概率统计简明教程同济版

（2）抽样中出现的废品数
有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可 数量化
例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的
可规定: 用 1表示 “正面”，用 0 表示“反面”
试验结果的数量化
例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。
取球结果为: 两个白球;两个红球;一红一白
之对应，称 X X () 为样本空间Ω上
的随机变量。
例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反 面”来表示的
可规定: 用 1表示 “正面” ，用 0 表示“反面”
1 “正面”，2 “反面”
则
X 1 1, X 2 0
为简便起见，今后我们将事件A X () a记为X a
关于随机变量的研究，是概率论的中心内容。前 面我们所学的随机事件是从静态的观点来研究随机现 象，而随机变量则是一种动态的观点。
称 F x为随机变量X的概率分布函数，简称分
布函数。本质上是一个累积函数。
例（前）设袋中装着标有-1,2,2,2,3,3数字的六个球。从
中任取一个，用X表示取得的球号，求X的分布函数。
解
X： -1， 2， 3
P： 1 , 1 , 1
623
x -1
0
x
2x 3 x
x
当 x 1时，X x是不可能事件，F x P X x 0.
P x1 X x2 P X x2 P X x1
因此，对于一切 x ，只要算出概率 P X x，就
能算出X落在任意区间 (x1, x2 ] 的概率了，也就相当于 找到了X的概率分布。
因当 x 确定时，概率 P X x就有确定的对应
值，因而 P X x是 x 的函数。记作：
F(x) P X x ( x ,值域0,1)
➢ 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.
Y 的可能取值为 0，1，2，3，...,M
➢ 在[0，1]区间上随机取点，该点的坐标X.
X 的可能取值为 [0，1]上的全体实数。
随机变量根据其取值方式的不同，通常分为两 类：离散型随机变量与连续型随机变量。后面将分 别进行讲述。
随机事件通常都可以用X的不同取值来表示. 如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 “出现2点”可表示为： {X=2} “出现偶数点”可表示为： {X=2} {X=4} {X=6} “出现的点数大于2小于6”可表示为：{3 X5}
设离散型随机变量 X 的所有可能取值是 x1,x2,…,xk,…，而X 取值 xk 的概率为 pk
对于有关求随机变量的问题，通常要解决两点：
1、在一道题目当中随机变量可能取些什么值？
2、随机变量取这些值以及随机变量属于数轴上
任一集合S（即 X S）或区间的概率是多少？
若解决了这两个问题（即对任 S, P X S都知
道），就说确定了随机变量X的概率分布。
例 设袋中装着标有-1,2,2,2,3,3数字的六个球。从中任
可以看出，随机事件这个概念是包容在随机变量 这个更广的概念之内。如数学中常量与变量的区分那 样，变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念。 同样，概率论能从一些孤立事件的概念发展为一个更 高的理论体系，其基础概念就是随机变量。
随机变量的实例
例
➢ 某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命X。
X 的可能取值为 [0,+)
第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及分布函数
重点 随机变量的概念 分布函数的概念
在前面的学习中,我们用字母A、B、C...表示
事件，并视之为样本空间 的子集；
本章，将用随机变量表示事件，以便于采用高 等数学的方法描述、进而研究随机现象。
若能将样本空间数量化,即用数字来表示试验 的结果,将会带来很大的方便,更便于用数学方法 和工具来研究随机现象。 有些随机试验的结果本来就可以用数量来表示. 例如 （1） 在掷骰子试验中,结果用1,2,3,4,5,6来表示；
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可 以用F(x)的函数值来表示。
P( X b) F (b) P( X b) 1 P( X b) 1 F (b) P(a X b) P(X b) P(X a) F (b) F (a)
已知 X 的分布律为
X 1 0 1 2
求X的分布函数，
取一个，用X表示取得的球号，求X取任一数字的概
率及
P
X
5 2
的概率。
解 X可能的取值为-1，2，3，根据古典概率计算公式:
P X 1 1 P X 2 3 1
6
62
P
X
5 2
11 62
2 3
P X 3 2 1
63
一般地，X落在某区间 (x1, x2 ]上的概率可以表示为：
x
分布函数的性质：
(1) 0 F x 1 x
(2)对于任意两点 x1, x2 ，当 x1 x2时，有 F (x1) F (x2 ) 即任一分布函数都是单调不减的。
(3) lim F(x) 0及 lim F(x) 1
x
x
(4)
lim
x x0
F ( x)F源自x0x0 即分布函数是一个右连续函数。
如果用X表示抽得的红球数，则X的取值为0，1，2。此时，
“两只红球”= “X取到值2”, 可记为 {X=2}
“一红一白”= {X=1}, “两只白球”＝{X=0}
特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了
一个对应关系
随机变量的定义
随机变量 设随机试验的样本空间为Ω，如果对于每一
个样本点 ，均有唯一的实数X () 与
当 1 x 2时，X x就是X 1,
F x 1.
6
当 2 x 3时，X x就是X 1或X 2,
F x 1 1 2.
62 3
当 x 3 时，X x为必然事件，F x 1.
0, x 1
即
1
,
1 x 2
F
x
6 2
,
2 x3
3
1, 3 x
F(x)
1
2 3
-1
1
23
1 1 1 1 并画出它的图形。
P 2 3 12 12
第二节
重点
离散型随机变量
理解离散型随机变量及分布律的概念
会用分布律或分布函数的概念和性质计 算有关事件的概率
随机变量的类型
离散型 随机变量的所有取值是有限个或可数个
非离散型 随机变量的取值不能一一列举 连续型随机变量
对于求离散型随机变量的问题，通常要解决两点： 1、在一道题目当中随机变量可能取些什么值？ 2、随机变量取这些值的概率是多少？