高中数学第04章圆与方程专题422圆与圆的位置关系423直线与圆的方程的应用试题新人教A版
高中数学第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用aa高一数学
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1．圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、 内切、内含．
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2．圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为 r1、r2，两圆的圆心 距为 d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
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[变式训练] 已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5 ＝0，圆 C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m 为何值时：
(1)圆 C1 与圆 C2 相外切？ (2)圆 C1 与圆 C2 内含？ 解：对于圆 C1，圆 C2 的方程，经配方后
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，
(x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16，(x－2－2 6)2＋(y＋4)2＝16
或(x－2＋2 6)2＋(y＋4)2＝16.(12 分)
失分警示：若缺少总结将扣除2分.
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归纳升华
处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性：即必须准确把握是内切还是外切，若只是
告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论；
离．
答案：D
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3．两圆 x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2 外切，则正
实数 r 的值是( )
A. 10 C. 5
10 B. 2 D．5
解析：圆心距为 10，由相外切得：r＋r＝ 10，所
以 r＝ 210.
答案：B
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高中数学第四章圆与方程42直线圆的位置关系421直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程42直线圆的位置关系
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421直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
‖小试身手‖
1．设直线 l 过点 P(－2,0)，且与圆 x2＋y2＝1 相切，则 l 的
斜率是( )
A．±1
B．±12
C．±
3 3
D．± 3
解析：选 C 设直线 l：y＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＝0.
定 代数法：由
方 Ax＋By＋C＝0， 法 x－a2＋y－b2＝r2
Δ 7 _＞_0 Δ 8 ＝__0 Δ 9＜__0
消元得到一元二次方程的判别
式Δ
图形
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高中数学第四章圆与方程42直线圆的位置关系
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[思考探究]………………|辨别正误| 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( × ) (2)直线 l：x＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是相交且过圆 心．( √ ) (3)若直线 x－y＋a＝0 与圆 x2＋y2＝a 相切，则 a 等于 4.( × )
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高中数学第四章圆与方程42直线圆的位置关系421直线与圆 的位置关系课件新人教A版必修2
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第四章 圆与方程
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高中数学第四章圆与方程42直线圆的位置关系
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2021/4/17
高中数学第四章圆与方程42直线圆的位置关系
人教版高中数学必修二 第四章 圆与方程4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用
4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方法处理几何问题的思想.知识点一 圆与圆的位置关系及判定 1.圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含. 外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切. 如图：2.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：的关系d >r ＋r d ＝r ＋r|r －r |<d <r ＋rd ＝|r －r |d <|r －r |(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含思考 当两个圆仅有一个公共点时，这两个圆一定外切吗？ 答 不一定，也有可能是内切.知识点二 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”题型一 两圆位置关系的应用例1 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，问：m 为何值时，(1)圆C 1与圆C 2外切？(2)圆C 1与圆C 2内含？ 解 将圆C 1、圆C 2的方程配方，得C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4. (1)若圆C 1与圆C 2外切，则有(m ＋1)2＋(－2－m )2＝3＋2， 即(m ＋1)2＋(m ＋2)2＝25，m 2＋3m －10＝0， 解得m ＝－5或m ＝2. (2)若圆C 1与圆C 2内含，则有(m ＋1)2＋(－2－m )2＜3－2， 即(m ＋1)2＋(m ＋2)2＜1，m 2＋3m ＋2＜0， 解得－2＜m ＜－1.反思与感悟 判断两圆的位置关系一般用几何法，用几何法判断两圆的位置关系的步骤： (1)分别计算两圆的半径长r ，R ； (2)计算两圆的圆心距d ；(3)根据d 与r ，R 之间的关系得出结论.跟踪训练1 已知圆C 1的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －20＝0，圆C 2的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.解 方法一 将圆C 1与圆C 2的方程联立，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋4y －20＝0，①x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0.②两式相减，得6x －18＝0，即x ＝3. 将x ＝3代入①或②，解得y 1＝－5，y 2＝1.因此圆C 1与圆C 2有两个不同的公共点，故两圆相交.方法二 把圆C 1的方程化成标准方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25， ∴圆C 1的圆心坐标为(－1，－2)，半径长为r 1＝5.把圆C 2的方程化成标准方程，得(x －2)2＋(y ＋2)2＝10， ∴圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，半径长为r 2＝10. ∵圆C 1与圆C 2的圆心距为(－1－2)2＋(－2＋2)2＝3， |r 1－r 2|＝5－10，r 1＋r 2＝5＋10，且5－10＜3＜5＋10， ∴|r 1－r 2|＜3＜r 1＋r 2，∴两圆相交. 题型二 与两圆相切有关的问题例2 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则(a －1)2＋b 2＝r ＋1，① b ＋3a －3＝3，② |a ＋3b |2＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.反思与感悟 两圆相切时常用的性质有：①设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔|O 1O 2|＝|r 1－r 2|，外切⇔|O 1O 2|＝r 1＋r 2.