2019-2020学年高二数学 函数的单调性(导数)教学案例.doc
2019年人教A版选修2-2高二数学3.1 函数的单调性与导数优质课教案
§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）【学情分析】：高一学过了函数的单调性，在引入导数概念与几何意义后，发现导数是描述函数在某一点的瞬时变化率。
在此基础上，我们发现导数与函数的增减性以及增减的快慢都有很紧密的联系。
本节内容就是通过对函数导数计算，来判定可导函数增减性。
【教学目标】：（1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；（2）掌握利用导数判断函数单调性的方法（3）能够利用导数解释实际问题中的函数单调性【教学重点】：利用导数判断函数单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间【教学过程设计】：0∞)(,+)增函数)减函数↔)减函数↔课后练习：1、函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ),0(+∞B )1,(-∞C ),(+∞-∞D ),1(+∞答案C '2310y x =+>对于任何实数都恒成立2、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ),3[]3,(+∞--∞B ]3,3[-C ),3()3,(+∞--∞ D)3,3(-答案B '2()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞恒成立，24120a a ∆=-≤⇒≤≤3、函数xx y 142+=单调递增区间是（ ）A ),0(+∞B )1,(-∞C ),21(+∞ D ),1(+∞ 答案C 令3'222181180,(21)(421)0,2x y x x x x x x x -=-=>-++>>4、对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 答案C 当1x ≥时，'()0f x ≥，函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；当1x <时，'()0f x ≤，()f x 在(,1)-∞上是减函数，故()f x 当1x =时取得最小值，即有(0)(1),(2)(1),f f f f ≥≥得(0)(2)2(1)f f f +≥5、函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________ 答案2(0,)3 2(,0),(,)3-∞+∞ '22320,0,3y x x x x =-+===或6、函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________ 答案5(,),(1,)3-∞-+∞ '253250,,13y x x x x =+-><->令得或7、已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间 解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+（2）'3()1090,0,f x x x x x =-><<>或单调递增区间为()+∞。
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问题三：导数的几何意义
例 6：曲线 y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为？
例 7：直线 y＝1x＋b 与曲线 y＝－1x＋ln x 相切，则 b
2
2
的值为( )
A．－2
B．－1
C．－1
D．1
2
总结：求曲线切线方程的方法： 若已知曲线过点 P（x0,y0），求曲线 y=f(x)过点 P 的切线方程，分两种 情况：
例 5： 已知 a∈R，函数 f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e 为 自然对数的底数)．
（1）当 a＝2 时，求函数 f(x)的单调递增区间； （2）是否存在a 使函数 f(x)为R 上的单调递减函数， 若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
总结：求函数单调性的方法： （1）求定义域； （2）求导函数f ' (x)； （3）解不等式f '(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式f '(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间。
问题1：导数的概念？ 问题2：导函数的概念？ 问题3：导数的几何意义？ 问题4：导数的运算？ 问题5：导数与函数的单调性？ 问题6：函数的极值与最值？
问题一：利用导数的定义求函数的导数 例 1：用定义法求下列函数的导数．
(1)y＝x2；
(2)y＝x42；
例 2：一质点运动的方程为 s＝8－3t2. (1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速
谢谢大家！
问题四：利用导数求函数极值与最大值 例 8：求 y= x3-4x+4 的极值 例 9：已知函数 f(x)=-x3+ax2+b，若函数 f(x)在
x=0，x=4 处取得极值，且极小值为-1，求 a、b 的值
辽宁省高二数学 函数的单调性(导数)教学案例
辽宁省东北育才学校高中部高二数学 函数的单调性（导数）教学案例教学目标（1）知识目标：让学生了解导数与函数的单调性之间的联系，掌握利用导数的符号判断函数的单调性的基本方法。
培养学生利用导数的思想来认识和解决问题。
（2）能力目标：通过学习导数的方法来判断函数的单调性，能够引导学生学会用高等数学的方法解决单调性的问题。
（3）情意目标：能够结合导数的几何意义来判断函数的单调性，站在更高的层面来考察函数的基本性质，体会高等数学的思想根源，逐步渗透分析学的方法和理念。
教学过程提出问题师：今天我们来学习第六节函数的单调性。
(板书：函数的单调性)师：首先，请同学们考虑这样一个问题,看到这样的一个课题之后你能想到什么？(学生思考)生1：联想到什么是函数的单调性生2：单调性与图象有关师(趁势提出问题)：那么谁能告诉我到底函数的单调性的定义是什么？生1：对于函数)(x f 在定义域内的两个变量21,x x ，且21x x ,都有)()(21x f x f <,则函数单调递增，若)()(21x f x f >,则函数单调递减。
生2：应该补充说明是在定义域内的某段区间内，任取21,x x 。
教师总结，并肯定后来同学的补充。
师(继续引导)：既然同学们联系到了定义也联想到了图象，就请同学们利用定义或者图象判断一下函数2x y =和x y sin =的单调区间。
