考点：直线与圆的方程综合测试(教师版)
直线与圆的方程 检测卷含答案
直线与圆的方程检测卷一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．点在直线上，则直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】C2．已知直线l：在轴和轴上的截距相等，则的值是A．1 B．－1C．2或1 D．－2或1【答案】C【解析】当时，直线方程为，显然不符合题意，当时，令时，得到直线在轴上的截距是，令时，得到直线在轴上的截距为，根据题意得，解得或，故选C.【名师点睛】本题主要考查了直线方程的应用及直线在坐标轴上的截距的应用，其中正确理解直线在坐标轴的截距的概念，利用直线方程求得直线的截距是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分类讨论的数学思想.3．直线截圆所得弦的长度为4，则实数的值是A．－5 B．－4C．－6 D．【答案】A【名师点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．若3π2π2α<<, A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】令0x =，得sin 0y α=<，令0y =，得cos 0x α=>，直线过()()0,sin cos ,0αα，两点，因而直线不过第二象限.本题选择B 选项.5．已知直线()()1:424240l m x m y m --++-=与()()2:1210l m x m y -+++=，则“2m =-”是“12l l ∥”的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】2m =-时，可得12:680,:310,l x l x --=-+=所以12l l ∥；12l l ∥时，可得()()()()422410m m m m -+++-=，解得2m =或2m =-，2m ∴=-是12l l ∥的充分不必要条件，故选B.6．若圆C 与y 轴相切于点()0,1P ，与x 轴的正半轴交于,A B 两点，且2AB =，则圆C 的标准方程是A ．(()2212x y +++= B ．()(2212x y +++=C ．(()2212x y +-=D ．()(2212x y -+=【答案】C【解析】设AB 中点为D ，则1AD CD ==，∴)1r AC C==，故选C ．7．若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为 A ． B ．C ．D ．【答案】D【名师点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解答是要注意直线与圆的位置关系的合理应用，同时注意数形结合法在直线与圆问题的中应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．若过点()0,1A -的直线l 与圆()2234x y +-=的圆心的距离记为d ，则d 的取值范围为A ．[]0,4B ．[]0,3 C ．[]0,2D ．[]0,1【答案】A【解析】由已知，点()0,1A -在圆()2234x y +-=外，当直线l 经过圆心()0,3时，圆心到直线l 的距离最小为0，圆心到点()0,1A -的距离，是圆心到直线l 的最大距离，此时4d ==，故选A.9．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 A ．49 B ．109C ．1D ．3【答案】C【名师点睛】解答本题的关键是准确理解题设中恰有三条切线这一信息，并进一步等价转化为“在2249a b +=，即224199a b +=的前提下，求2211a b +的最小值问题”.求解时充分借助题设条件，巧妙地将2249a b +=化为224199a b +=，再运用基本不等式从而使得问题的求解过程简捷、巧妙. 10．直线2(0)x y m m +=>与圆O ：225x y +=交于A ，B 两点，若||2||OA OB AB +>，则实数m 的取值范围是 A ．（，2）B ．（2，）C ．（，5）D ．（2，）【答案】B【解析】设AB 中点为D ，则OD AB ⊥，∵2OA OB AB +>2x y m +=（0m >）与22:5O x y += 交于不同的两点A B 、，∴25OD < B.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．求经过圆的圆心，且与直线平行的直线的一般式方程为________________. 【答案】【名师点睛】本题主要考查了直线的位置关系的应用，以及圆的标准方程的应用，其中解答中根据两直线的位置关系，合理设出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12．已知直线:20l x y +-=和圆22:12120C x y x y m +--+=相切,则m 的值为___________.【答案】22【解析】由题设知圆的圆心坐标与半径分别为()6,6,C r =，则圆心()6,6C 到直线20x y +-=的距离d ===，解之得22m =，应填22.13．如果圆()()228x a y a -+-=上总存在到原点的距离为的点，则实数的取值范围是__________．【答案】[3,1][1,3]-- 【解析】圆心到原点的距离为，圆()()228x a y a -+-=上总存在到原点的距离为的点，则3a ≤≤≤≤，则或.14．设直线1y kx =+与圆2220x y x my ++-=相交于,A B 两点，若点,A B 关于直线:0l x y +=对称，则AB =__________．【解析】因为点,A B 关于直线:0l x y +=对称,所以直线1y kx =+的斜率1k =,即1y x =+,圆心(−1,2m)在直线:0l x y +=上,所以2m =.所以圆心为(−1,1),圆心到直线1y x =+的距离为2d =,【名师点睛】（1）圆上两点关于直线对称，则直线过圆心；（2）两点关于直线对称，两点所在的直线与该直线垂直，且两点的中点在该直线上.三、解答题（本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知直线:43100l x y ++=，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方．（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=;（2）当点N 的坐标为()4,0时，能使得ANM BNM ∠=∠成立.【解析】（1）设圆心()5,0()2C a a >-，则4102055a a a +=⇒==-或（舍去）．所以圆C 的标准方程为224x y +=．16．斜率为的直线与抛物线交于两点，且的中点恰好在直线上.（1）求的值； （2）直线与圆交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）1；（2）【解析】（1）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由22y kx m x y=+⎧⎨=⎩得，x 2－2kx －2m ＝0， ∆＝4k 2＋8m >0，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ，因为AB 的中点在x ＝1上，所以x1＋x2＝2．即2k＝2，所以k＝1．。
人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．下列命题中，正确的是（ ）A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．若直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率k的取值范围是(,[1,)-∞⋃+∞ D ．当直线的倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线的斜率在这个区间上单调递增. 2．1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，则a 的值为（ ）A ．6-B ．2-或6C ．2或6-D ．2-4．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（ ）A ．5270x y -+=B ．310x y +-=C ．3240x y -+=D ．230x y --= 5．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（ ） A ．4± B ．－4C ．4D ．2± 6．已知圆C ：()()22232++-=x y ，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．4-D ．14- 7．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（ ） A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=08．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ） A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解9．直线l ：230kx y --=与圆C ：()()22124x y -++=交于A 、B 两点，若ABC的周长为4+k 的值为（ ）A ．32B ．32-C ．32±D ．12± 10．曲线214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点，则k 的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎤⎥⎝⎦ C ．53,124 D ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()20A ，处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A 1B ．1C ．D 12．