高中数学奥林匹克训练题及答案
高中数学奥林匹克竞赛试题及答案
高中数学奥林匹克竞赛试题及答案1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰．x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）其中0＜a?9，0?b?9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利．【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k ＋1）2得出k2＋2k不是平方数．3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题．【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．4 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．1963年俄【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km ＋dk2）d＝（m＋kd）2对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．5 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．1964年俄．【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n?10a＋1．因此b＝n2100a2?20a＋1由此得 20a＋1＜100，所以a?4．经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n＞41则n2－402?422－402＞100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为412＝1681．6 求所有的素数p，使4p2＋1和6p2＋1也是素数．1964年波兰【解】当p≡±1（mod 5）时，5|4p2＋1．当p≡±2（mod 5）时，5|6p2＋1．所以本题只有一个解p＝5．7 证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n4＋a 都不是素数．1969德国．【证】对任意整数m＞1及自然数n，有n4＋4m4＝（n2＋2m2）2－4m2n2＝（n2＋2mn＋2m2）（n2－2mn＋2m2）而 n2＋2mn＋2m2＞n2－2mn＋2m2＝（n－m）2＋m2?m2＞1故n4＋4m4不是素数．取a＝4224，4234，…就得到无限多个符合要求的a．8 将某个17位数的数字的顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．1970年苏【证】假设和的数字都是奇数．在加法算式中，末一列数字的和d＋a 为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b＋c?9．于是将已知数的前两位数字a、b与末两位数字c、d去掉，所得的13位数仍具有性质：将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数．照此进行，每次去掉首末各两位数字．最后得到一位数，它与自身相加显然是偶数．矛盾！9 证明：如果p和p＋2都是大于3的素数，那么6是p＋1的因数．1973年加拿大【证】因p是奇数，2是p＋1的因数．因为p、p＋1、p＋2除以3余数不同，p、p＋2都不被3整除，所以p＋1被3整除．10 证明：三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项（不一定是连续的）．美国1973年【证】设p、q、r是不同素数．假如有自然数l、m、n和实数a、d，消去a，d，得化简得（m－n）3p＝（l－n）3q＋（m－l）3r＋3（l－n）（m11 设n为大于2的已知整数，并设V n为整数1＋kn的集合，k＝1，2，…．数m∈V n称为在V n中不可分解，如果不存在数p，q∈V n使得pq＝m．证明：存在一个数r∈V n可用多于一种方法表达成V n中不可分解的元素的乘积．1977年荷兰【证】设a＝n－1，b＝2n－1，则a2、b2、a2b2都属于V n．因为a2＜（n＋1）2，所以a2在V n中不可分解．式中不会出现a2．r＝a2b2有两种不同的分解方式：r＝a22b2＝a2…（直至b2分成不可分解的元素之积）与r＝ab2ab＝…（直至ab分成不可分解的元素之积），前者有因数a2，后者没有．12 证明在无限整数序列10001，100010001，1000100010001，…中没有素数．注意第一数（一万零一）后每一整数是由前一整数的数字连接0001而成．1979年英国【证】序列1，10001，100010001，…，可写成1，1＋104，1＋104＋108，…一个合数．即对n＞2，a n均可分解为两个大于1的整数的乘积，而a2＝10001＝137273．故对一切n?2，a n均为合数．13 如果一个自然数是素数，并且任意地交换它的数字，所得的数仍然是素数，那么这样的数叫绝对素数．求证：绝对素数的不同数字不能多于3个．1984年苏【证】若不同数字多于3个，则这些数字只能是1、3、7、9．不难验证1379、3179、9137、7913、1397、3197、7139除以7，余数分别为0、1、2、3、4、5、6．因此对任意自然数M，1043M与上述7个四位数分别相加，所得的和中至少有一个被7整除，从而含数字1、3、7、9的数不是绝对素数．14正整数d不等于2、5、13．证在集合｛2，5，13，d｝中可找到两个不同元素a、b，使得ab－1不是完全平方数．1986年德【证】证明2d－1、5d－1、13d－1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可．用反证法，设5d－1＝x2 5d－1＝y2 13d －1＝z2 其中x、y、z是正整数．x是奇数，设x＝2n－1．代入有2d－1＝（2n－1）2即d＝2n2－2n＋1 说明d也是奇数．y、Z是偶数，设y＝2p，z＝2q，代入（2）、（3）相减后除以4有2d＝q2－p2＝（q＋p）（q－p）因2d是偶数，即q2－p2是偶数，所以p、q同为偶数或同为奇数，从而q＋p和q－p都是偶数，即2d是4的倍数，因此d是偶数．这与d是奇数相矛盾，故命题正确．15 .