(在提出问题的同时，利用课件给出2x y =和x y sin =的解析式和图象。
)师：谁能先说明一下2x y =的单调区间生：在]0,(-∞上单调递减，在),0[+∞上单调递增。
师：你是用什么方法判断的？生：我是利用图象。
师：x y sin =的情况呢？生：从]22,22[ππππ+-k k ，（Z k ∈）是单调递增的，在]232,22[ππππ++k k （Z k ∈）是单调递减的。
师：强调一下k 是属于整数集合Z 的。
探索问题师（进一步的指明）：这里的两个问题同学们都是选用图象法来解决的。
人教A版高中数学选修高二新课程函数的单调性与导数教案新
§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ；当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3 如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4 求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+ 当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数．例5 已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=x1+2x 3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ 4. y=xlnx 2．课本 练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．布置作业。
2019-2020学年高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书：第1章 1.3.1 单调性 Word版含答案
1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1．利用导数研究函数的单调性．(重点)2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．(难点)3．由单调性求参数的取值范围．(易错点)[基础·初探]教材整理函数的单调性与其导数的关系阅读教材P28“例1”以上部分，完成下列问题．1．函数的单调性与其导数的关系(1)一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：(2)2．导数与函数图象间的关系(1)导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间，导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间．(2)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．判断正误：(1)若函数f(x)在(a，b)上是增函数，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)>0.( )(2)函数f(x)＝1x在其定义域上是单调减函数．( )(3)函数f(x)＝x3－2x在(1，＋∞)上单调递增．( )(4)若存在x∈(a，b)有f′(x)＝0成立，则函数f(x)为常数函数．( )【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是________．【解析】f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2.【答案】(2，＋∞)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)0)内是减函数．(2)判断函数f(x)＝ln xx在区间(0,2)上的单调性．【精彩点拨】求出导数f′(x)，然后判断导数的符号即可．【自主解答】(1)证明：由于f(x)＝e x－x－1，所以f′(x)＝e x－1，当x∈(0，＋∞)时，e x>1，即f′(x)＝e x－1>0.故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，当x∈(－∞，0)时，e x<1，即f′(x)＝e x－1<0. 故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．(2)由于f(x)＝ln x x，所以f′(x)＝1x·x－ln xx2＝1－ln xx2.由于0<x<2，所以ln x<ln 2<1，x2>0.故f′(x)＝1－ln xx2>0.∴函数f(x)在区间(0,2)上是单调递增函数．1．利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f′(x)>0(或f′(x)<0)在给定区间上恒成立．2．利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在( a，b)内的符号；(3)得出结论．[再练一题]1．证明：函数y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．【证明】显然函数的定义域为{x|x>0}，又f′(x)＝(ln x＋x)′＝1x＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝ln x＋x在其定义域内为增函数．(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝exx－2；(3)f (x )＝－x 3＋3x 2.【精彩点拨】 首先确定函数的定义域，再求导数，进而解不等式得单调区间． 【自主解答】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x＝错误!.因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22. (2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝错误!＝错误!.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x >0，(x －2)2>0.由f ′(x )>0，解得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0，解得x <3，又x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)．