②两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 跟踪训练2 求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则 (a －4)2＋(b ＋1)2＝1.①(1)若两圆外切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝1＋2＝3，② 联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为 (x －5)2＋(y ＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝|2－1|＝1，③ 联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为 (x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 题型三 与两圆相交有关的问题例3 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解，①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r 1＝3.又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋(－4)2＝95.∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝⎛⎭⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.反思与感悟 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. 2.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.跟踪训练3 已知圆C 的圆心为(2,1)，若圆C 与圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C 的方程.解 设圆C 的半径长为r ，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2， 即x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝r 2， 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0. 因为该直线过点(5，－2)，所以r 2＝4， 则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 题型四 直线与圆的方程的实际应用例4 设有半径长为3 km 的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？解 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴建立平面直角坐标系. 设甲向东走到D 转向到C 恰好与乙相遇，CD 所在直线的方程为x a ＋yb＝1(a ＞3，b ＞3)，乙的速度为v ，则甲的速度为3v .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|ab |a 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v＝bv .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.75.所以乙向北前进3.75km 时甲、乙两人相遇.反思与感悟 坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题.建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算.跟踪训练4 已知一个圆形的公园，其半径为2 km ，有两个村庄A 和B ，其中村庄A 在公园的正东方向4 km 处，村庄B 在公园的西北方向22km 处(A ，B 相对于公园的位置都是指相对于公园的中心位置).现在要修一条连接村庄A 和村庄B 的公路，但公路不能穿过公园，现有两种方案可供选择：方案一：分别从A ，B 沿与公园相切的方向修路，直至两公路相交；方案二：分别从A ，B 沿与公园相切的方向修路，至切点处，再环绕公园修路，直至连接两个切点.两种方案哪种更好？解 如图所示，以公园中心O 为坐标原点，以连接公园中心与村庄A 的直线为x 轴建立平面直角坐标系.由已知得圆的方程为x 2＋y 2＝4，A (4,0)，B (－2,2)，由A 向圆作切线，切点为D ，过B 向圆作切线，切点为E ，两切线相交于C ，易知E (0,2)， 直线BC 的方程为y ＝2.连接OD ，则OD ⊥AC ，在Rt △OAD 中，OD ＝2，OA ＝4. ∴∠OAD ＝30°，∴直线AC 的斜率为k ＝tan 150°＝－33，直线AC 的方程为y ＝－33(x －4). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－33(x －4)，解得⎩⎨⎧x ＝4－23，y ＝2， 即C 点的坐标为(4－23，2)， ∴|BC |＝6－23，|AC |＝4.如果按方案一修路，那么公路的长度为l 1＝|BC |＋|AC |＝10－23(km).过D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，可求得|DF |＝3，|OF |＝1，即D (1，3)，∴|AD |＝2 3. 由题意知∠AOD ＝60°，∴∠DOE ＝30°， ∴DEl＝30180·π·2＝π3. 如果按方案二修路，那么公路的长度为l 2＝|AD |＋DEl ＋|BE |＝23＋π3＋2(km).∵l 1－l 2＞0，∴采用方案二更好.利用圆系方程求圆的方程例5 求过两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＝0的交点，且与直线x －3y －6＝0相切的圆的方程.分析 过两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＝0的交点的圆的方程可设为x 2＋y 2－1＋λ(x 2＋y 2－4x )＝0，通过整理，利用直线与此圆相切，则该圆的圆心到此直线的距离等于半径长，求得λ. 解 设所求圆的方程为x 2＋y 2－1＋λ(x 2＋y 2－4x )＝0(λ≠－1)， 整理，得x 2＋y 2－4λ1＋λx －11＋λ＝0，配方，得⎝⎛⎭⎫x －2λ1＋λ2＋y 2＝4λ2＋λ＋1(1＋λ)2，因为圆与直线x －3y －6＝0相切，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪2λ1＋λ－3×0－61＋32＝4λ2＋λ＋1(1＋λ)2.化简得11λ＋8＝0，λ＝－811.所以所求圆的方程为3x 2＋3y 2＋32x －11＝0. 经检验x 2＋y 2－4x ＝0也与直线x －3y －6＝0相切.所以所求圆的方程为3x 2＋3y 2＋32x －11＝0或x 2＋y 2－4x ＝0.解后反思 因为过两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＝0的交点的圆系方程x 2＋y 2－1＋λ(x 2＋y 2－4x )＝0(λ≠－1)中不包含圆x 2＋y 2－4x ＝0，所以解答此题时容易漏掉圆x 2＋y 2－4x ＝0也适合的条件.因此，在解答完后，应专门对圆系之外的圆x 2＋y 2－4x ＝0进行检验.1.两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相交C.内切 D.外切 答案 B解析 圆C 1：x 2＋y 2＝9的圆心为C 1(0,0)，半径长为r 1＝3；圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0化为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16，圆心为C 2(4，－3)，半径长为r 2＝4，圆心距|C 1C 2|＝42＋(－3)2＝5. 因为|r 1－r 2|＜|C 1C 2|＜3＋4＝r 1＋r 2，所以两圆相交.2.圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A.(1,0)和(0,1) B.(1,0)和(0，－1) C.(－1,0)和(0，－1) D.(－1,0)和(0,1)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.3.若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的圆心位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 B解析 因为直线通过第一、二、四象限，所以a ＜0，b ＞0，故圆心位于第二象限. 4.圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( ) A. 5 B.6C.2 5 D.2 6 答案 C解析 x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0.圆x 2＋y 2＝50的圆心(0,0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝|2×0＋0－15|22＋12＝35，因此，公共弦长为250－(35)2＝2 5.故选C.5.