1.3.1函数的单调性与导数教案

§1.3.1函数的单调性与导数【教学目标】1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。

【教学重点】利用导数判断函数单调性。

【教学难点】利用导数判断函数单调性。

【内容分析】以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。

在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。

【教学过程】 一、复习引入1． 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=．2．法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=．法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭． 3．复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x )．4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数： x x )'(ln =e xx a a log 1)'(log =． 6．指数函数的导数：xx e e =)'(； a a a xx ln )'(=．二、讲解新课1． 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x )(2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2)减函数负＜0321f x () = x 2-4⋅x ()+3xOyB A值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y<0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数2．用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x )．②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间。

③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间。

三、讲解范例例1确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

解：f ′(x )=(x 2－2x +4)′=2x －2． 令2x －2＞0，解得x ＞1．∴当x ∈(1，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数． 令2x －2＜0，解得x ＜1．∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数 解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数． 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数．令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2．∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．例3证明函数f (x )=x1在(0，+∞)上是减函数． 证法一：（用以前学的方法证） 证法二：（用导数方法证） ∵f ′(x )=(x 1)′=(－1)·x －2=－21x ，x ＞0，∴x 2＞0，∴－21x＜0． ∴f ′(x )＜0， ∴f (x )=21x在(0，+∞)上是减函数。

点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些．如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。

例4求函数y =x 2(1－x )3的单调区间．解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2·(－1)=x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2·(2－5x )21f x () = x 2-2⋅x ()+4x O y 21f x () = 2⋅x 3-6⋅x 2()+7xO y令x (1－x )2(2－5x )＞0，解得0＜x ＜52． ∴y =x 2(1－x )3的单调增区间是(0，52) 令x (1－x )2(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞52且x ≠1． ∵1x =为拐点，∴y =x 2(1－x )3的单调减区间是(－∞，0)，(52，+∞)例5当x ＞0时，证明不等式：1+2x ＜e 2x ．分析：假设令f (x )=e 2x －1－2x ．∵f (0)=e 0－1－0=0, 如果能够证明f (x )在(0，+∞)上是增函数，那么f (x )＞0，则不等式就可以证明。

证明：令f (x )=e 2x －1－2x ． ∴f ′(x )=2e 2x －2=2(e 2x－1)∵x ＞0，∴e 2x ＞e 0=1，∴2(e 2x－1)＞0, 即f ′(x )＞0∴f (x )=e 2x－1－2x 在(0，+∞)上是增函数。

∵f (0)=e 0－1－0=0．∴当x ＞0时，f (x )＞f (0)=0，即e 2x－1－2x ＞0．∴1+2x ＜e 2x点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0。

例6已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间。

解：y ′=(x +x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1xx x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0． 解得x ＞1或x ＜－1． ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞)． 令2)1)(1(x x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1．∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)． 四、课堂练习1．确定下列函数的单调区间(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 3(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2．∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4．∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－31)=－3(x +33)(x －33) 令－3(x +33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33． ∴y =x －x 3的单调增区间是(－33，33)． 令－3(x +33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－33． ∴y =x －x 3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞) 2．讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间． 解：y ′=(ax 2+bx +c )′=2ax +b, 令2ax +b ＞0，解得x ＞－ab2 ∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调增区间是(－ab2，+∞) 令2ax +b ＜0，解得x ＜－ab 2． ∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调减区间是(－∞，－ab2)3．求下列函数的单调区间(1)y =xx 2+ (2)y =92-x x(3)y =x +x(1)解：y ′=(x x 2+)′=2222x x x x -=--∵当x ≠0时，－22x＜0，∴y ′＜0． ∴y =xx 2+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y ′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)9(9)9(9-+-=---=x x x x 当x ≠±3时，－222)9(9-+x x ＜0，∴y ′＜0． ∴y =92-x x的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞)． (3)解：y ′=(x +x )′12112121+=+=-xx ．当x ＞0时x21+1＞0，∴y ′＞0． ∴y =x +x 的单调增区间是(0，+∞)．五、小结f (x )在某区间内可导，可以根据f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．以及当f ′(x )=0在某个区间上，那么f (x )在这个区间上是常数函数 六、课后作业。