线性规划_铁人三项
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
沪教版高二线性规划知识点
沪教版高二线性规划知识点线性规划是数学中的一个重要分支，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
它通过建立数学模型，以线性关系为基础，解决各种约束条件下的最优化问题。
下面将介绍沪教版高二线性规划的知识点。
一、线性规划的基本概念与性质线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件、可行解和最优解。
目标函数是线性规划问题要优化的目标，通常是最大化或最小化某个线性函数。
约束条件是限制规划问题解的一组线性等式或不等式。
可行解是满足约束条件的解集合。
最优解是目标函数在可行解中取得最大或最小值的解。
线性规划具有三个重要性质：可加性、齐次性和比例性。
可加性表示如果两个解都是可行解，那么它们的任意线性组合也是可行解。
齐次性表示如果一个解是可行解，那么它的任意倍数也是可行解。
比例性表示如果一个解是最优解，那么它的任意下界或上界也是最优解。
二、线性规划的标准形式线性规划问题可以通过标准形式来表示和求解。
标准形式包括目标函数、约束条件和变量的非负性限制。
目标函数是最小化或最大化的线性函数，约束条件由一组线性等式或不等式构成，变量的非负性限制表示变量必须大于等于零。
将线性规划问题转化为标准形式的关键是引入松弛变量和人工变量。
松弛变量用来将不等式约束转化为等式约束，人工变量用来引入辅助约束条件。
通过逐步替换变量，将线性规划问题转化为等价的标准形式问题。
三、线性规划的图形解法线性规划问题可以使用图形解法进行求解。
对于二维平面上的线性规划问题，可以通过画出解空间的可行域，并在可行域上找到目标函数等高线的最大（最小）值点。
通过图形解法可以直观地理解线性规划问题，并快速找到最优解。
图形解法的关键是画出约束条件的线性不等式表示的边界线，然后确定可行域。
在可行域上，通过等高线的斜率来找到最优解点。
当目标函数为最大化问题时，最优解点处的等高线斜率为最大值；当目标函数为最小化问题时，最优解点处的等高线斜率为最小值。
四、线性规划的单纯形法线性规划问题通常使用单纯形法进行求解。
线性规划问题的三个方面
：，，： 一 ， 沿 可 行 域 平 移 至 点 处 时 值 最 大 ，由
｛ 。’得Ａ（ ，÷），此时ｚ ＝７× ＋ｓ×
５ ： ３４’ ５
ｆｎ、 ＼ ＼
，
，
ｘ－３ｙ－２～
，
、、、
、、、
、
０ ｌ、／ ＼ ＼ ｉ
／ ｌ、、、 、、、¨ ｙ＿
图 ２
但 是 ，这里 的 Ａ及 ｚ均非整数 ，我们 需要 的是距 离 Ａ点 最 近的整数 ，这 时可取 ７ ＋５ｙ＝３４，结 合 图形 可知 ，在 可行
号 ，异 侧 异 号 ．
例 ３ 已知 直 线 过 点 Ｐ（一１，２）且 与 以 Ａ（一２，一３），
Ｂ（３，０）为端点 的线段 有公 共点 ，求 直线 ｚ的斜 率 的取 值
范 围．
解析 （当然此题 有多 种不 同
ｙ
的解法 ，这里仅用 可行域 的思 想求
解 ）设 直 线 Ｚ的 方 程 为 Ｙ 一２ ＝ （ ＋１），令 ｆ（ ，，，）＝ — ＋后＋
由｛． 。。，得 ，１），．．．Ｚ＇ｍｉｎ：２ ｘ ｌ＋１：３．
同理，当直线过Ｂ点时ｚ最大，由￣ｘ －
４ｙ ＋
３＝
０ ，
得
【３ ＋ ５ｙ 一 ２５ ： 。，
Ｂ（５，２），．‘．＝ ＝２×５＋２＝１２．
点评 用 线性 规 划求 最 值 是 数形 结 合 的一 个 重 要 方
面 ，它 使众 多变量 汇聚 的代数 问题 变 得直 观 、简捷 ，而规 范
点恰 为整数 ，则它 就是 最优 解 ；若不 是 整数 点 ，应先 求 出该
点 坐标 ，并计算 目标函数 ｚ的值 ，而后在 可行域 内适 当放缩
高中线性规划
高中线性规划线性规划是运筹学中的一种优化方法，用于在给定的约束条件下寻觅一个线性目标函数的最优解。
在高中数学中，线性规划是一个重要的内容，它可以匡助我们解决一些实际问题，例如资源分配、生产计划等。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行解。
目标函数是我们要优化的线性函数，通常表示为最大化或者最小化某个变量。
约束条件是限制目标函数变量的取值范围的条件，可以是等式或者不等式。
可行解是满足所有约束条件的解。
二、线性规划的数学模型线性规划可以通过数学模型来表示。
设有n个决策变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g1(x1, x2, ..., xn)≤b1, g2(x1, x2, ..., xn)≤b2, ...,gm(x1, x2, ..., xn)≤bm。
其中，f(x1, x2, ..., xn)为线性函数，g1(x1, x2, ..., xn)≤b1,g2(x1, x2, ..., xn)≤b2, ..., gm(x1, x2, ..., xn)≤bm为线性不等式。
