平方差公式和完全平方公式“变形记”.
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式因式分解平方差公式和完全平方公式是数学中常用的因式分解方法，它们在解题过程中起到了十分重要的作用。
本文将为大家详细介绍这两个公式，帮助大家理解其原理和应用。
首先，我们来了解一下平方差公式。
平方差公式的表达形式为a² - b² = (a + b)(a - b)。
简言之，它告诉我们两个平方数相减的结果可以因式分解为两个因数的乘积：一个因数是两个平方数的和，另一个因数是两个平方数的差。
这个公式可以极大地简化计算，特别是在解方程或因式分解的题目中，往往能起到事半功倍的效果。
那么，我们来看一个应用平方差公式的例子。
假设我们需要将x² - 4x + 4进行因式分解。
我们可以使用平方差公式进行分解，将x² - 4x + 4看作是(a - b)²的形式，其中a为x，b为2。
根据平方差公式，我们可以得到(x - 2)²，也就是x² - 4x + 4的因式分解形式。
通过应用平方差公式，我们可以将一个多项式快速分解为一对平方数的差的乘积。
接下来，我们将介绍完全平方公式。
完全平方公式的表达形式为a² + 2ab + b² = (a + b)²。
它告诉我们一个二次多项式可以因式分解为两个相同的因数的平方。
与平方差公式类似，完全平方公式也可以在解题过程中提供方便。
我们来看一个应用完全平方公式的例子。
假设我们需要将x² + 6x + 9进行因式分解。
根据完全平方公式，我们可以将x² + 6x + 9看作是(a + b)²的形式，其中a为x，b为3。
带入完全平方公式，我们可以得到(x + 3)²，也就是x² + 6x + 9的因式分解形式。
通过应用完全平方公式，我们可以迅速将二次多项式转化为平方的形式。
在实际应用中，平方差公式和完全平方公式可以帮助我们进行因式分解，并简化问题的求解过程。
平方公式考点总结及练习
平方差公式及完全平方公式一、知识点讲解 （一）平方差公式：1、概念及公式推导：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
()()b a b a b a 22-=-+2、公式特点：（1）左边的两个二项式中，其中一项（a ）完全相同，另一项（b 和b -）互为相反数（2）右边是相同项的平方减去符号相反项的平方（3）公式中的b a ,可以是具体数字，也可以是单项式或多项式3、变形归纳：（1）位置变化 ()()()()b a b a b a a b a b 22-=-+=++-（2）符号变化 ()()()b a b a b a b a 2222-=-=--+--（3）系数变化 ()()()()yx x x y x y x 943222223232-=-=-+（4）指数变化()()()()n m n m n m n m 4622232323-=-=-+（5）增项变化 ()()()c b a c b a c b a 22-=-++++（6）增因式变化()()()()()()b a b a b a b a b a b a 2222-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-+---- （7）连用公式变化()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 8844444422224422-=+-=++-=++-+例1、计算：（1）()()b a b a 2323-+ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21212222x x（4）()()12001200-+ （4）()()z y x z y x -+++（二）完全平方公式1、概念及公式推导：两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数的积的两倍。
()()bab a b a b ab a b a 22222222+-=++=-+2、公式特点：（1）只有一个符号不同（2）公式中的b a ,可以是数，也可以是单项式或多项式 （3）注意()b a ab 222=与(),2222b ab a b a ++=+()b a b a 222+=+（是错误的做法）3、变形归纳：（1）()ab b a b a 2222-=++（2）()ab b a b a 2222+=+-（3）()()b a b a ab 2222+-=+（4）()()b a b a ab --+=2222（5）()()ab b a b a 422+=-+ （6）()()ab b a b a 422-=+-例2、化简：（1）()b a +32（2）()y x 32+-（4）()n m --2（4）()()c b c b --+例3、已知：.3,4-==-ab b a 求（1）b a 22+ （2）()b a +2二、题型剖析题型一 平方差公式及完全平方公式的运用 例1、计算：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b b a 313122 （2）6.94.10⨯（2）()()()3932++-x x x （4）()()a b b a ---33（5）()()z