22.1.4 二次函数的y=ax2+bx+c图象与性质第2课时教案
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质（第2课时）
湖北省仙桃市第二中学肖凯
一、内容和内容解析
内容
人教版义务教育教材九年级上册“22.1.4 二次函数的y=a x2+bx+c图象与性质（第2课时）”.
内容解析
二次函数是初中数学重要内容之一，而用待定系数法求函数解析式在前面的一次函数，反比例函数中已经多次得以运用，确定一次函数有两个独立系数，要两个独立条件，这些知识方法学生已熟悉，本节把这些所学推向初中学段的最高点—二次函数解析式的确定.由于前几节已经对二次函数的两种表达式进行了多方面的认识，是学习本节最直接的认知基础，通过本节的学习，进一步深化对二次函数的认识，同时为后面的实际问题做好铺垫.
二、目标和目标解析
目标
1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法.
2、在经历探索用待定系数法求二次函数解析式及条件的制约性的过程中，让学生感悟到“类比思想”和“数形结合思想”.
3、从学习中体会数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣.
目标解析
1、通过类比求一次函数解析式的方法，找到求二次函数解析式的方法.此法，虽然学生已经学过用待定系数法求一次函数的解析式，也了解运用待定系数法的具体方法与步骤，但是由于中间间隔了一段时间，以及求二次函数解析式对条件的制约，所以让学生经历用待定系数法求二次函数的解析式是学习的目标之一.
2、数学思想的教学一般要经过渗透、领悟、应用、巩固四个阶段.在探究用待定系数法求二次函数解析式时，让学生领悟到类比思想、数形结合思想，并运用这些数学思想去猜想、验证、归纳、概括求二次函数解析式的方法及条件的制约性.
3、通过实际的问题让学生体会到学习用待定系数法求二次函数解析式的价值，从而提高学生学习数学知识的兴趣.
三、教学问题诊断分析
学生已经学习了用待定系数法求一次函数与反比例函数解析式的方法，基本熟练掌握了待定系数法求函数解析式的方法，但中间间隔了一段时间，加上求二次函数解析式自身特殊性及学生学习求前两类函数解析式所产生的“惯性”，会导至学生在求解析式时必须要三个点的坐标，坐标可以是任意三个点等方面的认识.
基于以上可能出现的问题，教学时将采用类比探究（与求一次函数解析式的方法进行类比），反面剖析（引导学生从一个点的坐标开始探究到三个点时给出同一直线上三
个点的坐标，以及一个特殊点及顶点坐标和一个一般的点的坐标形成冲突）两个步骤加以解决.
四、教学重点
会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式.
五、教学难点
在实际应用中体会求二次函数解析式作为一种数学模型的作用，会利用待定系数法求二次函数的解析式.