已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是_____. 答案 x ＋3y ＝0解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10，x 2＋y 2－2x －6y ＝10⇒2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0.1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：一、选择题1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( ) A.x ＋y ＋3＝0 B.2x －y －5＝0 C.3x －y －9＝0 D.4x －3y ＋7＝0答案 C解析 根据题意作出图形，由图可知两圆圆心所在直线即为所求.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心的坐标是(2，－3)，圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心坐标是(3,0)，则所求直线方程为y －0－3－0＝x －32－3，即3x －y －9＝0.2.集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是()A.(0，2－1)B.(0,1]C.(0,2－2]D.(0,2]答案 C解析由已知M∩N＝N，知N⊆M，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，∴2－r≥2，∴0＜r≤2－ 2.3.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于()A.21B.19C.9D.－11答案 C解析圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.4.已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是()A.9B.14C.14－6 5D.14＋6 5答案 D解析方程化为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，所以圆心为(－2,1)，r＝3，而x2＋y2＝((x－0)2＋(y－0)2)2.所以x2＋y2的最大值为((－2－0)2＋(1－0)2＋3)2＝14＋6 5.5.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A.4B.4 2C.8D.8 2答案 C解析因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆C1，C2的圆心都在y＝x上.设圆C1，C2的圆心坐标分别为(x1，x1)，(x2，x2)，则(4－x1)2＋(1－x1)2＝x21，(4－x2)2＋(1－x2)2＝x22，即x1，x2是方程(x－4)2＋(x－1)2＝x2的两根.即x2－10x＋17＝0.所以x1＋x2＝10，x1x2＝17.所以|C1C2|＝2|x1－x2|＝2(x1＋x2)2－4x1x2＝8.6.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A.1.4米B.3.5米C.3.6米D.2米答案 B解析建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)，半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62把A(0.8，h－3.6).代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝40.77≈3.5(米).7.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x －5)2＋(y －7)2＝25B.(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C.(x －5)2＋(y －7)2＝9D.(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9 答案 D解析 设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4－1， ∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9. 二、填空题8.过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________. 答案 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0解析 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0，将(3,1)代入，得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.9.台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 地正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为________. 答案 1 h解析 如图，以A 为原点，正东和正北方向为x 轴、y 轴正方向，则B (40,0).台风中心在直线y ＝x 上移动.则问题转化成以点B 为圆心，30 km 为半径的圆与直线y ＝x 相交的弦长就是B 处在危险区内台风中心走过的距离.则圆B 的方程为(x －40)2＋y 2＝302，圆B 与直线y ＝x 截得弦长为CD ＝2·302－⎝⎛⎭⎫4022＝20(km).故B 城市处于危险区的时间为t ＝2020＝1(h).10.若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度为________. 答案 4解析 如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25，∴OO 1＝5，∴AC ＝5×255＝2，∴AB ＝4.11.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是______________.答案 (x －2)2＋(y －2)2＝2解析 曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设C 2的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0＋y 0－2|2＝2，解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)， 所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 三、解答题12.已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －8)2＝4，直线y ＝52x ＋b 在两圆之间穿过且与两圆无交点，求实数b 的取值范围.解 直线方程是5x －2y ＋2b ＝0. 当直线与圆C 1相切时，|2b |5＋4＝2， 解得b ＝±3.当直线与圆C 2相切时，|－16＋2b |5＋4＝2，解得b ＝5或b ＝11. 结合图，知3＜b ＜5.13.求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程. 解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为 x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ).又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3. 所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点分别为A (－1，－1)、B (3,3)，线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为y －1＝－(x －1).第11页 共11页 由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1， 所以所求圆的圆心为(3，－1)，半径为(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4. 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.。
高中数学第四章圆与方程4.2直线圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案无答案新人教A
