同济大学概率统计思维图
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同济大学概率论与数理统计第一、第二章
A B A B A A B B
•
例8 设Ai={第i个电子元件正常工作}， i=1,2,…n.用事件之间的关系表示 n个电子元件串联或并联系统正常工作这 一事件Ｂ。 • 串联系统： Ｂ＝A1∩A2∩┅∩An
1 2 3 n
• 并联系统： Ｂ＝A1∪A2∪┅∪An
• 1. 从n个元素中任取k个，有
n n 1 n 2 n k 1 n! C k k 1 2 1 k ! n k !
k n
种不同的结果； • 2. 一件事情分几个步骤完成，则互相之间用乘法， 一件事情有若干种方法来完成，则互相之间用加 法，这就是所谓的计数原理。
概率论简明教程
什么是概率？
• 例1. 盒中装有20件产品，其中有5件次品， 不放回地一件一件抽取，问：第十次取出 最后一个次品的概率是多少？
• 例2，在半圆区域0≤y≤ 2ax x 内随机地投 入一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角 4 不超过 /的可能性。
2
• 概率的思想在日常生活中的体现
• 每次试验中一定发生的事件称为必然事件. Ω包含所有样本点，因此每次试验中必定有Ω中的 一个样本点出现，故Ω是必然事件；而另一方面Ω 是Ω的子集； • 每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件. φ中不包含任何样本点，因此是不可能事件； φ也是Ω的子集。 • 为讨论问题方便，将上述两个事件也当作随机事 件，作为两个极端情况。
例7 抛二枚均匀硬币， Ω={正正，正反，反正， 反反} 。 A={第一次出现正面} ={正正，正反}， B={第二次出现正面}={正正，反正}。 • A与B的和事件∶第一次或第二次出现正面，表 示为 A∪B={正正，正反，反正} 。 • A与B的积事件∶第一次且第二次都出现正面， 表示为 A∩B={正正} 。 • A与B的差事件A-B∶第一次正面第二次出现反面， 表示为 A-B={正反}.
《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)
m?????若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的20义定义当随机试验的样本空间是某个区域并且任量意一点落在度量长度面积体积相同的子区域是等可能的则事件a的概率可定义为?mamap??说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时就归结为几何概率
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
随机变量及其分布
第2章 随机变量及其分布 20
例3
设随机变量 X 的概率密度函数为
2 3x , 0x1,
f x
0,
其他
求 （1） P X 0.5 （2） X 的分布函数 F x
解 （1） P( X 0.5)= 0.5 f xdx 0.5 3x2dx=0.125
-0.5
0
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第2章 随机变量及其分布 11
综上, 随机变量的分布函数为 F x P X x
0
0.5 0.8
1
x 1 1 x 2 2 x3
x3
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二、随机变量的分布函数
分布函数的性质
设 F X 是随机变量 X 的分布函数，则有
第2章 随机变量及其分布 12
1
0 F x 1; lim F x 0, lim F x 1
e3 30 =
e3 31
e3 32
17 e3 。
0!
1!
2! 2
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二、泊松分布
第2章 随机变量及其分布 31
例 6 已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为6的泊松分布.问周初
至少预备多少货源才能保证该周不脱销的概率不小于0.9.假定上周没有库存,
对照一下离散型随机变量的概率函数所满足的两个条件,
1 pi 0
2 pi 1
i
这两个条件同样刻划了密度函数的特征性质, 即如果有实值函数具备这两条性质, 那么它必定是某个连续型随机变量的概率密度函数.