三、线性规划的求解方法线性规划可以使用图形法、单纯形法等方法进行求解。
其中，图形法适合于二维问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解。
而单纯形法适合于多维问题，通过构造初始单纯形表，不断迭代求解，找到最优解。
四、线性规划的应用举例1.资源分配问题：某工厂生产两种产品A和B，每天可用的资源有限，产品A和B的生产所需资源不同，且每种产品的利润也不同。
如何合理分配资源，使得利润最大化？2.生产计划问题：某工厂需要生产多种产品，每种产品的生产时间、所需资源和利润不同。
如何安排生产计划，使得产量最大化同时资源利用率最高？3.投资组合问题：某投资者有多种投资标的可选，每种标的的收益率、风险和投资额不同。
如何合理选择投资标的，使得收益最大化同时风险最小化？五、线性规划的局限性线性规划方法在解决一些实际问题时可能存在一些局限性。
数学建模线性规划
线性规划1.简介：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.规划问题。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的gi(x)都是线性函数，则该模型称为线性规划。
2.线性规划的3个基本要素（1）决策变量（2）目标函数f(x)（3）约束条件（gi(x)≤0称为约束条件）3.建立线性规划的模型（1）找出待定的未知变量（决策变量），并用袋鼠符号表示他们。
（2）找出问题中所有的限制或者约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式。
（3）找到模型的目标或判据，写成决策变量的线性函数，以便求出其最大值或最小值。
以下题为例，来了解一下如何将线性规划用与实际的解题与生活中。
生产计划问题某工厂生产甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表试拟订生产计划，使该厂获得利润最大解答：根据解题的三个基本步骤（1）找出未知变量，用符号表示：设甲乙两种产品的生产量分别为x1与x2吨，利润为z万元。
（2）确定约束条件：在这道题目当中约束条件都分别为：钢材，电力，工作日以及生产量不能为负的限制钢材：9x 1+5 x 2≤360，电力：4x 1+5 x 2≤200，工作日：3x 1+10 x 2≤300，x 1 ≥0 ，x 2 ≥0，（3）确定目标函数：Z=7x 1+12 x 2所以综合上面这三步可知，这个生产组合问题的线性规划的数学模型为：max Z=7x 1+12 x 2s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+00300103200543605921212121x x x x x x x x4.使用MATLAB 解决线性规划问题依旧是以上题为例，将其用MATLAB 来表示出来1.将目标函数用矩阵的乘法来表示max Z=(7 12)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21x x 2.将约束条件也用矩阵的乘法表示s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121003002003601035459x x x x 编写MATLAB 的程序如下：c=[-7 -12]; (由于是max 函数，因此将目标函数的系数全部变为负数)A=[9,5;4,5;3,10];b=[360;200;300];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)其运行结果显示如下：x =20.000024.0000fval =-428.00005.MATLAB 求解线性规划的语句(1)c=[ ] 表示目标函数的各个决策变量的系数(2)A=[ ] 表示约束条件中≥或≤的式子中的各个决策变量的系数。
高中线性规划
高中线性规划引言概述：线性规划是一种数学建模方法，通过建立数学模型来解决实际问题。
在高中数学中，线性规划是一个重要的概念，它可以匡助我们解决一些优化问题。
本文将详细介绍高中线性规划的概念、原理和应用。
一、线性规划的概念1.1 线性规划的定义线性规划是一种数学优化方法，它的目标是找到一组变量的最佳取值，使得目标函数达到最大或者最小值，同时满足一组线性约束条件。
1.2 线性规划的基本要素线性规划包含以下基本要素：- 目标函数：表示需要最大化或者最小化的数学模型。
- 决策变量：需要确定的变量，它们的取值将影响目标函数的结果。
- 约束条件：限制决策变量的取值范围，通常为一组线性不等式或者等式。
1.3 线性规划的解法线性规划可以使用图象法、单纯形法或者二次规划等方法进行求解。
其中，图象法适合于二维问题，单纯形法适合于多维问题，而二次规划适合于目标函数为二次函数的问题。
二、线性规划的原理2.1 线性规划的线性性质线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，这意味着它们的图象是直线或者平面。