4.2.3 直线与圆的方程的应用学习目标：1.会解决圆上动点到定点、定直线的距离的最值的问题，2 .平移与旋转的数形结合思想求参数的最值合作探究1、圆上动点到定点、定直线的距离的最值例1、已知圆C ：x 2+y 2－2x －4y+1=0，直线l ：x+y+2=0，求圆上的点P 到直线l 的距离的最小值，及此时点P 的坐标变式1、圆x 2+y 2=25上到直线3x+4y －10=0的距离等于3的点有 个，距离等于25的点有 个，距离等于6的点有 个，距离等于7的点有 个变式2、已知圆x 2+y 2=4，直线l ：y=x+b ，当b 为何值时，圆x 2+y 2=4上恰有个3点到直线l 的距离都等于1合作探究2、“数形结合法”的快捷性例2、若直线y=x+b 与曲线21x y -=有两个公共点，求b 的取值范围变式1、若直线y=x+b 与曲线29y x -=恰有一个公共点，求b 的取值范围变式2、若关于x 的方程212+=-kx x 有唯一解，求k 的取值范围合作探究3、与圆有关的线性规划问题例3、已知点P(x ,y )是圆x 2+y 2－4x －6y +12=0上的一个动点，求: (1)x y的范围；(2) x+y 的范围；(3) x 2+y 2的范围变式：在满足例3的条件下，分别求下列各式的范围 (1)21+-x y ； (2)x －y ； (3)22)1(y x +-自主学习：自学课本P 130~P 132《直线与圆的方程的应用》，归纳用坐标法解决几何问题的步骤：4.2.3 直线与圆的方程的应用 作业1、方程222+-=x y 表示的曲线是（ ）A.一个圆B.半个圆C.一条直线D.两条直线2、如果实数x 、y 满足等式43)1(22=+-y x ，那么xy 的最大值是（ ） A.21 B.33 C.23 D.33、设圆)0()5()3(222>=++-r r y x 上仅有两个点到直线0234=--y x 的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围是（ ）A.53<<rB.64<<rC.4>rD.5>r4、圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为的点共有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个5.已知点P （5,3），点M 在圆x 2+y 2－4x+2y+4=0上运动，则|PM|的最大值为 ，最小值为 ；6.已知点P(3，0)是圆x 2+y 2－8x －2y+12=0内一点，则过点P 的最短弦和最长弦所在的直线方程分别是 ， .7.圆x 2+y 2+2ax －ay －10a －25=0(a ∈R)恒过两定点，则这两定点的坐标为 8、当曲线241x y -+=与直线y =k (x －2)+4有两个不同的交点时，求实数k 的取值范围9、求由曲线||||22y x y x +=+围成的图形的面积。
高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 3 直线与圆的方程的应用教案 新人教A版必
重庆市綦江县高中数学第四章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系3 直线与圆的方程的应用教案新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（重庆市綦江县高中数学第四章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系3 直线与圆的方程的应用教案新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4.2。
3 直线与圆的方程的应用一、教学目标1、知识与技能：(1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．2、过程与方法：经历用坐标法解决几何问题的过程,体会用“数”解决“形"的问题的具体应用.3、情感态度与价值观：通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.二、教学重点、难点：直线与圆的方程的应用。
三、教学过程（一）实例引入问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km 处，受影响的半径长为30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km 处，如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？(二）解决问题（1)建立坐标系：以台风中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立直角坐标系（如图）；（2）将平面几何问题转化为代数问题： 圆形区域所在圆O 的方程为:90022=+y x ； 轮船航线所在直线l 的方程为：02807414070=-+⇒=+y x y x ； 问题归结为判断圆O 与直线l 有无公共点.（3）解决代数问题：r d =>=≈+=303582804916280;(4)获得几何结论：这艘轮船不会受到台风的影响。
高中数学第四章圆与方程4.2.2、3圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用aa高一数学
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类型二 两圆相交问题 [例 2] 已知圆 C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0 与圆 C2：x2＋y2 －4x－4y－2＝0 相交于两点． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求两圆的公共弦长．
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[解] 解法 1：圆 C1 与圆 C2 的方程联立，得方程组 x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，① x2＋y2－4x－4y－2＝0，② 相减得 x＋2y－1＝0，即 x＝1－2y.③ 把③代入①并整理得 y2－1＝0. 解得 y＝1 或 y＝－1， 代入③得 x＝－1 或 x＝3. 因此圆 C1 与圆 C2 相交于 A(－1,1)，B(3，－1)两点．
[重点] 圆与圆位置关系的判断；两圆相切、相交的有关问 题．
[难点] 两圆相切、相交的有关问题．
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要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
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知识点一 圆与圆的位置关系 [填一填]
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则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 x2＋y2＝9.
港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点
的坐标为(7,0)．
则轮船航线所在直线 l 的方程为7x＋4y＝1，即 4x＋7y－28＝
0.
圆心(0,0)到直线 4x＋7y－28＝0 的距离为 d＝
(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与圆 C2：x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0 相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋ (E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间 的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半 弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
高中数学第四章圆与方程422圆与圆的位置关系423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2
(2)两圆的公共弦长|AB|= 42 22 =2 5 .
法二 (1)设两圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 的坐
2 2 x y 2 x 8 y 8 0, 标满足方程组 2 2 x y 4 x 4 y 2 0.
【例1】 (2015陕西府谷三中月考) 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2: x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0). 试求a为何值时,两圆C1,C2:(1)相切;(2)相交;(3)相离;(4)内含.
解:对圆 C1,C2 的方程,配方可得 圆 C1:(x-a) +(y-1) =16,圆 C2:(x-2a) +(y-1) =1. 所以 C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1, 所以|C1C2|=
解:法一 圆 C1 与圆 C2 的方程联立,得方程组
2 2 x y 2 x 8 y 8 0, ① 2 2 x y 4 x 4 y 2 0, ②
相减得 x+2y-1=0,即 x=1-2y.③ 把③代入①并整理得 y2-1=0. 解得 y=1 或 y=-1,代入③得 x=-1 或 x=3. 因此圆 C1 与圆 C2 相交于 A(-1,1),B(3,-1)两点. (1)两圆的公共弦所在的直线即为直 2 2 2 5
2
2
= 65 ,半径 r1=1,r2=4,所以
d>r1+r2,所以两圆相离,故有 4 条公切线,故选 D.
题型二
两圆相交问题 【例2】已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交于两点. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程; (2)求两圆的公共弦长.