求出五个不同的正整数，使得它们两两互素，而任意n（n?5）个数的和为合数．1987年全苏【解】由n个数a i＝i2n！＋1，i＝1，2，…，n组成的集合满足要求．因为其中任意k个数之和为m2n！＋k（m∈N，2?k ?n）由于n！＝1222…2n是k的倍数，所以m2n！＋k是k的倍数，因而为合数．对任意两个数a i与a j（i＞j），如果它们有公共的质因数p，则p也是a i－a j＝（i－j）n！的质因数，因为0＜i－j＜n，所以p也是n！的质因数．但a i与n！互质，所以a i与a j不可能有公共质因数p，即a i、a j（i≠j）互素．令n＝5，便得满足条件的一组数：121，241，361，481，601．16 n?2，证：如果k2＋k＋n对于整数k素数．1987苏联（1）若m?p，则p|（m－p）2＋（m－p）＋n．又（m－p）2＋（m－p）＋n?n＞P，这与m是使k2＋k＋n为合数的最小正整数矛盾．（2）若m?p－1，则（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n＝（p－1－m）（p－m）＋n被p整除，且（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n?n＞p因为（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n为合数，所以p－1－m?m，p?2m＋1由得4m2＋4m＋1?m2＋m＋n即3m2＋3m＋1－n?0由此得17 正整数a与b使得ab＋1整除a2＋b2．求证：（a2＋b2）/（ab＋1）是某个正整数的平方．1988德国a2－kab＋b2＝k （1）显然（1）的解（a，b）满足ab?0（否则ab?－1，a2＋b2＝k（ab＋1）?0）．又由于k不是完全平方，故ab＞0．设（a，b）是（1）的解中适合a＞0（从而b＞0）并且使a＋b最小的那个解．不妨设a?b．固定k与b，把（1）看成a的二次方程，它有一根为a．设另一根为a′，则由韦达定理a′为整数，因而（a′，b）也是（1）的解．由于b＞0，所以a′＞0．但由（3）从而a′＋b＜a＋b，这与a＋b的最小性矛盾，所以k必为完全平方． 18 求证：对任何正整数n，存在n个相继的正整数，它们都不是素数的整数幂．1989年瑞典提供．【证】设a＝（n＋1）！，则a2＋k（2?k?n＋1），被k整除而不被k2整除（因为a2被k2整除而k不被k2整除）．如果a2＋k是质数的整数幂p l，则k＝p j（l、j都是正整数），但a2被p2j整除因而被p j＋1整除，所以a2＋k被p j整除而不被p j＋1整除，于是a2＋k＝p j＝k，矛盾．因此a2＋k（2?k?n＋1）这n个连续正整数都不是素数的整数幂． 19 n为怎样的自然数时，数32n＋1－22n＋1－6n是合数？1990年全苏解32n＋1－22n＋1－6n＝（3n－2n）（3n＋1＋2n＋1）当n＞l时，3n －2n＞1，3n＋1＋2n＋1＞1，原数是合数．当n＝1时，原数是13 20 设n是大于6的整数，且a1、a2、…、a k是所有小于n且与n互素的自然数，如果a2－a1＝a3－a2＝…＝a k－a k－1＞0求证：n或是素数或是2的某个正整数次方．1991年罗马尼亚．证由（n－1，n）＝1，得a k＝n－1．令d＝a2－a1＞0．当a2＝2时，d＝1，从而k＝n－1，n与所有小于n的自然数互素．由此可知n是素数．当a2＝3时，d＝2，从而n与所有小于n的奇数互素．故n是2的某个正整数次方．设a2＞3．a2是不能整除n的最小素数，所以2|n，3|n．由于n－1＝a k＝1＋（k－1）d，所以3d．又1＋d＝a2，于是31＋d．由此可知3|1＋2d．若1＋2d＜n，则a3＝1＋2d，这时3|（a3，n）．矛盾．若1＋2d?n，则小于n且与n互素自然数的个数为2．设n＝2m（＞6）．若m为偶数，则m＋1与n互质，若m为奇数，则m＋2与m互质．即除去n－1与1外、还有小于n且与n互质的数．矛盾．综上所述，可知n或是素数或是2的某个正整数次方．21 试确定具有下述性质的最大正整数A：把从1001至2000所有正整数任作一个排列，都可从其中找出连续的10项，使这10项之和大于或等于A．1992年台北数学奥林匹克【解】设任一排列，总和都是1001＋1002＋…＋2000＝1500500，将它分为100段，每段10项，至少有一段的和?15005，所以A?15005另一方面，将1001～2000排列如下：2000 1001 1900 1101 18001201 1700 1301 1600 14011999 1002 1899 1102 17991202 1699 1302 1599 1402 ………………1901 1100 1801 1200 17011300 1601 1400 1501 1300并记上述排列为a1，a2，…，a2000（表中第i行第j列的数是这个数列的第10（i－1）＋j项，1?i?20，1?j?10）令S i＝a i＋a i＋1＋…＋a i＋9（i＝1，2，…，1901）则S1＝15005，S2＝15004．易知若i为奇数，则S i＝15005；若i为偶数，则S i＝15004．综上所述A＝15005．22 相继10个整数的平方和能否成为完全平方数？1992年友谊杯国际数学竞赛七年级【解】（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2＝10n2＋110n＋385＝5（2n2＋22n＋77）不难验证n≡0，1，－1，2，－2（mod 5）时，均有2n2＋22n＋77≡2（n2＋n＋1）0（mod 5）所以（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2不是平方数，23 是否存在完全平方数，其数字和为1993？1993年澳门数学奥林匹克第二轮【解】存在，取n＝221即可．24 能表示成连续9个自然数之和，连续10个自然数之和，连续11个自然数之和的最小自然数是多少？1993年美国数学邀请赛【解】答495．连续9个整数的和是第5个数的9倍；连续10个整数的和是第5项与第6项之和的5倍；连续11个整数的和是第6项的11倍，所以满足题目要求的自然数必能被9、5、11整除，这数至少是495．又495＝51＋52＋…＋59＝45＋46＋…＋54＝40＋41＋…＋5025 如果自然数n使得2n＋1和3n＋1都恰好是平方数，试问5n＋3能否是一个素数？1993年全俄数学奥林匹克【解】如果2n＋1＝k2，3n＋1＝m2，则5n＋3＝4（2n＋1）－（3n＋1）＝4k2－m2＝（2k＋m）（2k－m）．