二元函数可微的充分条件(最终版)
用极限证明二元函数可微
用极限证明二元函数可微在微积分的学习中，大家或许经常听到“可微”这个词，但是对于“可微”的判定方法，却不是那么容易掌握。
本文将从极限的角度来深入解析二元函数可微的证明方法，详细阐述极限证明二元函数可微的方法，帮助读者更好地掌握这种判定方法。
首先，我们需要了解一下什么是二元函数可微。
在高等数学中，我们可以将二元函数看做是一个自变量有两个分量，因变量是一个实数的数学表达式。
那么一个二元函数在某个点处可微，表示它在该点处的微分存在。
如果一个函数在某点处可微，那么该函数在该点处一定连续。
接下来我们就要深入到证明二元函数可微的极限方法中来。
假设二元函数是 $f(x,y)$，点 $(x_0, y_0)$ 是定义域的一个点，那么函数在这个点处可微的条件是：$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (f(x_0 +\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)) = A \Delta x $$ $$ \lim_{\Delta y \rightarrow 0} (f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)) = B \Delta y $$其中 $A$ 和 $B$ 都是常数。
上面的定义可以表示为：$$ f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) = f(x_0,y_0) + A\Delta x + B\Delta y + \alpha \Delta x +\beta \Delta y $$其中 $\alpha \rightarrow 0$，$\beta \rightarrow 0$。
这个式子里，前三项是用定义式推导而来的，它们表示 $f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的值。
而后面的两项分别是 $\Delta x$ 和$\Delta y$ 乘以接近 0 的无穷小量，表示一阶偏导数对像 $(x_0, y_0)$ 那样的点斜率计算的误差。
关于二元函数可微性的判定
关于二元函数可微性的判定如何判断一个二元函数是否可微呢？下面将从定义、常用方法和举例三个方面进行讲解。
（一）定义先来回顾一下一元函数可微性的定义：如果一个函数在某个点处的导数存在，且这个导数连续，那么就说这个函数在这个点处可导，也就是这个函数在这个点处可微。
举个例子，对于二元函数 $f(x,y)=xy^2$，我们来看看点 $(1,2)$ 处的可微性判断。
首先需要计算这个点的偏导数：$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(1,2)&=2y=4 \\ \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)&=2xy=4 \end{aligned}$$然后计算只有 $x$ 方向和只有 $y$ 方向的方向导数：将 $\theta$ 代入可以得到 $x$ 方向和 $y$ 方向的方向导数都是 $4\cos\theta$，显然这两个方向导数是连续的，因此在点 $(1,2)$ 处，$f(x,y)=xy^2$ 可微。
（二）常用方法除了使用定义的方式来判断二元函数的可微性，还有一些常用方法。
下面列举一些较常用的方法：1. 判断偏导数的连续性这个方法的原理其实就是利用偏导数和方向导数的关系，即：$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$通过这些公式可以得到，若某个点处的偏导数连续，那么这个点处所有方向的方向导数都存在。
2. 利用一元函数的可微性这个方法的原理其实就是将一个偏导数看作一元函数的导数，然后用一元函数的可微性去判断二元函数的可微性。
即，假设 $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ 在$(x_0,y_0)$ 处连续，$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处有可导的 $g(x)$，那么我们可以写出：$$\begin{aligned}f(x,y)-f(x_0,y_0)&=\left[f(x,y)-f(x_0,y)\right]+\left[f(x_0,y)-f(x_0,y_0)\righ t] \\ &=\frac{\partial f}{\partialx}(x_0,y_0)(x-x_0)+\int_{y_0}^{y}\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,t)dt \\&=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\left[f(x_0,y)-f(x_0,y_0)\right] \end{aligned}$$其中用到了某个偏导数的连续性，以及第二个等号是换了一下顺序。
