函数单调性的教学案例

函数单调性的教学案例

西安市培华职业中专王买霞

【学生】职一某班.

【教学环境】电脑教室，每生一台机，教师机可以控制学生机，例如观察某一台学生机学生的操作，让某一学生机学生观看教师机的操作，让所有学生观看教师机的操作，等等。

【理论指导】建构主义学习理论强调的是学生的认知主体作用，也就是认为学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，教师扮演组织者、指导者、帮助者和促进者的角色。

数学课堂生态化研究，强调的是一种动态的、生长的、可持续发展的课堂教学氛围，而不是以牺牲学生个性为代价追求效率的做法。数学课堂生态化研究，注重在教学过程中，教师、学生、内容和环境各个要素内部以及各个要素之间的相互沟通。

多媒体信息具有直观性强的特点，对学生形成多感官刺激，能引起学生的强烈兴趣和注意。利用多媒体的交互性，学生获得了对信息的完全控制，能激发学生的求知欲、创造欲。所以，以学生为中心、教师为主导的多媒体辅助教学往往能营造出一个让学生发现问题、讨论问题的全新的学习环境。

【构想及教学目的】在建构主义学习理论及生态学理论的指导下，我们的课堂教学应该为学生创造一个全新的学习环境，指导学生自主学习，让学生更注重知识的发生过程，为学生营造出一个在体验中发现、在发现中讨论、在讨论中解决的学习环境。为了深入学习函数单调性，我利用电脑辅助，创设问题情境，激发学习兴趣，让学生在充实背景下分析问题，思考问题，从而发现规律，抓住问题的本质。

本节课的教学目的是：

(1)要求学生掌握函数单调性的定义，并激发学生思考函数单调性的判断方法。

(2)渗透数形结合思想，了解数形结合方法。

【教学过程】

创设情境引入新课

师：上节课，我们学习了函数的三种表示法，分别为：

（师语音拉长，师生一块儿回答）

生：列表法、公式法、图像法。

师：它们的区别是什么？

生：列表法就是用表格来表示函数的方法；公式法是用函数解析式来表示函数的方法；图像法是使用平面直角坐标系里的图形来表示函数的方法。

师：这三者之间又有密切的联系，它们之间可以相互转化。我们要研究一个函数，可

以由解析式来研究，还可以由图像来研究，这就是我们前面接触过的数形结合思想。

在生活中，很多现象都绘制成一个图像，我们可以根据图像来研究它们的规律，如：

电视上经常看到的股市行情图，根据股市的行情图来估计某种股票在未来几天的走势等等，

可见研究图像是非常必要的。

合作交流 探索新知

这节课我们就来研究一下函数图像的性质。

我们先来研究一下2,=∈y x x R 的图像有什么特点？

为了研究这个问题，打开《几何画板》，完成以下步骤：

(1) 用图表菜单建立直角坐标系。

(2) 用选择工具选中x 轴，再用作图菜单中的对象上的点，取x 轴上的活动点A （它的

横坐标表示自变量x ）。

(3) 利用度量菜单的横坐标功能和计算功能分别计算出点A 的横坐标A x 及2

x 的值，并

用文本工具将其标签分别改为,x y 。

(4) 利用图表菜单的绘制点功能绘制点B (),x y ，最后用选择工具选中点B,用显示菜单

中追踪绘制的点，用鼠标拖动点A ，便可得到二次函数的图像2,y x x R =∈的图像。

师：请同学们用鼠标拖动点A ，观察抛物线是怎样变化的？，,x y 的值又是怎样变化的？

x

y y x

生甲：点A 由原点开始，越往左，点越高；越往右，点也越高，所以从整体看点是越来越高。

师：同学们觉得他说的对不对呢？

（部分同学说对，部分同学不说话，感到有些疑惑）

甲同学所说的前半部分是完全有道理的，但最后的结论就有一点小小的问题？注意他观察的视线是怎样变化的？

生乙：它是从中间观察的，先向左看，再向右看。

师： 对，我们研究任何事物都要遵循一定的规律，观察图像要方向一致，我们可以采取从左向右看。

生丙：点A 由左向右的运动中，图像的整体先下降，后上升，图像的左边那部分整体是下降的，随着x 的增大，函数值y 在减小；图像的右边那部分整体是上升的的，随着x 的增大，函数值y 在增大。