当0<x <2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0,2)；当x <0或x >2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)由f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，解出相应的x 的范围；当f ′(x )>0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )<0时，f (x )在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．[再练一题]2．若函数f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则函数f (x )的单调递增区间为________.【导学号：01580011】【解析】 由已知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x2－2x －4x，由f ′(x )>0得x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2， 又x >0，所以函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)． 【答案】 (2，＋∞)[探究共研型]探究【提示】 由已知得f ′(x )＝3x 2－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立，因为3x 2≥0，所以只需a ≤0. 又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.探究2 若函数f (x )＝x ＋ax ＋ln x (a ∈R )在(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．【提示】 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax2＋1x ＝x2＋x －ax由题意知，f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即x 2＋x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 令g (x )＝x 2＋x －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122－14－a ，则g (x )＞2－a ，从而2－a ≥0，∴a ≤2. 当a ＝2时，f ′(x )＞0在(1，＋∞)上恒成立， 因此实数a 的取值范围是(－∞，2]．已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b .(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．【精彩点拨】 (1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y ′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值．【自主解答】 y ′＝3x 2－a .(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数． 则y ′＝3x 2－a ≥0在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 即a ≤3x 2在x ∈(1，＋∞)时恒成立， 则a ≤(3x 2)最小值． 因为x >1，所以3x 2>3.所以a ≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]． (2)令y ′>0，得x 2>a3.若a ≤0，则x 2>a3恒成立，即y ′>0恒成立，此时，函数y ＝x 3－ax ＋b 在R 上是增函数，与题意不符． 若a >0，令y ′>0，得x >a 3或x <－a 3.因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a ＝3.1．解答本题注意：可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在(a ，b )上恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f (x )在(a ，b )上单调递增(减)的问题，则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．[再练一题]3．将上例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？【解】y′＝3x2－a，当a<0时，y′＝3x2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x2－a＝0可得x＝a3或x＝－a3(舍去)．依题意，有a3>1，∴a>3，所以a的取值范围是(3，＋∞)．[构建·体系]1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图1-3-1所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )图1-3-1【解析】当x＜0时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，排除①，③；当x＞0时，f(x)先增后减再增，对应f ′(x )先正后负再正．故选④.【答案】 ④2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________(填序号)． ①y ＝2－3x 2；②y ＝ln x ；③y ＝1x －2；④y ＝sin x .【解析】 显然，函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上是不单调的； 函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求； 对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝错误!<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝错误!在区间(－1，1)上是减函数；函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以函数y ＝sin x 在区间(－1,1)上也是增函数．【答案】 ③3．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是________．【解析】 f ′(x )＝6x 2－18x ＋12，令f ′(x )＜0，即6x 2－18x ＋12＜0，解得1＜x ＜2. 【答案】 (1,2)4．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．