 k
g m x k E E A 20)(212
2212=-∆=-= 也可以由变力作功来求。弹簧伸长x 时,加的外力为
kx F =
所以,元功为
kxdx dA =
弹簧伸长量为k mg x /=∆,所以
k g m k mg k x k kxdx dA A x 2)(21)(212
2220==∆===⎰⎰∆
7. 地球绕日公转轨道是椭圆。设椭圆的长、短半轴分别为a 和b 。求地球位于近日点和远日点时离太阳的距离。设地球位于近日点时的速率为1v ,求它在远日点时的速率。 解:如图,太阳在椭圆转轨的一个焦
点上。太阳到椭圆质心O 的距离为
22b a c -=
由图中的几何关系,得到地球位于近
日点和远日点时离太阳的距离分别为
221b a a r --=
222b a a r -+=
地球绕太阳的角动量守恒
2211v r v r =
1222
21212v b
a a
b a a v r r v -+--== 8. 一陨石从距地面高h 处由静止开始落向地面,忽略空气阻力,
求:(1)陨石下落过程中,万有引力做的功是多少?
(2)陨石落地时速度多大?(设陨石质量为m ,地球质量为M ,地球半径为R ) 解:陨石受到地球的引力为
r r
Mm G F ˆ2-= (1)如图,建立OL 坐标系,则
L L h R Mm G F ˆ)
(2-+= 引力做的元功为
dL L h R Mm G dL L L L h R Mm G L d F dA 22)
(ˆˆ)
(-+=⋅-+=⋅=
陨石下落到地球表面,万有引力做功为
)()
(02h R R Mmh
G dL L h R Mm G
dA A h +=-+==⎰⎰
(2)根据动能定理,地球引力对陨石所作的功等于陨石动能的增量
02
1)(2-=∆==+mv E A h R R Mmh G K )(2h R R GMh v +=
注意:本题中,我们使用的计算变力做功的办法很特别,但概念非常清晰。在一般的
教材中,力F 对质点做功,表示为r d F dA ⋅=,但一定要注意“r d ”是质点在力F 作用下的位移。由于做功与路经有关,在有些情况下,路经与矢径的方向相反(比如本题),会引起概念上的混淆。因此,在本题中,我们建立了新的坐标系OL ,使得坐标系的方向与路经的方向一致,这样,“L d ”是质点沿路经方向的位移,元功
L d F dA ⋅=,概念非常清晰,准确。当然,也有一定的麻烦,就是必须将其他变量都用这一个坐标系来表示。但换来的是,清晰的物理概念,在解决实际问题中,是非常实用的办法。当然,在路经与矢径方向相同的问题中,没有必要因入这一坐标系,如,物体远离地球,求地球引力做功。请仔细品读本题的做法。
9. 一链条总长为L ,质量为m ,放在桌面上靠边处,并使其一端下垂的长度为a ,设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为μ,链条由静止开始运动。求:(1)到链条离开桌边的过程中,摩擦力对链条做了多少功?(2)链条离开桌边的速率是多少?
解:(1)如图,以链条为研究对象。建立坐标系。再下滑x 长度时,情况如图所示。
受摩擦力为
i g x a L L
m x f μ)()(---= 摩擦力做元功
dx g x a L L
m i dx x f dA μ)()(---=⋅= 全部下滑完毕,摩擦力做功
⎰⎰---=---==a
L a L L
mg dx g L m x a L dA A 02)(2)(μμ