y x z y x 3232-++- （6）()c b a ++22（7）()()y x y x 323222+-题型二 利用公式简化计算 例2、计算：（1）2016220172015-⨯ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛601602（3）8.92 （4）29930122+题型三 推广公式的逆用 例3、计算：（1）()()z y x z x y 3232-----（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-••⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2016432222211111111题型四 与完全平方公式有关的开放题例4、多项式192+x 加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是例5、（1）求代数式的322++m m 的最小值（2）求代数式4332++-m m 的最大值题型五 解决实际问题例6、某住宅小区的花园，起初被设计成边长为a m 的正方形，后应道路的原因，设计修改为北边往南平移2.5m ，而东边往东平移2.5m ，则修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？巩固提升1．平方差公式（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2中字母a ，b 表示（ ）A ．只能是数B ．只能是单项式C ．只能是多项式D ．以上都可以 2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．（a+b ）（b+a ）B ．（－a+b ）（a －b ）C ．（13a+b ）（b －13a ） D ．（a 2－b ）（b 2+a ）3．下列计算中，错误的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4； ②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2； ③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2． 4．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）A ．5B ．6C ．－6D ．－5 5.（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2． 6．（－2x+y ）（－2x －y ）=______． 7．（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．9.下列展开结果是n m mn 222--的式子是（ ） A. ()n m +2B.()n m +-2B. ()n m --2D.()n m +-210.下列计算：①()b a b a 222+=+ ②()b a b a 222-=-③()b ab a b a 2222+-=- ④()bab a b a 2222+----=.其中正确的有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个11. 小明在做作业时，不小心把一滴墨水滴在一道数学题上，题目变成了x 21+x ，看不清x 前面的数字是什么，只知道这个二次三项式能配成一个完全平方式，这个被墨水污染了的数字是12.计算 （1）2023×2113． （2）（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）（3）9.1992 （4）7655.0469.27655.02345.122⨯++（5）2012（6）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－40163212. 已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值13. 已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
八年级数学平方差公式和完全平方公示记忆
一、导言在数学学科中，平方差公式和完全平方公式是中学阶段必须掌握的重要知识点。
从初中开始，学生就需要掌握这两个公式的具体内容和运用方法。
八年级是数学学科内容较多的阶段，学习者需要在日常学习中加强对平方差公式和完全平方公式的记忆和理解。
本文章旨在帮助八年级学生加深对这两个数学概念的印象，提高数学学习成绩。
二、平方差公式的记忆1.平方差公式是指两个数的平方差可以用来表示两个数的乘积。
具体公式为(a+b)(a-b)=a²-b²。
2.学生在记忆平方差公式时，可以通过以下方法加深理解和记忆：a.通过实例理解。
将(a+b)(a-b)展开可以得到a²-ab+ab-b²，简化后得到a²-b²，这样可以直观地理解平方差公式的含义。
b.多练习算式转换。
让学生多做一些相关的抽象计算练习，锻炼学生对平方差公式的运用能力。
充分练习可以加深记忆，也有助于提高数学计算能力。
