关于二元函数可微性的判定
关于二元函数可微性的判定
关于二元函数可微性的判定
二元函数的可微性是指在函数定义域内的某一点处，函数在该点附近是否存在一个线性近似，并且这个线性近似与函数实际值的误差相对于自变量的变化趋势不大。
通常情况下，我们使用偏导数来判断一个二元函数是否可微。
判断二元函数的可微性的方法有以下几种：
1. 完全可微：如果一个函数的所有偏导数都存在且连续，那么这个函数在定义域内是可微的。
这是二元函数可微的最一般的判定方法。
4. 一阶混合偏导数存在：如果一个函数的所有一阶混合偏导数都存在且连续，即满足偏导数存在的条件，那么这个函数在定义域内是可微的。
一阶混合偏导数存在意味着函数的二阶偏导数存在，因此这个条件比一阶偏导数存在的条件更严格。
需要注意的是，以上方法只是对函数在定义域内某一点处的可微性进行判断，对于函数的整体可微性还需要进行更细致的研究。
对于特定的函数，我们还可以利用泰勒展开式来判断函数的可微性。
判断二元函数的可微性的最常见方法是判断其偏导数的存在性和连续性，但对于特定情况可能需要使用更严格的条件。
用极限证明二元函数可微
用极限证明二元函数可微在微积分的学习中，大家或许经常听到“可微”这个词，但是对于“可微”的判定方法，却不是那么容易掌握。
本文将从极限的角度来深入解析二元函数可微的证明方法，详细阐述极限证明二元函数可微的方法，帮助读者更好地掌握这种判定方法。
首先，我们需要了解一下什么是二元函数可微。
在高等数学中，我们可以将二元函数看做是一个自变量有两个分量，因变量是一个实数的数学表达式。
那么一个二元函数在某个点处可微，表示它在该点处的微分存在。
如果一个函数在某点处可微，那么该函数在该点处一定连续。
接下来我们就要深入到证明二元函数可微的极限方法中来。
假设二元函数是 $f(x,y)$，点 $(x_0, y_0)$ 是定义域的一个点，那么函数在这个点处可微的条件是：$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (f(x_0 +\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)) = A \Delta x $$ $$ \lim_{\Delta y \rightarrow 0} (f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)) = B \Delta y $$其中 $A$ 和 $B$ 都是常数。
上面的定义可以表示为：$$ f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0,y_0) + A\Delta x + B\Delta y + \alpha \Delta x +\beta \Delta y $$其中 $\alpha \rightarrow 0$，$\beta \rightarrow 0$。
这个式子里，前三项是用定义式推导而来的，它们表示 $f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的值。
而后面的两项分别是 $\Delta x$ 和$\Delta y$ 乘以接近 0 的无穷小量，表示一阶偏导数对像 $(x_0, y_0)$ 那样的点斜率计算的误差。
二元函数在一点可微的必要条件
二元函数在一点可微的必要条件二元函数在一点可微的必要条件一、引言数学中的二元函数是指具有两个变量的函数，例如f(x, y) = x^2 + y^2。
研究二元函数在一点可微的必要条件是微积分中的重要内容之一。
本文将通过具体例子和数学推导，生动、全面地介绍二元函数在一点可微的必要条件。
二、二元函数的定义二元函数是指输入两个变量，并输出一个结果的函数。
一般表示为f(x, y)，其中x和y是函数的自变量，f(x, y)是函数的因变量。
二元函数常出现在经济学、物理学和工程学等学科中，用来描述变量之间的关系。
例如，考虑一个二元函数f(x, y) = x^2 + y^2。
这个函数表示平面上每个点(x, y)的坐标与其到原点的距离的平方之和。
三、二元函数的可微性一个二元函数在某一点可微，意味着在这个点附近可以用一个近似的线性函数来描述它的变化。
这个近似的线性函数称为该点的切线。
形式化地说，设f(x, y)是一个二元函数，如果在某一点P(x0,y0)附近存在常数a、b、c，使得对于任意非常小的h和k，有f(x0+h, y0+k) = f(x0, y0) + ah + bk + o(√(h^2 + k^2))其中o(√(h^2 + k^2))是指当(h, k)趋近于(0, 0)时，剩余的部分比√(h^2 + k^2)小得可以忽略。
简单来说，就是当我们在函数上移动一个非常小的步长(h, k)时，f(x0+h, y0+k)与f(x0, y0)的差别可以近似看作是(a, b)这一常数向量与(h, k)的数量积。
四、一点可微的必要条件而一个二元函数在一点可微的必要条件是其在该点偏导数存在且连续。
对于这个二元函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们将讨论它在原点(0, 0)的可微性。
首先，计算偏导数。
偏导数的计算方法是将函数对某个变量求导时，将另一个变量视为常数，并求导。
(∂f/∂x) = 2x(∂f/∂y) = 2y然后，我们需要判断偏导数是否连续。
二元函数可微的充分必要条件
二元函数可微的充分必要条件
二元函数可微是指函数中只有两个变量，而且可以求出其导数的函数。
充分必要条件是指函数中的变量必须满足一定的条件，才能使函数可微。
首先，二元函数可微的充分必要条件是函数中的变量必须是连续可微的。
这意味着函数中的变量必须满足连续性，即变量的取值不能有任何间断，而且变量的取值必须可以无限接近，以便可以求出函数的导数。
其次，二元函数可微的充分必要条件是函数中的变量必须是可导的。
这意味着函数中的变量必须满足可导性，即变量的取值必须满足一定的函数关系，以便可以求出函数的导数。
最后，二元函数可微的充分必要条件是函数中的变量必须是可积的。
这意味着函数中的变量必须满足可积性，即变量的取值必须满足一定的积分关系，以便可以求出函数的导数。
总之，二元函数可微的充分必要条件是函数中的变量必须满足连续可微、可导和可积的条件，才能使函数可微。
只有满足这些条件，函数才能求出其导数，从而使函数可微。
二元函数可微的一个充分必要条件
