1.3.1函数的单调性与导数教案

1.3.1函数的单调性与导数教案
谷城一中 杨 超
教学目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.
掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间.
教学难点：利用导数判断函数的单调性
教学过程
一．回顾与思考
1、函数单调性的定义是什么？
2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x 2的单调性，如何进行？（分别用定
义法、图像法完成）
3、函数x x y ln 22+=怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？
二．新知探究 函数的单调性与导数之间的关系
【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个
基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反
映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数
是否有着某种内在的联系呢?
【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h 随
时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图
（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函
数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？
【探究】通过观察图像，我们可以发现：
（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．
（2）从最高点到入水，运动员离水面的
高h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函
数．相应地'()()0v t h t =<，
【思考】 导数的几何意义是函数在该点
处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切
线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与
导数有什么关系呢？
【探究】观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
（1）函数y x =的定义域为 R ，并且在定义域上是 增函数 ，其导数 大于零 ； （2）函数2y x =的定义域为 R ，在(,0)-∞上单调 递减 ，在(0,)+∞上单调 递增 ；
而2()2y x x ''==，当0x <时，其导数小于零；当0x >时，其导数大于零；当0x =时，其导数 为零。

（3）函数3y x =的定义域为 R ，在定义域上为 增函数 ；
而32()3y x x ''==，若0x ≠，则其导数大于零，当0x =时，其导数为零；
（4）函数1y x
=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，在(,0)-∞上单调递减 ，在(0,)+∞上单调 递减 而211()y x x
''==-，因为0x ≠，显然0y '<. 【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间(,)a b 内，如果函数()y f x =在这个区间内单调递增，那么 ()0'≥x f ；如果函数()y f x =在这个区间内单调递减，那么 ()0'≤x f .
【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？ 知识归纳
函数的单调性与导数的关系:在某个区间(,)a b 内，
如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内 单调递增；
如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内 单调递减
特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．
三．典例分析
例1．已知导函数'()f x 的下列信息：
当14x <<时，'()0f x >；
当4x >，或1x <时，'()0f x <；
当4x =，或1x =时，'()0f x =
试画出函数()y f x =图像的大致形状．
解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；
当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；
当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如上图所示．
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--
（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+
解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，
'22()333(1)0f x x x =+=+>
因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图1.3-5（1）所示．
（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-
当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；
当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；
函数2()23f x x x =--的图像如图1.3-5（2）所示．
（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<
因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，
如图1.3-5（3）所示．
（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．
当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ；
当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ；
函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图所示．
练习：()()的单调区间x
x y x x x f 1)2(1
14712+=++= ()ln 3()()f x a x ax a R f x =--∈已知函数，
求的单调区间。

求解函数()y f x =单调区间的步骤：
（1）确定函数()y f x =的定义域；
（2）求导数''()y f x =；
（3）解不等式'()0f x >，得到函数的单调递增区间；
（4）解不等式'()0f x <，得到函数的单调递减区间；．
例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图 像．
解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→ 思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．
如图1.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，
在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．
四、小结
（1）函数的单调性与导数的关系
（2）求解函数()y f x =单调区间
（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性
五、习题
六、作业设计
P26，T1，2
P31，习题1.3，T1
七、课后教学反思。