2019年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)
做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分 10 分）[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
（t 为参数），以坐
，则|z|＝（ ）
A．
B．2
C．
D．3
3．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半
轴重合，若角 α 终边过点 P（2，﹣1），则 sin（π﹣2α）的值为（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
4．（5 分）设 x，y 满足约束条件
，则 z＝3x+y 的最大值为（ ）
20．（12 分）设抛物线 C：y2＝4x，直线 l：x﹣my﹣2＝0 与 C 交于 A，B 两点． （1）若|AB|＝4 ，求直线 l 的方程； （2）点 M 为 AB 的中点，过点 M 作直线 MN 与 y 轴垂直，垂足为 N．求证：以 MN 为直
径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．
21．（12 分）已知函数 f（x）＝（ax+2）ex﹣x﹣2，其中 a＞﹣2． （1）当 a＝0 时，求函数 f（x）在[﹣1，0]上的最大值和最小值； （2）若函数 f（x）为 R 上的单调函数，求实数 a 的取值范围．
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系
与距离．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥，画出直观
图，数形结合可得答案．
【解答】解：该几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥，如图所示，
底面正方形的边长为 4，高为 5 棱锥的高为 3，
标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ，
直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A，B．
（1）求曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若点 P 为直线 l 与 x 轴的交点，求
的取值范围．
[选修 4-5：不等式选讲]
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23．设函数 f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，g（x）＝﹣x2+mx+1． （1）当 m＝﹣4 时，求不等式 f（x）＜g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）＜g（x）在[﹣2，﹣ ]上恒成立，求实数 m 的取值范围．
，则|z|＝（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【考点】A8：复数的模． 菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用商的模等于模的商求解．
【解答】解：∵z＝
，
∴|z|＝|
|＝
．
故选：B． 【点评】本题考查复数模的求法，是基础题．
3．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半 轴重合，若角 α 终边过点 P（2，﹣1），则 sin（π﹣2α）的值为（ ）
A．7
B．9
C．13
D．15
5．（5 分）己知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，在区间（﹣∞，0]为增函数，且 f（3）＝0，
则不等式 f （1﹣2x）＞0 的解集为（ ）
A．（﹣l，0）
B．（﹣1，2）
C．（0，2）
D．（2，+∞）
6．（5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1．粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱
则 sin2α＝2sinαcosα＝2• •（﹣ ）＝﹣ ，
∴sin（π﹣2α）＝sin2α＝﹣ ， 故选：A． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题．
4．（5 分）设 x，y 满足约束条件
，则 z＝3x+y 的最大值为（ ）
A．7
B．9C．ຫໍສະໝຸດ 3D．15【考点】7C：简单线性规划． 菁优网版权所有
交于 P，Q 两点，PQ⊥PF1，且|QF1|＝2|PF1|，则△PF1F2 与△QF1F2 的面积之比为（ ）
A．2﹣
B． ﹣1
C． +l
D．2+
12．（5 分）己知函数
，若 x1≠x2，且 f（x1）＝f（x2），则|x1﹣x2|的最
大值为（ ）
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A．1
B．
C．2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
2019 年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{1，2，3}，则 A∩B＝（ ）
A．{1}
B．{2}
C．{1，2}
D．{1，2，3}
2．（5 分）设 z＝
则使得 BE≤AF≤AE 的概率约为、（参考数据：
2.236）（ ）
A．0.236 9．（5 分）己知直线
B．0.382 是函数 f（x）＝
C．0.472
D．0.618 与的图象的一条对称
轴，为了得到函数 y＝f（x）的图象，可把函数 y＝sin2x 的图象（ ） A．向左平行移动 个单位长度
B．向右平行移动 个单位长度
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
6．（5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1．粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱
锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
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A．64
B．68
C．80
D．109
【考点】L!：由三视图求面积、体积． 菁优网版权所有
13．（5 分）曲线
在点（1，f（1））处的切线的斜率为
D．2 ．
14．（5 分）已知平面向量 ， 满足| |＝2，| |＝4，|2 + |＝ ，则 与 的夹角为
．
15．（5 分）己知 F1，F2 是双曲线的两个焦点，以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线的两条渐
近线交于 A，B，C，D 四个点，若这四个点与 F1，F2 两点恰好是一个正六边形的顶点，
（l）取线段 AB＝2，过点 B 作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取 BC＝ AB＝1，连接
AC；
（2）以 C 为圆心，BC 为半径画弧，交 AC 于点 D；（3）以 A 为圆心，以 AD 为半径画
弧，交 AB 于点 E．则点 E 即为线段 AB 的黄金分割点．若在线段 AB 上随机取一点 F，
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2019 年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{1，2，3}，则 A∩B＝（ ）
A．{1}
B．{2}
C．{1，2}
C．向左平行移动 个单位长度
D．向右平行移动 个单位长度
10．（5 分）在长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中，AB＝2，BC＝ ，CC1＝2 ，M 为 AA1 的
中点，则异面直线 AC 与 B1M 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）己知 F1，F2 是椭圆
的左，右焦点，过 F2 的直线与椭圆
[9.8，10.2]
（10.2，10.6]
频数
8
24
16
一年内所需维护
2
0
1
次数
（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指 标 Y 的平均值（保留两位小数）； （2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取 6 件产品，再从 6 件产品中随机抽取 2 件产 品，求这 2 件产品的指标 Y 都在[9.8，10.2]内的概率； （3）已知该厂产品的维护费用为 300 元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该 厂产品时每件多加 100 元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和 一年的维护支出之和称为消费费用．假设这 48 件产品每件都购买该服务，或者每件都不
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购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判 断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？ 19．（12 分）已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，PD＝DC，AD⊥PC． （1）求证：AC＝AP； （2）若平面 APD⊥平面 ABCD，∠ADC＝120°；，AD＝DC＝4，求点 B 到平面 PAC 的 距离．
【考点】3P：抽象函数及其应用． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得 f（x）在[0，+∞）上为减函数，
又由 f（3）＝0，分析可得 f （1﹣2x）＞0⇒f （1﹣2x）＞f（3）⇒|1﹣2x|＜3，解可得 x
D．{1，2，3}
【考点】1E：交集及其运算． 菁优网版权所有
【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{1，2，3}；
∴A∩B＝{1，2}．
故选：C．
【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．
2．（5 分）设 z＝
锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．64
B．68
C．80
D．109
2019-2020学年广东省深圳市高考数学模拟考试(文科)试题Word版含解析
2019-2020学年广东省深圳市高考模拟考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣2，1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数f（x）=，则f（﹣2016）=（）A．e2B．e C．1 D．4．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A．10 B．11 C．12 D．135．已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），sinC：sinA=（）A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：26．已知=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），若（﹣2）⊥，则||=（）A．B．C．D．7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C．D．8．自圆C：（x﹣3）2+（y+4）2=4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（）A．8x﹣6y﹣21=0 B．8x+6y﹣21=0 C．6x+8y﹣21=0 D．6x﹣8y﹣21=09．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞810．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B．C．D．211．设F为双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．312．若直线l：y=kx﹣1与曲线C：f（x）=x﹣1+没有公共点，则实数k的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数（x∈R）为奇函数，则ab= ．14．已知实数x，y满足，目标函数z=3x+y+a的最大值为4，则a= ．15．已知函数f（x）=asinxcosx﹣sin2x+的一条对称轴方程为x=，则函数f（x）的最大值为．16．当x∈（0，1）时，函数f（x）=e x﹣1的图象不在函数g（x）=x2﹣ax的下方，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB=﹣bsin（A+）．（1）求A；（2）若△ABC的面积S=c2，求sinC的值．18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi （单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得， =20， =184， =720．1）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程；2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： =， =．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，点D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣BDC的体积．20．已知F1，F2分别是椭圆C：的两个焦点，且|F1F2|=2，点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与以原点为圆心，b为半径的圆相切于第一象限，切点为M，且直线l与椭圆交于P、Q两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值；如不是，说明理由．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p ＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；（2）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．2019-2020学年广东省深圳市高考模拟考试数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣2，1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【分析】把A中元素代入y=|x|﹣3中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把x=﹣2，﹣1，0，1，2，3，分别代入y=|x|﹣3得：y=﹣3，﹣2，﹣1，0，即B={﹣3，﹣2，﹣1，0}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：C．2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，求出z2，然后代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，∴z2=﹣2﹣i．∴==，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．3．已知函数f（x）=，则f（﹣2016）=（）A．e2B．e C．1 D．【考点】分段函数的应用．【分析】由已知条件利用分段函数的性质先由函数的周期性求出f，再由指数的性质能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴当x＞2时，函数是周期函数，周期为5，f（﹣2016）=f=f（1）=e，故选：B．4．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】茎叶图．【分析】利用平均数求出m的值，中位数求出n的值，解答即可．【解答】解：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3又乙组学生成绩的中位数是89，∴n=9，∴m+n=12．故选：C．5．已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），sinC：sinA=（）A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：2【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由3bcosC=c（1﹣3cosB）．利用正弦定理可得3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），化简整理即可得出．【解答】解：由正弦定理，设，∵3bcosC=c（1﹣3cosB）．