二元函数在一点可微的必要条件
二元函数在一点可微的必要条件二元函数在一点可微的必要条件一、引言数学中的二元函数是指具有两个变量的函数，例如f(x, y) = x^2 + y^2。
研究二元函数在一点可微的必要条件是微积分中的重要内容之一。
本文将通过具体例子和数学推导，生动、全面地介绍二元函数在一点可微的必要条件。
二、二元函数的定义二元函数是指输入两个变量，并输出一个结果的函数。
一般表示为f(x, y)，其中x和y是函数的自变量，f(x, y)是函数的因变量。
二元函数常出现在经济学、物理学和工程学等学科中，用来描述变量之间的关系。
例如，考虑一个二元函数f(x, y) = x^2 + y^2。
这个函数表示平面上每个点(x, y)的坐标与其到原点的距离的平方之和。
三、二元函数的可微性一个二元函数在某一点可微，意味着在这个点附近可以用一个近似的线性函数来描述它的变化。
这个近似的线性函数称为该点的切线。
形式化地说，设f(x, y)是一个二元函数，如果在某一点P(x0,y0)附近存在常数a、b、c，使得对于任意非常小的h和k，有f(x0+h, y0+k) = f(x0, y0) + ah + bk + o(√(h^2 + k^2))其中o(√(h^2 + k^2))是指当(h, k)趋近于(0, 0)时，剩余的部分比√(h^2 + k^2)小得可以忽略。
简单来说，就是当我们在函数上移动一个非常小的步长(h, k)时，f(x0+h, y0+k)与f(x0, y0)的差别可以近似看作是(a, b)这一常数向量与(h, k)的数量积。
四、一点可微的必要条件而一个二元函数在一点可微的必要条件是其在该点偏导数存在且连续。
对于这个二元函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们将讨论它在原点(0, 0)的可微性。
首先，计算偏导数。
偏导数的计算方法是将函数对某个变量求导时，将另一个变量视为常数，并求导。
(∂f/∂x) = 2x(∂f/∂y) = 2y然后，我们需要判断偏导数是否连续。
关于二元函数可微性的判定
关于二元函数可微性的判定要判断一个二元函数的可微性，需要先了解函数的偏导数、连续性和可微性的概念。
一、偏导数：偏导数是指在多元函数中，求解在其它变量上保持不变的情况下，对某一变量的导数。
偏导数可以分为两种：一阶偏导数和高阶偏导数。
对于一个二元函数f(x, y)，偏导数可以用记号∂f/∂x 和∂f/∂y来表示。
其中∂f/∂x表示在y上保持不变，对x求导；∂f/∂y表示在x上保持不变，对y求导。
二、连续性：连续性是指函数在某一点附近的值与该点的极限相等的性质。
在二元函数中，要判断其连续性，需要分别判断在区域内的每个点上的连续性。
如果一个函数在其定义域内的每一个点上都是连续的，则称其为在该区域内连续。
三、可微性：对于一个二元函数f(x, y)，如果在某一点(x0, y0)处存在一组偏导数∂f/∂x 和∂f/∂y，并且在该点附近满足一个条件，那么该函数在该点处是可微的。
这个条件是存在一个二元函数A(x, y)，使得当(x, y)在(x0, y0)附近时，有f(x, y) = f(x0, y0) + ∂f/∂x(x0, y0)(x-x0) + ∂f/∂y(x0, y0)(y-y0) + A(x, y)(x-x0)(y-y0)。
其中A(x, y)是一个无穷小量，当(x, y)趋于(x0, y0)时，它趋于0。
如果存在这样的二元函数A(x, y)，则称函数在该点处可微。
四、可微性的判定：根据可微性的定义，可以得到以下判定定理：定理1：如果一个二元函数在某一区域内的所有一阶偏导数都存在且连续，那么该函数在该区域内是可微的。
根据以上定理，可以通过对函数的一阶、二阶偏导数的存在性和连续性进行判定来确定函数的可微性。
如果函数的一阶、二阶偏导数都存在且连续，则可以判断函数在该区域内是可微的。
二元函数可微分的充分必要条件
第23卷第3期2020年5月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.23,No.3May2020doi：10.3969/j.issn.1008-1399.2020.03.003二元函数可微分的充分必要条件李海鹏陈少锋3,李高明4(1.西安电子工程研究所，陕西西安710100；2.西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室，陕西西安710071；3.武警工程大学图书馆，陕西西安710086；4.武警工程大学基础部，陕西西安710086)摘要本文引入半微分概念，并在此基础上给出了二元函数可微分的三个充分必要条件.