若圆()2220x y rr +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ）A ．)1,+∞B．)1-C ．()1-D ．()1 二、填空题13．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A -，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是___________.14．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by c ax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________． （1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上；（2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行；（3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 15．已知直线l经过点(2,1)，且和直线30x --=的夹角等于30，则直线l 的方程是_________．16．已知点P 是直线:3120l x y +-=上的一点，过P 作圆22(2)1x y -+=的切线，切点为A ，则切线长||PA 的最小值为__________.17．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________． 18．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab≠0，则2211a b +的最小值为___________ 19．在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A -，若圆()()22:21C x a y a -+-+=上存在一点M 满足2=MA MO ，则实数a 的取值范围是__________．20．已知圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y +=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则原点O 到直线AB 距离的最大值是______. 三、解答题21．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=，其中m R ∈.（1）当m 变化时，求点()3,4Q 到直线的距离的最大值；（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值及此时的直线方程.22．已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证:对任意的m R ∈，直线l 与圆 C 恒有两个交点;（2）设l 与圆 C 相交于,A B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23．设函数()f z 对一切实数m ，n 都有()()(21)f m n f n m m n +-=++成立，且(1)0f =，(0)f c =，圆C 的方程是22(1)()9x y c +++=.（1）求实数c 的值和()f z 的解析式；（2）若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆C 截得的弦长为6，求4a b ab +的最小值.24．已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆C 的方程；（2）直线4y kx =-与圆C 交于不同的M ，N 两点，且120MCN ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.25．根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点()3,4-，且在两坐标轴上的截距之和为12；（2）直线m ：3260x y --=关于直线l ：2310x y -+=的对称直线m '的方程． 26．若过点P 的两直线1l ，2l 斜率之积为()0λλ≠，则称直线1l ，2l 是一组“P λ共轭线对”. （1）若直线1l ，2l 是一组“3O -共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角； （2）若点()0,1A ，()1,0B -，()1,0C 分别是直线PQ ，QR ，RP 上的点（A ，B ，C ，P ，Q ，R 均不重合），且直线PR ，PQ 是一组“1P 共轭线对”，直线QP ，QR 是一组“4Q 共轭线对”，直线RP ，RQ 是一组“9R 共轭线对”，求点P 的坐标；（3）若直线1l ，2l 是一组“2M -共轭线对”，其中点(1,M -，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据直线斜率与倾斜角存在的关系tan k α=对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率.【详解】 倾斜角的范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，故A 错误；直线的倾斜角=2πα时，直线斜率不存在，故B 错误；直线倾斜角2,43ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则斜率tan k α=的范围为(,[1,)-∞⋃+∞，故C 正确；斜率tan k α=在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭和2,23ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故D 错误. 故选：C.【点睛】 关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意：（1）当直线倾斜角为=2πα时，直线的斜率不存在；（2）倾斜角的范围为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k >，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率0k <，直线斜率随着倾斜角增大而增大； （3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数tan k α=分析定义域与值域的关系.2．A解析：A【分析】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以0m =或1m =-，再根据充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以23(21)0,220,0m m m m m m ⨯+-⨯=∴+=∴=或1m =-.当1m =-时，直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直；当直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直时，1m =-不一定成立. 所以1m =-是直线()2110mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】方法点睛：充分必要条件的常用的判断方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件选择合适的方法求解.3．B解析：B【分析】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2214x a y -++=，则本题等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2222344x a y x a y --+=-+， 整理可得()2214x a y -++=，则直线1x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，2=，解得2a =-或6. 故选：B.【点睛】 关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线31x y +=与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 4．A解析：A【分析】根据题意做出光线传播路径，求()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于x 轴的对称点()'1,6D ，进而得BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，再根据两点式求方程即可.【详解】解：根据题意，做出如图的光线路径，则点()3,4A -关于x 轴的对称点()'3,4A --，点(1,6)D -关于y 轴的对称点()'1,6D ，则BC 所在直线的方程即为''A D 直线方程，由两点是方程得''A D 直线方程为：436413y x ++=++，整理得：5270x y -+= 故选：A.【点睛】本题解题的关键在于做出光线传播路径，将问题转化为求A 关于x 轴的对称点'A 与D 关于y 轴的对称点'D 所在直线''A D 的方程，考查运算求解能力，是中档题.5．B解析：B【分析】由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案.【详解】因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去.当4a =-时，符合题意.所以4a =-.故选：B【点睛】易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题6．C解析：C【分析】根据光路可逆，易知圆心()2,3C -关于直线1y x =+的对称点M ，在入射光线上，由此可求得结果.【详解】圆C ：()()22232++-=x y ，圆心为()2,3C -， 由已知，反射光线经过()2,3C -，故C 点关于直线1y x =+的对称点M 在入射光线上．