2008年高考数学试卷(陕西.文)含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学（必修+选修Ⅰ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．sin330︒等于（ B ） A．B ．12-C ．12D解：1sin 330sin 302︒=-=-2．已知全集{12345}U =，，，，，集合{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合()UA B =（ D ）A ．{3}B ．{4,5}C ．{3,4,5}D ．{1245}，，，解：{1,3}A =，{3,4,5}B ={3}A B ⇒=所以()UA B ={1245}，，，3．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ C ） A ．30 B ．25 C ．20 D ．15 解：设样本中松树苗的数量为x ，则15020300004000xx =⇒=4．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ） A ．64B ．100C ．110D ．120解：设公差为d ，则由已知得112421328a d a d +=⎧⎨+=⎩1101109101210022a S d =⎧⨯⇒⇒=⨯+⨯=⎨=⎩ 50y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C ）A或 B．或C．-D．-解：圆的方程22(1)3x y -+=，圆心(1,0)到直线的距离等于半径m⇒==m ⇒=m ⇒=-6．“1a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的（ A ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：1a=1221a x x x x ⇒+=+≥=>，显然2a =也能推出，所以“1a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的充分不必要条件。

7．已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（ D ）A ．10B ．4C ．1D ．2-解：312()2()log 3x f x fx x +-=⇒=-于是11222()()log 3log 3log 6f m f n m n mn --+=-+-=-2log 166462=-=-=-8．长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为1的球面上,其中1::2:1:3AB AD AA =,则两,A B 点的球面距离为 ( C )A ．4πB ．3πC ．2πD ．23π解：设,AD a =则12,3AB a AA a ==22224322R a a a a ⇒=++=球的直径即2R a =，在AOB 中，2,OA OB R a ===2,AB a =222OA OB AB ⇒+=90AOB ⇒∠=从而,A B 点的球面距离为1242ππ⋅=9．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ） A ．6B ．3C ．2D ．33解：如图在12Rt MF F 中，121230,2MF F F F c ∠==1243cos303c MF c ==∴，222tan 3033MF c c =⋅=124222333333a MF MF c c c =-=-=∴3c e a⇒== 10．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ D ）A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，αO B 1A 11CDBAC 1C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，解：由勾股定理22222a nb m AB +=+=，又a b >，m n >∴ sin b AB θ=，sin aABφ=,而a b >，所以sin sin θφ<，得θφ<11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(2)f -等于（ A ） A ．2B ．3C ．6D ．9解：令0(0)0x y f ==⇒=，令1(2)2(1)26x y f f ==⇒=+=；令2,2x y ==-得0(22)(2)(2)8(2)8(2)862f f f f f =-=+--⇒-=-=-= 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ C ） A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．00011 解：C 选项传输信息110，0011h =⊕=，102110h h a =⊕=⊕=应该接收信息10110。

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．13．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ===，则a解： 由正弦定理21sin sin120sin 2C C =⇒=，于是3030C A a c =⇒=⇒==14．72(1)x-的展开式中21x 的系数为 84 ．(用数字作答) 解：77177721()(2)rrr rr rT C C xx--+-=-=-，令725r r -=⇒=， 因此展开式中21x的系数为7557(2)84C --= 15．关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号） 解：①()0a b a c a b c ⋅=⋅⇒⋅-=，向量a 与b c -垂直②∥a b b a λ⇒=126k⇒=-3k ⇒=- ③||||||==-a b a b ,,a b a b ⇒-构成等边三角形，a 与+a b 的夹角应为30 所以真命题只有②。