师： 我们研究的函数2

y x =，其定义域为R ，同学们所说的两个部分可以认为是定义域内的两个区间，区间(],0-∞和()0,+∞。在区间(],0-∞内，函数从左到右是一段下降的曲线，随着x 的增大，函数值y 在减小，则称函数2y x =在区间(],0-∞上是严格递减的。在区间()0,+∞内，函数从左到右是一段上升的曲线，随着x 的增大，函数值y 在增大，则称函数在区间()0,+∞上是严格递增的。

提出问题：如何将它转化为数学语言呢？

（学生讨论）

提示：打个比方，如果你组织班里的同学从左到右按由高到低排成一队，你如何来证明你是按照这样的顺序排的呢？

学生甲：我们可以从此队中取两位同学来测量高度，只要取的那两位同学，左边同学身高>右边同学身高，就可以说明我是按照从左到右由高到低排的队。

y

y

x

x

学生乙：那两位同学符合但其他同学呢？所以那两位同学不具有代表性。

学生甲：那你可以随便取。

师：“随便取”用我们数学的语言来说就是——“任意取”。（提示甲）你试着用数学的语言来重新叙述你的观点

学生甲：我们可以从此队中任意取两位同学来测量高度，只要任意取的那两位，左边同学身高>右边同学身高，就可以说明我是按照从左到右由高到低排的队。

师：“在区间(],0-∞，随着x 的增大，函数值在减小” 如何用数学语言描述呢？ 学生丙：受刚才那个例子的启发，要说明在区间(],0-∞内所有点的x 增大，y 都减小，我们可以在这个区间内任意取12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么这个问题就解决了。

总结深化 得出概念

我们得到以下概念

教师打出第一张PowerPoint 幻灯片

1． 设函数()f x 的定义域为A ，区间I A ?,如果对于任意的12,x x I ∈，当12x x <时，都有

12()()f x f x <， (1)

则称函数()f x 在区间I 上是严格递增的。(或者说函数()f x 在区间I 上是增函数)

称区间I 是单调上升区间。

2． 设函数()f x 的定义域为A ，区间I A ?,如果对于任意的12,x x I ∈，当12x x <时，都有

12()()f x f x >， (2)

则称函数()f x 在区间I 上是严格递减的。(或者说函数()f x 在区间I 上是减函数)

称区间I 是单调下降区间。

说明：如果在(1)中把“<”换成“≤” 则称函数()f x 在区间I 上是递增的。

如果在(2)中把“>”换成“≥” 则称函数()f x 在区间I 上是递减的。

3． 如果函数()f x 在定义域上是递增的（或递减的）则称()f x 是单调函数。

如果函数()f x 在定义域上是严格递增的（或严格递减的）则称()f x 是严格单调函数。

4． 函数在某个区间上是递增或递减的性质统称为函数的单调性。

注：函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。

提出问题 课后思考

教师打出第二张PowerPoint 幻灯片

思考： 函数 2

y x =-

① 在(],0-∞内是否具有单调性呢？若有，它是单调递增还是单调递减

② 在()0,+∞内呢？

③ 在整个定义域内也具有单调性呢？

（带着思考结束函数单调性的概念教学，相信这个问题学生可以自己解决。）

课后记 这两年我在多媒体教学方面做了很多努力，收效也很好。我由原来课前做好课件到边上课边做课件的转变,更进一步的体会到多媒体并不只是老师“教”的工具，也是学生“学”的工具,虽然上课的内容少一点，但是学生对此有极高的兴趣，而兴趣是学生参与的最可贵的原动力。

讨论判断函数单调性的方法的活动课

学习的本质是一种认知过程，认知心理学表明学生的知识形成过程是外来的信息与学生原有知识和思维结果相互作用的过程，学生的数学能力是通过活动作为中介形成的，在活动中进行思考，在思考中进行活动是青少年的一个重要心理特征。