设(),M a b ，则31232122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，即()2,1M -， 且光源()1,3P ，所以入射光线的斜率13421k --==--， 故选：C.【点睛】关键点点睛：（1）由光线恰好平分圆C 的周长，得出所在直线经过圆心；（2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线. 7．D解析：D当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程.【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =- .:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-= 故选：D【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.8．B解析：B【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解．【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-， ∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确； 若12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴12x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误． 故选：B ．本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．9．A解析：A【分析】先根据半径和周长计算弦长AB =即可.【详解】圆C ：()()22124x y -++=中，圆心是()1,2C -，半径是2r ，故ABC的周长为4+24r AB +=+AB =又直线与圆相交后的弦心距d ==， 故由2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得()221434k k +=++，解得32k . 故选：A.【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C【分析】 曲线214y x 表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置关系，通过图形可得结论． 【详解】 曲线214y x 是半圆，圆心是(0,1)C ，圆半径为2，直线(2)4y k x =-+过定点(2,4)P ，作出半圆与过P 的点直线，如图，PD2=，解得512k =，即512PD k =， (2,1)A -，4132(2)4PA k -==--， ∴53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．11．B解析：B【分析】先求出点A 关于直线4x y +=的对称点'A ，点'A 到圆心的距离减去半径即为最短．【详解】解：设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，'2AA b k a =-，AA '的中点为2,22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故122422b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =，2b =， 要使从点A 到军营总路程最短，即为点f A 到军营最短的距离，即为点'A 和圆上的点连线的最小值，为点'A 和圆心的距离减半径，“将军饮马”的最短总路程为4161251+-=-，故选：B 【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．12．A解析：A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围． 【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行， 且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线， 圆222x y r +=的圆心为原点， 原点到直线20x y --=的距离为22d ==，∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为21d '=+，又圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>， 即21r >+，实数r 的取值范围是()21,++∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．【分析】将问题转化为以为圆心2为半径的圆为圆与圆相交问题再根据圆与圆的位置关系求解即可【详解】解：根据题意设以为圆心2为半径的圆为圆所以圆圆心为半径为则两圆圆心距为:因为圆上存在两点到的距离为2所以 解析：(3,7)【分析】将问题转化为以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意设以(3,4)A -为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:(0),O x y r r +=> 圆心为(0,0),O 半径为r ， 则两圆圆心距为 : ||5OA = ， 因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252,r r -<<+ 解得 :37.r << 所以的取值范围是：(3,7). 故答案为：(3,7). 【点睛】圆与圆位置关系问题的解题策略：（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法；（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.14．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在解析：②③④ 【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y ax x b-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若1δ=-，即可得到1212()()022x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++， 即1221y y ax x b-=--， MN l k k ∴=， 即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确； 若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++= 即，1212()()022x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．15．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由已知可得直线的斜率所以倾斜角为因为直线与的夹角为所以直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为解析：1y =10y --= 【分析】分析可得已知直线的倾斜角为30，则直线l 的倾斜角为0或60，分类讨论并利用点斜式方程求解即可. 【详解】由已知可得直线y x =k =30， 因为直线l与y x =30，所以直线l 的倾斜角为0或60， 当倾斜角为60时,直线l为)12y x -=-10y -+-=； 当倾斜角为0︒时,直线l 为1y =， 故答案为：1y =10y -+-=. 【点睛】本题考查直线与直线的夹角，关键点是求出直线30x --=的倾斜角得到l 的倾斜角，考查求直线方程，考查分类讨论思想.16．【分析】利用切线长最短时取最小值找点：即过圆心作直线的垂线求出垂足点就切线的斜率是否存在分类讨论结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程【详解】设切线长为则所以当切线长取最小值时取最小值过圆心作直 解析：3利用切线长最短时，PC 取最小值找点P ：即过圆心C 作直线l 的垂线，求出垂足点()3,3P ．就切线的斜率是否存在分类讨论，结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程． 【详解】设切线长为L ，则21L PC =-，所以当切线长L 取最小值时，PC 取最小值，过圆心()2,0C 作直线l 的垂线，则点P 为垂足点，此时，直线PC 的方程为360x y --=，联立3120360x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得33x y =⎧⎨=⎩，点P 的坐标为()3,3.此时22(32)(30)10PC =-+-=，此时，213L PC =-=故答案为：3 【点睛】关键点睛：解题的关键是利用过点的圆的切线方程的求解，在过点引圆的切线问题时， 将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长，即设切线长为L ，则21L PC =-，问题转变为求PC 的最小值，主要考查学生分析问题与解决问题的能力，属于中等题．17．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可． 试题 因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；18．