六、教学支持条件分析
根据本节内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，了解求二次函数解析式的方法及条件的制约性，以《几何画板》为平台，通过动态的演示，观察图象的变化，研究条件的个数及制约性，进而进一步加深学生对用待定系数法求二次函数解析式的认知.。
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》(第2课时)课件
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y ＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．
解：由题意，得aa＋－bb＋＋cc＝＝06，，解得ab＝＝2－，3，
c＝1，
c＝1，
∴二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋1
知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式 4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式 为( D ) A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝29(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8
5．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求 这条抛物线的解析式．
解：由题意，设二次函数的解析式为y＝a(x－4)2－1，把(0，3)代入 得3＝a(0－4)2－1，解得a＝14，∴y＝14(x－4)2－1 知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式 6．如图，抛物线的函数表达式是( D )
A．y＝12x2－x＋4 B．y＝－12x2－x＋4 C．y＝12x2＋x＋4 D．y＝－12x2＋x＋4
7．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1， 0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析 式．
解：由题意，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，把(0，－2) 代入得－2＝－2a，∴a＝1，∴y＝(x＋1)(x－2)，即y＝x2－x－2
8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能 是( D )
A．y＝x2－x－2 B．y＝－12x2－12x＋2 C．y＝－12x2－12x＋1 D．y＝－x2＋x＋2
9．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c
九年级数学上册-二次函数y=ax2 bx c的图象和性质第2课时教案新版新人教版
第2课时用待定系数法求二次函数的解析式【知识与技能】利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式.【过程与方法】通过介绍二次函数的三点式,顶点式,交点式,结合已知的点,灵活地选择恰当的解析式求法.【情感态度】经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程,发现二次函数三点式、顶点式与交点式之间的区别及各自的优点,培养学生思维的灵活性.【教学重点】待定系数法求二次函数的解析式.【教学难点】选择恰当的解析式求法.一、情境导入,初步认识问题我们知道,已知一次函数图象上两个点的坐标,可以用待定系数法求出它的解析式,试问:要求出一个二次函数的表达式,需要几个独立的条件呢？【教学说明】对于问题,教师应与学生一起交流,明确确定一个一次函数表达式为什么需要两个独立的条件的原因,进而获得确定一个二次函数表达式需要三个独立的条件.二、思考探究,获取新知在前面的情境导入中,同学们已经知道确立一个二次函数需要三个条件.事实上,求二次函数y=ax2+bx+c的解析式,关键是求出待定系数a、b、c的值.由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于a、b、c的方程组,并求出a、b、c,就可以写出二次函数表达式.回顾前面学过的知识,已知学过y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k等几种形式的二次函数,所以在利用待定系数法求二次函数解析式时,一般也可分以下几种情况: （1）顶点在原点,可设为y=ax2;（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上）,可设为y=ax2+k;（3）顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)2;（4）抛物线过原点,可设为y=ax2+bx;(5)已知顶点（h,k）时,可设顶点式为y=a(x-h)2+k;（6）已知抛物线上三点时,可设三点式为y=ax2+bx+c;（7）已知抛物线与x 轴两交点坐标为（x 1,0）,(x 2,0)时,可设交点式为y=a(x-x 1)(x-x 2).【教学说明】教师在教学时,可由浅入深进行讲解.对每一种情形,可先让学生自主思考探索交流想法后,再共同总结出各情况的设法,学生在思考中加深对知识的理解、记忆与掌握.三、典例精析,掌握新知例根据下列条件,分别求出对应的二次函数解析式.（1）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点（1,0）,（-5,0）,顶点的纵坐标为92,求这个二次函数的解析式.（2）已知二次函数的图象经过（-1,10）,（1,4）,（2,7）；（3）已知二次函数的图象的顶点为（-1,3）,且经过点（2,5）.分析:(1)由已知的两点（1,0）,（-5,0）的纵坐标知,这两点是关于对称轴对称的两个点,即对称轴为直线x=-2,由此可知顶点坐标为（-2,9/2）,可用交点式和顶点式两种方法求解.(2)已知三点坐标,即直接给出了三组对应关系,可通过设三点式用待定系数法求解.（3）由条件初看起来似显不足,因为只给出经过图象上的两点的坐标,但若注意到顶点坐标实际上存在着两个独立等式,即有2b a-=-1, 244ac b a -=3,因此仍可求出相应二次函数解析式.这时可利用一般式,代入求值得到结果,也可设这个二次函数解析式为y=a （x-h ）2+k,其中h,k 可直接由顶点坐标得到,即h=-1,k=3,再把（2,5）代入求出a 值,可快速获得该二次函数表达式.