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关 键词
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二元函数可微的充分条件(最终版)
元函数可微的充分条件（最终版）肇教材的充分条件是这样的，z二f（x, y）的偏导数连续，则函数是可微的。
条件可弱化为,z二f（x, y）偏导数存在，且其中一个偏导数连续，另一个偏导数单元连续（关于求导变元）则函数是可微的。
蒄多元函数关于某个变元连续，则称之为单元连续。
:z : z莁证明：1 ）设连续，关于y单元连续。
ex dy罿因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有）=f （x,y） - f （x°,y） f （x°,y） - f （冷,y。
）膀= f （x,y） - f （X o,y。
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羈将（2）（3）代入（1）有n f x (X o ,y °) ：x f y (x o ,y °) y 1 ：x 八袄可以证明 • 2 y=o^： L X - t y )穷小量，即 Q 'X 亠 22L y=o C ； L X 2 ： i y 2)蒅2）设’连续，‘关于x 单元连续。
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二元函数可微的充分必要条件公式
二元函数可微的充分必要条件公式好嘞，以下是为您生成的文章：在咱们数学的世界里啊，二元函数可微这事儿，还真有一套充分必要条件公式。
这公式就像是一把神奇的钥匙，能打开好多难题的大门。
咱先来说说啥是二元函数。
比如说，有个函数 z = f(x, y) ，这里的 x 和 y 就是两个自变量，它们一起决定了 z 的值。
那啥叫可微呢？简单来说，就是在某一点附近，这个函数的变化可以近似地用一个线性函数来表示。
那二元函数可微的充分必要条件公式到底是啥呢？咱慢慢道来。
就说我之前教过的一个学生小明吧。
有一次上课，我正讲着二元函数可微的知识点，这小明一脸懵，完全不在状态。
下课后，我把他叫到办公室，问他咋回事。
他挠挠头说：“老师，这二元函数可微太难理解了，那个公式更是像一团乱麻。
”我就耐心跟他解释：“小明啊，你别着急。
你看，咱就拿一个具体的例子来说。
比如说函数 z = x² + y²，咱来看看在点 (1, 1) 处它是不是可微的。
”然后我就一步步带着他算偏导数，给他讲清楚那个充分必要条件公式里的每一项。
这公式说，如果函数 z = f(x, y) 在点 (x₀, y₀) 处可微，那么它的偏导数 f'x(x₀, y₀) 和 f'y(x₀, y₀) 都存在，并且Δz = f'x(x₀,y₀)Δx + f'y(x₀, y₀)Δy + o(ρ) ，其中ρ = √(Δx² + Δy²) 。
我跟小明说：“你看啊，先求出偏导数，然后再看后面这个式子是不是成立。
”小明听着听着，眼睛里渐渐有了光，好像有点明白了。
经过这么一折腾，小明后来对这个知识点掌握得还不错。
从那以后，我也更加明白了，教这些复杂的公式，就得结合具体例子，让学生真正搞懂每个步骤的含义。
回到这二元函数可微的充分必要条件公式，它可真是数学里的一个重要宝贝。
在解决好多实际问题的时候，都能派上大用场。
比如说在研究物理中的一些场的变化，或者在工程计算中，判断某个函数模型是不是足够精确。
二元函数的连续偏导可微
二元函数的连续性、偏导及可微之间的联系二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的定义 1.二元函数的连续性定义 设f 为定义在D 上的二元函数，0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点) ,对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()0;P P D δ∈⋂，就有()()0f P f P ε-<, 则称f 在P 点连续2.二元函数的偏导数定义 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆ 时，相应地函数有增量x z ∆=0000(,)(,)f x x y f x y +∆-如果 00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数z (,)f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数，记作00(,)x f x y 或()00,x y fx ∂∂对y 的偏导数同理 3.二元函数的可微性定义 设函数(,)z f x y =在点()000,P x y 的某邻域()0U P 内有定义，对于()0U P 中的点()00,(,)P x y f x x y y =+∆+∆，若函数f 在0P 处的全增量z ∆可表示为：()()0000(,),z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+， (1)其中AB 是仅与点P 0有关的常数，ρ=，()o ρ是较高阶的无穷小量，则称函数f 在点P 0可微.并称(1)中A x B y ∆+∆为f 在点P 0的全微分，记作000(,)P dz df x y A x B y ==∆+∆说明：1)A 、B 是与x ∆y ∆无关的常数，但与0P 可能有关；2) dz 是z ∆的线性主部0lim0z dzρρ→∆-=二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有些差异，这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数，我们着重讨论二元函数，在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后，在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系. 一、二元函数连续性与偏导存在性间的关系偏导存在不一定连续，反之连续不一定有偏导存在 1)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续，但偏导不一定存在. 例1.证明函数(,)f xy =(0,0)连续偏导数不存在.