9【分析】圆C1C2只有一条公切线则两圆的位置关系为内切由此可以得到ab 的等量关系然后利用均值不等式求的最小值【详解】圆C1：x2＋y2＋4ax ＋4a2－4＝0标准方程：圆C2：x2＋y2－2by ＋【分析】圆C 1、C 2只有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，由此可以得到a 、b 的等量关系，然后利用均值不等式求2211a b +的最小值 【详解】圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0 标准方程：22x 2a y 4++=（） 圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0标准方程：22x y b 1+-=（）因为圆C 1 、C 2内切，1=, 即224a b 1+=， （2211a b +）=2222114a b a b++（）（） =2222b 4a 59a b++≥（）当且仅当224a b =时等号成立. 【点睛】本题考查了两圆的位置关系和均值不等式求最值；两圆位置关系有：内含、内切、相交、外切、外离，圆与圆的位置关系也决定了切线的条数，两圆相内切只有一条切线，圆心距和两圆半径的关系是解题的关键，利用该关系可以构造出均值不等式所需要的等式；均值不等式求最值要注意：一正二定三相等.19．【分析】设点的坐标为根据可得点的轨迹方程为然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决根据圆心距和半径的关系可得结果【详解】由题意得圆的圆心为半径为1设点的坐标为∵∴整理得故点的轨迹是以为圆心2为半径的圆 解析：[0,3]【分析】设点M 的坐标为(),x y ，根据2MA MO =可得点M 的轨迹方程为()2214x y +-=，然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决，根据圆心距和半径的关系可得结果． 【详解】由题意得圆()()22:21C x a y a -+-+=的圆心为(),2a a -，半径为1．设点M 的坐标为(),x y ， ∵2MA MO =，∴=整理得()2214x y +-=，故点M 的轨迹是以()0,1为圆心，2为半径的圆． 由题意得圆C 和点M 的轨迹有公共点， ∴13≤≤，解得03a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]0,3． 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断和利用，解题的关键是根据题意得到点M 的轨迹方程，然后将问题转化为两圆有公共点的问题出处理，再利用代数法求解可得所求的结果．20．【分析】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是应当最小进而得到应当最小然后利用点到直线的距离公式求得的最小值利用直角三角形相似求得原点到直线距离的最大值【详解】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是【分析】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，进而得到OP 应当最小，然后利用点到直线的距离公式求得OP 的最小值，利用直角三角形相似求得原点O 到直线AB 距离的最大值. 【详解】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，∴OA OP应当最大，∴OP 应当最小，当且仅当OP 与直线136x y+=垂直时OP 最小，OP 的最小值为O 到直线136x y +=,即260x y +-=的距离5d ==，设OP 与AB 交于点,Q 则2~,||Rt OQA Rt OAP OQ OP OA ∴⨯=,∴max ||,3OQ ==故答案为：53. 【点睛】本题考查与圆有关的最值问题，属中等难度的题目，关键在于转化为OP 最小，同时注意利用三角形相似进行计算.三、解答题21．（1）2132）4，240x y ++= 【分析】（1）求出动直线所过定点(1,2)P --,当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，点()3,4Q 到直线l 的距离的最大．（2）直线l 的斜率k 存在且0k ≠，因此可设直线l 的方程为2(1)y k x +=+，求出直线在x 轴、y 轴的截距．可得AOB 的面积，利用基本不等式的性质即可得出结果． 【详解】（1）直线方程为(2) (21) 340m x m y m -++++=， 可化为(24)(23)0x y m x y +++-++=对任意m 都成立， 所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点(1,2)--.设定点为(1,2)P --,当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，点(3,4)Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点(1,2)P --的连线的距离就是所求最大值， 22(31)(42)213+++=（2）由于直线l 经过定点(1,2)P --．直线l 的斜率k 存在且0k ≠， 因此可设直线方程为2(1)y k x +=+可得与x 轴、y 轴的负半轴交于21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,2)B k -两点 ∴20kk-<，20k -<，解得0k <． ∴121221|2|1(2)2224222AOBkS k k k k k -⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪-⎝⎭当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4此时直线l 的方程为：22(1)y x +=-+，化为：240x y ++=． 【点睛】关键点点睛：求三角形面积最小时，一般首先表示出三角形的面积，本题利用直线在坐标轴的截距表示可得222k S k -=++-,再根据均值不等式或利用函数求最值，确定最值取得的条件，求解即可.22．（1）证明见解析；（2）2211()(1)(1)24x y x -+-=≠.【分析】（1）确定直线过定点()1,1，计算定点在圆内，得到证明.（2）由已知得点M 在以CP 为直径的圆上，求得圆心和半径可得到答案. 【详解】（1）由已知可得直线 :(1)10l x m y --+=，所以直线l 恒过定点(1,1)P .又()2211115,+-=<所以点P 在圆内，所以对任意的m R ∈，直线l 与圆 C 恒有两个交点.（2）由（1）知，知直线l 恒过定点(1,1)P ，且直线l 的斜率存在. 又M 是AB 的中点，CM MP ∴⊥，所以点M 在以CP 为直径的圆上.又()()0,1,1,1,C P 所以以CP 为直径的圆的方程为2211()(1)24x y -+-=，又直线l 的斜率存在，1x ∴≠，所以点M 的轨迹方程为2211()(1)(1)24x y x -+-=≠.【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.23．（1）2c =-；2()2f z z z =+-；（2）9. 【分析】（1）令1m =，0n =代入等式中可求得c .再令m n =-代入得()f z 的解析式；（2）由已知求得直线过圆心()12-，，有1a b +=.由均值不等式得4144()5a b a b a b ab a b b a +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，可求和4a bab +的最小值. 【详解】（1）令1m =，0n =代入等式中可得，(0)2f =-，即2c =-.再令m n =-得，(0)()(21)f f n n n n -=--++，2()2f n n n =+-， 所以2()2f z z z =+-.（2）因为直线被圆22(1)(2)9x y ++-=截得的弦长为6，所以直线过圆心()12-，，有1a b +=.于是由均值不等式得，414144()559a b a b a b ab a b a b b a +⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即13a =，23b =时等号成立.故4a b ab +的最小值是9.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.24．（1）224x y +=；（2）k =；（3）(4,0). 【分析】（1）设出圆心(,0)C a ，根据直线与圆C 相切，得到圆心到直线的距离等于4，确定圆心坐标，即可得圆C 的方程.（2）根据垂径定理及勾股定理，由过点(1,1)P 的直线1l 被圆C 截得的弦长等于斜率存在与不存在两种情况讨论，即可求出直线1l 的方程.（3）当AB x ⊥轴时，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设出方程与圆的方程联立，结合AN BN k k =-，即可求出点N 的坐标. 【详解】（1）设圆心5(,0)2C a a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则|410|25a ， 解得0a =或5a =-（舍）． 故圆C 的方程为224x y +=．（2）由题意可知圆心C 到直线1l 的距离为2sin301．1，解得k =.（3）当直线AB x ⊥轴时，对x 轴正半轴上任意一点,N x 轴平分ANB ∠； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()()1122(1)(0),(,0),,,,y k x k N t A x y B x y =-≠， 由224,(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得()22221240k x k x k +-+-=， 2212122224,11k k x x x x k k -∴+==++ 若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即12120y yx t x t+=--， 即()()1212110k x k x x tx t--+=--，即()12122(1)20x x t x x t -+++=，即()2222242(1)2011k k t t k k -+-+=++，解得4t =． 综上，当点N 的坐标为(4,0)时，x 轴平分ANB ∠．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是得到圆心到直线的距离为1，第三问解题的关键是由x 轴平分ANB ∠，得AN BN k k =-，进而利用坐标表示斜率求解. 