解:（1）方法一:设这个二次函数的解析式为y=a(x-1)(x+5),则a(-2-1)(-2+5)=9/2,∴a=-1/2,y=-1/2(x-1)(x+5)=-1/2x 2-2x+5/2,即这个二次函数解析式为y=-1/2x 2-2x+5/2.方法二:∵图象过（1,0）,（-5,0）,则对称轴为直线x=-2,设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)2+9/2,则a(1+2)2+9/2=0,解得a=-1/2.∴y=-1/2(x+2)2+9/2=-1/2x 2-2x+5/2,即这个二次函数解析式为y=-1/2x 2-2x+5/2.（2）设所求的二次函数解析式为y=ax 2+bx+c （a ≠0),由题意,有: 104427a b c a b c a b c -+=++=++⎩=⎧⎪⎨⎪，，， 解这个方程组,得235.a b c =⎧⎪=⎩=-⎪⎨，，故所求二次函数解析式为y=2x 2-3x+5；（3）方法一:设所求的二次函数表达式为y=ax 2+bx+c （a ≠0）,由题意,有:242512434a b c b a ac b a ++=-=--=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，，， 解得:294929.9a b c ⎧⎪⎪==⎪⎨=⎪⎪⎪⎩，， 故所求二次函数解析式为y=2/9x 2+4/9x+29/9；方法二:设所求的二次函数表达式为y=a （x-h ）2+k(a ≠0),由题意,有:h=-1,k=3,即y=a （x+1）2+3.把（2,5）代入,得5=a ×9+3.∴a=2/9.故所求二次函数解析式为y=2/9(x+1)2+3,即y=2/9x 2+4/9x+29/9.【教学说明】可让学生先独立思考,求出解析式,并交流结果,让快速完成的同学体验成功的喜悦；对出现的问题,让他们自查并反思,加深印象,在学生完成后,师生共同探索,总结收获.教师给出完整解答,规范学生的答题过程,最后教师引导学生做教材第40页练习.四、运用新知,深化理解1.抛物线y=ax 2+bx-3过点（2,4）,则代数式8a+4b+1的值为（ ）A.3B.9C.15D.-152.抛物线y=mx 2-3x+3m-m2过原点,则m=_____,该抛物线的关系式为________.3.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的解析式:（1）已知二次函数的图象经过点A （0,-1）,B （1,0）,C （-1,2）；（2）二次函数的图象顶点为（3,-2）,且图象与x 轴两个交点间的距离为4；（3）抛物线的对称轴为直线x=2,且经过点（1,4）和（5,0）.【教学说明】1、2两题较为简单,可让学生自主完成,第2题注意抛物线解析式中的二次项系数不能为0.解第3题时,应注意关注学生是否能根据不同条件设二次函数的解析式.【答案】1.C 2.3 y=3x 2-3x3.（1）y=2x 2-x-1;(2)y=1/2(x-3)2-2,即y=1/2x 2-3x+5/2.【解析】依题意,可设此二次函数表达式y=a(x-3)2-2,又它的对称轴为x=3,且图象与x 轴两交点间距离为4,可知图象与x 轴的交点坐标应分别为(1,0)和(5,0),从而可求出二次函数表达式;(3)∵对称轴为直线x=2,且过点（5,0）,则必过点（-1,0）.故可设抛物线的解析式为y=a(x-5)(x+1).又抛物线过点(1,4),∴4=a(1-5)(1+1),∴a=-1/2.故抛物线的解析式为y=-1/2(x-5)(x+1),即y=-1/2x2+2x+5/2.五、师生互动,课堂小结求解析式时,要灵活运用待定系数法设出适当的解析式,师生一起回忆设二次函数解析式的几种情况.1.布置作业:教材习题22.1第8、10、12题.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业“部分。
22.1.4 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时用待定系数法求二次函数的解析式【学习目标】1.会用待定系数法求二次函数的表达式(难点）2.会用待定系数法解决关于二次函数的相关问题(重点）【新课引入】复习回顾1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？【新课教学】★❶一般式法二次函数的表达式问题1（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：-3），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c，得∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3待定系数法步骤：1.设:(表达式）2.代:(坐标代入）3.解:方程（组）4.还原:(写解析式）【知识归纳总结】一般式法求二次函数表达式的方法已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a，b，c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.例1 一个二次函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，由于这个函数经过点(0，1)，可得c=1.又由于其图象经过(2，4)、(3，10)两点，可得方程：解这个方程组，得∴所求的二次函数的表达式是★❷顶点法求二次函数的表达式选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是把点代入得解得∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1 =-x2-4x-3.这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.例2 一个二次函数的图象经点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.解：可以设函数表达式为又它的图象经过点(0 ，1)，可得解得∴所求的二次函数的解析式是★❸交点法求二次函数的表达式选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式.解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是.因此得再把点（0，-3）代入得解得∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1)，即y=-x2-4x-3.