因为5n＋3＞（3n＋1）＋2＝m2＋2＞2m＋1，所以2k－m≠1（否则5n＋3＝2k＋m＝2m＋1）．从而5n＋3＝（2k ＋m）（2k－m）是合数．26 设n是正整数．证明：2n＋1和3n＋1都是平方数的充要条件是n＋1为两个相邻的平方数之和，并且为一平方数与相邻平方数2倍之和．1994年澳大利亚数学奥林匹克【证】若2n＋1及3n＋1是平方数，因为2（2n＋1），3（3n＋1），可设2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2，由此可得n＋1＝k2＋（k＋1）2，n＋1＝（t±1）2＋2t2反之，若n＋1＝k2＋（k＋1）2＝（t±1）2＋2t2，则2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2从而命题得证．27 设a、b、c、d为自然数，并且ab＝cd．试问a＋b＋c＋d能否为素数．1995年莫斯科数学奥林匹克九年级题【解】由题意知正整数，将它们分别记作k与l．由。
2020四套数学奥林匹克高中训练题及答案
数学奥林匹克高中训练题（一）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题22)集合111{|log 2,}23nn n N -<<-∈的真子集的个数是(A)． (A) 7 (B)8 (C)31 (D)322．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．(A){1,2,3,4,5,6} (B) {0,1,2,3,4,5,6} (C) {0,1,3,4,5,6} (D) {0,1,2,3,5,6}4．(训练题22) 函数(),()y f x y g x ==的定义域及值域都是R ，且都存在反函数，则11((()))y f g f x --=的反函数是(B)．(A)1((()))y f g f x -= (B) 1((()))y f g f x -= (C) 11((()))y f g f x --= (D) 11((()))y f g f x --=5．(训练题22) 若cos 40sin 40o o ω=+,则1239239ωωωω-++++等于(D)． (A)1cos 2018o (B) 1sin 409o (C) 1cos 409o (D) 2sin 209o 6．(训练题22) 当01x <<时，222sin sin sin ,(),x x x x x x的大小关系是(B)． (A) 222sin sin sin ()x x x x x x << (B) 222sin sin sin ()x x x x x x << (C) 222sin sin sin ()x x x x x x << (D) 222sin sin sin ()x x x x x x<< 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题22) 已知211(),()5,()2f x x g x x g x -==-+表示)(x g 的反函数，设11()(())(())F x f g x g f x --=-．则()F x 的最小值是 703． 2．(训练题22) 在1000和9999之间由四个不同数字组成，且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有 840 个．3．(训练题22) 四面体P ABC -中，,8,6,9,120o PC ABC AB BC PC ABC ⊥===∠=面，则二面角B AP C --的余弦值是 ． 4．(训练题22) 设{}P =不少于3的自然数，在P 上定义函数f 如下：若,()n P f n ∈表示不是n 的约数的最小自然数，则(360360)f = 16 ．5．(训练题22)n 为不超过1996的正整数，如果有一个θ，使(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+成立，则满足上述条件的n 值共有 498 个．6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25，按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则红色子列中由1开始数起的第1996个数是 3929 ． 第二试一、(训练题22)(本题满分25分) 点M 是正三角形内一点，证明：由线段,MA MB 和MC 为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的13． 二、(训练题22)(本题满分25分) 若21x y +≥，试求函数2224u y y x x =-++的最小值．95- 三、(训练题22)(本题满分35分) 证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数x 和y ，使得如下不等式成立0212x y x y xy-≤<+++． 四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”，假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”，证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边．数学奥林匹克高中训练题（二）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题23)119963+除以19971996⨯所得的余数是(D)．(A) 1 (B) 1995 (C) 1996 (D) 19972．(训练题23)若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A)． (A)a 21 (B)a1 (C)a (D)a2 3．(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线（共四条线段），则正确的命题是(B)．(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边．(B)任何三条线段都可组成一个三角形，其中每个内角都是锐角．(C)任何三条线段都可组成一个三角形，其中必有一个是钝角三角形．(D)任何三条线段都可组成一个三角形，其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”，随长方体的长，宽，高而变化，不能确定．