25．（1）4160x y -+=或390x y +-=；（2）9461020x y -+= 【分析】（1）设出截距式方程，由条件列出式子即可求出；（2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，求出()2,0M 关于直线l 的对称点M '，求出m 与l 的交点，即可求出直线方程. 【详解】（1）由已知得直线不过原点，设直线方程为1x y a b+=， 则可得34112a b a b -⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得416a b =-⎧⎨=⎩或93a b =⎧⎨=⎩， 则直线方程为1416x y +=-或193x y +=， 整理可得4160x y -+=或390x y +-=； （2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，则()2,0M 关于直线l 的对称点M '必在直线m '上，设(),M a b '，则2023102202123a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得630,1313M '⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线m 与l 的交点为N ，则联立方程32602310x y x y --=⎧⎨-+=⎩可解得()4,3N ， 则m '的方程为34306341313y x --=--，即9461020x y -+=. 【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：（1）点(),A a b 关于直线0Ax By C ++=的对称点(),A m n '，则有1022n b A m a B a m b n A B C ⎧-⎛⎫⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.26．（1）2,33ππ；（2）()3,3或33,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）⎡⎣ 【分析】（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3tan kβ-=，两直线的夹角为γ， 不妨设0k >，利用两角差的正切公式计算，利用基本不等式求得最值；（2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，可得122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，可解出123,,k k k 的值，进一步求得直线RP 和直线PQ 的方程，联立得点P 的坐标；（3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=++=-+，，设原点到两直线距离分别为12,d d ，求出12d d ，然后变形利用基本不等式求解．【详解】解：（1）设1l 的斜率为tan k α=，则2l 的斜率为3tan kβ-=，两直线的夹角为γ， 不妨设0k >， 则()()313tan tan 132k k k k γβα--⎛⎫=-==+≥ ⎪+-⎝⎭k = 此时3πα=，23πβ=， 即两直线倾斜角分别为2,33ππ； （2）设直线RP ，PQ ，QR 的斜率分别为123,,k k k ，则122313149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得12332,,623k k k ===或12332,,623k k k =-=-=-， 当12332,,623k k k ===时， 直线RP 的方程为()312y x =-，直线PQ 的方程为213y x =+， 联立得()3,3P ， 当12332,,623k k k =-=-=-时， 直线RP 的方程为()312y x =--，直线PQ 的方程为213y x =-+， 联立得33,55P ⎛⎫⎪⎝⎭， 故所求为()3,3P 或33,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）设()()122:1,:1l y k x l y x k=++=-+， 设原点到两直线距离分别为12,d d ，则12d d =====，由于22459kk++≥，当且仅当22k=时等号成立，故[)22910,145kk-∈++，12d d⎡∈⎣，即原点到两直线距离之积的取值范围为⎡⎣．【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。
直线与圆的方程测试题含答案
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当F=0时，表示圆心在原点，半径 为sqrt(D^2/4 + E^2/4)的圆
圆的参数方程
定义：将圆的坐标 表示为参数的函数 形式
参数方程的建立： 通过圆心和半径确 定参数方程
参数方程的应用： 解决与圆相关的问 题，如轨迹、相切 等
参数方程的优缺点 ：便于计算和可视 化，但需要明确参 数含义和范围
方程的建立：根据直线的几何意义和 已知条件建立直线方程
点斜式：y-y1=m(x-x1)
点斜式和两点式
两点式：y-y1=(y2y1)/(x2-x1)*(x-x1)
截距式
定义：直线在x轴和y轴上的截距的代数和等于零 形式：y=kx+b 特点：截距式方程表示的直线与x轴、y轴的交点分别为(-b/k,0)和(0,b) 应用：常用于已知直线与坐标轴的交点时求解直线的方程
圆的标准方程：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
圆的一般方程为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
圆的一般方程
圆心坐标为(-D/2,-E/2)，半径为 sqrt(D^2/4 + E^2/4 - F)
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其中，D、E、F为常数，D^2 + E^2 - 4F > 0
一般式
定义：直线方 程的一般式为 Ax + By + C = 0，其中A、 B不同时为0
形式：最简单 且常见的一种 直线方程形式
适用范围：适 用于所有直线 方程，无论斜
率是否存在
特点：可以表 示所有直线， 包括垂直于x轴
的直线
圆心：$(h, k)$
第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章直线和圆的方程专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一第二章直线和圆的方程专题测试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1.（2020·福建高二学业考试）已知直线 $ $l_1\parallell_2$，则实数 $k=$（）。
A。
$-2$B。
$-1$C。
$1$D。
$2$2.（2020·XXX高一月考）直线$l_1:(a-2)x+(a+1)y+4=0$，$l_2:(a+1)x+ay-9=0$ 互相垂直，则 $a$ 的值是（）。
A。
$-0.25$B。
$1$C。
$-1$D。
$1$ 或 $-1$3.（2020·XXX高一月考）直线 $l:(m-1)x-my-2m+3=0$（$m\in R$）过定点 $A$，则点 $A$ 的坐标为（）。
A。
$(-3,1)$B。
$(3,1)$C。
$(3,-1)$D。
$(-3,-1)$4.（2020·广东高二期末）设 $a\in R$，则“$a=1$”是“直线$ax+y-1=0$ 与直线 $x+ay+1=0$ 平行”的（）。
A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件5.（2020·黑龙江高一期末）若曲线 $y=4-x^2$ 与直线$y=k(x-2)+4$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）。
A。
$\left[\frac{3}{4},1\right]$B。
$\left[\frac{3}{4},+\infty\right)$C。
$(1,+\infty)$D。
$(1,3]$6.（2020·XXX高三其他）已知直线 $x+y=t$ 与圆$x+y=2t-t^2$（$t\in R$）有公共点，则 $\frac{t(4-t)}{9}$ 的最大值为（）。
(完整版)直线与圆综合练习题含答案
直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．B ．C ． ，不存在D ． ，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若 为 圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y x D . 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（ ）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。
高中数学教师资格证笔试练题：第二章 直线与圆的方程 单元检测卷