高中数学 第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.24.2.3 直线与圆的方程的应用优
4.2.2-4.2.3 直线与圆的方程的应用[课时作业][A组基础巩固]1．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 B．19C．9 D．－11解析：圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径r1＝1.将圆C2化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25－m(m<25)，得圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径r2＝25－m(m<25)．由两圆相外切得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋25－m＝5，解方程得m＝9.答案：C2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线的方程为( )A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0解析：圆x2＋y2－2x－5＝0化为标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1,0)；圆x2＋y2＋2x －4y－4＝0化为标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心是(－1,2)．线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确．答案：A3．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( ) A．4条B．3条C．2条D．1条解析：圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，∴|O1O2|＝＋2＋－8－2＝13，∴r－R<|O1O2|<R＋r，∴两圆相交．∴公切线有2条．答案：C4．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0解析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，通过观察图形(图略)，显然只需该直线与直线OP垂直即可．又已知P(1, 1)，则所求直线的斜率为－1，又该直线过点P(1,1)，易求得该直线的方程为x＋y－2＝0.答案：A5．方程1－x2＝kx＋2有唯一解，则实数k的取值范围是( )A．k＝± 3 B．k∈(－2,2)C．k<－2或k>2 D．k<－2或k>2或k＝± 3解析：y＝1－x2表示圆x2＋y2＝1的上半部分(包括与x轴的两个交点A，B)，y＝kx＋2过定点(0,2).1－x2＝kx＋2有唯一解，由图(图略)可以看出，在两条切线处和过x轴上AB 线段上的点(不包括A，B)的直线满足方程只有一个解，观察选项，易知应选D.答案：D6．若a2＋b2＝4，则两圆(x－a)2＋y2＝1与x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．解析：∵两圆的圆心分别为O1(a,0)，O2(0，b)，半径r1＝r2＝1，∴|O1O2|＝a2＋b2＝2＝r1＋r2，两圆外切．答案：外切7．已知直线l：y＝x＋m与曲线C：y＝1－x2有两个公共点，则m的取值范围是________．解析：由曲线C：y＝1－x2，得x2＋y2＝1(y≥0)，∴曲线C为在x轴上方的半圆，如图所示，l：y＝x＋m是斜率为1的平行直线系，记当m＝1时的直线为l1，记当l与半圆相切时的直线为l2，这时圆心到直线的距离d＝r＝1，所以截距m＝ 2.当l在l1与l2之间时(或与l1重合时)，l与C有两个不同的交点．故m∈[1，2)．答案：[1，2)8．据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以40 km/h的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响，从现在起经过约________ h，台风将影响A城，持续时间约为________ h．(结果精确到0.1 h)解析：以B为原点，正东方向为x轴的正方向，建立直角坐标系(图略)，则台风中心的移动轨迹是y＝－x，受台风影响的区域边界的曲线方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.依题意有(－300－a)2＋a2≤2502，解得－150－2514≤a≤－150＋2514，∴t1＝2|a1|40＝2|－150＋2514|40≈2.0，Δt＝2|a2－a1|40＝2×501440≈6.6.故从现在起经过约2.0 h ，台风将影响A 城，持续时间约为6.6 h. 答案：2.0 6.69．已知两圆C 1：x 2＋y 2＝1，C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝5，求经过点P (0,1)且被两圆截得的弦长相等的直线方程．解析：设所求直线为y ＝kx ＋1， 即kx －y ＋1＝0.由题意知圆C 1(0,0)，r 1＝1， 圆C 2(2,2)，r 2＝5，则两圆圆心到直线的距离分别为d 1＝|1|1＋k 2，d 2＝|2k －1|1＋k2， 因为直线被两圆截得的弦长相等，所以 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 22＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k －1|1＋k 22， 解得k ＝－1.∴y ＝－x ＋1，即x ＋y －1＝0.当所求直线垂直于x 轴时，所求直线方程为x ＝0.分别代入圆C 1，C 2，可知都满足条件，所以所求直线方程为x ＋y －1＝0，或x ＝0.10．设有半径长为3 km 的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？ 解析：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴建立平面直角坐标系．设甲向东走到D 转向到C 恰好与乙相遇，CD 所在直线的方程为x a ＋y b＝1(a >3，b >3)，乙的速度为v ，则甲的速度为3v .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|ab |a 2＋b2＝3，a 2＋b 2＋a 3v ＝bv.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.75.所以乙向北前进3.75 km 时甲、乙两人相遇．[B 组 能力提升]1．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：因为直线通过第一、二、四象限，所以a <0，b >0，故圆心位于第二象限． 答案：B2．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值是( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析：∵点P 在直线3x ＋4y ＋8＝0上，如图所示，∴设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，－2－34x ，C 点坐标为(1,1)，S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝|AP |·|AC |＝|AP |，∵|AP |2＝|PC |2－|AC |2＝|PC |2－1，∴当|PC |最小时，|AP |最小，四边形PACB 的面积最小． ∴|PC |2＝(1－x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋34x 2＝2516x 2＋52x ＋10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋12＋9， ∴|PC |min ＝3.