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四、连续型随机变量及其密度函数
概率统计同济课后习题答案
概率统计同济课后习题答案在学习概率统计这门课程时，课后习题的练习和答案的参考对于巩固知识、加深理解起着至关重要的作用。
同济大学出版的概率统计教材备受广大师生的青睐，而对应的课后习题答案则成为了同学们在学习过程中的得力助手。
首先，我们来谈谈为什么课后习题的答案如此重要。
课后习题是对课堂所学知识的一种检验和拓展，通过完成这些习题，我们能够更加深入地理解概念、掌握方法，并发现自己在学习中的薄弱环节。
而答案则为我们提供了一个标准和参考，让我们知道自己的解题思路是否正确，计算过程是否准确。
如果答案与自己的结果不一致，还能促使我们重新思考、查找错误，从而提高学习效果。
在面对同济版概率统计课后习题答案时，我们不能仅仅满足于知道最终的结果，更要注重解题的过程和方法。
比如，在求解概率问题时，要清楚地知道如何运用概率的定义、性质和公式，如何进行事件的运算和概率的计算。
对于统计部分的习题，要理解各种统计量的意义和计算方法，掌握数据的处理和分析技巧。
以一道常见的概率习题为例：假设有两个相互独立的事件 A 和 B，P(A) ＝ 04，P(B) ＝ 06，求 P(A ∪ B)。
这道题的答案应该是：P(A ∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) P(A)P(B) ＝ 04 ＋ 06 04×06 ＝ 076 。
但我们不能只是记住这个数字，而要明白为什么可以使用这个公式，以及每个步骤的依据是什么。
再来看一道统计习题：已知一组数据 10，12，15，18，20，求这组数据的均值和方差。
答案是：均值为（10 ＋ 12 ＋ 15 ＋ 18 ＋ 20) ／ 5 ＝ 15 ，方差为（10 15)²＋（12 15)²＋（15 15)²＋（18 15)²＋（20 15)²／ 5 ＝ 13 。
同样，我们要理解均值和方差的计算公式，以及如何代入数据进行计算。
然而，在使用课后习题答案时，也需要注意一些问题。
同济大学概率统计第1章
三、随机事件
1.
随机事件：一个随机试验的样本空间的子集，简称为事件， 常用大写字母A，B，C……表示。 2. 基本事件：仅含一个样本点的随机事件 。 例1: 事件A={出现点数不大4},A={1,2,3,4} 事件B={出现偶数点},B={2,4,6} 例2: 事件C={次品件数不少于空间和随机事件
确定性现象：在确定的试验条件下必然会发生 的现象
在101325Ｐa的大气压下， 将纯净水加热到100℃时必然沸腾
垂直上抛一重物，该重物会 垂直下落
随机现象：在大量重复试验中结果呈现某种规律性的 现象。这种规律性称为统计规律性。
掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点。
Ω
A B
记作
A⊂ B
B⊃A
例如
抛掷两颗骰子，观察出现的点数 B={出现奇数点}
A={出现1点}
A⊂ B
相等事件
A ⑵如果 ⊂ B 且 B ⊂ A ，即 A = B ，那么称事件A与事件B相等。
B ⊃ A且 A ⊃ B
Ω
B A
⇔
A=B
例1：在投掷一颗骰子的试验中， 事件A“出现2点”，事件B“出现偶 数点”，事件c是“出现2或4或6 点”，则
§1.2事件关系和运算
例７：两门火炮同时向一架飞机射击,事件A=｛击落飞机},Bi={击中第i个发 动机},i=1,2, C={击中驾驶员},“击落飞机”等价于“击中驾驶员” 或者
“击中两个发动机”.
试建立A,B1,B2,C之间的联系.
包含
⑴如果 A ⊂ B（或） B ⊃ A ，那么称事件B包含事件A，它的含义是：事 件A发生必定导致事件B发生。事件A是事件B的子事件。
几何概型
假定样本空间Ω是某个区域（可以是一维、二维和三维的）每个 样本点等可能的出现，我们规定事件A的概率为：
同济大学《概率论与数理统计》PPT课件
随机事件 D=“出现的点数超过 6”= ，即一定不会发生的不可能事件。
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四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
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3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
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2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
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四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
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3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
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2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
统计量和抽样分布
4
⑴
X
2 i
;
i 1
⑵
1 4
4 i1
Xi 2;
1 4
2
⑶
2 i 1
Xi X
.
解
由定义即知⑵不是统计量, 而⑴⑶是.
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一、样本均值和样本方差
第6章 统计量和抽样分布 22
设 X1, X 2 ,L , X n 为取自总体的一个样本，称
⑴样本均值
1n X n i1 Xi
由此可得：
M 2 1 n n i1
Xi X
2 =ˆ Sn2 ,
相应的观测值
Sn
1n n i1
Xi X
2
sn2
1 n
n i 1
xi x 2，sn
1n n i1
xi x
2
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一、样本均值和样本方差
第6章 统计量和抽样分布 25
注 S 2 , Sn2 在计算时的另一表达形式:
分别求 E
X
,D
X
,E
S2
,
E
1 n
n i 1
X
2 i
.
（1） X ~ B(1, p) ；（2） X ~ E() ；（3） X ~ U (0,2 ), 其中 0 ．
解 由定理可得
E X E X ˆ , D X D X ˆ 2 , nn
E S 2 D X 2，
统计量的定义
第6章 统计量和抽样分布 20
不含有未知参数的样本的函数 g X1,L , Xn 称为统计量.