三、完全平方公式的记忆1.完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成一个完全平方的形式，即二次多项式的平方等于一个平方数。
具体公式为a²+2ab+b²=(a+b)²。
2.学生在记忆完全平方公式时，可以通过以下方法进行记忆和理解：a.设定变量。
让学生通过给定一些具体的实际数学问题，然后使用完全平方公式进行推导和解决问题，可以在实际操作中加深对完全平方公式的理解和记忆。
b.应用到实际问题。
同样可以利用具体实例，让学生仿照实际问题中的公式应用，从而加深对公式的记忆和理解。
四、平方差公式和完全平方公式的联系1.平方差公式和完全平方公式之间有一定联系。
在实际问题中，可以通过平方差公式和完全平方公式进行变形和转换，以解决特定问题。
2.学生在学习中需要注意理解和掌握这两个公式的联系和差异，举一反三，灵活运用。
五、结语在数学学科中，平方差公式和完全平方公式是非常基础但又非常重要的知识点。
平方差公式与完全平方公式的巧记
平方差公式与完全平方公式的巧记我是一名普普通通的中学数学教师，从教以来一直担任平行班的班主任及数学老师。
在多年的教学经验中，我发现现在的学生普遍对数学这门学科都不太感兴趣，我们在教学过程中往往会遇到很多棘手的问题，而这种现象又是我们这个地区普遍存在的。
我是一名普普通通的中学数学教师，从教以来一直担任平行班的班主任及数学老师。
在多年的教学经验中，我发现现在的学生普遍对数学这门学科都不太感兴趣，我们在教学过程中往往会遇到很多棘手的问题，而这种现象又是我们这个地区普遍存在的。
由于我们所教育的学生大部分来自附近的农村，还有一部分来自周围的煤矿，学生的来源很复杂，学习底子又参差不齐，在教学过程中就有很大的难度。
在附近，很多大学毕业的学生都找不到工作，还有部分学生毕业后回到矿上又成为井下工人，而且工资待遇又不高。
反而是另外一些技校生，甚至是招的农民工，只要在矿上有个别领导当后台，都能混得很不错，工作清闲，待遇还高。
另外，现在的孩子大多数都是独生子女，父母带得都很娇贵，家长对孩子的要求也不高，甚至有些家长只要求他们的孩子混到初中毕业就可以了，这就导致了大部分学生认为学习不重要，没有完全把心思放在学习上。
这种种原因造成了现在的学生对学习就没有产生太大的兴趣，再加上小学基础较差，初中又加入新知识，他们对新知识懵懵懂懂的，特别对数学知识更是举手投降，于是经常会把一些数学公式记混淆了。
特别是在北师大版七年级下学期的“平方差公式”和“完全平方公式”中，学生老是把两个公式弄错了。
在学完“平方差公式”即：(a+b)(a-b)=a2-b2后，又紧接着学习“完全平方公式”即：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2。
由于形式上有点儿像，学生老是把“完全平方公式”记成：(a+b)2=a2+b2;(a-b)2=a2-b2，这是受“平方差公式”：(a+b)(a-b)=a2-b2的影响了。
对于这种情况，我在教学过程中总结了一些经验，在给学生上课时，我先教学生把公式换一种写法，即：(a+b)2=(a+b)(a+b)；(a-b)2=(a-b)(a-b)，然后利用已经学习过的“多项式乘以多项式”的方法，引导学生一步步推导出公式，得出结论后我会从以下几个方面引导学生来进行区别：一、首先从字面意思来记，“平方差”就是先平方再差，即：a2-b2。
平方差公式和完全平方公式变式_2023年学习资料
3、在横线上添上适当的代数式，使-等式成立-1a2+b2=a+b2--2a2+b2=a-b2+-3a-b2 a+b2-
a+b2=a2+2ab+b2-公式变形1：-a-b2=a2-2ab+b2-a2+b2-=a+b2-2ab2+b2=a-b2+2ab-a2+b2=a+b2+a-b
a+b2=a2+2ab+b2-公式变形2：-a-b2=a2-2ab+b2-a+b2-a-b2=4ab-a+ 2=a-b2+4ab-a-b2=a+b2-4ab
7.计算：-1a+b+c2-2a+b+ca+b-c-3a-b+ca+b-c
公式推广：-a+b+c2 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc-a+b-c2 a2+b2+c2+2ab 2a#43;b=1,b=-2,-则a2+b2=-2己知x-y=9,xy=8,-则x2+ 2=-3已知x+y2=25,x-y2=16,-则灯y=
4已知x2+y2=13,xy=6,-求-x+y
5.完全平方式-1已知，x2+ax+16是完全平方式，-则a=-2己知，4x2-kxy+25y2是完全平方 ，-则k=-3x2+12x+m是完全平方式，则m=-4请把4x4+1添加一项后是完全平方式，-可以添加
平方差公式和完全-平方公式变式
复习提问：-把平方差公式用字母表示-出来-把完全平方公式用字母表-示出来
平方差公式和完全平方公式变式
（4）已知x2＋y2 ＝13，xy＝6， 求 x＋y
5.完全平方式 （1）已知，x2______。 （2）已知，4x2 kxy 25y2是完全平方式，
则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m _____ (4)请把4x4 1添加一项后是完全平方式， 可以添加____________.