当|PC |最小时，|PA |＝ 32－1＝22， ∴四边形PACB 面积的最小值为2 2. 答案：C3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：如图，圆x 2＋y 2＝4的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，问题转化为坐标原点(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1.即|c |122＋52<1，|c |<13，∴－13<c <13. 答案：－13<c <134．已知圆O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，圆O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向圆O 和圆O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________． 解析：对圆O ：圆心O (0,0)，半径r ＝2； 对圆O ′：圆心O ′(4,0)，半径r ′＝ 6.设动点P (x ，y )，由切线长(用勾股定理表示切线长)相等得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，解得x ＝32.这就是动点P 的轨迹方程．答案：x ＝325．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA 、PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，求k 的值． 解析：由圆的方程得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，所以若四边形PACB 的最小面积是2，所以S △PBC 的最小值为1，而S△PBC＝12r |PB |， 即|PB |的最小值为2，此时|PC |最小为圆心到直线的距离， 此时d ＝|5|k 2＋1＝ 12＋22＝5， 即k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2.6．AB 为圆的定直径，CD 为动直径，自D 作AB 的垂线DE ，延长ED 到P ，使|PD |＝|AB |，求证：直线CP 必过一定点．解析：以线段AB 所在的直线为x 轴，以AB 中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，定直径AB 位于x 轴上，动直径为CD .令C (x 0，y 0)，则D (－x 0，－y 0)， ∴P (－x 0，－y 0－2r )． ∴直线CP 的方程为y －y 0＝－y 0－2r －y 0－x 0－x 0(x －x 0)，即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0.∴直线CP过直线：x＝0，y＋r＝0的交点(0，－r)，即直线CP过定点(0，－r)．。
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4.2.2圆与圆的位置关系 4.2.3直线与圆的方程的应用一、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,如图所示：外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切.两圆相离——没有公共点，两圆相切——有惟一公共点，两圆相交——有两个不同的公共点.2．圆与圆位置关系的判断（1）几何法其中1r 和2r 分别是圆1C 和圆2C 的半径, 12||d C C . （2）代数法联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:二、直线和圆的方程的应用直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用,用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用 表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过 ,解决代数问题; 第三步:把 结果“翻译”成几何结论.名师提醒用坐标法解决几何问题时应注意以下几点：（1）应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系，不可随便建立；（2）在实际问题中，有些量具有一定的限制条件，转化成代数问题时要注意取值范围；（3）最后一定要将代数结果转化成几何结论.K 知识参考答案：一、2．（2）相交 外切或内切二、坐标和方程 代数运算 代数运算1．圆与圆的位置关系及判定判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆连心线的长d ，若12d r r =+，两圆外切；12||d r r =-时，两圆内切；12d r r >+时，两圆外离；12||d r r <-时，两圆内含；1212||r r d r r <+<－时，两圆相交．根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径长的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况.【例1】已知两圆1C ：224420x y x y +++-=，222288=0C x y x y +---：，判断圆1C 与圆2C 的位置关系.方法二：将两圆的方程联立得到方程组22224420(1)2880(2)x y x y x y x y ⎧+++-=⎪⎨+---=⎪⎩，由(1)(2)-得210x y ++=（3），由（3）得21x y =--，把此式代入（1），并整理得21=0y -（4）， 方程(4)的判别式2041(1)40∆=-⨯⨯-=>，所以，方程（4）有两个不相等的实数根12,y y ,把12,y y 分别代入方程（3），得到12,x x . 所以，圆1C 与圆2C 有两个不同的公共点1122(,),(,)x y x y ，即两圆的位置关系是相交.【例2】试分别确定圆C 1:2246120x y x y ++-+=与C 2:()22214050x y x y k k +--+=<外切、内切、相交、内含、外离时,k 的取值范围.【例3】求与圆外切，且与直线相切于点M (3，)的圆的方程.【解析】设所求圆的方程为，由于该圆与圆外切，则圆心距等于半径之和，故有①.又与直线相切于点M (3，)，则可知圆心与切点的连线与直线垂直，有3b a +=-②，r = ③，解①②③得.故所求圆的方程为.【名师点睛】明确求圆的方程是标准方程还是一般方程，然后根据几何关系建立方程（组）求得参数的值，从而得出所求的圆的方程. 注意在应用待定系数法时要尽量减少未知量的个数. 2．两圆的公共弦问题（1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数. （2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解. 【例4】已知两圆22210240x y x y +-+-=和222280x y x y +-+=+.（1）试判断两圆的位置关系； （2）求公共弦所在直线的方程； （3）求公共弦的长度．【解析】（1）将两圆方程配方化为标准方程，222212()()1550,1110.:()()C x y C x y +=+++=-+： 则圆1C 的圆心为(1,)5-，半径1r =C 2的圆心为(11)--,，半径2r =又12||C C =，12r r +=12r r -=. ∴121212||r r C C r r <<-+，∴两圆相交．（2）将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为240x y -+=.