4．(训练题23)若20π<<x ，则11tan cot sin cos x x x x++-的取值范围是(D)． (A)()+∞∞-, (B)()+∞,0 (C)),21(+∞ (D)()+∞,1 5．(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻，则其可能的排法个数是(A)． (A)!5!7!8⋅ (B)!4!6!7⋅ (C) !7!3!10⋅ (D) !3!7!10⋅ 6．(训练题23)使得11cos 51sin +>n 成立的最小正整数n 是(B)．(A)4 (B)5 (C)6 (D)7二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题23)设R a ∈，若函数310),(+==xy x f y 关于直线x y =对称，且)(x f y =与)lg(2a x x y +-=有公共点，则a 的取值范围是 6a <- ．2．(训练题23)设1,,2-=∈+i R b a 且存在C z ∈，适合⎪⎩⎪⎨⎧≤+=+1z bi a z z z 则ab 的最大值等于 18 ． 3．(训练题23)设 900<<α，若ααsin 1)60tan(31=-+ ，则α等于 3050o o 或 ． 4．(训练题23)设''''D C B A ABCD -是棱长为1的正方体，则上底面ABCD 的内切圆上的点P 与过顶点'''',,,D C B A 的圆上的点Q 之间的最小距离=d2 ． 5．(训练题23)如图，在直角坐标系xOy 中，有一条周期性折线（函数）).(:1x f y l =现把该曲线绕原点O 按逆时针方向旋转45得到另一条曲线2l ，则这两条曲线与y 轴及直线()N n n x ∈=围成的图形的面积等于(12n +-- ．6．(训练题23)设b a ,都是正整数，且100)21(2+=+b a 则b a ⋅的个位数等于 4 ．第二试一、(训练题23)(本题满分25分) 求证：在复平面上，点集}01:{3=++∈=z z C z S 中，除去某一个点外的所有的点都在圆环45313<<z 中． 二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线),0(22>=p px y 其焦点为F .试问：是否存在过F 点的弦AB （B A ,均在抛物线上，且A 在第一象限内），以及y ）轴正半轴上的一点P ，使得B A P ,,三点构成一个以P 为直角顶点的等腰直角三角形？证实你的回答.如果回答是肯定的，请求出直线AB 的方程．)2p y x =- 三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定321A A A ∆及点0P ，构造点列0P ，1P ， 2P ，使得13+k P 为点k P 3绕中心1A 顺时针旋转150时所到达的位置，而23+k P 和33+k P 为点13+k P 和23+k P 分别绕中心2A 和3A 顺时针旋转 105时所到达的位置， ,3,2,1,0=k .若对某个N n ∈，有03P P n =，试求321A A A ∆的各个内角的度数及三个顶点321,,A A A 的排列方向．四、(训练题23)(本题满分35分)设n ααα≤≤≤< 210，n b b b ≤≤≤< 210，且∑∑==≥n i i n i i b a 11又存在)1(n k k ≤≤使得当k i ≤时有i i a b ≤，当k i >时，有i i a b >.求证：∏∏==≥n i i n i ib a 11． 1。
数学奥林匹克高中训练题(10)及答案
数学奥林匹克高中训练题（10）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题15)正方体表面正方形的对角线中存在异面直线，如果其中两条异面直线距离是1，那么，正方形的体积(C)． (A) 1 (B) 33 (C) 1 或33 (D) 33 或232．(训练题15)设有长度为12345,,,,a a a a a 的五条线段，其中任何三条线段都能组成一个三角形，共组成了10个三角形，这些三角形中(A)．(A) 必有一个锐角三角形 (B) 必有一个直角三角形(C) 不可能有锐角三角形 (D) 是否存在锐角三角形与已知线段长有关3．(训练题15)在锐角ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠为其内角，设cot 2cot 2cot 2T A B C =++，则一定有(C)．(A) 0T > (B) 0T ≥ (C) 0T < (D) 0T ≤4．(训练题15)C 为复数集，设18{|1,}A z z z C ==∈，18{|1,}B C ωωω==∈，{|,}D z z A B ωω=∈∈．则D 中的元素的个数为(D)个．(A)864 (B)432 (C) 288 (D) 1445．(训练题15)已知正数,,a b c ，满足1995ab bc cd ++=，则c ab +a bc +bca 的最小值为(B)． (A) 1995 (B) 3665 (C) 2665 (D) 6656．(训练题15)已知函数()f x 在(0,)+∞上有定义且为增函数，并满足1()(())1f x f f x x+=．则(1)f =(D)． (A)1 (B)0 (C)251+ (D) 251- 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题15)已知抛物线方程(0)2x y h h =-+>，点(2,4)P 在抛物线上，直线AB 在y 轴上的截距大于0，且与抛物线交于,A B 两点，直线PA 与PB 的倾斜角互补，则PAB ∆的面积的最大值是9． 2．(训练题15)设p 是一个素数，4p 的各正约数之和是一个完全平方数，则p = 3p = ．3．(训练题15)方程cos(1)cos(2)cos(3)0a x b x c x +++++=在开区间(0,)π内至少有两个根，则此方程的所有根为 一切实数 ．4．(训练题15)设12,x x 是实系数方程2240x kx ++=的两个非零实根，且满足221221()()7x x x x +>，则k 取值范围是k k ><5．(训练题15)设多项式()p x 的次数不超过3次，且(0)1,(3)0,(2)(2)p p p x p x ==+=-．若()p x 的首项系数为负数，则()p x = 1(1)(2)(3)6x x x ---- ．6．