高中数学选择性必修第一册第二章直线与圆的方程测试卷一、单选题1．直线l 经过点(3,4)P -且与圆2225x y +=相切，则直线l 的方程为（ ）A ．44(3)3y x -=-+B ．34(3)4y x -=+C ．44(3)3y x +=--D ．44(3)3y x +=-2．已知直线l 过点(3A ，(3B +，则直线l 的斜率为（ ）A B C ．D ．3．已知()1,3A ，()3,1B -，则以AB 为直径的圆的方程为（ ） A ．()()22215x y -+-= B ．()()222120x y -+-= C ．()()22125x y ++-=D ．()()221220x y ++-=4．已知直线1:32l y x =-，直线221:60l x y -+=，则1 l 与2 l 之间的距离为（ ）AB C D 5．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则这样的直线l 的条数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．直线1x y +=与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交且直线经过圆心 D ．相交但直线不经过圆心7．若直线:l y kx =30x y +-=的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,24ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,34ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．直线160l x my -+=：和直线()210l mx y m R +-=∈：的位置关系是（ ）A ．相交且垂直B ．平行C ．相交且不垂直D ．不确定9．已知圆的一条直径的端点分别是()1,0A -，()3,4B -，则该圆的方程为（ ） A ．()()22128x y ++-= B ．()()22128x y -++= C ．()()221232x y ++-=D ．()()221232x y -++=10．两条直线20x y a ++=和1102x ay a ⎛⎫--=≠- ⎪⎝⎭的交点的轨迹方程是（ ）A ．212102y xy x y ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭B ．212102x xy y x ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭C ．221x y x +=-+D ．2121x y x -=+二、填空题11．写出一个圆心在直线340x y +=上，且与x 轴相切的圆的标准方程：___________. 12．经过A （18，8），B （4，﹣4）两点的直线的斜率k ＝__． 13．直线1x =的倾斜角和斜率分别为__________.14．若圆的方程222440x y x y +-++=，则此圆的圆心坐标为___________. 15．已知实数m ，n 满足10m n +-=，则22m n +的最小值为___________.16．若直线l 过点33,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭且被圆2225x y +=所截得的弦长是8，则l 的方程为________.17．已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=，直线:148310l x y +-=，则圆1C 关于直线l 对称的圆2C 的标准方程为______.18．已知点P ，Q 是圆221x y +=上的动点，若直线l ：0x y b ++=上存在点A ，使得π2PAQ ∠=，则b 的取值范围是______．19．已知直线x +y =a 与圆224x y +=交于A ､B 两点，且||||OA OB OA OB +=-，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________.20．已知点(2,0),(2,0),A B -如果直线340(0)x y m m -+=>上有且只有一个点P 使得PA ⊥PB ，那么实数m 的值为________． 三、解答题21．求过点(2,1)A -，圆心在直线2y x =-上，且与直线10x y +-=相切的圆的方程． 22．已知圆C 过点()6,0A ，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上． （1）求圆C 的标准方程；（2）将圆C 向上平移1个单位长度后得到圆1C ，求圆1C 的标准方程． 23．求直线112y x =-关于直线24y x =-对称的直线的一般式方程.24．已知点(P 在以坐标原点为圆心的圆O 上，直线1l 0y +-=与圆O 相交于A ，B 两点，且A 在第一象限（1）求圆O 在点P 处的切线方程；（2）设()()000,1Q x y x ≠±是圆O 上的一个动点，点Q 关于原点O 的对称点为1Q ，点Q 关于x 轴的对称点为2Q ，如果直线1AQ ，2AQ 与y 轴分别交于()0,m 和()0,n 两点，问mn 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.25．已知圆M 过C (1，﹣1)，D (﹣1，1)两点，且圆心M 在x +y ﹣2=0上. （1）求圆M 的方程；（2）设P 是直线3x +4y +8=0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值.参考答案1．B 【详解】由题设，点()3,4-在圆2225x y +=上，易知切线方程的斜率存在，设切线方程的斜率为k ，则切线方程为4(3)y k x -=+，即340kx y k -++=， ⊥圆心(0,0)到切线的距离5d ==，解得34k =，故切线方程为34(3)4y x -=+．2．C 【详解】因为直线l 过点(3A ，(3B +，所以由过两点的直线的斜率公式，得直线l 36-= 3．A 【详解】AB 的中点()2,1为圆心，半径r ==所以所求圆的方程为()()22215x y -+-=. 4．D 【详解】直线1l 的方程可化为6240x y --=，则1l 与2l 之间的距离d =． 5．C 【详解】方法一 由2302380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过点(1，2)．设点Q (1，2)，因为PQ 2，所以满足条件的直线l 有2条．方法二 依题意，设经过直线l 1与l 2交点的直线l 的方程为2x ＋3y －8＋λ(x －2y ＋3)＝0(λ⊥R )，即(2＋λ)x ＋(3－2λ)y ＋3λ－8＝0.2=，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或185，代入得直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0， 6．D 【详解】圆221x y +=的圆心()0,0O ，半径1r =.因为圆心()0,0O 到直线1x y +=的距离1d =， 所以直线与圆相交但直线不过圆心. 7．D 【详解】联立方程组30y kx x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，解得x y =0<0>，解得1k <-， 设直线l 的倾斜角为θ，其中[0,)θπ∈，即tan 1θ<-，解得324ππθ<<， 即直线l 的倾斜角的取值范围是3(,)24ππ.8．A 【详解】解：当0m =时，12l l ⊥； 当0m ≠时，11k m=，2k m =-， 则121k k ，则12l l ⊥．综上，知12l l ⊥， 9．B 【详解】解：由题意可知，()1,0A -，()3,4B -的中点为()1,2-，又圆的半径为12r AB == 故圆的方程为()()22128x y -++=． 10．A 【详解】联立2010x y a x ay ++=⎧⎨--=⎩，解得2121221a x a a y a ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=-⎪+⎩，由221a y a +=-+，得221y a y +=-+， 将221y a y +=-+代入2121a x a -=+， 可得212102y xy x y ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭．11．()()22439x y -++=(答案不唯一) 【详解】设圆的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，则只要符合340a b r b +=⎧⎨=⎩即可，如433a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故答案为：()()22439x y -++= 12．67【详解】解：经过A （18，8），B （4，﹣4）两点的直线的斜率k ＝8461847+=-， 故答案为：67．13．90︒，不存在 【详解】直线1x =垂直于x 轴，所以倾斜角为90︒，斜率不存在. 故答案为：90︒；不存在. 14．()1,2- 【详解】解：根据题意，圆的方程是222440x y x y +-++=，即()()22121x y -++=， 故其圆心坐标为：()1,2-， 故答案为：()1,2- 15．12 【详解】由题意得2222m n +=，所表示的几何意义是点(,)m n 到原点(0,0)的距离的平方， 又由原点(0,0)到直线10x y +-=的距离为(),d m n ==在该直线上 ，，可得22m n +的最小值为212=.故答案为：1216．3x =-或34150x y ++= 【详解】当直线l 不存在斜率时，直线l 过点33,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为：3x =-，把3x =-代入圆的方程中，得223254y y +=⇒=±，因为4(4)8--=，所以3x =-符合题意； 当直线l 存在斜率时，设为k ，因为直线l 过点33,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为：3(3)226302y k x kx y k +=+⇒-+-=， 因为2225x y +=的半径为5，直线l 被圆2225x y +=所截得的弦长是8， 所以圆心(0,0)到直线l3，334k =⇒=-，所以332()26()303415044x y x y ⨯--+⨯--=⇒++=，故答案为：3x =-或34150x y ++= 17．22(4)(5)4x y -+-= 【详解】设圆2C 的圆心坐标为(,)m n . 因为直线l 的斜率74k =-，圆221:(3)(1)4C x y ++-=的圆心坐标为(3,1)-，半径2r，所以由对称性知14373114831022n m m n -⎧=⎪⎪+⎨-++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得4 5m n =⎧⎨=⎩. 所以圆2C 的方程为22(4)(5)4x y -+-=. 