∴3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），化简可得 sinC=3sin（B+C）又A+B+C=π，∴sinC=3sinA，∴因此sinC：sinA=3：1．故选：C．6．已知=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），若（﹣2）⊥，则||=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】求出向量﹣2，利用向量的垂直，数量积为0，列出方程求解向量，然后求解向量的模即可．【解答】解： =（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），﹣2=（﹣2﹣2k，7），（﹣2）⊥，可得：﹣2﹣2k+14=0．解得k=6，=（6，﹣3），所以||==3．故选：A．7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可．【解答】解：由三视图可得原几何体如图，∵PO⊥底面ABC，∴平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC．该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，∠ACB为直角．所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．PC=，∴，，∴该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．故选：C．8．自圆C：（x﹣3）2+（y+4）2=4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（）A．8x﹣6y﹣21=0 B．8x+6y﹣21=0 C．6x+8y﹣21=0 D．6x﹣8y﹣21=0【考点】轨迹方程．【分析】由题意画出图象，根据条件和圆的切线性质列出方程化简，求出点P的轨迹方程【解答】解：由题意得，圆心C（3，﹣4），半径r=2，如图：因为|PQ|=|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2+r2=|PC|2，所以x2+y2+4=（x﹣3）2+（y+4）2，即6x﹣8y﹣21=0，所以点P在直线6x﹣8y﹣21=0上，故选D．9．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞8【考点】程序框图．【分析】运行程序框图，确定条件．【解答】解：如图：K1098s11120可知，10，9时条件成立，8时不成立．故选D．10．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B．C．D．2【考点】球内接多面体．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=a，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故选：D．11．设F为双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得交点坐标，利用点到直线的距离公式可知： =，即可求得4a2=3c2，利用双曲线的离心率即可求得双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）渐近线方程y=±x，由OF的垂直平分线为x=，将x=，代入y=x，则y=，则交点坐标为（，），由（，），到y=﹣x，即bx+ay=0的距离d===，解得：c=2b=2，即4a2=3c2，则双曲线的离心率e==，故选：B．12．若直线l：y=kx﹣1与曲线C：f（x）=x﹣1+没有公共点，则实数k的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．【考点】函数的图象．【分析】直线l：y=kx﹣1与曲线f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，可化为k=1+，设g（x）=1+，求导，研究此函数的单调性即可解决【解答】解：若直线l：y=kx﹣1与曲线f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，∵x=0时，上述方程不成立，∴x≠0则x﹣1+=kx﹣1可化为k=1+，设g（x）=1+，∴g′（x）=∴g′（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上g′（x）＞0，在（﹣1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，∴g（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递减，g（﹣1）=1﹣e，而当x→+∞时，g（x）→1，∴g（x）的图象：∴g（x）∈（﹣∞，1﹣e]∪（1，+∞）无解时，k∈（1﹣e，1]，=1，∴kmax故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数（x∈R）为奇函数，则ab= 2016 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用f（0）=0，即可得出结论．【解答】解：∵函数（x∈R）为奇函数，∴f（0）==0，∴ab=2016，故答案为2016．14．已知实数x，y满足，目标函数z=3x+y+a的最大值为4，则a= ﹣3 ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意，不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），求出三角形的三个顶点的坐标，目标函数z=3x+y+a的几何意义是直线的纵截距，由此可求得结论．【解答】解：由题意，不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为（0，2），（1，0），（，2）目标函数z=3x+y的几何意义是直线的纵截距由线性规划知识可得，在点A（，2）处取得最大值4．3×+2+a=4，解得a=﹣3故答案为：﹣3．15．已知函数f（x）=asinxcosx﹣sin2x+的一条对称轴方程为x=，则函数f（x）的最大值为 1 ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】本题运用离对称轴远近相同的点函数值相等求出a值，再求三角函数的最值．【解答】解：f（x）=，∵是对称轴，f（0）=f（），∴，∴，最大值为1．故答案为1．16．当x∈（0，1）时，函数f（x）=e x﹣1的图象不在函数g（x）=x2﹣ax的下方，则实数a 的取值范围是[2﹣e，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由已知得f（x）﹣g（x）=e x﹣x2+ax﹣1≥0对x∈（0，1）恒成立，从而， =（）=h（x）对于x∈（0，1）恒成立，进而a≥h（x）max（e x﹣x﹣1），由导数性质得h（x）是增函数，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵当x∈（0，1）时，函数f（x）=e x﹣1的图象不在函数g（x）=x2﹣ax的下方，∴f（x）﹣g（x）=e x﹣x2+ax﹣1≥0对x∈（0，1）恒成立，∴e x﹣x2+ax﹣1≥0，∴=h（x）对于x∈（0，1）恒成立，∴a≥h（x），max=（）（e x﹣x﹣1），令t（x）=e x﹣x﹣1，x∈（0，1），t′（x）=e x﹣1＞0对x∈（0，1）恒成立，∴t（x）≥t（0）=0，∴h′（x）＞0恒成立，h（x）是增函数，=h（1）=，∴h（x）max∴实数a的取值范围是[2﹣e，+∞）．故答案为：[2﹣e，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB=﹣bsin（A+）．（1）求A；（2）若△ABC的面积S=c2，求sinC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得tanA=﹣，结合范围A∈（0，π），即可计算求解A 的值．（2）由（1）可求sinA=，利用三角形面积公式可求b=，利用余弦定理可求a=，由正弦定理即可计算求解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵asinB=﹣bsin（A+）．∴由正弦定理可得：sinAsinB=﹣sinBsin（A+）．即：sinA=﹣sin（A+）．可得：sinA=﹣sinA﹣cosA，化简可得：tanA=﹣，∵A∈（0，π），∴A=…6分（2）∵A=，∴sinA=，∵由S=c2=bcsinA=bc，可得：b=，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=7c2，可得：a=，由正弦定理可得：sinC=…12分18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi （单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得， =20， =184， =720．1）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程；2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： =， =．【考点】线性回归方程．【分析】1）利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a，然后求出线性回归方程： =bx+a；2）通过x=7，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．【解答】（本小题满分12分）解：1）由题意知n=10，，又，，由此得， =2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求线性回归方程为=0.3x﹣0.4．2）将x=7代入回归方程，可以预测该家庭的月储蓄约为=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，点D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣BDC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题设证明BC⊥平面ACC1A1，可得DC1⊥BC，再由已知可得∠ADC=∠A1DC1=45°，得∠CDC1=90°，即C1D⊥DC，结合线面垂直的判定得DC1⊥平面BDC，从而得到平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）由等积法可得三棱锥C1﹣BDC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．∵∠ADC=∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°，即C1D⊥DC．∵DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又∵DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC．（Ⅱ）解：由，得AA1=4，所以AD=2，所以．所以Rt△CDC1的面积，所以．20．已知F1，F2分别是椭圆C：的两个焦点，且|F1F2|=2，点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与以原点为圆心，b为半径的圆相切于第一象限，切点为M，且直线l与椭圆交于P、Q两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值；如不是，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由|F1F2|=2，点在该椭圆上，求出a=2，，由此能出椭圆C的方程．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），推导出．连接OM，OP，由相切条件推导出，由此能求出|F2P|+|F2Q|+|PQ|为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2分别是椭圆C：的两个焦点，且|F1F2|=2，点在该椭圆上．由题意，得c=1，即a2﹣b2=1，①又点在该椭圆上，∴，②由①②联立解得a=2，，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，∴．连接OM，OP，由相切条件知：，∴，∴．同理可求得，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=2+2=4为定值．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，∴函数g（x）在（0，2）递减；（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而f′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p ＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，利用极坐标与直角坐标的互化公式即可化为直角坐标方程．由x=﹣2+t，可得y=x﹣2=﹣4+t，即可得出直线l的参数方程．（2）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），即可化为直角坐标方程．把直线l的参数方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1﹣t2|=．利用|PQ|2=|MP|•|MQ|，即可得出．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，化为直角坐标方程：x﹣y﹣2=0．∵x=﹣2+t，∴y=x﹣2=﹣4+t，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），可得直角坐标方程：y2=2px．把直线l的参数方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．∴t1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32．不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1﹣t2|===．∵|PQ|2=|MP|•|MQ|，∴8p2+32p=8p+32，化为：p2+3p﹣4=0，解得p=1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；（2）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）求得不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集，再结合不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求得m的值．（2）由题意可得g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+，再利用绝对值三角不等式求得g（x）的最小值为4，可得4≤2y+恒成立，再利用基本不等式求得2y+的最小值为2，可得2≥4，从而求得a的范围．【解答】解：（1）∵不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），即|2（x+）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．由|2x|≥2m+1，可得2x≥2m+1，或2x≤﹣2m﹣1，求得 x≥m+，或x≤﹣m﹣，故|2（x+）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣m﹣]∪[m+，+∞），故有m+=2，且﹣m﹣=﹣2，∴m=．（2）∵不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，∴|2x﹣1|≤2y++|2x+3|恒成立，即|2x﹣1|﹣|2x+3|≤2y+恒成立，故g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+．∵|2x﹣1|﹣|2x+3|≤|2x﹣1﹣（2x+3）|=4，∴4≤2y+恒成立，∵2y+≥2，∴2≥4，∴a≥4，故实数a的最小值为4．。
2019年广东省深圳市高2019届高2016级文科数学一模试卷