这种线性性质使得线性规划问题的求解相对简单。
2.2 线性规划的可行解与最优解线性规划的可行解是指满足所有约束条件的解，而最优解是在可行解集合中使得目标函数取得最大或者最小值的解。
线性规划问题可能存在多个最优解，或者无解。
2.3 线性规划的应用领域线性规划广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。
例如，企业可以使用线性规划来确定最佳的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。
三、线性规划的应用举例3.1 生产计划问题一个工厂需要生产两种产品，每种产品的生产时间、材料成本和利润不同。
通过线性规划，可以确定每种产品的生产数量，以最大化利润。
3.2 运输问题一个物流公司需要将商品从多个仓库运送到多个销售点，每一个仓库和销售点之间的运输成本不同。
通过线性规划，可以确定每一个仓库和销售点之间的货物运输量，以最小化总运输成本。
3.3 资源分配问题一个学校需要将教师和教室分配给不同的班级，每一个班级的人数和课程要求不同。
线性规划的基本的内容和线性规划数学模型
线性规划的基本的内容和线性规划数学模型定义：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。
它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。
为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。
数学模型(1)列出约束条件及目标函数线性规划步骤(2)画出约束条件所表示的可行域(3)在可行域内求目标函数的最优解及最优值解法求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，现在已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达10000个以上的线性规划问题。
为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。
对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。
这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。
它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。
通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。
对于一般线性规划问题：图解法解线性规划问题Min z=CXS.T.AX =bX>=0其中A为一个m*n矩阵。
若A行满秩则可以找到基矩阵B，并寻找初始基解。
用N表示对应于B的非基矩阵。
则规划问题1可化为：规划问题2：Min z=CB XB+CNXNS.T. 线性规划法解题B XB+N XN = b (1)XB >= 0, XN >= 0 (2)(1)两边同乘于B-1，得XB + B-1 N XN = B-1 b同时，由上式得XB = B-1 b - B-1 N XN，也代入目标函数，问题可以继续化为：规划问题3：Min z=CB B-1 b + ( CN - CB B-1 N ) XNS.T.XB+B-1N XN = B-1 b (1)XB >= 0, XN >= 0 (2)令N:=B-1N，b:= B-1 b，ζ= CB B-1b，σ= CN - CB B-1 N，则上述问题化为规划问题形式4：Min z= ζ+ σXNS.T.XB+ N XN = b (1)XB >= 0, XN >= 0 (2)在上述变换中，若能找到规划问题形式4，使得b>=0，称该形式为初始基解形式。
线性规划与图论方法
线性规划与图论方法线性规划和图论是数学中重要的分支领域，它们在许多实际问题的建模和解决中发挥着重要作用。
线性规划是一种优化问题的数学模型，而图论是研究图的性质和应用的学科。
本文将介绍线性规划和图论的基本概念、方法和应用，并探讨二者之间的关联。
一、线性规划的基本概念与方法1.1 线性规划的定义线性规划是指在一定的约束条件下，通过线性目标函数的最大化或最小化来求解一类优化问题。
线性规划的基本形式如下：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ... , xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ 是系数，x₁, x₂, ..., xₙ 是变量，aᵢₙ和 bᵢ是已知的常数。
1.2 线性规划的解法线性规划通常使用单纯形法或内点法进行求解。
单纯形法通过在可行解空间内移动顶点，并沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，直到找到最优解。
