梯形的概念、性质与判定

梯形的概念、性质与判定中考要求基本要求：会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定略高要求：掌握梯形的概念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题. 例题精讲相关概念定理1．定义：四边形中还有一类特殊的四边形，它们的一组对边平行而另一组对边不平行，这样的特殊四边形就叫做梯形.研究梯形主要是研究两类：等腰梯形和直角梯形.A B C DA B C D A D B C ⎫⇒⎬⎭∥ 叫做梯形.2．等腰梯形A B C D A D B C A D B C ⎫⎪=⇒⎬⎪⎭∥峛.A B C DD A B C B AA D CBCD A C B D∠=∠∠=∠=是等腰梯形，，，3． 直角梯形A B C DC B A B A B CD A D B C ⎫⎪⊥⇒⎬⎪⎭∥ 是直角梯形.4．平行线等分线段定理1234l l l l A B B C C D ⎫⇒⎬==⎭∥∥∥11111A B B C C D==.5．中位线定理C B A D底角腰底高B CA DCA B Dl 4l 3l 2l1D 1C 1B 1A 1DC B A⑴ 三角形中位线定理 ABC ∆中：1122AM BM MN BC MN BC AN CN =⎫⇒=⎬=⎭∥，.⑵ 梯形中位线定理 梯形ABCD 中：AB CD AM DM BN CN ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭∥()12MN AB CD MN AB CD =+∥∥，二、等腰梯形1. 等腰梯形的性质①等腰梯形同一底边上的两个角相等； ②等腰梯形的两条对角线相等．③等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴；2. 等腰梯形的判定①同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形． ②对角线相等的梯形是等腰梯形．模块一 梯形的概念【例1】 梯形有关概念：一组对边平行而另一组对边______的四边形叫做梯形，梯形中平行的两边叫做底，按______分别叫做上底、下底(与位置无关)，梯形中不平行的两边叫做______，两底间的______叫做梯形的高．一腰垂直于底边的梯形叫做______；两腰______的梯形叫做等腰梯形．【例2】 等腰梯形的性质：等腰梯形中______的两个角相等，两腰______，两对角线______，等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，______就是它的对称轴．【例3】 等腰梯形的判定：______的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角______的梯形是等腰梯形．B NC MA B N C A MD【例4】梯形的对角线（）A．有可能被交点所平分B．不可能被交点所平分C．不相等 D．不可能互相垂直【例5】下列叙述中，正确的是（）A．只有一组对边平行的四边形是梯形B．矩形可以看作是一种特殊的梯形C．梯形有两个内角是锐角，其余两个角是钝角D．梯形的对角互补【例6】有两个角相等的梯形是（）A．等腰梯形B．直角梯形C．一般梯形D．直角梯形和等腰梯形【例7】在梯形中，以下结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④两底相等，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个D．4个【例8】梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）A．4：6：2：8 B．2：4：6：8C．4：2：8：6 D．8：4：2：6【例9】若一个四边形的四个角的比为2：4：5：7，则这个四边形是（）A．平行四边形B．梯形C．菱形D．一般四边形模块二特殊梯形的性质和判定【例10】一梯形的两条对角线长分别为5和12，且对角线互相垂直，则这个梯形的面积为（）。

A．60 B．30 C．40 D．50【例11】 已知: 如图, 在梯形ABCD 中,AD BC ∥, AB CD =, E 是底边BC 的中点, 连接AE DE ，. 求证:ADE ∆是等腰三角形.【例12】如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，以下四个结论：①，②OA=OD ，③，④S =S ，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③④D ．①②④【例13】课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为4502cm ，则两条对角线所用的竹条至少需( )．A ．cm 230B ．30cmC ．60cmD ．cm 260【例14】等腰梯形上底长为3cm ，腰长为4cm ，其中锐角等于60°，则下底长是______．【例15】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝AD ＝1，∠B ＝60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC ＋PD 的最小值为______．DE CABDCB ABC ∠=∠BDC BCD ∠=∠AOB ∆DOC ∆ODCBA【例16】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，∠BCD ＝60°，AD ＝2，AC 平分∠BCD ，则BC 长为( )．A ．4B ．6C ．34D ．33【例17】如图，□ABCD 是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是( )．A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶5D ．4∶7【例18】如图，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，60DAB ∠=︒，AC 平分DAB ∠，且AC =梯形ABCD 的周长等于________.DCBA已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，延长CB到E，使EB＝AD，连结AE．求证：AE＝CA．【例20】如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；(2)若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．【例21】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，∠C＝60°，AE⊥BD于点E，AE＝1，求梯形ABCD的高．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．(1)求证：四边形MENF是菱形；(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论模块三梯形中位线【例23】等腰梯形中位线长6厘米，腰长5厘米，则它的周长是（）A．22厘米B．20厘米C．18厘米D．16厘米【例24】如果梯形的上底长为4，中位线长为5，那么此梯形的下底长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【例25】图（一）为一梯形ABCD，其中∠C=∠D=90°，且AD=6，BC=18，CD=12．若将AD迭合在BC上，出现折线MN，如图（二）所示，则MN的长度为（）A ．10B ．12C ．15D ．21【例26】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，中位线EF=12AB ，下列结论：①EF=（AD+BC ）；②∠AFD+∠BFC=90°；③S △ABF =12S 梯形ABCD ；④BF 平分∠ABC ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例27】如果一个梯形的上底长是4，下底长是6，那么这个梯形被中位线分成的两部分面积之比为（ ）A ．4：6B ．5：6C ．9：10D ．9：11【例28】梯形的中位线长为15cm ，一条对角线把中位线分成两段，两段之比为3：2，那么梯形下、上底的长为（ ）A ．18cm ，12cmB ．16cm ，14cmC ．20cm ，10cmD ．22cm ，10cm【例29】FE DCB A如图，已知：等腰梯形ABCD ，高AG 、DH=2，中位线EF=5，∠B=45°，求等腰梯形ABCD 的周长．【例30】如图，等腰梯形ABCD 的周长是104cm ，AD ∥BC ，且AD ：AB ：BC=2：3：5，则这个梯形的中位线的长是（ ）A ．72.8cmB ．51cmC ．36.4cmD ．28cm【例31】等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则它的高为（ ）A ．4cm B． C ．8cmD．【例32】如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF=3，则梯形ABCD 的周长为（ ）A ．9B ．10.5C ．12D ．15G HFED CBA【例33】等腰梯形的周长为80cm ，高为12cm ，中位线长与腰长相等，则它的面积为（ ）2cmA ．300B ．120C ．240D ．480【例34】一梯形的中位线长与腰长相等，则这个梯形是（ ）A 、等腰梯形B 、直角梯形C 、一般梯形D 、无法确定【例35】在如图所示的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=5，BC=11，①中11A B 是连接两腰中点的线段，易知118A B =，②中1122A B A B ，是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出1122A B A B +的值…，照此规律下去，③中1122A B A B ，，…1010A B 是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则1122A B A B ，，…1010A B 的值为（ ）A ．50B ．80C ．96D ．100。