【解析】 f ′(x )＝错误!，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，125．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 【解】 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x2－2x恒成立，所以a ≥G (x )最大值，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －12－1.因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14，1，所以G (x )最大值＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716. 当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x2－32x16x＝错误!.因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝错误!≤0， 即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－716，＋∞.我还有这些不足：(1)_______________________________________________ (2)_______________________________________________我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。
人教版数学高二人教 函数的单调性与导数 精品教学设计
§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图 3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=- 当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ；当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3 如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像． 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4 求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数． 证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'fx ； （2）判断()'f x 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0fx >为增函数，()'0f x <为减函数． 例5 已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=x1+2x 3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ 4. y=xlnx 2．课本 练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．布置作业。
《函数的单调性》教学案例及分析
《函数的单调性》教学案例及分析教学过程：一、创设问题情境提出问题：学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为16平方米。
因为周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米，求花坛半周长的最小值和最大值。
提出问题后，让学生思考、讨论下列问题：如何把实际问题归结为数学问题？经过思考、讨论，估计学生能够把问题归结为：设受限制一边长为 x米，4≤x≤10，则另一边为16/x米，求半周长y＝x＋16/x（4≤x≤10）的最小值和最大值。
如何求最小值和最大值？经过思考、讨论，最后大家一致认为利用y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像能够得出结论。
多媒体：利用Flash演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像,如图1所示。
设计说明：利用Flash给出函数的图像，从函数图像能够直观地得出结论，但是缺乏理论依据。
指出缺乏理论依据的结论是站不住脚的，所以问题转化为寻找其理论依据，从而引入课题。
这样能够培养学生严谨的治学态度。
1.几何画板演示，点明课题。
多媒体：利用几何画板演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的动态的变化过程。
用鼠标从左向右缓慢拖动y＝x＋16/x（4≤x≤10）上的A点，引导学生观察A点的纵坐标的变化情况（随着自变量x的增大，函数值y也在增大），如图2所示。
2.请学生根据自己的理解给出增函数定义。
一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于 区间．．I ．内的 任意两个值．．．．．x ．1．和．x ．2．，当x 1＜x 2时，都有．． f （x 1）＜f (x 2)那么就说函数f(x)在这个区间I 上是单调增函数（increasing fuction ）。
区间I 称为函数f(x)的单调增区间(increasing interval)。
如果对于 区间．．I ．内的 任意两个值．．．．．x ．1．和．x ．2．，当x 1＜x 2时，都有．． f （x 1）﹤f (x 2)那么就说函数f(x)在这个区间I 上是单调减函数（decreasing fuction ）。
高中数学 专题1.3.1 函数的单调性与导数教案 新人教A版选修22