（3）方法一：两方程联立，得方程组22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎪⎨+++-=⎪⎩①②， 两式相减得=24x y -③，把③代入②得22=0y y -， ∴120,=2=y y .∴1140x y =-⎧⎨=⎩，或2202x y =⎧⎨=⎩.∴交点坐标为()4,0-和(0,2)．=.方法二：两方程联立，得方程组2222210240,2280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎪⎨+++-=⎪⎩两式相减得240x y -+=，即为两圆相交弦所在直线的方程；由22210240x y x y +--=+，得22155)0()(x y ++=-， 其圆心为15(1,)C -，半径1r =圆心1C 到直线240x y -+=的距离d ==，∴两圆的公共弦长为==【例5】已知圆C 1:x 2+y 2-10x -10y =0和圆C 2:x 2+y 2-6x +2y -40=0相交,圆C 过原点O ,半径长为,圆心C 在已知两圆公共弦所在的直线上,求圆C 的方程.【解析】设圆C 1与圆C 2交于A ,B 两点,两圆的方程相减,消去二次项得到一个二元一次方程x +3y -10=0,此方程为公共弦AB 所在直线的方程.又已知圆C 的圆心C 在两圆公共弦所在的直线上,即在直线AB 上,设C (a ,b ),则a +3b -10=0 ①,由|CO |=,得a 2+b 2=10 ②,①②联立,解得a =1,b =3, 所以圆C 的方程为(x -1)2+(y -3)2=10. 3．与两圆相切有关的问题处理两圆相切问题时，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径长之差的绝对值（内切时）或两圆半径长之和（外切时）.【例6】已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22():19N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.【解析】由已知得圆M 的圆心为0()1,M -,半径长11r =，圆N 的圆心为()1,0N ,半径长23r =. 设动圆P 的圆心为,()P x y ，半径长为R .∵圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，∴1212||||())4(PM PN R r r R r r +=++-=+=.4=4=，两边平方化简得C 的方程为221(2)43x y x +=≠-. 4．求过两圆交点的圆的方程求过两圆交点的圆的方程，一般用代数法，即先求出两圆的交点，再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和半径长；也可由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组，最后求出圆的方程，或直接用圆系方程求解,这样会使运算简洁.过两圆221111:0C x y D x E y F ++++=和222222:0C x y D x E y F ++++=交点的圆系方程：2222111222()0(1)x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++++=≠-（其中不含有圆2C ，因此注意检验圆2C 是否满足题意以防漏解）.当1λ=-时，方程变为121212()()0D D x E E y F F -+-+-=，表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在;当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线）.【例7】已知圆x 2+y 2-4x+2y =0,x 2+y 2-2y-4=0, (1)求过两圆交点的直线方程;(2)求过两圆交点,且圆心在直线2x+4y-1=0上的圆的方程.5．直线与圆的方程的应用求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤：（1）审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；（2）建系：建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；（3）求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题； （4）还原：将运算结果还原到实际问题中去.【例8】有一种大型商品,A 、B 两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每公里的运费A 地是B 地的两倍,若A ,B 两地相距10公里,顾客选择A 地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?【解析】以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系,如图所示,设0()5,A ,则(5,0)B .在坐标平面内任取一点,()P x y ,设从A 运货到P 地的运费为2a 元/km,则从B 运货到P 地运费为a 元/km.若P 地居民选择在A 地购买此商品,则2整理得2222520(()33x y ++<）. 即点P 在圆C :2222520(()33x y =++）的内部. 也就是说,圆C 内的居民应在A 地购物.同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物. 圆C 上的居民可随意选择A B 、两地之一购物.6．两圆的位置关系考虑不全面致错【例9】求半径长为4，与圆224240C x y x y +---=：相切，且和直线0y =相切的圆的方程. 【错解】由题意知，所求圆的圆心为4(),A a ，半径长为4,故可设所求圆的方程为222()(4)4y x a +-=-.将圆C 的方程化为标准方程，得222(2)(1)3x y -+-=,∴圆C 的圆心为(21)C ，，半径长3r =.由两圆相切，得||7CA =,∴222(2)(41)7a -+-=,解得2a =±∴所求圆的方程为22(2(4)16x y --+-=或22(2(4)16x y -++-=.【错因分析】上述错解只考虑了圆心在直线0y =上方的情形，而漏掉了圆心在直线0y =下方的情形，另外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的.【正解】设所求圆的方程为222(()(0)x a y b r r -+-=>），圆心为A .又圆A 与直线0y =相切且半径长为4，故圆心为(,4)A a 或(),4A a -.圆C 的圆心为()2,1C ,半径长3r =.若两圆相切，则||437CA =+=或431CA =-=.作分类讨论：当取4(),A a 时，2222(41)(7)a -+-=或222(2)4()11a -+-=(无解),故2a =±,此时所求圆的方程为22(2(4)16x y --+-=或22(2(4)16x y -++-=.当取(),4A a -时，222(2)(41)7a -+--=或222()(2411)a -+--=（无解）,∴2a =±圆的方程为22(2(4)16x y --++=或22(2(4)16x y -+++=.综上所述，所求圆的方程为22(2(4)16x y --+-=或22(2(4)16x y -++-=或22(2(4)16x y --++=或22(2(4)16x y -+++=.【名师点睛】在解决两圆相切问题时,切记分内切和外切,不要遗漏.1．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离2．已知圆A ，圆B 相切，圆心距为10 cm ，其中圆A 的半径为4 cm ，则圆B 的半径为 A ．6 cm 或14 cm B ．10 cm C ．14 cmD ．无解3．若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦的长为32，则=a A ．2 B ．1 C ．1-D ．2-4．已知M 是圆22():11C x y +=-上的点，N 是圆222():4)48(C x y +-='-上的点，则MN 的最小值为A ．