八年级数学下册 19.1.1 变量与函数教案 (新版)新人教版
第十九章一次函数
19.1 函数
19.1.1 变量与函数
【教学目标】
知识与技能
1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律了解常量、变量的意义.
2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.
过程与方法
体会数形结合的思想．
情感、态度与价值观
培养学生良好的变化与对应意识
【教学重难点】
重点：常量与变量的识别.
难点：常量与变量的识别.
【导学过程】
【情景导入】
由大量图片“万物皆变”）引入。
【新知探究】
探究一、自主探究P71问题（1），汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．
①．请同学们根据题意填写下表：
②．在以上这个过程中，变化的量是 ,不变化的量是_______．
③．试用含t的式子表示s： s=________,t的取值范围是 ________ .
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间的变化过程．
探究二、自主探究P71问题（2）~~（4），然后完成下列填空
在（2）中用含x的式子表示y, 则y＝；在（3）中用含m的式子表示l, 则l
＝；
在（4）中用含s的式子表示r,则r＝；
探究三、
1.概念、在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量
．．
．．．．为 .有些量的数值是始终不变
的，我们称它们为 .
2.在P71的五个问题中，（1）中的常量是，变量是；（2）中的常量是，变量是；（3）中的常量是，变量
是；
（4）中的常量是，变量是；（5）中的常量是，变量
是 .
【知识梳理】
1.什么叫变量？什么叫常量？
2.举一个运动变化的例子并指出其变量和常量．
3.你认为变化过程中的变量之间会有联系吗？
【随堂练习】
1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q•（元）与他买这种笔记本的
本数x之间的关系是（）
A．Q＝8x B．Q＝8x－50 C．Q＝50－8x D．Q＝8x＋50
2．甲、乙两地相距S千米，某人行完全程所用的时间t（时）与他的速度v（千米/时）满
足S=vt，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（）
A．S是变量 B．t是变量 C．v是变量 D．S是常量
3．长方形相邻两边长分别为x、•y•，面积为100•，•则用含x•的式子表示y•，则y＝_______，
在这个问题中，常量；是变量．
4．某种报纸的价格是每份0.4元,买x份报纸的总价为y元,先填写下表,再用含x的式子表
示y．Array
x与y之间的关系是
y
＝ ,在这个变化过程中，常量是 ,变量是．
5.一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t•（小时）表示水箱中的剩
水量y（吨），y＝，t的取值范围是 .
6．如图：已知△ABC中，底边BC＝15cm，高AD可以任意伸缩．写出△ABC的面积Ｓ随AD
变化关系式，并指出其中常量与变量．
A
A
A
B C
7、如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案的花盆总数是S，求S与n之间的关系式.
n＝1 n＝2 n＝3。
人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》教学设计
人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》是初中数学的重要内容，主要让学生了解变量的概念，以及变量与函数的关系。
本节课通过具体的实例，引导学生理解函数的概念，并能够运用函数解决实际问题。
教材内容由浅入深，循序渐进，符合学生的认知发展规律。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了代数的基础知识，对数学概念有一定的理解能力。
但是，对于函数的概念和意义，以及如何运用函数解决实际问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过实例理解函数的概念，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解变量与函数的概念，能够识别函数关系，并运用函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：理解变量与函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.难点：函数概念的理解，以及如何运用函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和情境教学法。
通过设置问题情境，引导学生观察、操作、思考，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
同时，鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队协作意识和创新精神。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生学情，设计教学问题和活动。
2.学生准备：预习教材，了解变量与函数的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如温度随时间的变化，引出变量与函数的概念。
提问：什么是变量？什么是函数？引导学生思考并回答。
2.呈现（15分钟）呈现教材中的例题和练习题，让学生观察、分析，引导学生发现变量与函数之间的关系。
提问：如何判断两个变量之间存在函数关系？如何表示函数关系？3.操练（15分钟）学生分组讨论，选取一个实例，尝试用函数表示变量之间的关系。
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（3）运用函数解决实际问题：能够运用所学函数知识分析并解决简单的实际问题，如面积、距离、成本等问题。
另外，学生在小组讨论环节表现出了很高的热情，他们能够将所学的变量与函数知识应用到实际问题中，提出了很多有创意的想法。这让我感到很欣慰，也证明了我采取的小组讨论教学方法是有效的。在以后的教学中，我会继续采用这种形式，激发学生的积极性。
然而，我也注意到，在小组讨论过程中，有些学生发言不够积极，可能是由于他们对问题不够理解或者自信心不足。为了解决这个问题，我计划在课堂中增加一些鼓励性评价，同时针对这部分学生进行个别辅导，帮助他们树立信心，积极参与到课堂讨论中来。
（4）识别和建立函数模型：在解决实际问题时，学生可能不知道如何建立函数模型。
突破方法：教授常见函数模型（线性函数、二次函数等）的识别方法，并通过案例分析，让学生模仿并学会建立模型。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《变量与函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个量相互依赖的情况？”（如气温与穿衣量的关系）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索变量与函数的奥秘。
核心素养目标与课本紧密关联，注重培养学生对变量与函数概念的理解，提高学生在实际情境中运用函数知识解决问题的能力，全面促进学生的数学学科素养发展。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）变量与函数的定义：准确理解变量与常量的区别，掌握函数的定义及其表示方法（列表法、解析式法、图象法）。
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课前准备活动：每位同学都注意留心身边事物的运动变化过程，至少记录三个实例，以备上课使用。
【教材分析】
教
学
目
标
知识
技能
1.理解变量、常量的概念以及相互之间的关系，能指出一个变化过程中的变量与常量.