2019年广东省深圳市高2016级数学一模试卷文科数学试题及详细解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合{|12}A x x =-剟,{1B =,2,3},则(A B = )A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}2.(5分)设221iz i-=+,则||(z = )B.2D.33.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,设角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,若角α终边过点(2,1)P -,则sin(2)πα-的值为( ) A.45-B.35-C.35D.454.(5分)设x ,y 满足约束条件030426x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩剟剟…,则3z x y =+的最大值为( ) A.7 B.9 C.13 D.155.(5分)己知()f x 是定义在R 上的偶函数,在区间(-∞,0]为增函数,且f (3)0=,则不等式f (12)0x ->的解集为( )A.(,0)l -B.(1,2)-C.(0,2)D.(2,)+∞6.(5分)如图所示,网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.64B.68C.80D.1097.(5分),底面半径为2,则该圆锥的外接球表面积为( )A.254π B.16π C.25π D.32π8.(5分)古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论,利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点,具体方法如下：()l 取线段2AB =,过点B 作AB 的垂线,并用圆规在垂线上截取112BC AB ==,连接AC ； (2)以C 为圆心,BC 为半径画弧,交AC 于点D ；(3)以A 为圆心,以AD 为半径画弧,交AB 于点E .则点E 即为线段AB 的黄金分割点.若在线段AB 上随机取一点F ,则使得BE AF AE 剟的概率约为、( 2.236)(≈ )A.0.236B.0.382C.0.472D.0.6189.(5分)己知直线6x π=是函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<与的图象的一条对称轴,为了得到函数()y f x =的图象,可把函数sin 2y x =的图象( )A.向左平行移动6π个单位长度 B.向右平行移动6π个单位长度C.向左平行移动12π个单位长度D.向右平行移动12π个单位长度10.(5分)在长方体ABCD 一1111A B C D 中,2AB =,BC =1CC =M 为1AA 的中点,则异面直线AC 与1B M 所成角的余弦值为( )B.23C.3411.(5分)己知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左,右焦点,过2F 的直线与椭圆交于P ,Q 两点,1PQ PF ⊥,且11||2||QF PF =,则△12PF F 与△12QF F 的面积之比为( )A.21lD.2+12.(5分)己知函数,0()1,0xlnx x f x x x >⎧=⎨+⎩…,若12x x ≠,且12()()f x f x =,则12||x x -的最大值为()A.1C.2D.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.(5分)曲线1x y e x=-在点(1,f (1))处的切线的斜率为 . 14.(5分)已知平面向量a ,b 满足||2a =,||4b =,|2|43a b +=,则a 与b 的夹角为 . 15.(5分)己知1F ,2F 是双曲线的两个焦点,以线段12F F 为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A ,B ,C ,D 四个点,若这四个点与1F ,2F 两点恰好是一个正六边形的顶点,则该双曲线的离心率为 .16.(5分)在ABC ∆中,150ABC ∠=︒,D 是线段AC 上的点,30DBC ∠=︒,若ABC ∆当BD 取到最大值时,AC = .三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知14a =,公差0d >,4a 是2a 与8a 的等比中项. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列1{}nS 前n 项和为n T . 18.(12分)工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测,一共抽取了48件产品,并得到如下统计表.该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关,具体见表.(1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表,用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值(保留两位小数)；(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品,再从6件产品中随机抽取2件产品,求这2件产品的指标Y 都在[9.8,10.2]内的概率；(3)已知该厂产品的维护费用为300元/次.工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元,该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这48件产品每件都购买该服务,或者每件都不购买该服务,就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用,并以此为决策依据,判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19.(12分)已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形,PD DC =,AD PC ⊥. (1)求证：AC AP =；(2)若平面APD ⊥平面ABCD ,120ADC ∠=︒；,4AD DC ==,求点B 到平面PAC 的距离.20.(12分)设抛物线2:4C y x =,直线:20l x my --=与C 交于A ,B 两点.(1)若||AB =求直线l 的方程；(2)点M 为AB 的中点,过点M 作直线MN 与y 轴垂直,垂足为N .求证：以MN 为直径的圆必经过一定点,并求出该定点坐标.21.(12分)已知函数()(2)2x f x ax e x =+--,其中2a >-. (1)当0a =时,求函数()f x 在[1-,0]上的最大值和最小值； (2)若函数()f x 为R 上的单调函数,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 与曲线C 交于不同的两点A ,B .(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P 为直线l 与x 轴的交点,求2211||||PA PB +的取值范围. [选修4-5：不等式选讲]23.设函数()|1||2|f x x x =++-,2()1g x x mx =-++. (1)当4m =-时,求不等式()()f x g x <的解集；(2)若不等式()()f x g x <在[2-,1]2-上恒成立,求实数m 的取值范围.2019年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 【解答】解：{|12}A x x =-剟,{1B =,2,3}；{1A B ∴=,2}.故选：C . 【解答】解：221iz i-=+,22|22|||||21|1|i i z i i --∴====++. 故选：B .【解答】解：角α的顶点与原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边过点(2,1)P -, 2x ∴=,1y =-,||r OP==sin y r α∴==,cos x r α==, 则4sin 22sin cos 2()555ααα==-=-,4sin(2)sin 25παα∴-==-,故选：A .【解答】解：由x ,y 满足约束条件030426x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩剟剟…,作出可行域如图,化目标函数3z x y =+为3y x z =-+,由图可知,当直线3y x z =-+过(3,4)B 时,直线在y 轴上的截距最大, 此时z 有最大值为33413⨯+=. 故选：C .【解答】解：根据题意,()f x是定义在R上的偶函数,在区间(一∞,0]为增函数,则函数()f x在[0,)+∞上为减函数,又由f(3)0=,则不等式f(12)0x f->⇒(12)x f->(3)|12|3x⇒-<,解可得：12x-<<,即不等式的解集为(1,2)-；故选：B.【解答】解：该几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥,如图所示,底面正方形的边长为4,高为5棱锥的高为3,∴该几何体的体积为：1445443643⨯⨯-⨯⨯⨯=,故选：A.【解答】解：如图,CB=,2BE=,可得1CE=,取CB中点D,作DO CB⊥交CE延长线于O,则O为ABC∆的外心,也即圆锥外接球的球心,设OE x =,则1OC x =+,OB = 22(1)4x x ∴+=+,得32x =, ∴外接球半径52R =, ∴254254S ππ=⨯=球. 故选：C .【解答】解：由勾股定理可得：AC 1CD =,则1 1.236AD =≈, 则 1.236AE =,20.764BE AE =-=, 所以0.764 1.236AF 剟, 由几何概型中的线段型可知： 使得BE AF AE 剟的概率约为1.2360.7640.2362-=,故选：A .【解答】解：令22x k πϕπ+=+,由6x π=是此方程的一个解,则6k πϕπ=+,又||2πϕ<, 所以6πϕ=,即()sin(2)sin 2()612y f x x x ππ==+=+,所以为了得到函数()y f x =的图象,可把函数sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度,故选：C .【解答】解：以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,则A 0),(0C ,2,0),1B,M,∴(AC =0),1(0B M =,2-,,设异面直线AC 与1B M 所成角为θ, 则11||2cos 3||||66AC B M AC B M θ===. ∴异面直线AC 与1B M 所成角的余弦值为23. 故选：B .【解答】解：可设1||PF t =,11||2||2QF PF t ==, 由椭圆的定义可得2||2PF a t =-,2||22QF a t =-, ||43PQ a t =-,由22211||||||PQ PFQF +=,即222(43)4a t tt -+=, 即有43a t -=,解得t =,则△12PF F 与△12QF F 的面积之比为12 12142231||||23333 2182321||||sin302223333a aPF PFQFQF a a+++=-︒++2==故选：D.【解答】解：不妨设：12x x>,由12()()f x f x=,要使12||x x-最大,转化为：求解12()maxx x-,问题转化为：(如图所示),1(A x,1)y到1(0)y x x=+<距离的最大值问题,此时需过A点的切线与1y x=+平行,当0x>时,()1f x lnx'=+,令()1f x'=则11x=,(1,0)A.21x=-所以12||x x-最大值为：2,故选：C.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.【解答】解：曲线1xy ex=-,可得21xy ex'=+,所以曲线1xy ex=-在点(1,f(1))处的切线的斜率为：1|1xy e='=+.故答案为：1e +.【解答】解：由向量的模的运算有：222(2)4448a b a b a b +=++=,又||2a =,||4b =,所以4a b =,设a 与b 的夹角为θ, 则41cos 242||||a b a b θ===⨯, 又[0θ∈︒,180]︒,所以60θ=︒,故答案为：60︒.【解答】解：1F ,2F 是双曲线的两个焦点,以线段12F F 为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A ,B ,C ,D 四个点,若这四个点与1F ,2F 两点恰好是一个正六边形的顶点,可得第一象限内的点1(2c ),代入双曲线方程可得：22223144c c a b-=, 可得：222131444e e e -=-,1e >,解得1e =.1.【解答】解：由题意可得：11sin15024ABC S ac ac ∆=︒=,∴解得：ac =设BD x =,则：14BCD ABD S S ax ∆∆+==可得：x =,当且仅当a =时x 取得最大值,a ∴=2c =,∴由余弦定理可得：222222cos 222(28AC AB BC AB BC ABC =+-∠=+-⨯⨯=,∴解得：AC =故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.【解答】解：(1)4a 是2a 与8a 的等比中项,∴2428a a a =,即2111(3)()(7)a d a d a d +=++,2(43)(4)(47)d d d ∴+=++,解得4d =或0d =.0d >,4d ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为1(1)4n a a n d n =+-=； (2)21()222n n n a a S n n +==+, ∴211111()2221n S n n n n ==-++, 则1211111111111[(1)()()](1)2223121n n T S S S n n n =++⋯+=-+-+⋯+-=-++. 【解答】解：(1)指标Y 的平均值为：1329.61010.410.07666⨯+⨯+⨯≈. (2)由分层抽样法知,先抽取的件产品中,指标Y 在[9.8,10.2]内的有3件,记为1A ,2A ,3A ,指标Y 在(10.2,10.6]内的有2件,记为1B ,2B ,指标Y 在[9.4,9.8)内的有1件,记为C ,从6件产品中,随机抽取2件产品,共有基本事件15个,分别为：1(A ,2)A ,1(A ,3)A ,1(A ,1)B ,1(A ,1)B ,1(A ,2)B ,1(A ,)C ,2(A ,3)A ,2(A ,1)B ,2(A ,2)B ,2(A ,)C ,3(A ,1)B ,3(A ,2)B ,3(A ,)C ,1(B ,2)B ,1(B ,)C ,2(B ,)C ,其中,指标Y 都在[9.8,10.2]内的概率为31155P ==. (3)不妨设每件产品的售价为x 元,假设这48件样品每件都不购买该服务,则购买支出为48x 元,其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件,有8件产品一年内的维护费用为600元/件,此时平均每件产品的消费费用为1(48163008600)20048x x η=+⨯+⨯=+元. 【解答】(1)证明：取PC 中点M ,连接AM ,DM .PD DC =,且M 为PC 中点,DM PC ∴⊥.AD PC ⊥.AD DM D =.PC ∴⊥平面ADM .AM ⊂平面ADM .PC AM ∴⊥. M 为PC 中点,AC AP ∴=；(2)过P 作PH 垂直AD 延长线于点H ,连接CH ,平面APD ⊥平面ABCD ,平面APD ⊥平面ABCD AD =.PH ⊂平面APD ,PH AD ⊥, PH ∴⊥平面ABCD .CH ⊂平面ABCD ,PH CH ∴⊥.PD CD =,AD AD =,AC AP =,ADP ADC ∴∆≅∆,120ADC ADP ∴∠=∠=︒.∴4,PD CD AD AC AP =====.PH CH ==PC =.设点B 到平面PAC 的距离为d ,由于P ABC B ACP V V --=,可得1133ABC ACP S PH S d ∆∆=.1442ABC S =⨯⨯=12ACP S ∆=⨯=∴d =.∴点B 到平面PAC【解答】解：(1)由224x my y x=+⎧⎨=⎩,消去x 并整理可得2480y my --=, 显然△216320m =+>,设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,124y y m ∴+=,128y y =-, 22221212||()414246AB y y y y m m ∴+-=++=,21m ∴=,即1m ==±,∴直线方程为20x y --=或20x y +-=,(2)证明：设AB 的中点M 的坐标为(M x ,)M y ,则121()22M y y y m =+=, 2222M M x my m ∴=+=+,2(22M m ∴+,2)m ,由题意可得(0,2)N m ,设MN 为直径的圆经过点0(P x ,0)y ,∴20(22PM m x =+-,02)m y -,0(PN x =-,02)m y -,由题意可得0PM PN =,即22200000(42)420x m y m x y x --++-=,由题意可得00220004204020x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩,解得02x =,00y =,∴定点(2,0)即为所求【解答】解：(1)当0a =时,()22x f x e x =--,()21x f x e '=-,由()0f x '>,解得：2x ln >-,由()0f x '<,解得：2x ln <-,故函数()f x 在[1-,2]ln -递减,在[2ln -,0]递增,故()(2)21min f x f ln ln =-=-,2(1)10f e-=-<,(0)0f =, ()(0)0max f x f ∴==；(2)令()()(2)1x g x f x ax a e ='=++-,则()(22)x g x ax a e '=++,()i 当0a =时,由(1)知,与题意不符,()ii 当0a >时,由()0g x '>,解得：2(2)x a>-+, 由()0g x '<,解得：2(2)x a<-+, 故222()(2)10a min g x g ae a--=--=--<, (0)10g a =+>,故此时函数()f x '存在异号零点,与题意不符,()iii 当20a -<<时,由()0g x '>,解得：2(2)x a<-+, 由()0g x '<,解得：2(2)x a>-+, 故()g x 在2(,2)a -∞--递增,在2(2a--,)+∞递减 故222()(2)1a max g x g ae a--=--=--, 由题意得：2210a ae----…恒成立, 令22t a --=,则上述不等式等价于12t t e +…,其中1t >-, 易证,当0t >时,112t t e t >+>+, 又由(1)的结论知,当(1t ∈-,0]时,12t t e +…成立, 由2120a-<--…,解得：21a -<-…, 综上,当21a -<-…时,函数()f x 为R 的单调函数且递减.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：(1)曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,转换为直角坐标方程为：2220x y x +-=.(2)把直线l 的参数方程为2cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数),代入2220x y x +-=, 得到：26cos 80t t α-+=.由已知得：△236cos 320α=->, 故：28cos 9α>, 由于2cos 1α…, 所以：28cos (,1]9α∈. 设方程的两实数根为1t 和2t ,则由参数的几何意义可得：12||||||6|cos |PA PB t t α+=+=, 12||||||8PA PB t t ==. 所以222222(|)2119cos 4||||16||PA PB PA PB PA PB PA PB α+--+==, 由于28cos (,1]9α∈, 故：29cos 415(,]16416α-∈, 即：222119cos 415(,]||||16416PA PB α-+=∈. [选修4-5：不等式选讲]【解答】解：(1)()|1||2|f x x x =++-,21,1()3,1221,2x x f x x x x -+-⎧⎪∴=-<<⎨⎪-⎩……,当4m =-时,2()41g x x x =--+,①当1x -…时,原不等式等价于220x x +<,解得：20x -<<,故21x -<-…；②当12x -<<时,原不等式等价于2420x x ++<,解得：22x -<-,故12x -<<-③2x …时,()g x g …(2)11=-,而()f x f …(2)3=, 故不等式()()f x g x <的解集是空集； 综上,不等式()()f x g x <的解集是(2,2--；(2)①当21x --剟时,()()f x g x <恒成立等价于22mx x x >-, 又0x <,故2m x <-,故4m <-；②当112x -<-…时,()f x ,()g x 恒成立 等价于()3g x >恒成立,即()3min g x >, 只需(1)31()32g g -⎧⎪⎨->⎪⎩…即可,即392m m -⎧⎪⎨<-⎪⎩…, 综上,9(,)2m ∈-∞-.。