为了使学生更好的理解函数单调性的概念，学会判断函数的单调性的方法，我决定上两节活动课，考虑到在活动课中，学生活动不能盲目的忙碌、活跃，而应有目的的进行，所以我在上完第一节函数单调性的概念之后，就给每个学生发2张作业纸，并告诉学生，在下一节课时，我们将讨论这些问题，请同学们课后自己思考，这样就使他们明确活动的目的。

在活动课中，学生自由组合成组，并分工合作，有记录员，专门记录本组成员的想法及思路；有组织者，专门负责小组活动中讨论问题的顺序；有总结者，专门负责总结本小组活动后对各个问题的见解，并写出参考答案；有解说员，专门负责把本组的参考答案解说给全班同学，这样有利于学生发挥各自的想象力及特长。另外为了使各个小组之间有相互交流分享活动结果的机会，在讨论结束后，让各组的解说员站在讲台上，来讲解他们的参考答案。要求解说员不能单纯的读参考答案，必须向老师讲课一样，讲给大家听，让他们扮演一回小老师，其他同学对不理解的地方可以提出问题，让解说员来解答，这样不仅能锻炼学生的思维能力及表达能力，还可以使他们在讲解中发现问题，从而更好地解决问题。

不会激励学生的老师不是好老师，激励是学生创新精神和能力的生长剂，是活跃课堂心理环境的催化剂。所以，在学生讨论时，我鼓励学生大胆的提出自己的见解，并注意捕捉学生身上的“闪光点”及时地给予表扬，使每个学生能够体验到成功的喜悦。我的赞扬语主要有：很好！，非常好！，非常精彩！，真了不起！你真棒！注意在赞扬中的语气要饱含激情，让学生听了之后感到很振奋，并对自己充满信心。在鼓励之后，给他们提示存在的问题，但我是不会直接给予答案的。美籍匈牙利的数学家和数学教育家乔治 波利亚（George Polya）对我们教师提出的十诫之一是：不要立刻透漏你的秘密——让学生在你说出来之前先去猜，尽量让他们自己找出来。

本次活动课的课时安排为2课时

活动1（作业纸1）

问题1 同学们主要采用了以下几种方法：

1． 通过在本子上画出函数()21g x x =-在区间(,)-∞+∞上的图像来观察它从左到右的是上升的直线得到它在这个区间内是是增函数

2． 通过利用《几何画板》软件作出函数()21g x x =-在区间(,)-∞+∞上的图像，利用图像上一点动态的观察得到结论。

这个问题的解决比较容易一些，大部分同学都采用了第一种方法，因为同学们对于它的图像比较熟悉，第一种方法比较简单，但还有一部分同学采取了第二种方法，这部分同学通过上节课的学习，对《几何画板》产生了极大的兴趣，发现原来计算机除了可以上网，打游戏外还有这样的用途——可以用来学习数学。

从学生的行动及表情上可以看出他们在作出这个问题之后，内心充满了喜悦，对自己也有了极大的信心，准备攻克问题2。

问题 2 是研究一次函数一般形式的单调性的问题。我们研究事物经常采取由特殊到一般的思维过程，问题2就体现了这样的思想。

问题1是由图像得到函数的单调性，同学们想到对于问题2是否也可以用同样的方法来解决呢？函数()(0)f x kx b k =+≠的图像可以作出来吗？同学们展开了讨论，有的同学说，题目中没有告诉具体的k 值，无法作出图像，有的同学说，可以讨论k 值 当0k >时，函数肯定过一、三象限，当0k <时，函数肯定过二、四象限，这样就可以大致画出函数的图像了。另一个同学说：数学要讲究严密性，什么是“大致”？（我在上课时经常提到“数学要讲究严密性”没想到居然用到了这里，可见我们作为老师你每讲一句话都可能影响到学生，所以上课一定要注意自己的语言）

那么应该如何判断函数的单调性呢？这样就给学生又设置了一个悬念，此时，有的组的同学想到，数学中的定义既可以看作性质，又可以当作判定，那么是否可以用定义来判定呢？于是，他们就开始了新的讨论。有的组仍然用图像来做，给k 取值当1k =时、当2k =时、当3k =时、当1k =-时、当2k =-时、当3k =-时，由这些特殊的情况总结出一般的情况，实际上他们采取的是数学归纳法的思想方法，这使我想到，是否可以由这个问题给他们讲一下数学归纳法呢？此时讲，这组的同学一定会听得非常认真，因为这是他们发现的知识。