(训练题15)在一次网球比赛中，n 个女子和2n 个男子参加，并且每个选手与其他所有选手恰好比赛一次，如果没有平局，女子胜的局数与男子胜的局数之比7：5，则n = 3 ．第二试 一、(训练题15)(本题满分25分)求所有的a 的值，(,)22a ππ∈-，使方程组1arcsin(sin )1tan ()10y x y x απ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 在110x π≥的条件下恰有10个解． 二、(训练题15)(本题满分25分)已知,A n 均为自然数，其中21,n A n ><，且2|[]1n n A+．求A 的值． 三、(训练题15)(本题满分35分) 某厂第一天产品不超过a 件，以后每天日产量都有所增加，但每日增产数量也不超过a 件，且设,0b aq r r a =+≤≤，证明，当日产量达到b 件时，工厂生产产品总数不少于2)2)(1(r qa q ++件． 四、(训练题15)(本题满分35分) 平面上有n 个点，其中每两个点之间的连线均染成红色或黑色，若图中总存在两个没有公共边的同色三角形，求n 的最小值．。
高中数学奥林匹克训练题及答案
高中数学奥林匹克训练题第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1． 已知函数1x ay x a -=---的反函数的图象关于点(1,3)-成中心对称图形，则实数a 等于(A)．(A) 2 (B)3 (C)-2 (D)-42． 我们把离心率等于黄金比215-的椭圆称之为“优美椭圆”．设a by a x (12222=+＞b ＞0)为优美椭圆，,F A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于(C)．(A)60o (B)75o (C)90o (D)120o3． 已知ABC ∆三边的长分别是,,a b c ，复数12,z z 满足1212,,z a z b z z c ==+=，那么复数21z z 一定是(C)．(A)是实数 (B)是虚数 (C)不是实数 (D)不是纯虚数4． 函数21522223411(1)6()1x x C x x P f x C C C ++-⋅-⋅=+++的最大值是(D)． (A)20 (B)10 (C)10- (D) 20-5． 以O 为球心，4为半径的球与三条相互平行的直线分别切于,,A B C 三点．已知4=∆BOC S ，16ABC S ∆>，则ABC ∠等于(B)．(A)12π (B)512π (C)712π (D)1112π 6． 在集合{1,2,3,,10}M =的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有(B)．(A)102个 (B)92个 (C)210个 (D) 29个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中线所在直线方程分别是31y x =+和2y mx =+，则实数m 的值是3124或 ．A 1 A C 1B 1BCD2． 设()(0,1)1xx a f x a a a =>≠+，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则函数]21)([21)([--+-x f x f 的值域是 {1,0}- ．3．设,,a b c 是直角三角形的三条边长，c 为斜边长，那么使不等式kabc b a c a c b c b a ≥+++++)()()(222对所有直角三角形都成立的k 的最大值是4． 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都是1，截面1BCD 在棱1AA 上的交点为D ，设这个截面与底面ABC 和三个侧面111111,,ABB A BCC B CAAC 所成的二面角依次为1234,,,αααα，若1234cos cos cos cos αααα+=+，则5． 已知()f x 是定义域在实数集的函数,且(2)[1()]1().(1)2f x f xf x f +-=+=若，则(1949)f 2 ．6． 设1x 是方程12cos 3sin 3-=-a x x 的最大负根，2x 是方程222cos 2sin x xa -=的最小正根，那么，使不等式12x x ≤成立的实数a 的取值范围是 1122a a ≤≤-=或 ．第二试一、 (本题满分25分)某眼镜车间接到一任务，需要加工6000个A 型零件和2000个B 型零件，这个车间有214名工人，他们每一个人加工5个A 型零件的时间可加工3个B 型零件．将这些人分成两组同时工作，每组加工同一型号的零件，为了在最短的时间完成，应怎样分组？77二、 (本题满分25分)已知一个四边形的各边长都是整数，并且任意一边的长都能整除其余三边之和．求证：这个四边形必有两边相等．三、 (本题满分35分)实数数列1231997,,,,a a a a 满足： 1223199619971997a a a a a a -+-++-=．若数列{}n b 满足：12(1,21997)kk a a a b k k++==．求199719963221b b b b b b -++-+- 的最大可能值．四、 (本题满分35分)给定两个七棱锥，它们有公共的底面1234567A A A A A A A ，顶点12,P P 在底面的两侧．现将下述线段中的每一条染红，蓝两色之一：12,P P ，底面上的所有的对角线和所有的侧棱．求证：图中心存在一个同色三角形．。
数学奥林匹克高中训练题(22)及答案4
数学奥林匹克高中练习题〔05〕第一试一、选择题〔此题总分值42分,每题7分〕 1．(练习题10),αβ为锐角,且cos cos ,,()()()2sin sin x xx R f x παβαββα+>∈=+,那么〔D 〕． (A) ()f x 在定义域内是增函数 (B) ()f x 在[0,)+∞内为增函数,在(,0]-∞内为减函数 (C) ()f x 在定义域内是减函数 (D) ()f x 在(,0]-∞内为增函数,在[0,)+∞内为减函数 2．(练习题10) 设,a d 为非负实数,,b c 为正实数,且b c a d +≥+．那么b cc d a b+++的最小值是〔C 〕 (A) 1 (B)12123．(练习题10) 设222522333333363322220,(),(),()a b A a b B a b C a a b >>=+=+=+．那么,,A B C 的大小关系是〔D 〕(A)A B C << (B) B C A << (C) C A B << (D) A C B <<4．