内点法则通过将可行解空间缩小为一个内部点集合，并在内部点中搜索最优解。
这两种方法在实践中都有广泛的应用。
1.3 线性规划的应用线性规划在经济学、管理学、工程学等领域有许多实际的应用。
例如，在生产计划中，线性规划可以用来确定最佳的生产方案，以最大化利润或最小化成本。
在供应链管理中，线性规划可以用来优化物流和库存管理。
此外，线性规划还可以应用于资源分配、投资组合优化等问题。
二、图论的基本概念与方法2.1 图的定义图是由顶点集合和边集合组成的一种数学结构。
顶点表示对象，边表示对象之间的关系。
图可以分为有向图和无向图、加权图和非加权图等多种类型。
2.2 图的常用概念- 顶点：图中的一个元素，表示了对象。
- 边：图中连接两个顶点的线段，表示了顶点之间的关系。
- 路径：由一系列顶点和边构成的序列。
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其中，关键的是 和 的计算，要根据用户输入的N，即要得到第N个运动员获胜的方案是否存在，进行不同的计算，主要体现在计算公式中数组下标的变换，具体代码实现如下：
for(i=0;i<M;i++)
{
for(j=0;j<3;j++)
{
a[i][j]=1.0/v[i][j]-1.0/v[N-1][j];
b[i]+=1.0/v[N-1][j]-1.0/v[i][j];
}
}
2
程序设计时，把定位转轴元，即定位第K列旋转列和第R行旋转行，单独定义了一个函数。
定位第K列，通过求第一列人工变量中的最大值来得到，通过一个int型变量来记录该列，具体代码实现如下：
因此，整个程序的时间复杂度大约是M3数量级。
printf(" %7.4lf %7.4lf %7.4lf\n",v[i][0],v[i][1],v[i][2]);
printf("请输入想要获取方案的运动员编号：");
scanf("%d",&N);
其中，M为输入的运动员个数。速度读取后，便进行起始矩阵的建立，第一行为模型中的人工变量 ，剩下的M行，2*M+3列为模型中的约束矩阵，最后一列为b，即约束方程中的 ，将起始矩阵输出如下：
printf("读取的运动员速度如下（从上到下顺序读取）：\n");
fin = fopen("v.txt","r");
for(i=0;i<M;i++)
fscanf(fin,"%lf %lf %lf", &v[i][0], &v[i][1], &v[i][2]);
fclose(fin);
for(i=0;i<M;i++)
for(i=0;i<2*M+3;i++)
{
if((c[i]>0)&&(c[i]>c[K]))
max=i;
else if((c[i]<0)||(c[i]==0))
count1++;
}
K=max;
定位第R行，在第K列中找出 的元素，并且对比 的值，得到最小值，并定位该最小值对应的行，该行即为所求的第R行，具体代码实现如下：
for(i=0;i<M;i++)
{
if(a[i][K]>0)
th[i]=b[i]/a[i][K];
}
for(min=i=0;i<M;i++)
{
if(th[i+1]<th[i])
min=i+1;
}
R=min;
3.3
将进基出基操作定义为一个函数，其中进基和出基的列是由K和R决定的。 中第K列进基，即 ，对于出基的列，是基中的第R列，而不是 中第R列。第R行都除以a[R][K]，其他所有行a[i][j]=a[i][j]-a[i][K]*a[R][j]，具体代码实现如下：
1
铁人三项比赛，给出n个人进行每一项的速度 （i=1,2,…,n表示参赛选手；j=1,2,3表示三个项目），对每个人进行判断，通过改变3项比赛的路程，能否得到该人获胜的方案。
2
通过以上描述可知，只需要得到对于每个人是否存在让其获胜的方案，并不需要得到具体的方案，也不需要得到最优的方案，则在线性规划中只需要得到可行解，并不要求得到最优解。
为解决问题，除了已给出的 外，另设每个项目的路程为 。此处使用单纯形中的两阶段法，因此，引入人工变量 ，然而我们并不需要把该问题完全解出来，只需要进行第一阶段即可，通过第一阶段结束后判断 是否为0，即可判断是否存在题中所求的方案，线性规划表示如下。
3
3.1
将运动员的速度存储在一个txt文件中，通过输入函数来读入速度，并通过用户输入，决定选择几个运动员进行规划以及想要得到哪个运动员获胜的方案是否存在，具体代码实现如下：
for(j=0;j<=2*M+3;j++)
a[R][j]=a[R][j]/a[R][K];
for(i=0;i<M;i++)
{
for(j=0;j<=2*M+3;j++)
{
if(i!=R)
a[i][j]=a[i][j]-a[i][K]*a[R][j];
else
continue;
}
}
4
主函数调用了一次输入函数，调用了M次定位转轴元函数和进基出基函数。其中，初始化a[i][j]数组的时间复杂度是M2数量级，对人工变量的初始化操作时间复杂度也是M2数量级；在寻找转轴元函数中的操作的时间复杂度都是M数量级；进基出基函数进行行变换的时间复杂度是M2数量级。