证明：∵(,)(0,0)(,)lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→===,故函数(,)f x y =(0,0)连续.由偏导数定义：001,(0,0)(0,0)(0,0)limlim 1,x x x x f x f f x x ∆→∆→∆>⎧+∆-===⎨-∆<∆⎩故(0,0)x f 不存在.同理可证(0,0)y f 也不存在.2)函数(,)f x y 在点000(,)P x y 偏导存在，但不一定连续.例 2.证明函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不连续证明 : 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→∆→+∆-==∆=∆ 同理可求得(0,0)0y f =∵22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处不连续.综上可见，二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系. 二、二元函数的可微性与偏导间的关系1.可微性与偏导存在性1) 可微则偏导存在(可微的必要条件1)若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)P x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在，且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+注1 定理1的逆命题不成立，2)偏导存在，不一定可微.例3证明函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩在原点两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--===∆∆同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦应是较ρ=2200lim lim f df x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则(,)(0,0)2222(,)(0,0)lim lim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.例4. 22220(,)0,x y f x y x y +≠=+=⎪⎩在(0,0)处两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦为此考察极限limf dfρρρ→→∆-=当动点(,)x y 沿直线y =趋于时，则(,)(0,0)(,)limlim x y y mxx y →=→==0≠因此f 在原点不可微例5. 证明函数2222222,0(,)0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+= 222(,)(0,0)x yf f x y f x y ∆∆∆=∆∆-=∆+∆从而()222230,(0,0)222limlimlim0()()x y x y f dfx y x y x y x y ρρρρ→→∆∆→∆∆∆-∆∆∆+∆==≠=∆+∆取因此f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微例6.证明函数2222322222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在(0，0)连续，且两个偏导数都存在但不可微.证明(1)∵223222()x y x y ≤+∴0,4,εδεδε∀>∃=<<∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f 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x y x y ρρ∆=-=+=∀+≠+ 从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例8. 证明函数()2222220(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有(,)2x f x y x =(,)2y f x y y = (1)当y=x时，极限00lim (,)lim(2x x x f x x x →→=不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点间断.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点间断.(2)∵00(,0)(0,0)(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=-=从而201cos1limlimlim cos0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例9.证明函数2222221sin ,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有22222222121(,)sin cos ()x x y f x y y x y x y x y =-+++22222222121(,)sin cos ()y xy f x y x x y x y x y =-+++(1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(sin cos )222x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 00(,0)(0,0)(0,0)limlim00x x x f x f f x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=221(,)(0,0)sinf f x y f x y x y ∆=∆∆-=∆∆∆+∆从而()22,1limlimx y f dfx y ρρ→∆∆→∆-=∆+∆=0即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.