(练习题10) 三棱锥A BCD -中,60,1,2,3oBAC CAD DAB AB AC AD ∠=∠=∠====,那么三棱锥体积是〔A 〕(A)2其他5．(练习题10) 八个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是〔A 〕(A) 204 (B) 144 (C) 72 (D) 24 6．(练习题10) 方程21112()y x y y+=+的整数解(,)x y 有〔B 〕 (A) 0组 (B) 1组 (C) 有限组(多于1组) (D) 无穷多组 二、填空题〔此题总分值48分,每题8分〕1．(练习题10) 123456164a a a a a a ≤≤≤≤≤≤≤．那么351246a a a Q a a a =++的最小值是___34___． 2．(练习题10) 将数列2,6,10,14,…按顺序分组,第一组2项〔2,6〕,第二组6项〔10,14,…,30〕,…第k 组有42k -项,那么1994属于第 16 组.3．(练习题10) ABC ∆的面积为S ,45oA ∠=,直线MN 分ABC ∆的面积为相等的两局部,且M 在AB 上,N 在AC 上,那么MN4．(练习题10)设02πθ≤≤,使不等式2sin 3cos 640m m θθ+--<恒成立的实数m 取值范围是_12m >-_. 5．(练习题10) 对不同的实数m ,方程2264940y my x m m --++=表示不同的抛物线,一条直线与这所有的抛物线都相交,且截得的弦长均为9．那么这条直线的方程是___133y x =-___. 6．(练习题10) 假设复数z 满足6532230z izz i +--=．那么z 1= ．第二试一、(练习题10)〔此题总分值20分〕设(2n n a =．求证：对一切n N ∈,[]n a 为奇数〔[]x 表示不超过x 的最大整数〕．二、(练习题10)〔此题总分值20分〕在自然数1,2,3,…,n,…中去掉所有含数字0,7,8,9的那些自然数,得数列{a n }：1,2,3,4,5,6,11,12,…,16,21,22,…．求证：11498n na ∞=<∑． 三、(练习题10)〔此题总分值30分〕在ABC ∆中,AB AC =,点M 在AB 上,且MA MC =,点N 在AC 上,且,:2:3CN CB A NBA =∠∠=．求NMC ∠的度数．(30o NMC ∠=)四、(练习题10)〔此题总分值30分〕平面上给定1994个点,其中任何三点不共线,将以这些点为端点的每条线段都标上+1或-1,如果以这些点为顶点的三角形三边所标的数乘积为-1,称三角形为负的．试证实负三角形个数为偶数．。
数学奥林匹克高中训练题()及答案
1 / 3 数学奥林匹克高中训练题（57）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题57)若()f x 是R 上的减函数，且()f x 图像经过点(0,3)A 和点(3,1)B -，则不等式(1)12f x +-<的解集为(D)．(A)(,3)-∞ (B)(,2)-∞ (C)(0,3) (D) (1,2)-2．(训练题57)若函数2()sin 2(2)cos 2f x a x a x =+-的图像关于直线8x π=-对称，则a 的值等于(C)．(B)1或1- (C)1或2- (D)1-或2 3．(训练题57)设椭圆的方程为221,(0,1)3x y A +=-为短轴的一个端点，,M N 为椭圆上相异两点，若总存在以MN 为底边的等腰AMN ∆，则直线MN 的斜率k 的取值范围是(C)．(A)(1,0]- (B)[0,1] (C)(1,1)- (D)[1,1]-4．(训练题57)()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的x 满足(1)()f x f x +=-．已知当(2,3]x ∈时，()f x x =．那么，当(2,0]x ∈-时，()f x 的表达式为(C)．(A)()4f x x =+ (B)4,(2,1]()2,(1,0]x x f x x x +∈--⎧=⎨-+∈-⎩(C)4,(2,1]()3,(1,0]x x f x x x +∈--⎧=⎨--∈-⎩ (D)1,(2,1]()3,(1,0]x x f x x x --∈--⎧=⎨--∈-⎩ 5．(训练题57)已知1111ABCD A BC D -是边长为１的正方体，P 为线段1AB 上的动点，Q 为底面ABCD 上动点．则1PC PQ +的最小值为(A)．(A)12+(C)2(D)12 6．(训练题57)已知在数列{}n a 中，11,n a S =为前n 项的和，且满足2(1,2,)n n S n a n ==．则n a 的表达式为(D)．2 /3 (A)1(2)2n n ≥+ (B)1(3)(1)n n n ≥- (C)1(4)2(1)n n ≥+ (D)2(1)n n + 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．(训练题57)在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，且13AD BC =．则AC AB AB AC +2．(训练题57)已知函数1a x y x a -=--的反函数图像关于点(1,4)-成中心对称．则实数a 的值 3． 3．(训练题57)集合11{|(1)},{|}22A x a xB x x =+=-<，当A B ⊆时，a 的取值范4．(训练题57)已知线段//AD 平面α，且到平面α的距离等于８，点B 是平面α内的一动点，且满足10AB =．若21AD =，则点D 与B 距离的最小值为 17 ．5．(训练题57)已知多项式21x x --整除多项式541ax bx ++．则实数a = 3 ，b5-．6．(训练题57)设[2002]S =++++，其中表示不超过的最大整数.则值等于 242 ．三、(训练题57)(本题满分20分)已知ABC ∆的三内角平分线分别为111,,AA BB CC ．若向量111,,AA BB CC 满足关系1110AA BB CC ++=，试证：ABC ∆为正三角形．四、(训练题57)(本题满分20分)已知数列{},n n a S 表示其前n 项和．若满足关系231n n S a n n +=+-，求数列{}n a 的通项公式n a 的表达式．(122n na n =-) 五、(训练题57)(本题满分20分)已知椭圆的半长轴为a ，半短轴为b ，短轴的一个端点为O ，,P Q 为椭圆上异于点O 的任意两点，OP OQ ⊥．若点O 在线段PQ 上的身影为M ，试求点M 的轨迹．第二试一、(训练题57)(本题满分50分)如图，已知在Rt ABC ∆中，,90,o AC BC C O >∠=为斜边AB 的中点，CH 为斜边AB 上的高，延长CH 到D ，使得,CH DH F =为中线CO 上任意一点，过B 作BE AF ⊥的延长线于E ，连结DE 交BC 于G ．求证：CF GF =．A GEF H O DC B3 / 3 二、(训练题57)(本题满分50分)设0x >．求函数1()[][][][]1x x f x x x x x +=+++的值域．其中[]x 表示不超过x 的最大整数．三、(训练题57)(本题满分50分)圆周上分布着2002个点，现将它们任意地染成白色或黑色，如果从某一点开始，依任一方向绕圆周运动到任一点，所经过的（包括该点本身白点总数恒大于黑点总数，则称该点为好点．为确保圆周上至少有一个好点．试求所染黑点数目的最大值．。