问题3 在问题2的基础之上，问题3似乎已不成问题了，所以有大部分同学已经放松了警惕性，他们先研究者这个函数的定义域是()(),00,-∞?+∞，各组仍然按照问题2的思路来做，他们在做的过程中，发现这个问题也需要讨论，通过讨论之后，他们很快得到了结论。 某一组的解说员在讲解这个题时说：经过我们组的讨论，反比例函数1()f x x

=在区间(),0-∞上是严格单调递减的，在区间()0,+∞上也是严格单调递减的，所以反比例函数1()f x x

=在整个定义域内也是严格单调递减的。（这一组采用的是利用定义证明） 用图像来观察的另一组的一位同学发现问题了，他发现当11x =- 时11y =-，当21x = 时21y =，得到12x x <，12y y <这好像不符合函数是严格单调递减的定义，但好像又找不到错误的原因，这个学生是比较内向的学生，思维是非常严谨的，他没有象有些学生，大胆的向解说员提出问题 ，而是低声叫了一声老师，然后，我走了过去，他向我提出了疑问，在我的一再鼓励之下，他站起来向大家说出他的见解，课后，他告诉我，他这次虽然讲的不好，但他非常高兴，应为他战胜了自己。

那位同学提出问题后，同学们又陷入了沉思！

问题4是在前三个问题解决的基础上才提出来的，前三个问题是通过他们自己的努力得到的，所以第四个问题就较好解决了，学生们在完成这个问题的讨论之后，脸上露出了甜美的微笑，这微笑中不但包含着他们对成功的喜悦，还包含着他们对未来的希望，我觉的，学生此时的微笑是最灿烂的！

活动2（作业纸2）是属于社会实践的问题，

学生在完成了前两节课之后，我给学生留了一个星期的时间来完成“统计数据、作出图像、分析图像、得出结论”这些工作。

我原估计，很多同学可能都只做第一题，第二题根本不做。

一个星期之后，结果完全出乎我的意料，第一题是每位同学都做了，并且做得非常好。第二题也几乎每一位同学都做了，更出乎我的意料的是，他们的想法已经涉及到了各个领域，有的做了一个我国人口随时间变化的曲线图，通过图像来分析我国在各个时期的人口变化状况，并提出他对这个问题的观点；有的做了我市在去年一年中，青少年作案的次数随着月份

的变化的曲线图；有的同学作出了身高随年龄变化的曲线图；有的同学利用物理知识，作了竖直上抛运动，位移随时间的变化图；可见，学生为了这个问题还是下了一定的功夫，而又是什么促使他们这样去做呢？我想还是兴趣吧！值得一提的是还有一位同学，作了我国在近几年中，爱兹病人数变化图，多么贴近生活，也多么去大胆，这是我的第一感觉，在现在这个社会，连很多大人都不愿意提及的话题却从我们的学生口中出现，这多么值得我们去珍惜呀！

学生在讲解的过程中，从语言及思路上都比一个星期前有了一定的进步。

数学应用意识是潜伏在学生头脑中的，它需要那种“随风潜入夜，润物细无声”的潜移默化的教育，但是除了这种静悄悄的进行外，特别在课堂这一层面上，我们更应当提倡在“轰轰烈烈”的气氛中展示他们各自的才华，而这样做往往会收到意想不到的效果。

作业纸1：

1 函数()21g x x =-在区间(,)-∞+∞上是增函数还是减函数？你是如何判断的？

2函数()(0)f x kx b k =+≠在区间(,)-∞+∞上是否具有单调性呢？若有单调性，它在那个区间是增函数还是减函数？

3 反比例函数1()f x x

=

在他的定义域内是否具有单调性呢？可以证明你的结论吗？

4 由以上问题可以总结出判定函数在某个区间上的单调性的方法吗？

作业纸2：

1 利用温度计记录下你们家一天温度的变化并绘制成图像，以时间为x轴，以温度为y 轴，自己当一回解说员，给大家描述一下你家温度变化的情况。

2 在你的身边，还有哪些现象和我们学习的函数单调性有关呢？试着描述一下，并说明你对这个现象的见解。