分式方程典型易错点及典型例题分析报告

分式方程典型易错点及典型例题分析

一、错用分式的基本性质例 1 化简错解：原式

分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.

正解：原式

二、错在颠倒运算顺序

例 2 计算错解：原式

分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.

正解：原式

三、错在约分例1 当为何值时，分式有意义？

［错解］原式. 由得.

•••时，分式有意义•

［解析］上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值围，而导致错误.

［正解］由得且.

•当且，分式有意义.

四、错在以偏概全

例2 为何值时，分式有意义？［错解］当，得.

•当，原分式有意义.

［解析］上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.

［正解］，得，

由，得.

•当且时，原分式有意义.

五、错在计算去分母

例3 计算.

［错解］原式

［解析］上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.

［正解］原式

六、错在只考虑分子没有顾及分母

例4 当为何值时，分式的值为零.

［错解］由，得. •当或时，原分式的值为零.

［解析］当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.

［正解］由由，得• 由，得且•

•••当时，原分式的值为零•

典例分析

类型一：分式及其基本性质

1•当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）

A. B. C. D.

2 •若分式的值等于零，则x= ____________ ;

3. 求分式的最简公分母。

【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（）

A . - 1

B . 0

C . 1

D .±1

（2）当x ______ 时，分式没有意义.

【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（）

A . B. C . D .

（一）通分约分

4. 化简分式：

【变式1】顺次相加法计算：

【变式2】整体通分法计算：

（二）裂项或拆项或分组运算

5. 巧用裂项法

计算：

【变式1】分组通分法

计算：

【变式2】巧用拆项法计算：类型三：条件分式求值的常用技巧

6. 参数法已知，求的值.

【变式1】整体代入法已知，求的值

【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分 子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法.

已知：，求的值.

【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式 时，通常我们把三元看作两元， 即把其中一元看作已知数来表示其它两元， 代入分式求出分

式的值.

已知：，求的值.

解分式方程的基本思想是去分母， 方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧. （一）与异分母相关的分式方程

7. 解方程=

9•甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖

.甲进货的策略是：每次买 1000

元钱的糖；乙进货的策略是每次买 1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问

两人中谁的平均价格低一些？

【变式1】甲开汽车，乙骑自行车，从相距

180千米的A 地同时出发到B .若汽车的速

度是自行车的速度的 2倍，汽车比自行车早到 2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？

【变式2] A 、B 两地路程为150千米，甲、乙两车分别从 A B 两地同时出发，相向而 行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达

B 后，立即沿原路返回，

返回时的速度是原来速度的 2倍，结果甲、乙两车同时到达 A 地，求甲车原来的速度和乙车 的速度.

【主要公式】1.同分母加减法则：

b c b c a 0

a a a

2.异分母加减法则：

b d b

c da bc da 0,c 0

a

a c ac ac

ac

3.分式的乘法与除法 b d bd b c b d bd

?- 5

?-

a c ac a d a c ac

4. 同底数幕的加减运算法则：实际是合并同类项

5. 同底数幕的乘法与除法 ；a

m

・

a n =a m+n ; a m * a n =a^n

n mn

6. 积的乘方与幕的乘方：（ab ）m = a m

b n , （a ）

= a

7. 负指数幕：a

-p

^^ a °=1

课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的 【变式1】换元法

解方程:

（二）与同分母相关的分式方程

2丄 x 3 x 8 1 x 7

7 x

&解方程一^―

x 3

【变式1】解方程

x

【变式2】解方程 --------

8. 乘法公式与因式分解: 平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b2