数学奥林匹克高中训练题(12)及答案
数学奥林匹克高中练习题〔12〕第一试一、选择题〔每题6分,共36分〕1．(练习题17)方程11122=---x y y x 所对应的曲线图形是〔D 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕 2．(练习题17)在数列{}n x 中,,7,221==x x 且当n ≥1时,2+n x 等于1+n n x x 的个位数字.那么1995x 等于〔B 〕〔A 〕2 〔B 〕4 〔C 〕6 〔D 〕83．(练习题17)四边形ABCD 的四边长d c b a ,,,满足320320320320a b c b c d c d a d a b -+=⎧⎪-+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩,那么四边形ABCD 一定是〔D 〕 〔A 〕梯形 〔B 〕圆内接四边形 〔C 〕矩形 〔D 〕菱形4．(练习题17)如果n xx ）（32213-的展开式中含常数项,那么正整数n 的最小值是〔B 〕 〔A 〕4 〔B 〕5 〔C 〕6 〔D 〕8 5．(练习题17)[]x 表示不超过x 的最大整数,+∈R c b a ,,,1=++c b a ,记13+=a M + 1313+++cb ,那么[]M 的值为〔B 〕〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕66．(练习题17)如果关于x 的方程,03222=-++a a ax x 至少有一个模等于1的根,那么实数a 的值〔C 〕〔A 〕不存在 〔B 〕有一个 〔C 〕有三个 〔D 〕有四个二、填空题〔每题9分,共54分〕1．(练习题17)求值︒-︒10cos 410cot 3 .2．(练习题17)函数x y πcos 2=(0≤x ≤)2和()R x y ∈=2的图象围成一个封闭的平面图形.那么这个图形的面积是 4 .3．(练习题17)实数y x ,满足1=+y x ,设y y x x S 2622-++=. 那么=min S -5 .4．(练习题17)ABC ∆的面积S 与内角A 均为定值．那么BC 边的长a 的取值范围是)+∞． 5．(练习题17)设由模为1的n 〔2＜n ＜6〕个复数满足下面2条组成一个集合S .〔1〕S ∈1；〔2〕假设,,21S z S z ∈∈那么S z z ∈-θcos 221,其中θ=21argz z . 那么集合S = {1,1,,}i i -- ．6．(练习题17)今有壹角币1张,贰角币1张,伍角币1张,壹元币5张,伍元币2张.那么可以付出不同数目的款额〔不包括不付款的情况〕的种数是 127 ． 第二试一、(练习题17)〔总分值25分〕.,,+∈R c b a 求证：cac c bc b b ab a a ++++++++111≤1 二、(练习题17)〔总分值25分〕设点P 是双曲线C ：=-2222by a x 1〔a ＞0,b ＞0〕上任意一点,过点P 的直线与两渐进线1l ：x a b y =,2l ：x ab y -=分别交于点21,P P ,设λ=21PP P P . 求证：S 21P OP ∆=||412λλ）（+ab 三、(练习题17)〔总分值35分〕在△ABC 的边AB 上任取一点P ,过P 作AC 的平行线交BC 于Q ,过P 作BC 的平行线交AC 于R ,是否存在C 点以外的一个定点M ,使得M R Q C ,,,四点共圆？证实你的结论.四、(练习题17)〔总分值35分〕在公差d ＞0的正项等差数列{}n a ：,,21a a …,n a 3中,任取2+n 个数.试证实其中必存在两个数j i a a ,满足不等式1＜nd a a j i ||-＜2.。
数学奥林匹克高中训练题(19)及答案
数学奥林匹克高中训练题(19)第一试、选择题(本题满分 36分，每小题6分) 1.(训练题 24)对于每一对实数x,y ,函数f 满足方程f (x • y)「f (x)「f (y) -T xy ，且fl 仁•那么，f(n) =n(n =1)的整数n 的个数共有(B)个. (B)1 (C)2 (D) (A)0 2 .(训练题24)有六个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的排法种数为 (A)72 (B)96 (C) 48 (D) 3 .(训练题24)在一次体育比赛中，红白两队各有 5名队员参加，比赛记分办法是： 几名就为本队得几分，且每个队员的得分均不同，得分少的队获胜，则可能获胜的分数是 3 (A).以上都不对队员在比赛中获第(C).27 (A)29 (B)28 4.(训练题24)现有下面四个命题： ① 底面是正多边形，其余各面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥. ② 底面是正三角形，相临两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ③ 有两个面互相平行，其余四个面都是全等的等腰梯形的六面体是正四棱台. ④ 有两个面互相平行，其余各个面是平行四边形的多面体是棱柱. 其中，正确的命题的个数是 (A) 3 (B) (D). 2 (C) (C) (D) (D) 13 5.(训练题24)设f : N > N , 且对所有正整数 有 f(n 1) f(n), f( f( rj) 3n .f (1997)的值为(C). (A)1997 (B)1268 (C)3804 (D)5991-训练题24唱爲:;胯豐 的解(x, y)共有(B)组. (A)4 二、填空题 (B)2 (C)1 (D) (本题满分 54分，每小题9分) 1.