故答案为: 22(4)(5)4x y -+-=. 18．[2,2]- 【详解】如图，过圆221x y +=上任意两点P ，Q 分别作与坐标轴平行的直线，两直线交于一点A ，则点A 满足题意，可知正方形区域内（含边界），对于任意两点P ，Q 均存在满足题意的A 点．当直线0x y b ++=过正方形右上顶点时，b 取得最小值2-；当直线0x y b ++=过正方形左下顶点时，b 取得最大值2，故b 的取值范围为[]22-,． 故答案为：[2,2]-．19．2± 解. 【详解】因||||OA OB OA OB +=-，由向量加法和减法的几何意义知，以线段OA ，OB 为一组邻边的平行四边形两条对角线长相等，从而这个平行四边形是矩形，即OA OB ⊥，又||||2==OA OB ，则AOB 是等腰直角三角形，于是点O 到直线AB ，=2a =±.故答案为：2± 20．10 【详解】由题意知，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，圆的方程为：x 2+y 2＝4 所以要使得直线3x ﹣4y +m ＝0上有且只有一个点P 使得P A ⊥PB ， 则此直线与圆：x 2+y 2＝4相切，圆心()0,0，半径为2， 2916m ，解得m ＝10或-10（舍去）．所以m ＝10. 故答案为：10．21．22(1)(2)2x y -++=． 【详解】设圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，由题意得：2222(2)(1)b a a b r r⎧⎪=-⎪⎪-+--=⎨=，解得12a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩，故所求圆的方程为22(1)(2)2x y -++=．22．（1） ()()223213x y -+-=；（2） ()()223313x y -+-=．【详解】（1）因为直线AB 的斜率为50116-=--， 所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为1． 又易知线段AB 的中点坐标为75,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线m 的方程为57122y x ⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即10x y --=． 因为圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点．由102780x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩． 所以圆心为()3,2C，半径r CA == 所以圆C 的标准方程是()()223213x y -+-=． （2）由（1），知圆C 的圆心坐标为()3,2， 将点()3,2向上平移1个单位长度后得到点()3,3， 故圆1C 的圆心坐标为()3,3故圆1C 的标准方程为()()223313x y -+-=． 23．112220x y +-=. 【详解】由11224y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得交点为（2，0）， 所以可设所求直线的方程为()2y k x =-，即20kx y k --=. 点（3，2）为直线24y x =-=解得12k =（舍去）或112k =-. 所以所求直线的方程为111102x y --+=，即112220x y +-=. 故答案为：112220x y +-=.24．（1）40x +-=；（2）是定值，理由见解析. 【详解】 （1）因为OP k ==O 在点P处的切线斜率为所以圆O 在点P处的切线方程为)13y x -=-，即40x -= （2）是定值，理由如下解方程组224y x y +-=+=⎪⎩，可得A ， 因为()000,(1)Q x y x ≠±，所以()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，由10:1)AQ y x -，令0x =，得0m =由20:1)AQ y x =-，令0x =，得0n =∴2020004(1)41x mn x --===-． 25．（1）()()22114x y -+-=；（2） 【详解】解：（1）设圆M 的方程为：()()()2220x a y b r r -+-=>， 根据题意得222222(1)(1)1(1)(1)1202a b r a a b r b a b r ⎧-+--==⎧⎪⎪--+-=⇒=⎨⎨⎪⎪+-==⎩⎩，故所求圆M 的方程为：()()22114x y -+-= ； （2）如图，答案第11页，共8页 四边形PAMB 的面积为PAM PBM S S S =+，即()12S AM PA BM PB =+ 又2,AM BM PA PB ===，所以2S PA =，而PA，即S = 因此要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可， PM 的最小值即为点M 到直线3480x y ++=的距离所以min 3PM ==，四边形PAMB面积的最小值为=。
（完整版）直线与圆的方程测试题（含答案）
（完整版）直线与圆的方程测试题（含答案）直线与圆的方程测试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题(本大题共18小题，每小题4分，共72分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出，错选、多选或未选均无分.1.点M 1(2,-5)与M 2(5,y)之间的距离是5，则y=（）A.-9B.-1C.-9或-1D. 122. 数轴上点A 的坐标是2，点M 的坐标是-3，则|AM|=（）A.5B. -5C. 1D. -13. 直线的倾斜角是32π，则斜率是（） A.3-3B.33C.3-D.34. 以下说法正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角B. 任意一条直线都有斜率C.直线倾斜角的范围是(0,2π) D. 直线倾斜角的范围是(0,π)5. 经过点(4, -3)，斜率为-2的直线方程是（）A. 2x+y+2=0B.2x-y-5=0C. 2x+y+5=0D. 2x+y-5=06. 过点(2,0)且与y 轴平行的直线方程是（）A.x=0B.y=0C.x=2D.y=27. 直线在y 轴上的截距是-2，倾斜角为0°，则直线方程是（） A.x+2=0 B.x-2=0 C.y+2=0 D.y-2=08. “B ≠0”是方程“Ax+By+C=0表示直线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分非必要条件9. 直线3x-y+21=0与直线6x-2y+1=0之间的位置关系是（）A.平行B.重合C.相交不垂直D.相交且垂直10.下列命题错误．．的是（）A. 斜率互为负倒数的两条直线一定互相垂直B. 互相垂直的两条直线的斜率一定互为负倒数C. 两条平行直线的倾斜角相等D. 倾斜角相等的两条直线平行或重合11. 过点(3,-4)且平行于直线2x+y-5=0的直线方程是（）A. 2x+y+2=0B. 2x-y-2=0C. 2x-y+2=0D.2x+y-2=012. 直线ax+y-3=0与直线y=21x-1垂直，则a=（）A.2B.-2C. 21D. 21-13. 直线x=2与直线x-y+2=0的夹角是（）A.30°B. 45°C. 60°D. 90°14. 点P (2,-1)到直线l ：4x-3y+4=0的距离是（）A.1B.511 C.53 D.3 15. 圆心在( -1,0)，半径为5的圆的方程是（）A.(x+1)2+y 2=5B. (x+1)2+y 2=25C. (x-1)2+y 2=5D. (x-1)2+y 2=2516. 直线3x+4y+6=0与圆(x-2)2+(y+3)2=1的位置关系是（）A.相交不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离17. 方程x 2+y 2-2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k 的取值范围是（）A.k<-1或k>4B. k=-1或k=4C. -1<k<4< p="">D. -1≤k ≤418. 直线y=0与圆C:x 2+y 2-2x-4y=0相交于A 、B 两点，则△ABC 的面积是（）A.4B.3C.2D.1二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
直线与圆的方程单元测试题含答案
掌握直线与圆的位置关系判断是解决直线与圆相关问题的基础，对于提高解题能力和数学思 维能力有很大的帮助。
定义：直线方程的基本形式是y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。
斜率：表示直线与x轴的夹角，当k>0时，夹角为锐角；当k<0时，夹角为钝角。 截距：表示直线与y轴的交点，当b>0时，交点在正半轴上；当b<0时，交点在负半轴 上。
圆的一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数
圆的参数方程：x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ，其中(a,b)为圆心，r为半径，θ为参数
圆的切线方程：在已知圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上，切线的方程可表示为：D*x*x0+E*y*y0+F*x+E*y+C=0， 其中(x0,y0)为切点
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圆的直径的方程：$(x-\frac{x1+x2}{2})^2+(y\frac{y1+y2}{2})^2=(\frac{\sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}}{2})^2$，其中 $(x1,y1)$和$(x2,y2)$为直径的两个端点
联立方程法：通过将直线方程与圆方程联立，消元求解交点坐标
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01.
02.
03.