广东省深圳实验,珠海一中等六校2019届高三第一次联考数学文试题(含详细答案)
广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）广东省深圳实验，珠海一中等六校2019届高三第一次联考数学文试题 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知集合{1012}A =-,,,，集合{|23,}B y y x x A ==-∈，则A B = ( )A ．{101}-，，B ．{11}-，C ．{112}-，，D ．{012}，， 2．已知复数ii z +-=21，其中i 为虚数单位，则=z ( ) A ．35 B ．310 C ． 55 D ．510 3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。
若1a =1，则=4S ( )A. 16B. 15C. 8D. 74．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电 量y （单位：度）与气温x （单位：c）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天） A ．48 B ．62 C ．64 D ．685. 下列四个结论：①命题“1cos sin ,000<+∈∃x x R x ”的否定是“1cos sin ,≥+∈∀x x R x ”； ②若p q ∧是真命题，则p ⌝可能是真命题；③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件；④当0<α时，幂函数αx y =在区间(0,)+∞上单调递减.其中正确的是（ ）A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④6.在R 上函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-+=10,201,)(x x x a x x f ， 其中a R ∈，若)5.4()5(f f =-，则=a ( )A ．0.5B ．1.5C ．2.5D ．3.57．已知点)1,2(A ，O 是坐标原点，点(,)P x y 的坐标满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-003202y y x y x 设OA OP z ⋅=，则z 的最大值是（ ）．A. -6B.1C.2D. 48. 将函数x x f 2cos )(=的图象向右平移4π个单位后得到函数)(x g ，则)(x g 具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线2π=x 对称B ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 9. 如右图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为（ ） A. 403 B. 323 C. 163 D. 28310.2,)0,0(12222离心率为的左焦点为已知双曲线F b a b y a x >>=-，若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）1..22=-y x A 122.22=-y x B 144.22=-y x C 188.22=-y x D 11. 数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N *nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ）A ．49B ．50C ．99D ．10012.已知定义在R 上的可导函数)(x f 满足0)()('<+x f x f ，设)(2m m f a -=，)1(12f e b m m ⋅=+-，则b a 、的大小关系是（ ）A ．b a <B ．b a >C ．b a =D ．b a 、的大小与m 有关二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年广东省高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2019年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{x|1＜2x＜16}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）2．（5分）复数z＝（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±，0）B．（0，）C．（±5，0）D．（0，±5）4．（5分）若sin（）＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为208．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C+cos A＝1，则cos B 的取值范围为（）A．（）B．[）C．（，1）D．[，1）9．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣310．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．11．（5分）已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，直线y＝x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB＝（）A．B．C．D．212．（5分）函数f（x）＝（kx﹣2）lnx，g（x）＝2lnx﹣x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A．[1﹣，﹣）B．（1﹣，﹣]C．[﹣，2﹣）D．（﹣，2﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC ＝2，∠EAD＝30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”． （1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率； （2）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程＝x +，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），……，（x n ，y n ），其回归直线＝x +的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝．20．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C ：＝1（a ＞b ＞0）上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （0，1）的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为A 1，A 2，若直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线y ＝4上． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x﹣2ax （a ∈R ）（1）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥﹣4a2+4a(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线∁l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝3，求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m，n），且n﹣m＝，求a的值．2019年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝（﹣∞，3），B＝{x|1＜2x＜16}＝（0，4）∴A∩B＝（0，3）．故选：D．2．【解答】解：∵z＝＝，∴z＝的虚部为．故选：B．3．【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1的标准方程为：，可得a＝，b＝，c＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（0，±）．故选：B．4．【解答】解：sin（）＝﹣cosα＝，则cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故选：B．5．【解答】解：∵x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得，f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，+∞）．故选：D．6．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：＝3π，故选：A．7．【解答】解：根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，∵＝（17+19+20+21+23）＝20，∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．8．【解答】解：∵cos C+cos A＝1，∴由余弦定理可得：•+•＝1，化简可得：b2＝ac，由余弦定理可得；cos B＝＝≥＝，∴≤cos B＜1，即：cos B∈[，1）．故选：D．9．【解答】解：由题意，可知：对于A：＝＝，整理上式，可得：16﹣12﹣3＝，这与题干中条件相符合，故选：A．10．【解答】解：设BC＝a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为＝，故选：B．11．【解答】解：抛物线C：x2＝4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2﹣2x﹣4＝0，由韦达定理可知：x1+x2＝2，y1+y2＝3由抛物线的性质可知：|AB|＝p+y1+y2＝2+3＝5，点O到直线y＝x+1的距离d，d＝．∴则△OAB的面积S，S＝•|AB|•d＝．故选：C．12．【解答】解：当x＞1时，lnx＞0，由f（x）＜g（x）得（kx﹣2）lnx＜2lnx﹣x，即kx﹣2＜2﹣，即kx＜4﹣，设h（x）＝4﹣，则h′（x）＝﹣＝﹣，由h′（x）＞0得﹣（lnx﹣1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得﹣（lnx﹣1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x＝e时，h（x）取得极大值h（e）＝4﹣＝4﹣e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→﹣∞，h（3）＝4﹣，h（4）＝4﹣＝4﹣，即A（3，4﹣），B（4，4﹣），当直线y＝kx过A，B点时对应的斜率k A＝＝﹣，k B＝＝1﹣，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x＝2，和x＝3，即直线y＝kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1﹣＜k≤﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，﹣]，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．【解答】解：f（2）＝ln2，∴f（f（2））＝f（ln2）＝e ln2＝2．故答案为：2．14．【解答】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y﹣z＝0过点A时，z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．15．【解答】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，得，∴，设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r＝．∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为S＝．故答案为：．16．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|＝|QR|＝，解得|PQ|＝，∴T＝|PQ|+|QR|＝π，∴ω＝＝2，设P（x0，m），则Q（﹣x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|＝﹣2x0，|QR|＝+2x0，∴2（﹣2x0）＝+2x0，解得x0＝＝，∴m＝sin（2×）+＝+＝1，∴ω+m＝2+1＝3．故答案为：3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）①．当n＝1时，解得：，当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1．②①﹣②得：2a n＝a n﹣1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n＝log2a n＝﹣n．所以：b n+1＝﹣（n+1），则：，故：＝．18．【解答】解：（1）证明：因为AD＝2，DC＝4，AC＝2，所以AD2+DC2＝AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE＝2，AD＝2，AB＝2，∠EAD＝30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°＝，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F﹣BCH的体积，可得＝4＝．19．【解答】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：因为，，所以，，所以．当x＝10时，，当x＝11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．20．【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2，故椭圆C的方程为+＝1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y＝kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∵A1（0，2），A2（0，﹣2），∴直线A1P的方程为y＝x+2＝•x+2＝（k﹣）x+2，则直线A2Q的方程为y＝x﹣2＝（k+）﹣2，由，消x可得＝，整理可得y＝＝＝+4＝+4＝4，直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y＝4上21．【解答】（1）解：f′（x）＝e x﹣2a，f′（0）＝1﹣2a＝2，解得：a＝﹣，∴f（x）＝e x+x，则f（0）＝1．∴切线方程为y＝2x+1；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2a，由f′（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a．∴当x∈（﹣∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（ln2a）＝e ln2a﹣2aln2a＝2a﹣2aln2a．令g（a）＝2a﹣2aln2a+4a2﹣4a＝2a2﹣2a﹣2aln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a﹣1﹣ln2a≥0，令h（a）＝a﹣1﹣ln2a，则h′（a）＝1﹣＝，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）＝0，即a﹣1﹣ln2a≥0．∴f（x）≥﹣4a2+4a．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．【解答】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4，设M（x，y）则P（2x﹣4，2y）在曲线C1上，所以（2x﹣4）2+（2y）2＝4，即（x﹣2）2+y2＝1，即x2+y2﹣4x+3＝0，C2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在直角三角形CMA中，CM2＝CA2﹣（AB）2＝1﹣AB2，①在直角三角形CMO中，CM2＝OC2﹣OM2＝4﹣（AB）2＝4﹣AB2，②由①②得AB＝，∴OM＝，CM＝，k＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（x）＝，∴x＝1时，f（x）的最小值为a+1．（2）如图所示：当a+1＜5＜2a+2即＜a＜4时，f（x）﹣5＜0的解集为（a﹣3，﹣），∴﹣﹣a+3＝﹣＝，∴a＝3符合，当2a+2≤5即0＜a≤时，f（x）的解集为（﹣﹣1，﹣），∴﹣++1＝≠．综上可得a＝3．。