(训练题 24)数列｛a n ｝的前 14 项是 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33,34, 35, 38，….按此规律，则2.(训练题24)函数f (x)二(長- ~^)( J x T + r 1——)丄的值域是v xJ x —1 x(0,1)3.(训练题24)方程x^1 x ； /I 2 x.二 1 远的解是—2 ■ 36 714.（训练题24）若方程x2（^2i）x 3m -i =0（m R）有一实根、一虚根，则此虚根是2i—25 .（训练题24）平面上有四点A, B, C, D,其中代B为定点，且AB = J3,C, D为动点，且AD DC =|BCT ，记S咎BD=T为也BCD的面积.贝U S2+T2的取值范围是2、「3 -3 2 2 7S2T2：4 811 1 16.（训练题24）使不等式——- - a-1995—对一切自然数n都成立的最小自然数n+1 n+2 2n+1 3a 是1997 ______ .第二试2 2一、（训练题24）（本题满分25分）已知F1, F2是椭圆笃=1（a b 0）的左、右焦点，c为半焦距，a b弦AB过焦点F2•求■ F1AB的面积的最大值.n、（训练题24）（本题满分25分）若X j・0,二人=1, x, x-i, n，求证:三、（训练题24）（本题满分35分）已知ABC是等腰三角形，AB=AC,CD是腰AB上的高线，CD1的中点为M,AE _ BM于E, AF _CE于F •求证：AF _丄AB .3四、（训练题24）（本题满分35分）46个国家派代表队参加一次国际竞赛，比赛共4个题，结果统计如下：做对第一题的选手235人，做对第一、二的选手59人，做对第一、三的选手29人，做对第一、四的选手15人，全做对的3人•存在这样的选手，他做对了前三题，但没有做对第四题•求证：存在一个国家，这个国家派的选手中至少有4个人，他们只做对了第一题.。
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高中数学奥林匹克训练题
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1． 已知函数1
x a
y x a -=-
--的反函数的图象关于点(1,3)-成中心对称图形，则实数a 等于(A)．
(A) 2 (B)3 (C)-2 (D)-4
2． 我们把离心率等于黄金比21
5-的椭圆称之为“优美椭圆”．设a b
y a x (12222=+＞b ＞0)为优美椭
圆，,F A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于(C)．
(A)60o (B)75o (C)90o (D)120o
3． 已知ABC ∆三边的长分别是,,a b c ，复数12,z z 满足1212,,z a z b z z c ==+=，那么复数2
1
z z 一定是(C)．
(A)是实数 (B)是虚数 (C)不是实数 (D)不是纯虚数
4． 函数2152
222
341
1
(1)6()1x x C x x P f x C C C ++-⋅-⋅=+++的最大值是(D)． (A)20 (B)10 (C)10- (D) 20-
5． 以O 为球心，4为半径的球与三条相互平行的直线分别切于,,A B C 三点．已知4=∆BOC S ，
16ABC S ∆>，则ABC ∠等于(B)．
(A)
12π (B)512π (C)712π (D)1112
π 6． 在集合{1,2,3,
,10}M =的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，
那么这族子集最多有(B)．
(A)10
2个 (B)9
2个 (C)210个 (D) 2
9个
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中线所在直线方程分别是31y x =+和2y mx =+，则实数m 的值是
3
124
或 ．
A 1 A C 1
B 1
B
C
D
2． 设()(0,1)1x
x a f x a a a =
>≠+，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则函数]2
1
)([21)([--+-x f x f 的值域是 {1,0}- ．
3．设,,a b c 是直角三角形的三条边长，c 为斜边长，那么使不等式
kabc b a c a c b c b a ≥+++++)()()(222对所有直角三角形都成立的k 的最大值是
4． 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都是1，截面1BCD 在棱1AA 上的交点为D ，设这个截面与底面ABC 和三个侧面111111,,ABB A BCC B CAAC 所成的二面角依次为1234,,,αααα，若1234cos cos cos cos αααα+=+，则
5． 已知()f x 是定义域在实数集的函数,且(2)[1()]1().(1)2f x f x
f x f +-=+=若，则
(1949)f 2 ．
6． 设1x 是方程12cos 3sin 3-=-a x x 的最大负根，2x 是方程2
2
2cos 2sin x x
a -=的最小正根，那么，使不等式12x x ≤成立的实数a 的取值范围是 1
122
a a ≤≤-=或 ．
第二试
一、 (本题满分25分)某眼镜车间接到一任务，需要加工6000个A 型零件和2000个B 型零件，这个
车间有214名工人，他们每一个人加工5个A 型零件的时间可加工3个B 型零件．将这些人分成两组同时工作，每组加工同一型号的零件，为了在最短的时间完成，应怎样分组？77
二、 (本题满分25分)已知一个四边形的各边长都是整数，并且任意一边的长都能整除其余三边之
和．求证：这个四边形必有两边相等．
三、 (本题满分35分)实数数列1231997,,,
,a a a a 满足： 1223199619971997a a a a a a -+-++-=．若数列
{}n b 满足：12(1,21997)k
k a a a b k k
++
=
=．求199719963221b b b b b b -++-+- 的最
大可能值．
四、 (本题满分35分)给定两个七棱锥，它们有公共的底面1234567A A A A A A A ，顶点12,P P 在底面的两
侧．现将下述线段中的每一条染红，蓝两色之一：12,P P ，底面上的所有的对角线和所有的侧棱．求证：图中心存在一个同色三角形．。