§1.1 集合及其表示法(1课时)教案

§1.1 集合及其表示法

一、概念

1、集合的概念

在现实生活和数学中，我们常常把一些对象放在一起，作为一个整体来研究，例如：

（1）崇明中学高中一年级全体学生；

（2）NBA联赛参球队的全体；

（3）所有的锐角三角形；

（4）2,4,6,8,10；

（5）不等式2x-3>1的解的全体

我们常常把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集，通常用大写字母A、B、C……表示；集合中的各个对象叫做集合的元素，通常用小写字母a、b、c……表示。

如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作：“a属于A”；

如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作：“a不属于A”。

2、集合的本质属性

1°确定性

对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的。也就是说，任何一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一。

例：下列各组对象的全体不能组成集合的是（D）

（A）满足| x |＜3的整数；（B）方程x 2 +1=0的解；

（C）本校高一年级身高在1.80米以上的同学；（D）很接近0的数。

[反思]：元素的确定性是判断一组对象的全体能否组成集合的决定性条件，出现“较快”、“很小”、“很高”等不确定的条件时，一组对象就不能组成集合；

2°互异性

对于一个给定的集合，集合中的元素是互不相同的。也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现。

3°无序性

对于一个给定的集合，集合中的元素是没有先后顺序的。也就是说，集合中的元素地位是平等的、无序的，我们可以根据需要对它们进行任何一种排列。

3、集合的分类

1°按照集合中元素的多少可以将集合分为有限集和无限集

含有有限个元素的集合叫做有限集；含有无限个元素的集合叫做无限集。

特例：不含有任何元素的集合叫做空集，记作：Φ。（空集是有限集）

2°从集合元素的属性来看，集合有数集（元素为数），点集（元素为点），…等常见的类型。

常见的数集：自然数集N，非零自然数集（正整数集）N *，整数集Z，有理数集Q，实数集R等。（方程的解集，不等式的解集等都是数集）

常见的点集：组成一条直线的点的集合，到定点的距离等于定长的点的集合，…——几何图形都可以看作点集

4、集合的表示方法

1°列举法

将集合中的元素一一列举出来（在列举时不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。（两个元素之间用逗号分隔）

例：例1中（A）满足| x |＜3的整数所组成的集合可写为{0，1，－1，2，－2} 四大洋所组成的集合{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

15以内的质数{2，3，5，7，11，13}

正奇数的集合{1, 3, 5, 7 , 9 ，……}

注：列举法适用于元素不多的有限集或有规律的无限集

2°描述法

⑴符号描述

在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面再写上集合中元素所共同拥有的特性。

例： 大于5的数的全体 { x | x ＞5 }，也可写成{ y | y ＞5 }…

直线y = 2 x + 1上点的全体 { (x,y) | y=2x+1 }

方程组⎩⎨⎧x + y = 4x －y = 6 的解集 描述法{（x , y ）| ⎩⎨⎧x + y = 4x －y = 6

}；列举法{（5 , －1）}

注：描述法一般适用于表示元素较多的有限集或无限集。 ⑵语言描述

{ 崇明中学高一X 班的全体学生} 3°图示法（文氏图）

画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合。

另外，初中用数轴表示不等式的解集也是集合的图示法。 注：图示法一般用作解题辅助方法，多用于集合的运算。

三、供选例题

1.集合的判断

例1 下列命题正确的个数为…………………( )。

① 很小两实数可以构成集合；

② }1|{2

-=x y y 与}1|),{(2

-=x y y x 是同一集合

③ 5.0,2

1

,46,23,

1-这些数组成的集合有5个数； ④ 集合},,0|),{(R y x xy y x ∈≤是指第二、四象限内的点集；

A .0个

B .1个

C .2个

D .3个

例2、,R x ∈则}2,,3{2

x x x -中的元素x 应满足什么条件 2. 集合与元素之间的关系 例3 、用符号“∈”“∉”填空 （1）2______N （2

______Q （3）0____∅

（4）0______{}0

（5）0 Φ

（6）0______*

N

（7

）{x x < （8）{

}2*

3____1,x x n n =+∈N

（9）(){

}2

1,1____y y x -=

（10）()(){}2

1,1____

,x y y x -=

3.集合的表示方法

例4用列举法表示下列集合：

（1）(){},|5,,x y x y x y +=∈∈N N 答：()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0 （2）{}

2

230,x x x x --=∈R 答：{}3,1- （3）{

}

2

230,x x x x -+=∈R 答：∅

（3）12,5x

x x ⎧

⎫

∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z

答：{}7,1,1,3,4--

例5、用适当的方法表示下列集合

⑴大于10的所有自然数组成的集合； ⑷正偶数组成的集合；

⑵24与30的所有公约数组成的集合； ⑸被3除余2的整数组成的集合； ⑶方程x 2－4 = 0的解的集合； ⑹直角坐标平面上第二象限的点组成的集合。