函数的单调性与导数【教学目标】1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．【教法指导】本节学习重点：掌握函数的单调性与导数的关系．本节学习难点：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．【教学过程】☆复习引入☆以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1x2<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1 已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．反思与感悟本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1 函数y ＝f (x )的图象如图所示，试画出导函数f ′(x )图象的大致形状．解 f ′(x )图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一． 例2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2)f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4)f (x )＝3tx －x 3单调递减区间是(－3,2)． (2)f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π) (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x>0， 解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x<0，解得x <－33或0<x <33.又∵x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33)． (4)f ′(x )＝3t －3x 2.令f ′(x )≥0时，得3t －3x 2≥0，即t ≥x 2， ∴当t ≤0时，无解；当t >0时，函数的单调递增区间是[－t ，t ]． 令f ′(x )≤0时，得3t －3x 2≤0，即t ≤x 2， 当t ≤0时，f ′(x )≤0恒成立， 函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x .又∵x >0，∴x >22， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22， 又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22.(2)f ′(x )＝3x 2－2x －1 ＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．解 (1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.反思与感悟 通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行． 跟踪训练3 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是( )【答案】 D☆课堂提高☆1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 【答案】 A【解析】 ∵f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确．3．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )．A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)【答案】 A5．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．【解析】 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2； 令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．6．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3. 所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．。
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2019-2020学年高二数学 函数的单调性（导数）教学案例（1）知识目标：让学生了解导数与函数的单调性之间的联系，掌握利用导数的符号判断函数的单调性的基本方法。
培养学生利用导数的思想来认识和解决问题。
（2）能力目标：通过学习导数的方法来判断函数的单调性，能够引导学生学会用高等数学的方法解决单调性的问题。
（3）情意目标：能够结合导数的几何意义来判断函数的单调性，站在更高的层面来考察函数的基本性质，体会高等数学的思想根源，逐步渗透分析学的方法和理念。
教学过程提出问题师：今天我们来学习第六节函数的单调性。
(板书：函数的单调性)师：首先，请同学们考虑这样一个问题,看到这样的一个课题之后你能想到什么？ (学生思考)生1：联想到什么是函数的单调性生2：单调性与图象有关师(趁势提出问题)：那么谁能告诉我到底函数的单调性的定义是什么？生1：对于函数)(x f 在定义域内的两个变量21,x x ，且21x x <,都有)()(21x f x f <,则函数单调递增，若)()(21x f x f >,则函数单调递减。
生2：应该补充说明是在定义域内的某段区间内，任取21,x x 。
教师总结，并肯定后来同学的补充。
师(继续引导)：既然同学们联系到了定义也联想到了图象，就请同学们利用定义或者图象判断一下函数2x y =和x y sin =的单调区间。
(在提出问题的同时，利用课件给出2x y =和x y sin =的解析式和图象。
)师：谁能先说明一下2x y =的单调区间生：在]0,(-∞上单调递减，在),0[+∞上单调递增。
师：你是用什么方法判断的？生：我是利用图象。
师：x y sin =的情况呢？生：从]22,22[ππππ+-k k ，（Z k ∈）是单调递增的，在]232,22[ππππ++k k （Z k ∈）是单调递减的。
师：强调一下k 是属于整数集合Z 的。
探索问题师（进一步的指明）：这里的两个问题同学们都是选用图象法来解决的。
显然，图象法在解决这个问题的过程中是很方便的。
下面我们来一起观察这两个函数的图象，思考一下这样的问题，曲线切线的斜率与函数的单调性有什么样的关系？（学生观察，教师给出一些提示）生：曲线切线的斜率小于0，函数单调递减，曲线切线的斜率大于0，函数单调递增。
生：斜率为0时，出现在一个单独的点处。
师：通过这两个特殊的函数图象的观察，同学们得到了能够通过曲线切线的斜率的符号来判断函数的单调性。
那么对于一般的函数来说是不是也具有相同的特性呢？下面我们来看一个一般的函数图象。
（通过投影给出一个一般的函数图象，以及其切线的动画。
并引导学生进行观察。
）师：这是一个函数在某段区间上的函数图象。
随着曲线上任意一点的运动，我们看到，这个点有上升也有下降，此时我们发现，在上升的曲线上，请同学们仔细观察，（稍停顿）怎么样？任意点处的切线的倾斜角都是——锐角（师生同），此时斜率为——正（师生同）。
那么这段区间就是函数的单调递增区间。
同理，在下降的这段曲线上，任意点处的切线的倾斜角为钝角，斜率为负，这段区间就是函数的单调递减区间。
于是通过上述的分析我们知道，能够通过曲线切线的斜率来判断函数的单调性。