4B ．1C ．1D ．25．若圆O :x 2+y 2=4与圆C :x 2+y 2+4x-4y+4=0关于直线l 对称,则直线l 的方程是 A ．x+y =0 B ．x-y =0 C ．x+y+2=0D ．x-y+2=06．如图，圆弧形桥拱的跨度12AB =米，拱高4CD =米，则拱桥的直径为________米．7．若圆与圆相交,则实数的取值范围是________.8．判断下列两圆的位置关系.（1）221230:C x y x +--=，2224230:C x y x y ++-=+；（2）2212:0C x y y -=+，C 2：2260x y --=+；（3）2214690:C x y x y -+-=+，222126190:C x y x y +-+=+； （4）2212220:=C x y x y --++，2224630:C x y x y ---=+.9．已知圆C 1:x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0,圆C 2:x 2+y 2+2x =0. (1)m =1时,圆C 1与圆C 2有什么位置关系? (2)是否存在m 使得圆C 1与圆C 2内含?10．求圆心在直线10x y -+=上，且经过圆22640x y x ++-=与圆22x y +6280y +-=的交点的圆的方程.11．若圆()()2221x a y b b -+-=+始终平分圆()()22114x y +++=的周长，则a ，b 应满足的关系式是A ．22230a a b ---=B ．22250a a b +++=C ．2222210a b a b ++++=D ．22322210a b a b ++++=12．若集合22){(|16}=，A x y x y ≤+，22,){(|(}2)1B x y x y a +=-≤-，且A B B = ，则a 的取值范围是A ．a ≤1B ．a ≥5C ．1≤a ≤5D ．a ≤513．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝914．两圆相交于两点()1,3A 和(),1B m -，两圆圆心都在直线0x y c -+=上，则m c +的值为 . 15．一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km 处,受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km 处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?16．若圆1C ：22x y m +=与圆2C ：2268160x y x y +--+=相外切．（1）求m 的值；（2）若圆1C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，P 为第三象限内一点且在圆1C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．17．（2016山东）已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离1．【答案】B=2,3，且32-<圆相交．故选B ．4．【答案】D【解析】∵57||CC R r '=<-=，∴圆C 内含于圆C '，则|MN |的最小值为|2|R CC r -'=-. 5．【答案】D【解析】圆C 的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=4,故圆心C 的坐标为(-2,2). 因为圆O 与圆C 关于直线l 对称,所以直线l 过OC 的中点(-1,1),且垂直于OC , 又k OC =-1,故直线l 的斜率为1,直线l 的方程为y-1=x-(-1),即x-y+2=0.故选D. 6．【答案】13【解析】设圆心为O ，半径为r ，则由勾股定理得，222OB OD BD =+，即2224(6)r r -=+，解得132r =，所以拱桥的直径为13米． 7．【答案】1<a <2 【解析】由两圆相交得，所以1<a <2.8．【解析】（1）∵221()14C x y +-=：，222()(2)12：C x y ++=-.∴圆1C 的圆心坐标为(1,0)，半径12r =，圆2C 的圆心坐标为(2,)1-，半径2r =21||d C C ===∵121222r r r r +=-=1212r r d r r <<-+，∴两圆相交．（4）221:()1)14(C x y +-=+，222()(23)16,C x y +=--：∴圆1C 的圆心坐标为()1,1-，半径12r =，圆2C 的圆心坐标为(2,3)，半径24r =，∴12||C C ==∵121212||||r r C C r r <-+<，∴两圆相交.9．【解析】(1)∵m =1,∴两圆的方程分别可化为C 1:(x-1)2+(y +2)2=9,C 2:(x +1)2+y 2=1. 两圆的圆心距d ==2.又r 1+r 2=3+1=4,r 1-r 2=3-1=2,∴r 1-r 2<d <r 1+r 2,所以圆C 1与圆C 2相交. (2)假设存在m 使得圆C 1与圆C 2内含, 圆C 1可化为(x-m )2+(y +2)2=9,圆心C 1(m ,-2), 则d =<3-1,即(m +1)2<0,显然不等式无解. 故不存在m 使得圆C 1与圆C 2内含.11．【答案】B【解析】由题意得两圆的公共弦经过圆()()22114x y +++=的圆心()1,1--，两圆的公共弦所在直线方程为()2222(2)10a x b y a +++--=，则22250a a b +++=.12．【答案】D【解析】A B B = 等价于B ⊆A ．当a >1时，集合A 和B 分别代表圆x 2＋y 2＝16和圆x 2＋（y －2）2＝a －1上及内部的点，容易得出当B 对应的圆的半径小于或等于2时符合题意，则0<a －1≤4，解得1<a ≤5；当a ＝1时，集合B 中只有一个元素（0,2），满足B ⊆A ；当a <1时，集合B 为空集，也满足B ⊆A ．综上可知，a ≤5． 13．【答案】D【解析】由已知，圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16的圆心为(5，-7)，半径为4，由半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，可能外切或内切，设动圆圆心为G (x ，y )． 当两圆内切时，有圆心距为半径之差，即(x －5)2＋(y ＋7)2＝9. 当两圆外切时，圆心距为半径之和，有(x －5)2＋(y ＋7)2＝25. 故选D. 14．【答案】3【解析】由题意知，线段AB 的中点在直线0x y c -+=上，且411AB k m==--，解得5m =，又1102mc +-+=，所以2c =-，所以3m c +=. 15．【解析】以台风中心为坐标原点,以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示),其中取10 km 为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2+y 2=9,港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线l 的方程为+=1,即4x +7y -28=0,圆心(0,0)到l :4x +7y -28=0的距离d所以直线与圆相离.故轮船不会受到台风的影响.16．【解析】（1）圆1C 的圆心坐标为(0,0)，圆2C 的圆心坐标为(3,4)，半径为3，又两圆外35=，解得4m =．17．【答案】B【解析】由2220x y ay +-=（0a >）得()222x y a a +-=（0a >），所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是=解得2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以MN ==，123r r +=，121r r -=，因为1212r r r r MN -<<+，所以圆M 与圆N 相交，故选B ．。