10二元函数的连续性与可微性教学案例
二元函数连续可微偏导之间的关系解读
一、引言对于一元函数而言,函数y=f(x在点x0处连续、导数存在、可微这三个概念的关系是很清楚的,即可微一定连续,但连续不一定可微,可微和导数存在是等价的。
对多元函数而言,由于偏导数的出现,使得他们之间的关系要复杂的多。
下面以二元函数为例,探讨其在点(x0,y0处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系。
二、二元函数连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系1.可微与连续的关系假设函数f(x,y在点(x0,y0处可微,那么在该点连续,但反之不成立(同一元函数。
证明:因为f(x,y在点(x0,y0处可微,因此有0≤f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0≤A△x+B△y+O(O→(△x→0,△y→0,所以lim(△x,△y→(0,0f(x0+△x,y0+△y=f(x0,y0,故f(x,y在点(x0,y0处连续。
反之不成立。
例1.f(x,y=x2yx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=$在点(0,0处连续,但在该点不可微。
2.偏导数存在与可微的关系由定理17.1[1](可微的必要条件,函数f(x,y在点(x0,y0处可微,那么f(x,y在点(x0,y0的偏导数一定存在;但反之不成立,如例1中函数f(x,y在点(0,0处偏导数存在,但在此点不可微。
3.偏导数连续与可微的关系由定理17.2[2](可微的充分条件知,函数f(x,y在点(x0,y0处偏导数连续,那么f(x,y 在点(x0,y0处可微;但反之不成立,例2.f(x,y=(x2+y2sin1x2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=%’’’&’’(0在点(0,0处可微,但偏导数在点(0,0不连续。
4.连续与偏导数存在之间的关系二元函数连续与偏导数存在之间没有必然的联系。
例3f(x,y=x2+y2(圆锥在点(0,0连续但在该点不存在偏导数。
更值得注意的是,即使函数在某点存在对所有自变量的偏导数,也不能保证函数在该点连续。
例4.f(x,yxyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=$在点(0,0不连续,但f y(0,0=lim△y→∞0-0=0,f y(0,0=lim△y→∞0-0△y=0。
高等数学第16章第3节二元函数的连续性
§ 3 二元函数的连续性一 二元函数的连续性定义 设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．()。
的孤立点的聚点，或者是它或者是D D D P ∈0对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()，；D P U P δ0∈，就有 ()()ε<-0P f P f ，()1则称f 关于集合D 在点0P 连续。
在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续。
若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数。
由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于D 在连续等价于()().lim 00P f P f DP P P =∈→()2如果0P 是D 的聚点，而()2式不成立()应情形相同其含义与一元函数的对，则称0P 是f 的不连续点或称间断点。
特别当()2式左边极限存在但不等于)(0P f 时，0P 是f 的可去间断点．如上节例1、2给出的函数在原点连续；例4给出的函数在原点不连续，又若把例3的函数改为{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=),0,0(),(,1,0,|),(),(,),(222y x m m x m x y y x y x y x xyy x f其中m 为固定实数，亦即函数f 只定义在直线mx y =上，这时由于(),0,01),(lim 2),(),(00f m my x f mx y y x y x =+==→ 因此f 在原点沿着直线mx y =是连续的。
设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆ ()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量。
和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当0l i m ),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x时，f 在点0P 连续。
二元函数可微,连续,偏导数之间的关系
二元函数可微,连续,偏导数之间的关系二元函数的可微与连续是偏导数的重要前提条件。
如果一个二元函数在某一点处可微，则其在该点处必定连续，但连续并不一定意味着可微。
此外，偏导数也和可微、连续有一定的关系。
对于二元函数 $f(x,y)$，若其在点 $(x_0,y_0)$ 可微，则有： $$lim_{Delta xto 0}frac{f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)-frac{partial f}{partial x}Delta x}{Delta x} = 0$$$$lim_{Delta yto 0}frac{f(x_0,y_0+Deltay)-f(x_0,y_0)-frac{partial f}{partial y}Delta y}{Delta y} = 0 $$其中，$frac{partial f}{partial x}$ 和 $frac{partialf}{partial y}$ 分别表示函数 $f(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
若以上两个极限存在且相等，则称 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微。