广东省深圳实验,珠海一中等六校2019届高三第一次联考数学文试题(解析版)
广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第一次联考文科数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合，集合，则 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意得到集合B的元素，再根据集合的交集的概念得到结果.【详解】集合，集合=，根据集合交集的概念得到.故答案为：B.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．2.已知复数，其中为虚数单位，则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由复数的除法运算得到复数z，再根据复数的模长公式得到模长即可.【详解】复数=根据复数模长公式得到故答案为：D.【点睛】复数的常见考点有：复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．3.等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。
2019年深圳一模文科数学试题(完全word版)
绝密★启用前试卷类型：A2019年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）2019.3本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考结论：若锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0 1 2A=，，，集合{}2B x x=>，则A B =A．{}2B．{}01 2，，C．{}2x x>D．∅2．复数34i i+()（其中i为虚数单位）在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线2214yx-=的渐近线方程为A．1x=±B．2y=±C．2y x=±D．2x y=±4．已知:p直线1:10l x y--=与直线2:20l x ay+-=平行，:1q a=-，则p是q的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．设数列{}1n-()的前n项和为n S，则对任意正整数n，n S=A．112nn⎡⎤--⎣⎦()B．1 112n--+ ()C．112n-+ ()D．112n--()Q6．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=A ．OHB ．OGC ．FOD ．EO7．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数24f x x π=+()()，sin 23g x x π=+()()，cos 6h x x π=-()()的部分图象（如图），则 A ．a 为f x ()，b 为g x ()，c 为h x () B ．a 为h x ()，b 为f x ()，c 为g x () C ．a 为g x ()，b 为f x ()，c 为h x () D ．a 为h x ()，b 为g x ()，c 为f x ()8．已知圆面2221C x a y a -+≤-:()的面积为S ，平面区域24D x y +≤:与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值范围是A ．() 2-∞，B ．(] 2-∞，C ．()() 1 1 2-∞-，，D ．()(] 1 1 2-∞-，， 9．如图所示程序框图，其作用是输入空间直角坐标平面中一点P a b c ()，，，输出相应的点 Q a b c ()，，．若P 的坐标为2 3 1()，，，则 P Q ，间的距离为（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=” ）A ．0 BCD．10．若实数t 满足f t t =-()，则称t 是函数f x ()的一个次不动点．设函数ln f x x =()与函数e xg x =()（其中e 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m ，则 A ．0m < B ．0m = C ．01m <<c ba0.00040.00030.00020.0001D ．1m >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11．某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）．为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在2500 3000[，)（元）段应抽出 人．12．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如下，则它的左(侧)视图的面积是 ． 13．已知y 与100x x ≤()之间的部分对应关系如下表：则x 和y 可能满足的一个关系式是．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中， P Q ，是曲线C :4sin ρθ=上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为 ．15．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于 A B ，的点，CD AB ⊥，垂足为D ，已知2AD =，直观图正视图CB =CD = ．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量4 2cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．（1）证明：BM ⊥平面SMC ；（2）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V 与V ，求1VV 的值．18．（本小题满分14分）MSDCBA已知函数313f x x ax b =-+()，其中实数 a b ，是常数．（1）已知{}0 1 2a ∈，，，{}0 1 2b ∈，，，求事件A “10f ≥()”发生的概率； （2）若f x ()是R 上的奇函数，g a ()是f x ()在区间[]11-，上的最小值，求当1a ≥时g a ()的解析式．19．（本题满分12分）如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．20．（本题满分14分） 已知椭圆222210x y C a b a b+=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．ABE21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ． （1）已知11a =，2d =，（ⅰ）求当n ∈N *时，64n S n +的最小值； （ⅱ）当n ∈N *时，求证：13242231516n n n S S S S S S +++++<；（2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由．2019年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．5. 数列{}(1)n -是首项与公比均为1-的等比数列.6. ,a OP OQ =+利用平行四边形法则做出向量OP OQ +，再平移即发现. .a FO = 7．从振幅、最小正周期的大小入手：b 的振幅最大，故b 为()f x ；a 的最小正周期最大，故a 为(),h x 从而c 为()g x .8. 圆面222:()1C x a y a -+≤-的圆心(,0)a 在平面区域:24x y +<内,则210(,1)(1,2).204a a a ⎧->⇔∈-∞-⎨+<⎩ 9. 程序框图的作用是将三个实数按从小到大的顺序排列，若(2,3,1)P ，则(1,2,3)Q . 10.画图即知:函数ln y x =的图象与直线y x =-有唯一公共点(,),t t -e ln().x x x x x t =-⇔=-⇔=- 故两个函数的所有次不动点之和()0.m t t =+-=或利用函数ln y x =的图象与函数e xy =的图象关于直线y x =对称即得出答案. 二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分． 11．25. 12．. ．(108)2y x -=． 14．4． 15．第13题写或不写100x ≤都可以，写成如2108y x=-等均可.11.每个个体被抽入样的概率均为100110000100=， 在)3000,2500[内的频率为0.0005×（3000－2500）＝0.25，频数为10 000×0.25＝2 500人，则该范围内应当抽取的人数为2 500×1001＝25人. 12. 画出左(侧)视图如图,其面积为 13. 将各11 ,12,13,14,15对应的函数值分别写成297,296,295,294,293, 分母成等差数列,可知分母11(11)(1)9711108.n a a n n n =+--=-+=-14. 最长线段PQ 即圆22(2)4x y +-=的直径. 15. 根据射影定理得222(2)6,12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =⨯⇔=+⇔==⨯=三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量4 2cos 52b α=(，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．【命题意图】本题主要考查向量的数量积、二倍角公式、同角间三角函数关系、余弦定理、两角和的正切公式等基础知识，以及运算求解能力.解: (1)(1,sin )2a α=-,4(,2cos ),52b α=a b ⊥42s i n c o s 0,522a b αα∴⋅=-+=即4sin .5α=……………………3分α为第二象限角,3sin 4cos ,tan .5cos 3αααα∴==-==- ………………………6分(2) 在ABC ∆中,222,b c a +-=222cos 2b c a A bc +-∴== …………………………………………9分(0,π)A ∈,π,tan 1,4A A ∴== ……………………11分 tan tan 1tan().1tan tan 7A A A ααα+∴+==-- ……………………14分17．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．（1）证明：BM ⊥平面SMC ；（2）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V 与V ，求1V V的值． 【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.（1） 证明: 平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SAD 平面ABCD AD =,SM ⊂平面SAD ，SM AD ⊥SM ∴⊥平面ABCD ,…………………1分BM ⊂平面,ABCD.SM BM ∴⊥ …………………2分四边形ABCD 是直角梯形，AB //CD ,,AM AB =,DM DC =,MAB MDC ∴∆∆都是等腰直角三角形,45,90,.AMB CMF BMC BM CM ∴∠=∠=︒∠=︒⊥………………4分SM ⊂平面SMC ，CM ⊂平面SMC ，SM CM M =, BM ∴⊥平面SMC …………………………………………6分（2） 解: 三棱锥C SBM -与三棱锥S CBM -的体积相等,由( 1 ) 知SM ⊥平面ABCD , 得1113211()32SM BM CMV V SM AB CD AD ⨯⨯=⨯+⨯,……………………………………………9分设,AB a =由3CD AB =,,AM AB =,DM DC =得3,,,4,CD a BM CM AD a ====从而13.(3)48V V a a a ⨯==+⨯ ……………………………12分MSDCBA18．（本小题满分14分）已知函数313f x x ax b =-+()，其中实数 a b ，是常数．（1）已知{}0 1 2a ∈，，，{}0 1 2b ∈，，，求事件A “10f ≥()”发生的概率； （2）若f x ()是R 上的奇函数，g a ()是f x ()在区间[]11-，上的最小值，求当1a ≥时g a ()的解析式．【命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识, 考查化归与转化、分类列举等数学思想方法，以及运算求解能力.解：(1) 当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时，等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个：(00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，，…………………………4分其中事件A “1(1)03f a b =-+≥”，包含6个基本事件： (00)(01)(02)(11)(12)(22).，，，，，，，，，，， …………………………4分故62()93P A ==．…………………………6分 答：事件“(1)0f ≥”发生的概率23.………………7分(2) 31(),3f x x a x b =-+是R 上的奇函数，得(0)0,0.f b ==………………8分∴31(),3f x x ax =- 2()f x x a '=-, ………………………9分① 当1a ≥时，因为11x -≤≤，所以()0f x '≤，()f x 在区间[]1,1-上单调递减， 从而1()(1)3g a f a ==-；……………………11分 ② 当1a ≤-时，因为11x -≤≤，所以()0f x '>，()f x 在区间[]1,1-上单调递增， 从而1()(1)3g a f a =-=-+. ……………………13分综上，知1,13().1,13a a g a a a ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩……………………14分19．（本题满分12分）如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．【命题意图】本小题主要考查二次函数的切线、最值等知识，考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数解法一：以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为2(0y ax x =≤≤∵点C 的坐标为(2,1)， ∴221a =，14a =故边缘线OC 的方程为21(02)4y x x =≤≤. ……4分 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为21(,)(02)4P t t t <<，∵12y x '=， ∴直线EF 的的方程可表示为211()42y t t x t -=-，即21124y tx t =-，…………6分 由此可求得21(2,)4E t t -，21(0,)4F t -.∴2211|||(1)|144AF t t =---=-，2211|||()(1)|144BE t t t t =---=-++，…8分设梯形ABEF 的面积为()S t ，则AB E[]1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++ 2155(1)222t =--+≤. ……………………………………………………………10分∴当1t =时，5().2S t =，故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.