定义：表示直线上的点与固定点之间的距离始终等于一个常数 形式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0 分类：一般式、点斜式、斜截式、两点式和截距式 适用范围：适用于所有直线方程，是直线方程的基本形式
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直线与圆的方程(时间：90分钟__分数：120分)一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．(2015·河南安阳期末，3)x cos α＋y sin α＋1＝0，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的倾斜角为( )A ．α B.π2＋α C ．π－α D.π2－α 【答案】 B 设直线x cos α＋y sin α＋1＝0的倾斜角为θ， 则斜率 k ＝tan θ＝－cos αsin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ＝π2＋α.2．(2015·山西太原二模，3)“a ＝2”是“直线y ＝－ax ＋2与y ＝a4x －1垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】 A 由a ＝2得两直线斜率满足(－2)×24＝－1，即两直线垂直；由两直线垂直得(－a )×a4＝－1，解得a ＝±2，故选A.3．(2014·吉林长春调研，5)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710B.175 C ．8 D ．2【答案】 D ∵直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，∴63＝m 4≠－143，∴m ＝8，即直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行直线间的距离为|7＋3|32＋42＝2.故选D. 4．(2015·福建泉州一模，5)已知圆C ：x 2＋y 2＝25，直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为6和8，则圆上的点到直线l 的最大值为( )A.245 B ．5 C ．10 D.495【答案】 D 由题意知，直线l 的方程为4x ＋3y －24＝0，则圆心到直线的距离为d ＝|0＋0－24|42＋32＝245.故圆上的点到直线l 的最大值为245＋5＝495.易错点拨：解答本题易求出d 后，误选A.5．(2015·河南南阳一模，5)已知直线Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 2＋B 2＝C 2，C ≠0)与圆x 2＋y 2＝4交于M ，N 两点，O 是坐标原点，则OM→·ON →＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 【答案】 A 因为圆心O 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为|C |A 2＋B 2＝1，所以∠MON ＝2π3，所以OM→·ON →＝|OM →| |ON →|cos ∠MON ＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. 6．(2014·辽宁沈阳四校联考，8)若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( )A ．－33B ．－ 3 C.33 D. 3【答案】 A 依题意得，圆心到直线的距离等于半径，即有|cos θ＋sin 2θ－1|＝14，|cos θ－cos 2θ|＝14，所以cos θ－cos 2θ＝14或cos θ－cos 2θ＝－14(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos 2θ＝14，得cos θ＝12.又θ为锐角，所以sin θ＝32，故该直线的斜率是－cos θsin θ＝－33，故选A.7．(2015·湖南岳阳一模，6)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1，0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0【答案】 B 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.思路点拨：解题的关键是用好|PQ |＝23，构建方程求斜率，但要注意斜率不存在的情况． 8．(2015·江西抚州调研，7)已知函数f (x )＝12x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[5，＋∞)B ．[4，5] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，133 D ．(－∞，4)【答案】 B 因为f ′(x )＝x ＋4x ，当1≤x 0≤3时，f ′(x 0)∈[4，5]．又因为k ＝f ′(x 0)＝m ，所以m ∈[4，5]．9．(2013·重庆，7)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17 【答案】 A 圆C 1，C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，连接C ′1C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C ′1C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为2－4，故选A.10．(2014·湖北孝感四校联考，10)已知A (－2，0)，B (0，2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点．如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，那么△P AB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6【答案】 C 依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，∴△P AB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋2，故选C.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．(2015·安徽淮南一模，13)已知曲线y ＝3x 2＋2x 在点(1，5)处的切线与直线2ax －y －6＝0平行，则a ＝________.【解析】 由已知得y ′＝6x ＋2，则曲线y ＝3x 2＋2x 在点(1，5)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝8.根据两直线平行的条件得2a ＝8，故a ＝4.【答案】 412．(2015·天津四校联考，13)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.【解析】 ∵(1－2)2＋(2)2＝3＜4， ∴点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部．当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2，0)与点(1，2)的连线垂直于直线l .∵2－01－2＝－2，∴所求直线l 的斜率k ＝22.【答案】 2213．(2012·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．【解析】 x 2＋y 2－8x ＋15＝0化成标准形式为(x －4)2＋y 2＝1，该圆的圆心为M (4，0)，半径为1.根据题意，只需要圆心M (4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤1＋1即可，所以有d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，化简得k (3k －4)≤0，解得0≤k ≤43，所以k 的最大值是43.【答案】 4314．(2015·福建宁德质检，12)设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}．若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．【解析】 集合A ，B 实际上是圆上的点的集合，即A ，B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆的圆心距不大于两圆半径之和2，即（t －4）2＋（at －2）2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，根据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43三、解答题(共4小题，共50分)15．(12分)(2015·安徽蚌埠质检，18)已知点A (－3，0)，B (3，0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )， （x ＋3）2＋y 2＝2（x －3）2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，则此曲线的方程为(x －5)2＋y 2＝16. (2)曲线C 是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示． 由直线l2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16， 当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，此时|CQ |＝|5＋3|2＝42，则|QM |的最小值为32－16＝4.16．(12分)(2015·河北唐山调研，18)已知定点M (0，2)，N (－2，0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． 解：(1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0，2)，N (－2，0)， ∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1，1)． 又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2，2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径， ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1＞2， 解得k ＜－17或k ＞1. 17．(12分)(2015·山东日照调研，18)已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a )． (1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； (2)若a ＝2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直，求|AC |＋|BD |的最大值． 解：(1)由条件知点M 在圆O 上， 所以1＋a 2＝4，则a ＝±3.当a ＝3时，点M 为(1，3)， k O M ＝3，k 切＝－33，此时切线方程为y －3＝－33(x －1)，即x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33，此时切线方程为y ＋3＝33(x －1)，即x －3y －4＝0. 所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0. (2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)，则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又有|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22， 所以|AC |＋|BD |＝24－d 21＋24－d 22.则(|AC |＋|BD |)2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22)＝4×[5＋216－4（d 21＋d 22）＋d 21d 22] ＝4×(5＋24＋d 21d 22)．因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3，所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时取等号，所以4＋d 21d 22≤52，所以(|AC |＋|BD |)2≤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×52＝40.所以|AC |＋|BD |≤210，即|AC |＋|BD |的最大值为210.18．(14分)(2014·江西九江三模，19)已知点P 是圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝16上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称，线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴的左、右两个交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，KH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HK 到点Q 使得|HK |＝|KQ |，连接AQ 并延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．解：(1)由题意得，F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝4>|F 1F 2|＝23，∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a ＝4，焦距2c ＝23， 则短半轴长b ＝a 2－c 2＝4－3＝1， ∴点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，设K (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.∵|HK |＝|KQ |， ∴Q (x 0，2y 0)． ∴|OQ |＝x 20＋（2y 0）2＝2，∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的圆上，即Q 点在以AB 为直径的圆O 上． 又A (－2，0)，∴直线AQ 的方程为y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)． 令x ＝2，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，8y 0x 0＋2. 又B (2，0)，N 为DB 的中点， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4y 0x 0＋2.∴OQ →＝(x 0，2y 0)，NQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－2，2x 0y 0x 0＋2. ∴OQ →·NQ →＝x 0(x 0－2)＋2y 0·2x 0y 0x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋4x 0y 20x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋x 0（4－x 20）x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋x 0(2－x 0)＝0. ∴OQ→⊥NQ →.∴直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切．。