7.计算： (1)(a b c)2 (2)(a b c)(a b c) (3)(a b c)(a b c)
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式变形1： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
a2 +b2 =(a+b)2 -2ab
a2 +b2 = (a-b)2 +2ab
a2 b2 (a b)2 (a b)2 2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式变形2： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
(a b)2 (a b)2 4ab (a b)2 (a b)2 4ab
(a b)2 (a b)2 4ab
4.公式变形的应用：
（1）已知a b 1, ab 2, 则a2 b2 ________。
（2）已知x y 9, xy 8, 则x2 y2 ________。
公式推广：
(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
平方差公式和完全 平方公式变式
平方差公式口诀
平方差公式口诀
平方差公式口诀如下：
1. 括号前面是负号，去添括号都变号。
2. 解方程，未知闹分离，分离要靠移完成。
移加变减减变加，移乘变除除变乘。
3. 平方差公式，两数和乘两数差，等于两数平方差。
积化和差变两项，完全平方不是它。
4. 完全平方公式，二数和或差平方，展开式它共三项。
首平方与末平方，首末二倍中间放。
和的平方加联结，先减后加差平方。
5. 解一元一次方程，先去分母再括号，移项变号要记牢。
同类各项去合并，系数化“1”还没好。
求得未知须检验，回代值等才算了。
6. 因式分解与乘法。
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。
例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。
例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。
6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。
7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。
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(2)(a b) (a b)(a b) 2b 1 其中a 3, b 3
2
2
3、在横线上添上适当的代数式，使 等式成立
(1)a b (a b) _____
2 2 2
(2)a b (a b) _____
2 2 2
(3)(a b) (a b) _______
2 2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式变形1：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
2
a +b =(a+b) -2ab
a +b = (a-b) +2ab
( a b) ( a b) a b 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式变形2：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
专题课: 平方差公式和完全平方公式 “变形记”
复习提问：
把平方差公式用字母表示出来 把完全平方公式用字母表示出来
平方差公式:
数学表达式：
(a b)(a b) a b
2
公式逆用：
2
a b (a b)(a b)
2 2
完全平方公式:
数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab, ( x y ) 16,
2 2
则xy ________ 。
（4）已知x2＋y2 ＝13，xy＝6， 求 x＋ y
5.完全平方式 2 （1）已知，x ax 16是完全平方式，
则a _______ 。
2 2
（2）已知， 4 x kxy 25 y 是完全平方式， 则k ___________ 。
2
(a b) (a b) 4ab
2
(a b) (a b) 4ab
2 2
(a b) (a b) 4ab
2 2
4.公式变形的应用：
（1）已知a b 1, ab 2, 则a b ________ 。
2 2
（2）已知x y 9, xy 8, 则x y ________ 。
2 4
(3)x 12 x m是完全平方式, 则m _____ 可以添加____________.
(4)请把4 x 1添加一项后是完全平方式，
6.计算：
(1)(a b c) (2)(a b c)(a b c) (3)(a b c)(a b c)
2
公式推广：
(a b c) a b c 2ab 2ac 2bc
2 2 2 2
(a b c) a b c 2ab 2ac 2bc
2 2 2 2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
谐音记忆：
首平方，尾平方，积的2倍放中央
1、利用公式进行计算：
(1)( x 2 y )( x 2 y) (2)(a 2b)(2b a) (3)(2a 3b)
2 2
(4)(2 x y )
2、化简求值：
（） 1 (x 3) ( x 1)( x 2), 其中x 1