关键词二元函数；可微分；半微分；充分必要条件中图分类号O171文献标识码A文章编号1008-1399(2020)03-0007-04Necessary and Sufficient Conditions for Differentiability ofFunctions of Two VariablesLI Haipeng1,2,CHEN Shaofeng3,LI Gaoming4(1.Xian Electronic Engineering Research Institute,Xian,Shaanxi,710100,PRC；2.National Laboratory of Radar Signal Processing,Xidian University,Xian,Shaanxi,710071,PRC；3.Library University of Armed Police Force,Xian Shaanxi,710086,PRC；4.Foundation Department University of Armed Police Force,Xian,Shaanxi,710086,PRC)Abstract Inthispaper withthenotionofsemi—di f erentiable weestablishthreenecessaryandsu f i-cientconditionsforthedi f erentiabilityoffunctionsoftwovariablesKeywords functionoftwovariables di f erentiability dition引言二元函数的微分与偏导数是多元函数微分学中二个基本的概念,在多元函数微分学有着极其重要的地位和作用.众所周知，二元函数可微分的必要条件是偏导数存在,反之，则不然.偏导数连续是二元函数可微分的充分条件,非必要条件.自然会有这样收稿日期：2019-04-19修改日期2019-11-24作者简介：李海鹏(1985—),男,汉,博士研究生,高级工程师,从事于组网雷达、雷达系统设计、机器学习等研究，E-mail：317707690@.陈少锋(1982—),男,汉,学士,图书馆馆员,从事于信息与计算科学的研究，E-mail：xaitl982@.李高明(1961—),男,汉,硕士,教授,从事于信息科学数学基础、应用统计学、机器学习与数据挖掘等方面的研究,E-mail:Ligaomingwj@.semi—di f erentiable necessaryandsu f icientcon-的问题:二元函数可微分的充分必要条件是什么?关于可微分的必要条件或充分条件的讨论可见于诸多文献中，如文献)一5*;但关于可微分的充分必要条件的研究,目前文献中尚不多见.文献［6,7］关于二元函数可微分的充分必要条件进行了研究.本文旨在给出不同于以往文献中二元函数可微分的充分必要条件,给出了二元函数可微分的三个充分必要条件!为了行文简练,关于二元函数的偏导数、微分等概念不再赘述.具体概念、定义可参见文献)*定义设函数9=f(&,/)在点(&0,/0)的邻域内有定义，如果函数在点(&0,/0)的半增量#9=f(&0+#&,/0+#/)—f(&0,/0+△/)对任意的充分小的△&(#&*0)及△/(特别#/=0时)都可表示为#9=A#x+o(.p )8高等数学研究2020年5月或表示为lim f(&+△&，/+△/)—f(&0,/0+△/)—A△&=0 p"0p其中A不依赖于△&、△/而仅与(&0,/0)有关，p=槡(△&)+(△/)，则称函数9=f(&!/)在点(&0,/0)对&半可微分(或称关于&半可微分),而A△&称为函数9=f(&!/)在点(&0,/0)对&的半微分，记为d,9丨&0,0=：△&.类似地可定义函数9=f(&,/)在点(&0,/0)对/的半微分.注11)当△&=0时!对任意△/!有△)9=f(&0+△&,/0+△/)—f(&0,/0+△/)=0,因此!在定义中仅考虑△&*0的半增量.2)当△/=0(或△&=0)时半增量也称为偏增量;半微分也称为偏微分•定理1若函数9=f(&!/)在点(&0,/0)对&(或/)半可微分!则函数在点(&0,/0)对&(或/)的偏导数存在，且函数9=f(&,/)在点(&0,/0)对&(或/)的半微分为d,9丨&0,0=f&(&0/0)△&(或d/9I&0,0=f/(&o/o)△/)•证明由函数9=f(&,/)在点(&0,/0)对&半分f(&°+△&,/o+△/)—f(&0,/0+△/)=A△x+o(p')!特别地当3=0时,有f(&0+△&,/0)—f(&0,/0)=：△&+.(I△&I)!于是有Hm f(&0+△&,/)—f(&0,/0)=：(&"0△&从而偏导数f&(&0,/0)存在，且等于A.对/的证明类似，从略.注该定理说明偏导数存在是半可微分的必要条件,下面的例子表明非充分条件.,&2+/2*0例1f(x,/)=-槡&2+/20,&2+/2=0.解易计算得；(0,0)=0，但是,函数在点(0,0)对/不是半可微分.事实上lim f(0+△&，0+△/)—f(0+△&,0)—f/(0,0)△/ p"0p=im#&△,p"0p易见该极限不存在.