请同学们思考，通过我们得到的结论，结合我们这一段的学习，能否把这个结论换个说法来表述？生1：……没想好生2：当函数在某一点处的导数的值是大于0时，这个点处的函数的切线的斜率就是大于0，所以，我们可以说，在函数的某一段区间上，函数的导函数)('x f 都是大于0的话，函数在这段区间上就是单调递增的。
师：好！能否告诉大家你是如何想到导数的？生：切线的斜率就是函数的导数师：这是什么？生：导数的几何意义。
师：非常好！通过导数的几何意义，我们进一步的发现，能够通过导数的符号来判断函数的单调性，这就是我们本节课要研究的主要内容。
（板书：如果)('x f ……）师（强调）：我们既然已经利用了导数的符号，那么就得强调它的大前提——（师生同并板书）函数在区间上可导。
我们提到了大于0和小于0，那么我们就要考虑——若在某段区间内恒有导数等于0，此时怎么样？（生补充，师板书）常函数。
（这里板书概念，同时与学生不断的补充，处理好书写和口述的过程）师：下面，我们就结合利用导数的符号来判断函数的单调性来解决一个问题。
板书并读题目： 例1 判断函数42)(2+-=x x x f 的单调区间。
（学生动手计算。
教师观察学生计算的过程）学生回答，教师板书并引导学生，给出一个规范的解题过程。
解：)(x f 的定义域为R ，且在定义域内处处可导。
22)('-=x x f令022>-x ，解得1>x ,因此，当),1(+∞∈x 时，)(x f 为增函数；再令022<-x ，解得1<x ,因此，当)1,(-∞∈x 时，)(x f 为减函数。
教师简单的总结，并强调利用导数法来判断函数的单调性的具体实施步骤是：(1)确定)(x f 的定义域； （2）求导数)('x f ；（3）在定义域内解不等式0)('0)('<>x f x f 和。
并确定函数的单调区间。
师：在这个基础上，我们再看一个例题。
生（打断教师，提问）：老师，我们刚才的结果写成闭区间是否合适？因为以前讲函数的单调性的时候，就是写成闭区间。
生（教师欲回答，又一学生主动回答）：我认为可以不写，因为按照前面给出的利用导函数的符号来判断单调性的法则中并没有给出，另外对于单调区间，区间端点并没有影响。
教师此时给出充分的肯定。
并给出明确的答复。
应用新知教师继续给出例题：判断下列函数的单调区间例2 （1）xx x f 1)(+= （2）762)(23+-=x x x f（请两位学生到黑板板演，教师观察学生计算，并适时给出提示）和学生一起分析板演同学的问题。
讨论两个问题中的单调性的区域性。
尤其强调书写。
解：（1）xx x f 1)(+=的定义域为}0,|{≠∈x R x x 211)('xx f -= 令0112>-x，解得11-<>x x 或,因此，)(x f 在),1()1,(+∞--∞和为增函数； 令0112<-x ，解得0110<<-<<x x 或,因此，)(x f 在)1,0()0,1(和-为减函数。
（2）762)(23+-=x x x f 的定义域为Rx x x f 126)('2-=令01262>-x x ，解得02<>x x 或,因此，)(x f 在),2()0,(+∞-∞和为增函数；令01262<-x x ，解得20<<x ,因此，)(x f 在)2,0(为减函数； 请学生谈这种方法的体会。
生1：用导数的方法比较简单，不必画出图象或者用定义验证。
生2：第一个问题用以前的方法利用图像或者定义可以解决，而第二个函数是一个三次的函数，不是很清楚它的图像，也不好用定义。
师：大家都提到了导数法，定义法和图像法的比较，我们不妨对比一下这两个问题的定义法。
用屏幕给出两题的定义解法，其中题目二无法用定义法解出，只给出过程的一半，同时给出函数的图像。
师：对于xx x f 1)(+=这个函数，大家不是很陌生，但是，我们绘出这个函数的图像，并不是很容易的，是要经历分析，列表，描点，连线等过程的。
而用定义，我们要把问题分成0>x 和0<x 两个区域来分别讨论，记得同学们刚开始做的时候，会很奇怪为什么能够有先见之明，在应用定义之前，就找到了单调区间。
事实上，我们在分析)()(21x f x f -时，发现一个因式)11(21x x -，于是，通过猜想得到的两个不同的区间来讨论单调性，也就是说，原来的方法是一种验证式的证明，而不是发现式的证明。
师：我们再来看一下762)(23+-=x x x f 这个题目，我们发现，通过计算机画出的函数图象是很复杂的。
而在运用定义来处理的时候，也涉及到一些麻烦的式子（指屏幕具体位置），到最后一步，我们用现在的方法无法判断其符号，所以不能处理。
师：我们这节课学习了导数法，导数法的应用很容易地帮助我们解决一些以前不好解决甚至不能解决的判断函数的单调区间的问题。
师：下面我们来进一步研究与函数单调性有关的问题，板书例3 当0>x 时，求证：不等式221)1ln(x x x ->+ （学生思考，教师巡视）生：我们比较熟悉这两个函数，可以通过画图象来验证，而今天我们学习了用导数来解决，我们可以构造一个函数师：什么样的函数？ 生：)21()1ln()(2x x x x F --+=，并且能证明这个函数在-1到正无穷是单调递增的，并且在0这一点的函数值为0，于是就可以判断在(0,∞+)上是大于0的 教师引导学生写下具体的过程，并板演。
简单总结并指出：大家已经能够掌握利用导数来判断函数的单调性的问题，接下来我们来看一个相对复杂的问题。
师（故意放慢语速）：3)(x x f =学生还在等待老师的叙述。
教师借此情景说：题目就是这样，学生低声议论，教师会意，指出：同学们觉得很简单，甚至有些不屑，这道题怎么算复杂，复杂在哪里？同学们不妨先算一下。
学生怀着疑惑进行尝试。
教师要求学生回答。
生：用我们今天的方法，3)(x x f =的导数为23)('x x f =，而让032>x 的话，x 不等于0，那么函数的单调区间就是)0,(-∞和),0(+∞师：但是实际上呢？生：3)(x x f =的单调区间就是),(+∞-∞，就是整个定义域内是单调递增的。
师：的确如此，我现在同时给出导数法和定义法来解决3)(x x f =的单调性问题。
教师分别进行分析，发现各有道理，进一步结合函数的图象，发现，3)(x x f =在整个定义域上是单调递增的。
那么对比这两种解法，你是否发现了什么呢？（学生沉默）师：那么发现了结果不一样，并且肯定了定义法的准确性，那么是否是导数法对于解决这个问题不适合呢？（学生讨论）生：我们应该完善这种方法，把两个区间联系起来生：这样讨论的单调区间是分段的，我们这种方法是没有考虑端点的，是不是可以加进来。
教师进一步引导，对于这个端点，也就是导数为0的点应该如何处理？生：前面我们说若在端点有定义，则区间的端点是可取舍的。
师：说明了什么？（教师进一步启发）师生同：导数的方法是充分条件——而不是必要条件。
师：其实，这个问题就很能说明它的非必要性。
为了更进一步认识这个问题，我们看下面这个例子，用投影给出x x x f sin )(+=和学生一起观察图像，并找出其导函数，特别关注函数图象上的导数为0的点（通过动画演示），说明它们并不影响函数的单调性并得出结论：如果导数为0的点只是离散的，而在其它点处导数恒为正或负，则这些导数为0的点就不影响函数的单调区间，回过头来分析刚才的题目，补充说明。