三、二元函数的连续性与可微性间的关系 1)可微，一定连续(可微的必要条件2)二元函数(,)f x y 在000(,)P x y 可微,则必然连续，反之不然.2)连续，不一定可微例10.证明函数3222222,0(,)0,0x x y f x y x yx y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵322222,x x x x x y x y=⋅≤++ ∴0,,,x y x εδεδδε∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)(0,0)limlim 1x x x f x f xf xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0),x y df f x f y x =∆+∆=∆(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而20limf dfρρρ→→∆-=不存在即函数(,)f x y 在点(0，0)不可微. 注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微.例11.证明函数222222sin(),0(,)0,0x y xy x y x y f x y x y +⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵22sin(),222x y x y x y x y xy xy x y xy ++++≤⋅=≤+∴0,,,2x yx y εδεδδε+∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而0limf dfρρρ→→∆-=取y k x ∆=∆则23320022221sin (1)limlim (1)(1)x f dfk kx k k xk k ρρ→∆→∆-++=⋅=++ 不存在 故函数(,)f x y 在点(0，0)不可微.注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微. 例12 .证明函数(,)f x y xy =在点(0，0)连续，但它在点(0，0)不可微.证明:(1)∵00lim (,)lim 0(0,0)x x y y f x y xy f →→→→===故函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续.例13.证明函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在(0，0)连续 ，但不可微.证明:(1)∵2222222222x y xyx y x y x y++≤=++ ∴00lim (,)0(0,0)x y f x y f →→== 故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)不可微见例4综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示：偏导连续可微连续 偏导存在补充1.确定α的值，使得函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y α⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微.2.设函数2222(,)sin 0(,)0,0g x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪+=⎩， 证明：(1)若(0,0)0g =,g 在点(0，0)处可微,且(0,0)0dg =，则 f 在点(0，0)处可微,且(0,0)0df =.(2)若g 在点(0，0)处可导,且f 在点(0，0)处可微,则(0,0)0df =.3.确定正整数α的值，使得函数()22220(,)0,0x y x y f x y x y α⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处(1)连续，(2)偏导存在，(3)存在一阶连续偏导.4.设函数222222,0()(,)00,0px x y x y f x y p x y ⎧+≠⎪+=>⎨⎪+=⎩,试讨论它在(0,0)点处的连续性.。
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关于二元函数可微性的判定作者：高义
来源：《赤峰学院学报·自然科学版》2019年第04期
摘要：二元函数可微性是数学分析学习中重要的也是难以理解的知识点之一，为了帮助学生对该知识点进行更好的理解和掌握，本文从可微性的定义入手，辅以具体的例子，对二元函数可微性的判定条件展开了讨论和分析，进而给出一个判定二元函数可微性的流程图.
关键词：二元函数;可微;偏导数;连续
中图分类号：O174.41; 文献标识码：A; 文章编号：1673-260X（2019）04-0007-04
二元函数可微性是数学分析教学和学习中的一个重点和难点，涉及的知识点有二元函数
的连续性、偏导数以及全面极限的计算等. 另外，由于可微性是刻画二元函数性态的一个更加
精细的概念，因而受到人们广泛的关注，尤其在教学方面，有很多文献[1-12]对此进行了讨论.我们在长期的教学中也发现，学生对二元函数可微性的概念的理解不够深入和系统，这对后继课程如复变函数的学习带来了影响.为了更好地引导学生思考，本文对二元函数的可微性展开了讨论，以可微性的定义入手，通过启发性问题和典型例子层层引领学生对可微性的概念、判定条件等进行细致分析.同时，本文对已有的关于二元函数可微性的判定条件的基础上，归纳总结了判定二元函数可微性的充分条件或弱化的充分条件以及充要条件，进而給出一个判定二元函数可微性的流程图，清晰地展示了二元函数可微或不可微的判别条件，对二元函数可微性的判定做了一个有益补充.
1 二元函数可微性的定义
我们先给出二元函数可微性的定义.
定义1[13，14] 设函数z=f（x，y）在P0（x0，y0）点的某邻域有定义.若函数f在P0点的全改变量？驻z可表为
我们对此定义给出注解.
不存在或者不等于0的话，那么函数f在（x0，y0）点不可微.也就是说，如果一个二元函数f在（x0，y0）点的两个偏导数都存在，还要想进一步判断其在该点的可微性，我们只要求解极限（1.2）即可.