例2f(&,/)=&2+I/I.解易验证函数在点(0,0)对&是半可微分,但对/的偏导数不存在.注该例说明函数对其中一个变量半可微分,并不能保证函数关于另一个变量偏导数存在・定理2若函数9=f(&,/)在点(&0,/0)可微分,则函数在点(&0,/0)对&(或/)均半可微分.分的Hm!f(&°+△&,/o+△/)—f(&0,/0)―p"0'pf&(&0,/0)△&—f/((0,/0)△/p=0若\/*0,有Hm)f(&)+△&,/o+△/)—f(&0,/)+△/)一p"0'pf&(&0,/0)△&；p/=Um{1)f(&0+△&,/0+△/)—f(&0,/0)—p"0pf&(&0,：/))△&—f/(&0,/o)△/*—△/)f(&0,/o+△/)—f(&0,/0)一;/)*}p z y00△/0(由于3,1及函数偏导数存在)p若△/=0lm，f(&0+&,/0+/)—f(&0,/0+/)_；(&0,/)& p"0pp im f(&0+&,/0)—f(&0,/0)—；(&0,/0)&=0&"0I△•XI类似半从略注下例表明可微分仅是半可微分的充分条件必要条件.例3f(&,/)=&/+I/I.解易验证该函数在点(0,0)对&是半可微分但是在(00)分.以上两个定理及例子表明，一般情况下二元函数可微分比半可微分强；而半可微分比偏导数存在强.定理3设函数9=f(&,/)在点(&0,/0)对& (或/)的偏导数存在,在/0(或&0)的某邻域内f&(&0,/)(或f/(&,/0))存在,则函数9=f(&,/)在点(&0,/0)对&(或/)半可微分的充分必要条件是: f&(&0,/)(或f/(&,/0))在/0(&0)连续•证明充分性设f&(&0,/)在/0连续.因为在/0的某邻域内f&(&0,/)存在,若△&*0,则由泰勒公式得Hm I f(&0+△&,/0+△/)—f(&0,/0+△/)一p"0'p(1) f&(&0,/0)△&；p /第23卷第3期李海鹏，陈少锋，李高明：二元函数可微分的充分必要条件9=1i m f&(x o,y°+#y)#x+o(#x)—f'x(x°,y°)#x %"0%=lm[[f'x(x°,y°+#y)—；x(x°,y°)]#x+ %"0'%。
一类二元函数连续与可微条件的归纳与推广
一类二元函数连续与可微条件的归纳与推广
一、二元函数的概念
二元函数，俗称双元函数，是指具有两个变量的函数，一般为x
和y两个变量。
形如y=f(x,y)、z=f(x,y)；或者形如f(x,y)=0等多种形式，用来描述两个变量之间的关系。
二、二元函数连续与可微条件
1. 二元函数连续性条件：f(x,y)的变量之间存在一定的关系，
当其极限值小于某一个特定的阈值时，即存在连续变化，f(x,y)就可
被认为是连续函数。
2. 二元函数可微性条件：在任意一点（x0，y0）处，存在分别
沿x和y方向的偏导数，两方向的导数是连续函数，就可以称f(x,y)
为可微函数。
三、二元函数连续与可微条件的归纳
1. 函数连续条件归纳：函数可以被定义在它的定义域（x，y）中，且函数的值趋向于其限值（极限），这时即可认为是连续函数，
无自变量间的突变。
2. 函数可微性条件归纳：函数可微的意思是指在任意一点（x0，y0）处，存在分别沿x和y方向的偏导数，两方向的导数同时都是连
续函数，一般满足这个条件的函数都是可微函数。
四、二元函数条件的推广
按照上述归纳出来的函数连续与可微条件，可以推广到多元函数，任意函数满足存在定义域，变量间极限存在可求导度，且满足连续性
和可微性，即可为可求导函数。
从上面，我们充分认识到了二元函数连续与可微条件的重要性，
归纳与推广也是数学分析的重要研究方向，涉及到函数的模型构建和
参数计算，都需要用到函数的可微性和连续性条件。
二元函数可不可微如何判断
二元函数可不可微如何判断要判断一个二元函数是否可微，我们可以使用两个常用的方法：偏导数和全微分。
首先，我们需要了解什么是偏导数。
对于一个二元函数f(x,y)，其偏导数是指用来衡量在一个给定点上，函数的一些变量发生微小的改变时，函数的变化率。
给定一个函数f(x,y)，我们可以计算它关于x的偏导数，记作∂f/∂x，以及关于y的偏导数，记作∂f/∂y。
判断一个二元函数是否可微的条件之一是它的偏导数存在且连续。
换句话说，如果一个二元函数在一些点上的偏导数存在且连续，那么我们可以说这个函数在该点可微。
注意，这只是一个充分条件，并不是一个必要条件。
也就是说，即使一个二元函数的偏导数存在且连续，它仍然可能不可微。
事实上，要判断一个二元函数是否可微，我们还需要使用全微分的概念。
全微分是指函数对于一些的自变量的微小改变Δx和Δy时，函数值的变化。
全微分可以用来近似表达函数值的变化。
对于一个二元函数f(x, y)，它的全微分df可以表示为：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy如果一个二元函数在一些点上可微，那么在该点上的全微分df可以近似等于函数值的变化。