………11分答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m . ………………………………………………………………………12分解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为21(02)y ax x =+≤≤∵点C 的坐标为(2,2)， ∴2212a +=，14a = 故边缘线OC 的方程 为211(02)4y x x =+≤≤. ………4分 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为21(,1)(02)4P t t t +<<，∵12y x '=，∴直线EF 的的方程可表示为2111()42y t t x t --=-，即211124y tx t =-+，…6分 由此可求得21(2,1)4E t t -+，21(0,1)4F t -+.∴21||14AF t =-，21||14BE t t =-++，……………7分设梯形ABEF 的面积为()S t ，则[]1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++ 2155(1)222t =--+≤. ……………………………………………………………10分∴当1t =时，5().2S t =，故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.………11分答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m . ………………………………………………………………………12分20．（本题满分14分）已知椭圆222210x y C a b a b+=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离为2．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质、点关于直线对称等知识，考查数形结合、方程等数学思想方法，以及运算求解能力.解：(1)由点(,0)F ae -，点(0,)A b 及b =得直线FA 的方程为1x ae +=-0ey -+=，…………………2分∵原点O 到直线FA =2e ==………………………………………5分故椭圆C的离心率2e =. …………………………………7分 (2) 解法一：设椭圆C 的左焦点F (,0)2a -关于直线:20l x y +=的对称点为00(,)P x y ，则有0001,22220.22x a y =⎪⎨⎪⎪⋅+=⎪⎩ …………………………………………10分解之，得00,1010x a y a ==. P 在圆224x y +=上∴22()()41010a a +=， ∴22228,(1) 4.a b e a ==-=……………………………………13分故椭圆C 的方程为22184x y +=, 点P 的坐标为68(,).55………………………………………14分解法二：因为F (,0)关于直线l 的对称点P 在圆O 上，又直线:20l x y +=经过 圆22:4O x y +=的圆心(0,0)O ,所以F (,0)2a -也在圆O 上, ………9分从而22()042a -+=，22228,(1) 4.a b e a ==-= ………………………10分 故椭圆C 的方程为22184x y +=. ………………………………………11分 (2,0)F -与00(,)P x y 关于直线l 的对称,001,22220.22y x x y ⎧=⎪+⎪∴⎨-⎪⋅+=⎪⎩ …………………………………………12分 解之，得0068,55x y ==.…………………………………………13分故点P 的坐标为68(,).55………………………………………14分21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ．（1）已知11a =，2d =，（ⅰ）求当n ∈N *时，64n S n +的最小值； （ⅱ）当n ∈N *时，求证：13242231516n n n S S S S S S +++++<；（2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由．【命题意图】本小题主要考查等差数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力. (1) (ⅰ) 解:11,2,a d ==21(1),2nn n dS na n -∴=+=646416,nS n n n +=+≥= 当且仅当64,n n=即8n =时,上式取等号. 故64n S n+的最大值是16.……………………………………………………4分 (ⅱ) 证明: 由(ⅰ)知2n S n =，当n ∈N *时,2222211111(2)4(2)n n n n S S n n n n +⎡⎤++==-⎢⎥++⎣⎦，……6分 222222132422311111111114134244(2)n n n S S S S S S n n +⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2222222111111111412435(1)(2)n n n ⎡⎤⎛⎫=+++-++++⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦222211111,412(1)(2)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦……………………………………8分 22110,(1)(2)n n +>++22132422311115().41216n n n S S S S S S ++∴+++<+<……………………………………9分(2)对n ∀∈N *,关于m 的不等式1(1)m a a m d n =+-≥的最小正整数解为32n c n =-，当1n =时，111(1)1a c d a +-=≥；……………………10分 当2n ≥时，恒有11(1)(2)n n a c d n a c d n+-≥⎧⎨+-<⎩，即11(31)(3)0(31)(4)0d n a d d n a d -+-≥⎧⎨-+-<⎩,从而111310(31)2(3)014,1.31033(31)2(4)0d d a d d a d d a d -≥⎧⎪-⨯+-≥⎪⇔=≤<⎨-≤⎪⎪-⨯+-<⎩……………………12分当114,133d a =≤<时,对n ∀∈N *,且2n ≥时, 当正整数n m c <时,有1111.33n c m a a n --+<+<……………………13分所以存在这样的实数1a ,且1a 的取值范围是41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………14分。
2019年广东省高考数学一模试卷(文科)-含详细解析
2019年广东省高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1＜2}，B={x|1＜2x＜16}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.3.双曲线9x2-16y2=1的焦点坐标为（）A. B. C. D.4.若sin（）=，则cos2α=（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4，则关于x的不等式f（x）＜-1的解集为（）A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7.执行如图的程序框图，依次输入x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A. ，即5个数据的方差为4B. ，即5个数据的标准差为4C. ，即5个数据的方差为20D. ，即5个数据的标准差为208.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C+cos A=1，则cos B的取值范围为（）A. B. C. D.9.已知A，B，C三点不共线，且点O满足16-12-3=，则（）A. B.C. D.10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足==≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A. B. C. D.11.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，直线y=x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB=（）A. B. C. D.12.函数f（x）=（kx-2）ln x，g（x）=2ln x-x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=，则f（f（2））=______．14.设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为______．15.在三棱锥P-ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为______．16.已知函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y=m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|=|QR|=，则ω+m=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．18.在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD=2DE=2AD=2AB=4，AC=2，∠EAD=30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程=x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==，=．20.已知点（1，），（，）都在椭圆C：=1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y=4上．21.已知函数f（x）=e x-2ax（a∈R）（1）若曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线x+2y-2=0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥-4a2+4a22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线C l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y=kx与曲线C2交于A，B两点，若=3，求k的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+2|x-1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）-5＜0的解集为（m，n），且n-m=，求a的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x-1＜2}=（-∞，3），B={x|1＜2x＜16}=（0，4）∴A∩B=（0，3）．故选：D．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵z==，∴z=的虚部为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线9x2-16y2=1的标准方程为：，可得a=，b=，c==，所以双曲线的焦点坐标为（0，±）．故选：B．直接利用双曲线的方程求解a，b，c得到焦点坐标即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：sin（）=-cosα=，则cos2α=2cos2α-1=-，故选：B．利用诱导公式求得cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4；∴f（-1）=-1；∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜-1得，f（x）＜f（-1）；∴x＞-1；∴不等式f（x）＜-1的解集为（-1，+∞）．故选：D．根据条件可得出f（-1）=-1，根据f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜-1得出f（x）＜f（-1），从而得到x＞-1，即得出原不等式的解集．考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：=3π，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7.【答案】A【解析】解：根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，∵=（17+19+20+21+23）=20，∴由方差的公式S=[（17-20）2+（19-20）2+（20-20）2+（21-20）2+（23-20）2]=4．故选：A．根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：∵cosC+cosA=1，∴由余弦定理可得：•+•=1，化简可得：b2=ac，由余弦定理可得；cosB==≥=，∴≤cosB＜1，即：cosB∈[，1）．故选：D．由余弦定理化简已知等式可得b2=ac，由余弦定理，基本不等式可求cosB≥，结合余弦函数的性质即可得解．本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由题意，可知：对于A：==，整理上式，可得：16-12-3=，这与题干中条件相符合，故选：A．本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．10.【答案】B【解析】解：设BC=a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，故选：B．先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，则在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，得解．本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．11.【答案】C【解析】解：抛物线C：x2=4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2-2x-4=0，由韦达定理可知：x1+x2=2，y1+y2=3由抛物线的性质可知：|AB|=p+y1+y2=2+3=5，点O到直线y=x+1的距离d，d=．∴则△OAB的面积S，S=•|AB|•d=．故选：C．根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2，由抛物线的性质可知|AB|=p+y1+y2，利用点到直线的距离公式求得O到直线y=x+1的距离d，根据三角形的面积公式S=•|AB|•d，即可求得则△OAB的面积．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：当x＞1时，lnx＞0，由f（x）＜g（x）得（kx-2）lnx＜2lnx-x，即kx-2＜2-，即kx＜4-，设h（x）=4-，则h′（x）=-=-，由h′（x）＞0得-（lnx-1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得-（lnx-1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x=e时，h（x）取得极大值h（e）=4-=4-e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→-∞，h（3）=4-，h（4）=4-=4-，即A（3，4-），B（4，4-），当直线y=kx过A，B点时对应的斜率k A==-，k B==1-，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x=2，和x=3，即直线y=kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1-＜k≤-，即实数k的取值范围是（1-，-]，故选：B．将不等式f（x）＜g（x）转化为kx＜4-，设h（x）=4-，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合确定使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2，3，然后求出对应点的坐标和对应直线y=kx的斜率，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的关键．13.【答案】2【解析】解：f（2）=ln2，∴f（f（2））=f（ln2）=e ln2=2．故答案为：2．利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．本题考查了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y-z=0过点A时，z=2x+y取得最大值为2×3+1=7．故答案为：7．画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z的最大值．