2 二元函数可微性的判定
利用定义判定一个函数的可微性固然重要，但是需要求极限（1.2），有时候，求极限（1.2）不是件容易的事情.本节从可微性的定义出发，讨论分析其它的可微性的判定方法.首先，我们讨论函数可微性和连续性的关系.由定义1，函数的可微性显然可以推得其连续性.
定理1[13] 若二元函数f（x，y）在点P0（x0，y0）可微，则f（x，y）在点P0（x0，
y0）连续.
自然地，一个二元函数在某点连续，那么它在该点可微吗？为此，我们给出一个例子进行说明.
不存在，即偏导数fx（0，0）不存在，由注1知道该函数在（0，0）点不可微.
由例1知函数的可微性要比连续性更强，一个二元函数在某点连续，并不意味着其在该点可微. 但是，若一个二元函数在某点不连续，那么它在该点一定不可微，即连续性是可微性的一个必要条件.例1是因为函数的偏导数不存在而导致其不可微，那么是不是一个二元函数在某点的两个偏导数都存在就一定能说明其在该点处可微呢？我们再看一个例子.
由例2看到，一个二元函数在某点的两个偏导数存在并不能完全保证函数在该点的可微性. 既然可微性要求两个偏导数都要存在，那么我们在此基础上能否加强，使得函数能够可微呢？
定理2[13，14] 若二元函数f（x，y）在P0（x0，y0）点的某邻域内存在偏导数，且fx （x，y），fy（x，y）在P0（x0，y0）点连续，则f（x，y）在P0（x0，y0）点可微.
相比较求解极限（1.2），定理2的条件的验证较容易. 该定理可以推广到某个区域上处处可微性的判断，我们只要判断函数偏导数的在某个区域上的存在性和连续性即可.
定理3 若二元函数f（x，y）在区域D内处处存在偏导数，且fx（x，y），fy（x，y）在D内处处连续，则f（x，y）在D内处处可微.
注3 定理3在判断一个复变函数是否为解析函数时很重要，关于解析函数的概念参见文献[15].
例3 考察函数f（x，y）=exsiny在平面R2上的可微性.
在平面R2上处处连续，所以函数f（x，y）=exsiny在平面R2上处处可微.
然而，定理2的条件能否减弱呢？假如一个二元函数的两个偏导数有一个在某点连续，另外一个在该点不连续，能否判断这个二元函数在该点可微呢？我们给出另外一个例子.
通过例4，我们看到定理2的条件可以减弱，为此，我们给出如下的定理.
定理4 若二元函数f（x，y）在P0（x0，y0）点的某邻域O（P0）内存在偏导数fx（x，y）和fy（x，y），且二者中至少有一个在P0（x0，y0）点连续，则f（x，y）在P0（x0，
y0）点可微.
一个自然的问题是，一个二元函数的某个偏导数连续是判断该函数可微性的必要条件吗？我们看如下的例子.
的偏导数存在，但偏导数在（0，）点不连续，而该函数在（0，0）点可微.
通过例5我们看到，定理2仅仅给出了一个判断函数在某点可微的充分条件，而不是必要条件.不仅如此，一个二元函数的两个偏导数在某点都不连续，但这个函数也有可能在该点可微. 然而，除了定义，有没有一个判断二元函数在某点可微的充分必要条件呢？文献[5]基于方向导数，给出如下定理.
基于可微性的几何意义，文献[14]给出另外一个判别函数可微性的充要条件.
定理6[14] 二元函数f（x，y）在P0（x0，y0）点可微的充要条件是：曲面z=f（x，y）在点P（x0，y0，f（x0，y0））存在不平行于z轴的切平面.
综上，我们给出一个判定二元函数可微性的流程图.
最后，关于函数的可微性，我们给出几点说明.
（1）二元函数可微性的情况可以推广到多元函数的情形，参见文献[16，17].
（2）二元函数可微性在判断某个复变函数是否为解析函数时显得尤为重要，关于这方面的讨论参见文献[15，18-20].
（3）可以进一步讨论二元函数一致可微性的概念，参见文献[21].
3 结论
本文是对二元函数可微性这一知识点经过多年教学实践而形成的总结，主要通过设置问题和典型例题入手层层引领学生提高对二元函数可微性的认识、理解和掌握.同时，在对已有二元函数可微性判定条件的基础上，讨论并分析了判定二元函数可微性的充分或必要条件，进而给出一个判定二元函数可微性的流程图，清晰地展示了二元函数可微或不可微的判别条件.
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