换句话说，如果函数在一些点上可微，那么全微分df可以用来近似表示函数值的变化。
要判断一个二元函数是否可微1.首先，计算出函数f(x,y)的偏导数，即∂f/∂x和∂f/∂y。
2.判断偏导数是否存在且连续。
如果偏导数在一些点上存在且连续，那么函数在该点上可微的充分条件满足。
3. 计算全微分df，即df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。
如果df可以近似等于函数值的变化，那么函数在该点上可微的必要条件满足。
综上所述，可以通过计算偏导数和全微分来判断一个二元函数是否可微。
如果偏导数存在且连续，并且全微分可以近似等于函数值的变化，那么该二元函数在该点上可微。
证明二元函数可微的方法
证明二元函数可微的方法
对于一个二元函数，要证明其可微性，可以使用以下方法：
1. 定义可微性：首先，我们需要明确可微函数的定义。
一个函数在某一点上可微，意味着它在该点上存在偏导数，并且这个偏导数在该点附近具有连续性。
2. 分别计算偏导数：为了证明二元函数的可微性，我们需要计算函数的两个偏导数，即对自变量的偏导数和对因变量的偏导数。
这可以通过计算函数的导数公式来实现。
对于一个由x和y 表示的二元函数f(x, y)，分别对x和y求偏导数，得到f关于x的偏导数f_x和f关于y的偏导数f_y。
3. 判断连续性：接下来，我们需要评估偏导数的连续性。
为了证明一个函数在某一点上的可微性，其偏导数必须在该点附近具有连续性。
因此，我们需要检查f_x和f_y是否在该点附近连续。
4. 验证偏导数和连续性的条件：根据以上步骤，我们可以得出结论：如果f_x和f_y分别存在且连续，则原始函数f(x, y)在该点可微。
这是因为可微函数的存在必需条件是其偏导数的存在和连续性。
需要注意的是，以上方法只适用于函数在某一点上的可微性。
如果要证明函数在整个定义域上都是可微的，则需要对定义域进行更详细的分析，并根据函数的性质进行更多的论证。
总之，通过计算二元函数的偏导数，并检查这些偏导数在某一点附近的连续性，我们可以证明该函数在该点可微。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二元函数可微的充分条件（最终版）
教材的充分条件是这样的，(,)z f x y = 的偏导数连续，则函数是可微的。
条件可弱化为，
(,)z f x y =偏导数存在，
且其中一个偏导数连续，另一个偏导数单元连续（关于求导变元），则函数是可微的。
多元函数关于某个变元连续，则称之为单元连续。
证明：1）设z x
∂∂ 连续，z y ∂∂关于y 单元连续。
因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有
000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)z f x y f x y f x y f x y f x y f x y ∆=-=-+-
0(,)(,)x y f y x f x y ξς=∆+∆ （1）
ς 在0,y y 之间，ξ 在0,x x 之间。
(,)x f y ξ 在00(,)x y 连续，有001(,)(,)x x f y f x y ξε=+ （2）
1ε在00,x x y y →→ 时是无穷小量。
0(,)y f x ς在0y y = 关于y 单元连续， 有
0002(,)(,)y y f x f x y ςε=+ （3）
2ε在0y y → 时是无穷小量。
将（2）（3）代入（1）有
000012(,)(,)x y z f x y x f x y y x y εε∆=∆+∆+∆+∆
可以证明12x y εε∆+∆
120||+||εε≤≤
12||+||εε
是无穷
小量，即12x y εε∆+∆
2）设z y ∂∂ 连续，z x
∂∂关于x 单元连续。
因为偏导数存在，函数对单个自变量是连续的，根据拉格朗日中值定理，有
000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)z f x y f x y f x y f x y f x y f x y ∆=-=-+- 0(,)(,)y x f x y f y x ξς=∆+∆ （3） ξ 在0,y y 之间，ς 在0,x x 之间。
(,)y f x ξ 在00(,)x y 连续，有001(,)(,)y y f x f x y ξε=+ （4） 1ε在00,x x y y →→ 时是无穷小量。
0(,)x f y ς在0x x =关于x 单元连续， 有
0002(,)(,)x x f y f x y ςε=+ （5） 2ε在0x x → 时是无穷小量
将（4）（5）代入（3）有
000021(,)(,)x y z f x y x f x y y x y εε∆=∆+∆+∆+∆
可以证明21x y εε∆+∆
120||+||εε≤≤
12||+||εε
是无穷
小量，即21x y εε∆+∆。