本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，得，∴，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r=．∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为S=．故答案为：．由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16.【答案】3【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|=|QR|=，解得|PQ|=，∴T=|PQ|+|QR|=π，∴ω==2，设P（x0，m），则Q（-x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|=-2x0，|QR|=+2x0，∴2（-2x0）=+2x0，解得x0==，∴m=sin（2×）+=+=1，∴ω+m=2+1=3．故答案为：3．根据题意求出函数f（x）的最小正周期T，得出ω的值，再求出m的值，即可求出ω+m的值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）①．当n=1时，解得：，当n≥2时，S n-1=1-a n-1．②①-②得：2a n=a n-1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n=log2a n=-n．所以：b n+1=-（n+1），则：，故：=．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）证明：因为AD=2，DC=4，AC=2，所以AD2+DC2=AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE=2，AD=2，AB=2，∠EAD=30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°=，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F-BCH的体积，可得=4=．【解析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥DE，推出CD⊥面ADE，然后证明AB⊥平面ADE；（2）转化几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：因为，，，，所以，，所以．当x=10时，，当x=11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．【解析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间．本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2，故椭圆C的方程为+=1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y=kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx-3=0，∴x1+x2=-，x1x2=-，∵A1（0，2），A2（0，-2），∴直线A1P的方程为y=x+2=•x+2=（k-）x+2，则直线A2Q的方程为y=x-2=（k+）-2，由，消x可得=，整理可得y===+4=+4=4，直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y=4上【解析】（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2得椭圆方程，（2）先设出直线l的方程，再分别求出直线A1P的方程，直线A2Q的方程，联立，消x整理可得y=，根据韦达定理化简整理可得直线y=4 本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题21.【答案】（1）解：f′（x）=e x-2a，f′（0）=1-2a=2，解得：a=-，∴f（x）=e x+x，则f（0）=1．∴切线方程为y=2x+1；（2）证明：f′（x）=e x-2a，由f′（x）=e x-2a=0，解得x=ln2a．∴当x∈（-∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（-∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min=f（ln2a）=e ln2a-2a ln2a=2a-2a ln2a．令g（a）=2a-2a ln2a+4a2-4a=2a2-2a-2a ln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，则h′（a）=1-=，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）=0，即a-1-ln2a≥0．∴f（x）≥-4a2+4a．【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），得到关于a的方程，求得a，得到函数解析式，求得f（0），再由直线方程点斜式得答案；（2）把证明f（x）≥-4a2+4a转化为证f（x）的最小值大于等于-4a2+4a，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，求其最小值大于等于0即可．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，是中档题．22.【答案】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2=4，设M （x ，y ）则P （2x -4，2y ）在曲线C 1上，所以（2x -4）2+（2y ）2=4，即（x -2）2+y 2=1，即x 2+y 2-4x +3=0，C 2轨迹的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ+3=0． （2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，CM 2=CA 2-（ AB ）2=1-AB 2，① 在直角三角形CMO 中，CM 2=OC 2-OM 2=4-（ AB ）2=4-AB 2，②由①②得AB = ，∴OM =，CM =，k ===．【解析】（1）消去θ得曲线C 1的普通方程为：x 2+y 2=4；设出M 的坐标后利用中点公式得到P 的坐标后代入C 1德轨迹C 2的直角坐标方程，再化成极坐标方程； （2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM ，OM 后可得斜率．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x ）= ， ， ＜ ＜ ，，∴x =1时，f （x ）的最小值为a +1．（2）如图所示：当a +1＜5＜2a +2即＜a ＜4时，f （x ）-5＜0的解集为（a -3，1-），∴1--a +3=4- =，∴a =2符合，当2a +2≤5即0＜a ≤时，f （x ）的解集为（ --1，1-），∴1- ++1=2≠． 综上可得a =2． 【解析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
广东省深圳实验中学、珠海一中等六校2019届高三第一次联考数学文试题 Word版含解析
广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第一次联考文科数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合，集合，则 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意得到集合B的元素，再根据集合的交集的概念得到结果.【详解】集合，集合=，根据集合交集的概念得到.故答案为：B.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．2.已知复数，其中为虚数单位，则 ( )A. B. C. D.【答案】D先由复数的除法运算得到复数z，再根据复数的模长公式得到模长即可.【详解】复数=根据复数模长公式得到故答案为：D.【点睛】复数的常见考点有：复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．3.等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。
广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)
B．g（x）
C．u（x）
D．v（x）
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8.难度：中等
已知x，y，z∈R，则“lgy为lgx，lgz的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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9.难度：中等
已知符号函数sgn（x）= ，则函数f（x）=sgn（lnx）-lnx的零点个数为（ ）
A．1＞i＞0
B．若z1＞z2，z2＞z3，则z1＞z3
C．若z1＞z2，则对于任意z∈C，z1+z＞z2+z
D．对于复数z＞0，若z1＞z2，则z•z1＞z•z2
二、填空题
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11.难度：中等
某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为8，12，10，11，9，估计此人每次上班途中平均花费的时间为分钟．
男
女
总计
看营养说明
50
30
80
不看营养说明
10
20
30
总计
60
50
110
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18.难度：中等
如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD=2AB=4， ，E为CD的中点，将△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中点O在线段DE内．
（1）求证：CO⊥平面ABED；
（2）问∠CEO（记为θ）多大时，三棱锥C-AOE的体积最大？最大值为多少？
A．1
B．2
C．3
D．4
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10.难度：中等
在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1＞z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2”．下面命题为假命题的是（ ）
(晨鸟)2019年广东省高考数学一模试卷(文科)
2019年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x|x ﹣1＜2}，B ＝{x|1＜2x＜16}，则A ∩B ＝（）A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，3）C ．（0，8）D ．（0，3）2．（5分）复数z ＝（i 为虚数单位）的虚部为（）A ．B ．C ．D ．3．（5分）双曲线9x 2﹣16y 2＝1的焦点坐标为（）A ．（±，0）B ．（0，）C ．（±5，0）D ．（0，±5）4．（5分）若sin （）＝，则cos2α＝（）A ．B ．C ．D ．5．（5分）已知函数f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x ∈[﹣2，1]时，f （x ）＝x2﹣2x ﹣4，则关于x 的不等式f （x ）＜﹣1的解集为（）A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣1，+∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x 1＝17，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝23，则输出的S 值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为208．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cosC+cosA＝1，则cosB 的取值范围为（）A．（）B．[）C．（，1）D．[，1）9．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣310．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为（）A ．B ．﹣2C ．D ．11．（5分）已知F 为抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，直线y ＝x+1与曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB ＝（）A ．B ．C ．D ．212．（5分）函数f （x ）＝（kx ﹣2）lnx ，g （x ）＝2lnx ﹣x ，若f （x ）＜g （x ）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k 的取值范围为（）A ．[1﹣，﹣）B ．（1﹣，﹣]C ．[﹣，2﹣）D ．（﹣，2﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f （x ）＝，则f （f （2））＝．14．（5分）设x ，y 满足约束条件，则z ＝2x+y 的最大值为．15．（5分）在三棱锥P ﹣ABC 中，AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝，则三棱锥P ﹣ABC 的内切球的表面积为．16．（5分）已知函数f （x ）＝sin （ωx+）+（ω＞0），点P ，Q ，R 是直线y ＝m （m ＞0）与函数f （x ）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m ＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝1﹣a n （n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC ＝2，∠EAD＝30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间/101112131415分等候人数y/232526292831人调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程＝x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝．20．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C ：＝1（a ＞b ＞0）上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （0，1）的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为A 1，A 2，若直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线y ＝4上．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x﹣2ax （a ∈R ）（1）若曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线与直线x+2y ﹣2＝0垂直，求该切线方程；（2）当a ＞0时，证明f （x ）≥﹣4a 2+4a (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q （4，0），点P 是曲线?l 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；（2）已知直线l ：y ＝kx 与曲线C 2交于A ，B 两点，若＝3，求k 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x+a|+2|x ﹣1|（a ＞0）．（1）求f （x ）的最小值；（2）若不等式f （x ）﹣5＜0的解集为（m ，n ），且n ﹣m ＝，求a 的值．2019年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x|x ﹣1＜2}，B ＝{x|1＜2x＜16}，则A ∩B ＝（）A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，3）C ．（0，8）D ．（0，3）【分析】由A 与B ，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵集合A ＝{x|x ﹣1＜2}＝（﹣∞，3），B ＝{x|1＜2x＜16}＝（0，4）∴A ∩B ＝（0，3）．故选：D ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）复数z ＝（i 为虚数单位）的虚部为（）A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z ＝＝，∴z ＝的虚部为．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）双曲线9x 2﹣16y 2＝1的焦点坐标为（）A ．（±，0）B ．（0，）C ．（±5，0）D ．