例1 假设总体 X ~ U 0, , X1, X 2,L , X n 为取自该 总体的一个样本,
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两点分布 二项分布 超几何分布 泊松分布 几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布
一维离散型（连续型）随机变量
二维随机变量
联合概率（密度、分布）函数 边缘概率（密度、分布）函数 相互关系独立性 条件概率（密度）函数 随机变量函数的概率（密度）函数 具有可加性的随机变量 二维正态、均匀分布
正态分布的线性变换 正态分布的边缘分布
同济大学概率统计教研室
随机变量的数字特征定义、性质
两个不等式
常用随机变量的数字特征
随机变量函数的期望 数学期望
方差 协方差
线性不相关
相关系数
同济大学概率统计教研室
概率极限理论
依概率收敛
大数定律
中心极限定理
同济大学概率统计教研室
性质无偏性、相合性 性质无偏性、相合性
样本均值 矩估计 样本方差
点估计 统计量
同济大学概率统计教研室
正态分布
事件的独立性 互不相容 德.摩根律
古典概率 几何概率
事件的运算及关系
随机事件及概率
概率的定义、性质
统计定义 公理化定义 和、差的概率公式
全概率公式 贝叶斯公式 乘法公式
条件概率
二项概率公式
同济大学概率统计教研室
随机变量
离散型（连续型）随机变量、概率（密度、分布）函数
极大无偏性
三个常用分布
样本均值 样本方差 样本均值、样本方差之间关系 最小次序统计量 最大次序统计量
数理统计
点估计的评判标准
有效性 相合性
方差已知 方差未知 均值已知 均值未知
正态总体
均值的区间估计
抽样分布
非正态总体
一个正态总体区间估计
方差的区间估计
同济大学概率统计教研室
概率统计的思维图
同济大学概率统计教研室
概率论
随机事件
大数定律
概率极限理论
中心极限定理 依概率收敛
随机变量
离散型（连续型）随机变量、概率（密度）函数
随机变量的数字特征（性质、计算）
数学期望 随机变量函数的期望 方差 协方差 相关系数
联合概率（密度）函数 两点分布 相互关系独立性 二维随机变量 条件概率（密度）函数 一维离散型（连续型）随机变量 随机变量函数的概率（密度）函数 超几何分布 泊松分布 几何分布 均匀分布 指数分布 二项分布
一维离散型（连续型）随机变量
二维随机变量
联合概率（密度、分布）函数 边缘概率（密度、分布）函数 相互关系独立性 条件概率（密度）函数 随机变量函数的概率（密度）函数 具有可加性的随机变量 二维正态、均匀分布
正态分布的线性变换 正态分布的边缘分布
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随机变量的数字特征定义、性质
两个不等式
常用随机变量的数字特征
随机变量函数的期望 数学期望
方差 协方差
线性不相关
相关系数
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概率极限理论
依概率收敛
大数定律
中心极限定理
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性质无偏性、相合性 性质无偏性、相合性
样本均值 矩估计 样本方差
点估计 统计量
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正态分布
事件的独立性 互不相容 德.摩根律
古典概率 几何概率
事件的运算及关系
随机事件及概率
概率的定义、性质
统计定义 公理化定义 和、差的概率公式
全概率公式 贝叶斯公式 乘法公式
条件概率
二项概率公式
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随机变量
离散型（连续型）随机变量、概率（密度、分布）函数
极大无偏性
三个常用分布
样本均值 样本方差 样本均值、样本方差之间关系 最小次序统计量 最大次序统计量
数理统计
点估计的评判标准
有效性 相合性
方差已知 方差未知 均值已知 均值未知
正态总体
均值的区间估计
抽样分布
非正态总体
一个正态总体区间估计
方差的区间估计
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概率论
随机事件
大数定律
概率极限理论
中心极限定理 依概率收敛
随机变量
离散型（连续型）随机变量、概率（密度）函数
随机变量的数字特征（性质、计算）
数学期望 随机变量函数的期望 方差 协方差 相关系数
联合概率（密度）函数 两点分布 相互关系独立性 二维随机变量 条件概率（密度）函数 一维离散型（连续型）随机变量 随机变量函数的概率（密度）函数 超几何分布 泊松分布 几何分布 均匀分布 指数分布 二项分布