这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.【想一想】确定二次函数的这三点应满足什么条件？任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.【做一做】课本p40-练习，p42-10（2，4）★❹特殊条件的二次函数的表达式①图象关于y轴对称，二次函数为y＝ax2＋c例3.已知二次函数的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．②图象经过原点，二次函数为y＝ax2＋bx例4.已知二次函数的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．③图象关于直线x=h对称【若点的坐标为（a，m）（b，m），则两点关于直线h=(a+b)/2对称】二次函数为y＝a(x-h)2＋k例5.已知二次函数的图象经过点(－1，3) (1，3) (2，6)求这个二次函数的表达式．④图象顶点在x轴上，二次函数为y＝a(x-h)2例5.已知二次函数顶点在x轴上，且图象经过点(－1，3) (2，6)求这个二次函数的表达式．【注：y=ax2顶点在原点】【当堂达标】1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．【本课小结】【课后作业】《课时练》本课时练习。
九年级数学第二章第四节：二次函数y=ax2bxc的图象教案2
一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：已经能够正确说出y=ax 2、 、y=ax 2+c 、y=a(x-c)2 、y=a(x-h)2+k 图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标，特别是对y=a(x-h)2+k 形式的函数有感性认识，知道特定的形式反映特定的几何特征.学生活动经验基础：学生已经熟练掌握画函数图象的基本步骤：列表、描点、连线，学生能够根据以往画y=ax 2、 、y=ax 2+c 、y=a(x-c)2 、y=a(x-h)2+k 图象的经验理解y=a(x-h)2+k 与y=ax 2、的图象的关系。
二、教学任务分析进一步对a 、h 、k 响影二次函数图象产生感性认识，进一步体会建立y=a(x-h)2+k 形式的必要性，能够利用二次函数顶点式解决实际问题，鼓励学生利用类比等方法探究数学问题，认识到真理来源于实践，又能指导实践。
具体地说，本节课的教学目标是：知识与技能1．经历探索二次函数c bx ax y ++=2的图象的作法和性质的过程；2．推导二次函数c bx ax y ++=2的对称轴和顶点坐标公式；3．能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题。
过程与方法1．体会建立二次函数c bx ax y ++=2对称轴和顶点坐标公式的必要性；2．在学习c bx ax y ++=2的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想。
情感态度与价值观1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学重点：推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式，并利用此解决一些问题。
教学难点：用配方法推导c bx ax y ++=2的对称轴和顶点坐标公式三、教学过程分析 本节课分为五个环节：复习练习、引入课题学习c bx ax y ++=2的顶点坐标公式并加以练习、链接生活解决问题、小结、布置作业第一环节 复习练习活动内容：说出y=ax 2、 、y=ax 2+c 、y=a(x-c)2 、y=a(x-h)2+k 图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标。
人教版九年级上册数学学案：22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象2 含答案
课题: 22.1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象一．学习目标1、让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质使学生掌握函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象及性质；2、理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b 24a )。
3、通过实际问题探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性； 二．教材导学 （一）知识回顾：（1）二次函数 c bx ax y ++=2( a ≠0)的图象是一条抛物线；（2）对称轴是直线x=a b 2-，顶点坐标是为（ab 2-，a b ac 442-）(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
（二）、自主学习：1．函数y=ax 2+bx+c (a≠0)中，若a>0，则当x=-ab2时，y ( )= ；若a<0，则当x= 时，y ( )= 。
2．在二次函数y=2x 2-8x+9中当x= 时，函数y 有最 值等于 。
三、引领学习1.探索填空:根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是 ， 在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0 .y= -2x 2y= 2x 22. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x 2的顶点坐标是 ， 对称轴是 ，在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳:二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象和性质(1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当 时，函数y 有最小值 。
人教版九年级数学上册22.1.4二次函数yax2+bx+c的图象和性质教案