16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 96 种．（用数字作答）．解：分两类：第一棒是丙有11412448C C A ⋅⋅=,第一棒是甲、乙中一人有11421448C C A ⋅⋅=因此共有方案484896+=种三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）已知函数()2sincos 442x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 解：（Ⅰ）()fx sin 22x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==． 当πsin 123x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．∴函数()g x 是偶函数．18．（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.（Ⅰ）连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率； （Ⅱ）如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率．解：（Ⅰ）从袋中依次摸出2个球共有29A 种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有2234A A种结果，则所求概率 223411291341()6986A A P P A ===⨯=或． （Ⅱ）第一次摸出红球的概率为1219A A ，第二次摸出红球的概率为117229A A A ，第三次摸出红球的概率为217239A A A ，则摸球次数不超过3次的概率为 11211727222123999712A A A A A P A A A =++=．19．（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面ABC，1A AAB =，2AC =，111AC =，12BD DC =． （Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小．解：解法一：（Ⅰ）1A A ⊥平面ABC BC ⊂，平面ABC ，∴1A A BC ⊥．在Rt ABC △中，2AB AC BC ==∴=，， :1:2BD DC =，3BD ∴=，又3BD ABAB BC==，DBA ABC ∴△∽△，90ADB BAC ∴∠=∠=，即AD BC ⊥．又1A AAD A =，BC ∴⊥平面1A AD ，BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ， 由已知得AB ⊥平面11ACC A ．A 1 AC 1B 1BDCA 1 AC 1B 1BD CFE（第19题，解法一）AE ∴是BE 在面11ACC A 内的射影．由三垂线定理知1BE CC ⊥，AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角．过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点，则1CF AC AF =-=，11C F A A =，160C CF ∴∠=． 在Rt AEC △中，sin 6022AE AC ==⨯= 在Rt BAE △中，tan 3AB AEB AE ===．arctan AEB ∴∠= 即二面角1A CC B --为arctan3解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则11(000)0)(020)(00A B C A C ，，，，，，，，，:1:2BD DC =，13BD BC ∴=．D ∴点坐标为203⎫⎪⎪⎝⎭，，． ∴2203AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，1(220)(00BC AA =-=，，，．10BC AA =，0BC AD =，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A AAD A =，BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）BA ⊥平面11ACC A ，取(20)AB ==，，m 为平面11ACC A 的法向量， 设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC ==，n n ．200m m ⎧+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，，3l n m ∴==，，如图，可取1m =，则3=⎭，，n ，（第19题，解法二）22010cos5(2)1⨯+<>==+，m n，即二面角1A CC B--为15arccos5．20．（本小题满分12分）已知数列{}na的首项123a=，121nnnaaa+=+，1,2,3,n=…．（Ⅰ）证明：数列1{1}na-是等比数列；（Ⅱ）数列{}nna的前n项和nS．解：（Ⅰ）121nnnaaa+=+，∴111111222nn n naa a a++==+⋅，∴11111(1)2n na a+-=-，又123a=，∴11112a-=，∴数列1{1}na-是以为12首项，12为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1111111222n nna-+-=⋅=，即1112nna=+，∴2nnn nna=+．设23123222nT=+++…2nn+，①则23112222nT=++…1122n nn n+-++，②由①-②得211111(1)1111122112222222212nn n n n n nn n n T+++-=+++-=-=---，∴11222n n nnT-=--．又123+++…(1)2n nn++=．∴数列{}nna的前n项和22(1)4222222n n nn n n n n nS+++++=-+==．21．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解：解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，， 把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x kx x x x =-=++-222214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，，，，把2y kx =+代入22y x =得 2220x kx --=．由韦达定理得121212kx x x x +==-，．∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．22y x =，4y x '∴=，∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44kk ⨯=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =．由（Ⅰ）知22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤⎡⎤=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=，21016k --<，23304k ∴-+=，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．22．本小题满分14分）设函数3222()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠．（Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）22()323()()3af x x ax a x x a '=+-=-+，又0a >，∴ 当3a x a x <->或时，()0f x '>；当3aa x -<<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,)a -∞-和(,)3a +∞内是增函数，在(,)3aa -内是减函数．（Ⅱ）由题意知 3222121x ax a x ax x +-+=-+，即22[(2)]0x x a --=恰有一根（含重根）．∴ 22a -≤0，即≤a，又0a ≠，∴[(0,2]a ∈．当0a >时，()g x才存在最小值，∴a ∈．211()()g x a x a aa=-+-， ∴1(),h a a a a=-∈． ∴()ha 的值域为(,12-∞-． （Ⅲ）当0a >时，()f x 在(,)a -∞-和(,)3a+∞内是增函数，()g x 在1(,)a+∞内是增函数．由题意得031a a a a a ⎧⎪>⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得a ≥1；当0a <时，()f x 在(,)3a-∞和(,)a -+∞内是增函数，()g x 在1(,)a-∞内是增函数．梦想不会辜负一个努力的人 all`试题 11 由题意得02312a aa a a⎧⎪<⎪⎪+≤⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解得a ≤3-；综上可知，实数a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞．。