（0，±5）【分析】直接利用双曲线的方程求解a ，b ，c 得到焦点坐标即可．【解答】解：双曲线9x 2﹣16y 2＝1的标准方程为：，可得a ＝，b ＝，c ＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（±，0）．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）若sin（）＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式求得cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．【解答】解：sin（）＝﹣cosα＝，则cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故选：B．【点评】本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．2 5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）【分析】根据条件可得出f（﹣1）＝﹣1，根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜﹣1得出f（x）＜f（﹣1），从而得到x＞﹣1，即得出原不等式的解集．【解答】解：∵x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得，f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，+∞）．故选：D．【点评】考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【分析】几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：＝3π，故选：A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为20【分析】根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【解答】解：根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，∵＝（17+19+20+21+23）＝20，∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．【点评】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cosC+cosA＝1，则cosB 的取值范围为（）A．（）B．[）C．（，1）D．[，1）【分析】由余弦定理化简已知等式可得b2＝ac，由余弦定理，基本不等式可求cosB≥，结合余弦函数的性质即可得解．【解答】解：∵cosC+cosA＝1，∴由余弦定理可得：?+?＝1，化简可得：b2＝ac，由余弦定理可得；cosB＝＝≥＝，∴≤cosB＜1，即：cosB∈[，1）．故选：D．【点评】本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．9．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣3【分析】本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．【解答】解：由题意，可知：对于A：＝＝，整理上式，可得：16﹣12﹣3＝，这与题干中条件相符合，故选：A．【点评】本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．【分析】先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，则在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为＝，得解．【解答】解：设BC＝a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为＝，故选：B．【点评】本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．11．（5分）已知F 为抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，直线y ＝x+1与曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB ＝（）A ．B ．C ．D ．2【分析】根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x 1+x 2，由抛物线的性质可知|AB|＝p+y 1+y 2，利用点到直线的距离公式求得O 到直线y ＝x+1的距离d ，根据三角形的面积公式S ＝?|AB |?d ，即可求得则△OAB 的面积．【解答】解：抛物线C ：x 2＝4y 的焦点（0，1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由，整理得：x 2﹣2x ﹣4＝0，由韦达定理可知：x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝3由抛物线的性质可知：|AB|＝p+y 1+y 2＝2+3＝5，点O 到直线y ＝x+1的距离d ，d ＝．∴则△OAB 的面积S ，S ＝?|AB|?d ＝．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．12．（5分）函数f （x ）＝（kx ﹣2）lnx ，g （x ）＝2lnx ﹣x ，若f （x ）＜g （x ）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k 的取值范围为（）A ．[1﹣，﹣）B ．（1﹣，﹣]C ．[﹣，2﹣）D ．（﹣，2﹣]【分析】将不等式f （x ）＜g （x ）转化为kx ＜4﹣，设h （x ）＝4﹣，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合确定使f （x ）＜g （x ）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2，3，然后求出对应点的坐标和对应直线y ＝kx 的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x ＞1时，lnx ＞0，由f（x）＜g（x）得（kx﹣2）lnx＜2lnx﹣x，即kx﹣2＜2﹣，即kx＜4﹣，设h（x）＝4﹣，则h′（x）＝﹣＝﹣，由h′（x）＞0得﹣（lnx﹣1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得﹣（lnx﹣1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x＝e时，h（x）取得极大值h（e）＝4﹣＝4﹣e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→﹣∞，h（3）＝4﹣，h（4）＝4﹣＝4﹣，即A（3，4﹣），B（4，4﹣），当直线y＝kx过A，B点时对应的斜率k A＝＝﹣，k B＝＝1﹣，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x＝2，和x＝3，即直线y＝kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1﹣＜k≤﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，﹣]，故选：B．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝2．【分析】利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．【解答】解：f（2）＝ln2，∴f（f（2））＝f（ln2）＝e ln2＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为7．【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z的最大值．【解答】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y﹣z＝0过点A时，z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为．【分析】由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．【解答】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，得，∴，设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r＝．∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为S＝．故答案为：．【点评】本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝3．【分析】根据题意求出函数f（x）的最小正周期T，得出ω的值，再求出m的值，即可求出ω+m的值．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|＝|QR|＝，解得|PQ|＝，∴T＝|PQ|+|QR|＝π，∴ω＝＝2，设P（x0，m），则Q（﹣x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|＝﹣2x0，|QR|＝+2x0，∴2（﹣2x0）＝+2x0，解得x0＝＝，∴m＝sin（2×）+＝+＝1，∴ω+m＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）①．当n＝1时，解得：，当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1．②①﹣②得：2a n＝a n﹣1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n＝log2a n＝﹣n．所以：b n+1＝﹣（n+1），则：，故：＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC ＝2，∠EAD＝30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．【分析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥DE，推出CD⊥面ADE，然后证明AB⊥平面ADE；（2）转化几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．【解答】解：（1）证明：因为AD＝2，DC＝4，AC＝2，所以AD2+DC2＝AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE＝2，AD＝2，AB＝2，∠EAD＝30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°＝，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F﹣BCH的体积，可得＝4＝．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间/101112131415分等候人数y/232526292831人调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程＝x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝．【分析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间．【解答】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：间隔时间（x分钟）12131415等候人数（y人）26292831因为，，所以，，所以．当x＝10时，，当x＝11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．【点评】本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y＝4上．【分析】（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2得椭圆方程，（2）先设出直线l的方程，再分别求出直线A1P的方程，直线A2Q的方程，联立，消x 整理可得y＝，根据韦达定理化简整理可得直线y＝4【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2，故椭圆C的方程为+＝1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y＝kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∵A1（0，2），A2（0，﹣2），∴直线A 1P 的方程为y ＝x+2＝?x+2＝（k ﹣）x+2，则直线A 2Q 的方程为y ＝x ﹣2＝（k+）﹣2，由，消x 可得＝，整理可得y ＝＝＝+4＝+4＝4，直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，则点S 恒在直线y ＝4上【点评】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题21．（12分）已知函数f （x ）＝e x﹣2ax （a ∈R ）（1）若曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线与直线x+2y ﹣2＝0垂直，求该切线方程；（2）当a ＞0时，证明f （x ）≥﹣4a 2+4a 【分析】（1）求出函数的导数，计算f ′（0），得到关于a 的方程，求得a ，得到函数解析式，求得f （0），再由直线方程点斜式得答案；（2）把证明f （x ）≥﹣4a 2+4a 转化为证f （x ）的最小值大于等于﹣4a 2+4a ，即证a ﹣1﹣ln2a≥0，令h（a）＝a﹣1﹣ln2a，求其最小值大于等于0即可．【解答】（1）解：f′（x）＝e x﹣2a，f′（0）＝1﹣2a＝2，解得：a＝﹣，∴f（x）＝e x+x，则f（0）＝1．∴切线方程为y＝2x+1；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2a，由f′（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a．∴当x∈（﹣∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（ln2a）＝e ln2a﹣2aln2a＝2a﹣2aln2a．令g（a）＝2a﹣2aln2a+4a2﹣4a＝2a2﹣2a﹣2aln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a﹣1﹣ln2a≥0，令h（a）＝a﹣1﹣ln2a，则h′（a）＝1﹣＝，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）＝0，即a﹣1﹣ln2a≥0．∴f（x）≥﹣4a2+4a．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，是中档题．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线?l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝3，求k的值．【分析】（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4；设出M的坐标后利用中点公式得到P的坐标后代入C1德轨迹C2的直角坐标方程，再化成极坐标方程；（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM，OM后可得斜率．【解答】解：（1）消去θ得曲线C 1的普通方程为：x 2+y 2＝4，设M （x ，y ）则P （2x ﹣4，2y ）在曲线C 1上，所以（2x ﹣4）2+（2y ）2＝4，即（x ﹣2）2+y 2＝1，即x 2+y 2﹣4x+3＝0，C 2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos θ+3＝0．（2）当k ＞0时，如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，CM 2＝CA 2﹣（AB ）2＝1﹣AB 2，①在直角三角形CMO 中，CM 2＝OC 2﹣OM 2＝4﹣（AB ）2＝4﹣AB 2，②由①②得AB ＝，∴OM ＝，CM ＝，k ＝＝＝．当k ＜0时，同理可得k ＝﹣．综上得k ＝±．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x+a|+2|x ﹣1|（a ＞0）．（1）求f （x ）的最小值；（2）若不等式f （x ）﹣5＜0的解集为（m ，n ），且n ﹣m ＝，求a 的值．【分析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得．【解答】解：（1）f（x）＝，∴x＝1时，f（x）的最小值为a+1．（2）如图所示：当a+1＜5＜2a+2即＜a＜4时，f（x）﹣5＜0的解集为（a﹣3，﹣），∴﹣﹣a+3＝﹣＝，∴a＝3符合，当2a+2≤5即0＜a≤时，f（x）的解集为（﹣﹣1，﹣），∴﹣++1＝≠．综上可得a＝3．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。