年级九年级拟授课学校科目数学拟授课班级主备人拟授课教师拟授课时间教学内容22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教案课时1课时教学准备多媒体教学目标知识与技能使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象过程与方法经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质情感态度价值观让学生在数学活动中感受数学思想方法之美教学重点用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标教学难点理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质板书设计教学过程设计教 学 过 程设计意图 个性思考栏一、我们知道,作出二次函数23y x =的图象,通过平移抛物线23y x =可以得到二次函数23y x =-6x+5的图象. （一）怎样直接作出函数23y x =-6x+5的图象?2365y x x =-+提取二次项系数得 配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号（二）直接画函数y=ax²+bx+c 的图象1.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).2.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.2.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2的图象．做一做作出函数221213y x x =-+的图象.提高学生学习兴趣，渗透数学 建模思想.复习待定系数法，为求二次函数的解析式作好铺垫.体现类比思想，了解求二次函数解析式就是要求什么.合理地猜想，为后面的探究作好铺垫.⎪⎭⎫⎝⎛+-=35232x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=3511232x x ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=32132x ().2132+-=x（三）函数y=ax ²+bx+c 的顶点式 一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 例.求次函数y=ax²+bx+c 的对称轴和顶点坐标．提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项对所学知识的一个巩固以及解答过程的规范化.对学生猜想的一个补充，体会到求二次函数解析式条件的制约性.对于特殊点的运用，使学生解决问题时有方c bx ax y ++=2⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c c x a b x a 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=a c a b a b x a b x a 22222化简:去掉中括号这个结果通常称为求顶点坐标公式.所以说 是函数y=ax ²+bx+c 的顶点式。
人教版数学九年级上册22.1.4.2：用待定系数法求二次函数解析式教案
课题：22.1.4 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式一、教学目标：知识与能力：掌握二次函数解析式的表达方式。
会用待定系数法求二次函数的解析式。
学会利用二次函数解决实际问题。
过程与方法：能根据二次函数的图像及性质解决生活中的实际问题。
二、教学重难点重点：会用待定系数法求二次函数的解析式难点：会选用适当函数表达式求二次函数的解析式三、媒体运用班班通四、教学设计（一）温故而知新我们知道，在学习一次函数的过程中，已知同一直线上的不同两点的坐标，我们可以求出这条直线的解析式.例如：已知直线y=ax+b 经过点A （1.1），点 B （-1，-1），那么这条直线的解析式为：y=x.（二）探究（1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？（2）如果一个二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三个点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.分析：（1）确定一次函数.用待定系数法，求出k,b 的值，从而确定一次函数解析式.类似的，我们可以写出这个二次函数的解析式y=ax 2+bx+c ，求出a,b,c 的值.由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于a,b,c 的三元一次方程组就可以求出a,b,c 的值.（2）设所求二次函数为y=ax 2+bx+c 由已知，函数图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三点，得关于a,b,c 的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.724,4,10c b a c b a c b a解这个方程组，得a=2,b=-3,c=5所求二次函数是y=2x 2-3x+5（三）方法小结用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成：一设、二代、三解、四还原一设:指先设出二次函数的解析式；二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的解析式，得到关于a、b、c的方程组三解:指解此方程或方程组四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中（四）动手做一做已知当x＝－1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式。
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c a-b+c=0 a+b+c=0 c=1
解得 a=-1, b=0, c=1
故所求的抛物线解析式为 y=－x2+1
课堂练习
1、一个二次函数，当自变量x 0时，函数值y 1， 当x 2与 1 时，y 0.求这个二次函数的解析式。
2 2、一个二次函数的图象经过（0，0），（1，1）， （1，9）三点，求这个二次函数的解析式。
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是
求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的
坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出 a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数的解析式
例2 已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
回顾：用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求 这个一次函数的解析式。
Байду номын сангаас
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,
因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2 bx c的图像和性质》教学设计
《二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质》教学设计教材依据人民教育出版社义务教育教科书《数学》（九年级上册）22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质．设计思路一、指导思想新课程标准指出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。
在教学设计时，我以布鲁纳认知发现学习理论的实质——主动的形成认知结构为指导思想，结合新课标“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．”的教育理念，设计了二次函数的图像和性质这节课。
二、设计理念本节课授课班级的学生已经获得的二次函数解析式中待定系数与图象的关系、二次函数图象的性质的基础上学习的，根据学生的认知特点和所学知识的特征，我在教学过程中重点运用我校的三段两重心教学模式：揭示目标，突破目标，检测目标。
使学生经历数学知识的形成与应用过程，以达到促进学生有效学习的目的。
这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设计，将图象与数量结合到一起、将代数与几何结合到一起解决问题，提高学生在动手操作能力、分析问题能力的过程中，养成认真观察、主动思考的习惯，体会数形结合思想在解题中的优势。
从而提高课堂教学的效率。
三、教材分析本节属于《数学课程标准》（2011年）中“数与代数”领域的内容，课标中明确指出要求学生“会用配方法将数字系数的的二次函数的表达式化为y=a(x-h)²+k的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。
”设计本节课是学生在已经学习了二次函数的顶点式的基础上，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为一节课（探究图象及其性质）。
二次函数的图象与性质也是中考内容的重点考察之一。
四、学情分析二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。
二次函数y=ax2 bx c的图象和性质(第二课时)教案
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（第二课时）教案一、知识目标通过用待定系数法求二次函数解析式的探究，让学生掌握求二次函数解析式的方法。
二、能力目标能灵活的根据条件恰当地选择解析式的模式，体会二次函数解析式之间的转化。
三、情感价值观从学习过程中体会学习函数知识的价值，从而提高学习函数知识的兴趣。
四、教学重点会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式五、教学难点在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用待定系数法求二次函数的函数关系式来解决生活中的实际问题六、教学过程活动一：复习引入，提出问题1、某校九年级的一场篮球比赛中，如图所示，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时高度为4m．水平距离为10m时球首次与地面接触，设篮球的运动轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．建立如图的平面直角坐标系，请判定此球能否准确投中？2、已知一次函数的图象经过点A（－1，0），B（1，2）求此一次函数的解析式.一说你是怎么做的吗？（课件显示解答过程）问：以上求解析式的方法我们称为____ _____，它主要的做法是.活动二：探索新知，解决问题问：1、二次函数y=ax2+bx+c中有几个待定系数？求解析式就是求什么呢？2、一般由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应该满足什么条件呢？①如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,能唯一确定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式，如果不能，请思考为什么？②如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（1，2）能唯一确定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式，如果不能，请思考为什么？③如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（0，1）（1，2）三点，能唯一确定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式，如果不能，请思考为什么？④如果一个二次函数的图象经过（－1，0）,（1，2）（3，0）三点，能唯一确定这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式，如果不能，请思考为什么？你认为具备怎样的条件就能唯一确定一个一般的二次函数的解析式呢？.例题示范例1：一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三个点（1）求这个二次函数的解析式（2）求这个二次函数的顶点坐标和对称轴.课堂练习：1、一个二次函数，当自变量x ＝0时，函数值y ＝－1，当x ＝－2与21时，y ＝0.求这个次次函数的解析式.2、一个二次函数的图象经过（0，0），（－1， －1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式.请同学们用本节课所学的知识来解决活动1的问题。