反之，如果 $f(x,y)$ 在某一点处不可微，则该点处必定不连续。
但连续并不一定意味着可微，如绝对值函数 $|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导。
偏导数也和可微、连续有关系，若 $f(x,y)$ 在某一点处连续且具有偏导数，则该点处必定可微。
但可微并不一定意味着偏导数存在，如 $f(x,y)=xysinfrac{1}{x+y}$ 在 $(0,0)$ 处可微但其偏导数不存在。
总之，二元函数的可微与连续是偏导数的重要前提条件，偏导数则可以进一步判断函数的可微性和连续性。
二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论
编号：Xxxxxxx x学校本科毕业论文二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论院系：数学科学系姓名：XXXX学号：XXX专业：XXXX年级：2008级指导教师：XXX职称：讲师完成日期：2012年5月摘要二元函数微分学是高等数学的重点之一,理清其基本概念之间的相互关系对于认识二元函数的性质有重要的意义,只有这样才能弄清楚二元函数连续、偏导数及可微之间的关系,才能更好地加以利用.本论文将重点对它们之间的关系加以总结和探讨,并给以证明和应用举例.本论文正文主要介绍了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的基本知识.对它们分别进行了总结证明和进一步讨论,还总结二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的简单关系,并举出的例子加以论证支撑.关键词：二元函数；连续；偏导数；可微Abstrac tBinaryFunctio n Differe ntialCalculu s is one of the priorit ies of the highermathema tics, to clarify the basic concept s of the relatio nshipbetween the signifi cancefor underst anding the natureof the binaryfunctio n, the only way to figureout the binaryfunctio n continu ous partial derivat ives and differe ntiabi lity the relatio nshipbetween, in order to bettertake advanta ge of this paper will focus on the relatio nships between them to be summari zed and discuss ed, and give proof of applica tion example.In this thesis, the text introdu ces binaryfunctio n continu ity, partial derivat ives of the Existen ce and differe ntiabi lity of basic knowled ge. Them a summary of the proof and further discuss ion, and also summari zes the continu ity of the binaryfunctio n, the partial derivat ives exist and micro of simplerelatio ns, citingthe example s to demonst rate support.Key words：Dual functio n; Continu ously; Partial derivat ive; Differe ntiabl e目录摘要错误！未定义书签。
连续性定理可微性定理可积性定理例题
d
d
c f ( x0, y)d y
lim f ( x, y)d y
c x x0
即在定理的条件下，极限运算与积分运算的顺序
是可交换的，或说可在积分号下取极限 .
定理19.2（连续性） 如果函数 f ( x在, y区) 域
G {( x, y) | c( x) y d( x), a x b} 上连续，又函数 c( x与) d在(x区) 间 上[连a,续b]，
d du
d
H(u, y)d y
c
d
c Hu (u, y)d y
d
c f (u, y)d y I(u)
所以 I1(u) I2 (u), 从而 I1(u) I2(u) k ( k 为常数 )
当 u = a 时，I1(a) I2(a) 0, 于是，k = 0
即得
I1(u) I2(u)
u
d
在 [ a, b ]上可微，且
d(x)
F ( x) c( x) f x ( x, y)d y
f ( x,d( x))d( x) f ( x,c( x))c( x)
证: 把 F ( x )看作复合函数：
d
F ( x) H( x, c, d ) c f ( x, y)d y
c c(x), d d(x)
定理19.1 表明, 若 f ( x, y) 在矩形区域
R [a,b][c,d] 上连续, 则 d I( x) c f ( x, y)d y, x [a, b]
在[a, b]上连续. 于是对任意 x0 [a, b], 有
lim
x x0
d
f (x, y)d y
c
lim
x x0
I(x)
I( x0 )
二元函数的极限与连续课件
极限的局部保号性质
局部保号性质是指如果一个函数在某一点的邻域内保持一定的符号，那么这个函 数在这一点附近的极限也保持相同的符号。具体来说，如果存在一个正数r和实 数a，使得对于所有满足|x - a| < r的x，有f(x, y) > 0，那么lim f(x, y) >= 0。
二元函数的极限与连续课件
目 录
• 二元函数的基本概念 • 二元函数的连续性 • 二元函数的极限性质 • 二元函数连续与极限的关系 • 二元函数连续性的应用
01
二元函数的基本概念
二元函数的定义
总结词
二元函数是定义在二维平面上的数学函数，通常表示为z = f(x, y)。
详细描述
二元函数是数学中一个重要的概念，它表示一个变量z与两个 变量x和y之间的依赖关系。这种关系通常用z = f(x, y)来表示 ，其中f是函数符号，x和y是自变量，z是因变量。
连续函数与极限的关系
要点一
总结词
连续函数在某点的极限值和在某区间的极限值都存在，且 等于该点的函数值或该区间内所有点的函数值的平均值。
要点二
详细描述
对于连续函数，其在某点的极限值和在某区间的极限值都 存在，并且这两个极限值之间有一定的关系。具体来说， 连续函数在某点的极限值等于该点的函数值，而其在某区 间的极限值等于该区间内所有点的函数值的平均值。这一 性质是判断一个函数是否连续的重要依据。
解释
这个定义描述了函数在某一点附近的局部行为，即当自变量靠近这一点时，函 数的值应该接近于该点的函数值。
二元函数在某点的连续性
判断方法
检查该点的四邻域内的函数值，即检查$f(x,y)$在点$(a,b)$处的极限值是否等于该点的 函数值。
二元函数连续偏导可微之间的关系
二元函数连续偏导可微之间的关系二元函数是指一个有两个自变量的函数。
在数学中，连续偏导数和可微性是二元函数重要的性质。
本文将探讨二元函数的连续偏导数和可微性之间的关系。
我们来了解连续偏导数和可微性的定义。
对于一个二元函数f(x, y)，如果它的偏导数在定义域内存在且连续，那么我们称f(x, y)在该定义域内具有连续偏导数。
而如果一个二元函数在某一点的偏导数存在且连续，且其在该点的全微分存在，那么我们称该函数在该点可微。
连续偏导数和可微性之间有着密切的联系。
事实上，对于一个具有连续偏导数的二元函数，在该点可微是一个充分条件，但不是必要条件。
也就是说，如果一个二元函数在某一点可微，那么它在该点的偏导数一定是连续的。
然而，如果一个二元函数的偏导数在某一点连续，不一定能保证这个函数在该点可微。
具体来说，我们可以通过一个例子来说明这个关系。
考虑二元函数f(x, y) = |xy| / √(x^2 + y^2)，当(x, y) ≠ (0, 0)时，f(x, y)的偏导数可以通过求导得到。
我们可以得到f对x的偏导数f_x = y^2 / (x^2 + y^2)^(3/2)，f对y的偏导数f_y = x^2 / (x^2 + y^2)^(3/2)。
容易看出，f(x, y)在整个定义域内的偏导数都是连续的。
然而，当(x, y) = (0, 0)时，f(x, y)的偏导数f_x = f_y = 0。
虽然f(x, y)在该点的偏导数连续，但是f(x, y)在该点不可微。
因为我们可以通过计算f(x, y)在该点的全微分来证明全微分不存在。
连续偏导数和可微性之间的关系是：连续偏导数是可微性的充分条件，但不是必要条件。
这意味着一个二元函数的连续偏导数可以确保它在某一点可微，但一个二元函数的偏导数连续并不能保证它在某一点可微。
对于二元函数的研究，连续偏导数和可微性是非常重要的性质。
它们在数学中有广泛的应用，尤其在微积分和优化理论中。
二元函数的概念
§7.1 二元函数的概念 二元函数的极限和连续性教学目的： 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
教学重点： 求二元函数的极限，掌握二元函数极限与连续的关系。
1、二元函数的定义定义1的函数值，函数值的总体称为函数的值域。
例 1设（x2+y2≠0）， 求证。
因为，可见，对任何ε>0，取，则当时，总有成立，所以。
我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P （x,y ）以任何方式趋于P 0（x 0,y 0）时，函数都无限接近于A 。
在某一给定如果当变量和设有三个变量y x z y x ,,,按照一定时，变量内任取一对值的二元有序实数对z y x D ),(yx z ,,叫做变量它们对应，则变量总有唯一确实的数值和的规律),(y x f z =的二元函数，记作称为函变化的范围为因变量，为自变量，其中D y x z y x ),(,),(),(,),(0000y x y x f z D y x 称为对应于则，数的定义域。
设点=∈定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D 内有定义，P 0(x 0,y 0)是D 的内点或边界点且P 0∈D 。
如果则称函数f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)连续。
性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的多元连续函数，在D 上一定有最小值和最大值。
性质2（介值定理） 在有界闭区域D 上的多元连续函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
性质３ （零点定理）性质４（有界性定理）例2 设 解 因此且上连续在有界闭区域若函数,),(D y x f 则至少数值数值和一个小于零的函它取得一个大于零的函,则上连续在有界闭区域若函数,),(D y x f .上有界它必在D ),(,23sin ),(21lim y x f xy e y x y x f y x xy→→++=求π,)2,1(,),(在其定义域内且点是初等函数由于y x f ,)2,1(),(处连续在点故y x f 232223sin )2,1(),(22221lim+=++==→→e e f y x f y x π§7.2 偏导数教学目的：了解偏导数的概念、几何意义以及与连续的关系。
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二元函数的连续性与可微性
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1
二重极限
二重极限的定义 一个极限存在的例子 极限不存在的例子（一） 极限不存在的例子（二）
2二元函Biblioteka 的连续性连续函数的定义 一个连续函数的例子 不连续的例子（一） 不连续的例子（二）
3
二元函数的偏导数
偏导数的定义 偏导数存在但不连续的例子 连续但偏导数不存在的例子 偏导数的几何意义
5
二元函数的方向导数
方向导数的定义 方向导数都存在且连续的例子 方向导数都存在但不连续的例子
6
二元函数的可微性
可微的定义 可微函数的性质 可微与切平面的关系 不可微的例子（一） 不可微的例子（二） 不可微的例子（三） 可微的一个充分条件