2.能找出变量之间的简单关系，列出简单关系式.
过程
方法
经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．逐步感知变量间的关系．
根据上面的描述，指出其中的变量和常量，
2，放学后，你步行回家的平均速度是80米/分钟，离开学校的路程是s米，离开学校的时间是t分钟。根据以上描述，指出变量与常量并完成下表
t/分钟
1
2
3
4
...
S/米
...
请用时间t表示路程s_______。
教师出示题目，学生分节完成。首先小组内交流，然后统一展示。
补
偿
提
高
如图，在长方形ABCD中，当点P在边AD（不包括A、D两点）上从A向D移动时，有些线段的长度和三角形的面积始终保持不变，而有些则发生了变化。
（1）试分别写出长度变和不变的线段，面积变和不变的三角形。
（2）若AP=x，BC=8，AB=4，求 和
作
业
设
计
作业：
课本P72练习题
教师布置作业，提出具体要求
问题1：找出乌龟追兔子这个过程中所涉及的量。
问题2：请同学们比较一下，乌龟追兔子的过程中，距离s和时间t这两个量与乌龟的速度v有什么不同的地方吗？
问题3：请大家按照刚才的步骤，（先找出变化过程中的量，再判断一下这些量有哪些在发生变化，又有哪些是不变的。）来研究一下刚才大家举出的实例。
2019版八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.1 变量与函数 19.1.1 变量与函数教案 (新版)新人教版
第十九章一次函数19.1函数19.1.1变量与函数【教学目标】知识与技能:1.掌握常量和变量、自变量和函数的基本概念.2.了解函数值的概念,能用解析式表示函数关系.会确定函数自变量的取值范围.过程与方法:结合实例,了解常量、变量的意义,体会“变化与对应”的思想.通过动手实践与探索,让学生参与变量发现的过程,以提高分析问题和解决问题的能力.情感态度与价值观:引导学生探索实际问题中的数量关系,培养对学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.【重点难点】重点:了解常量与变量的含义.理解函数的有关概念,能用解析式表示函数关系.确定自变量的取值范围.难点:理解函数的有关概念,能用解析式表示函数关系.会确定自变量的取值范围.【教学过程】一、创设情境,导入新课:1.在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题.如图是某地一天内的气温变化图.看图回答:(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少?任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温.(2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少?(3)这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?从图中我们可以看到,随着时间t(时)的变化,相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢?2.五一假期,李想和朋友从学校门口出发,骑自行车去沙河游玩,假设他们匀速行驶,每分钟骑200米,骑车的总路程为s米,骑车的时间为t分钟.填一填:问题:(1)在这个行程问题中,我们所研究的对象有几个量?(2)几个所研究的对象中,哪些是变化的量,哪些是固定不变的量?它们之间存在什么样的关系?这一节我们就来探究这一问题.二、探究归纳活动1:变量与常量1.出示问题,师生探究有如下几个变化过程,请找出各变化过程中的量,并填表:(教材P71四个问题)(师生活动:教师引导学生填表,并分析问题中出现的量,发现其中有些量的数值是变化的,分析问题中的量并分类,领会“变量”、“常量”的含义.发现在同一个变化过程中,始终保持不变的量为常量,而数值发生变化的量为变量.并根据发现自己试着下定义.)2.形成概念(1)(2)定义:在一个变化过程中,数值发生变化的量,称为变量,数值始终不变的量称为常量.活动2:函数的概念1.问题:在前面的每个问题和实验中,是否各有两个变量?同一个问题中的变量之间有什么联系?师生分析得出:上面的每个问题和实验中的两个变量互相联系.当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有唯一确定的值.2.思考:分组讨论教科书“思考”中的两个问题.注:使学生加深对各种表示函数关系的表达方式的印象.3.归纳:一般来说,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么,我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时,y=b,那么,b叫做当自变量的值为a时的函数值.例如在问题1中,时间t是自变量,里程s是t的函数.t=1时,其函数值s为60,t=2时,其函数值s为120.同样,在心电图中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数;在人口数统计表中,年份x是自变量,人口数y 是x的函数.当x=1999时,函数值y=12.52.活动3:例题讲解【例1】读下面这段有关“龟兔赛跑”的寓言故事,并指出所涉及的量中,哪些是常量,哪些是变量.一次乌龟与兔子举行500 m赛跑,比赛开始不久,兔子就遥遥领先.当兔子以20 m/min的速度跑了10 min时,往回一看,乌龟远远地落在后面呢!兔子心想:“我就是睡一觉,你乌龟也追不上我,我为何不在此美美地睡上一觉呢?”可是,当骄傲的兔子正做着胜利者的美梦时,勤勉的乌龟却从它身边悄悄爬过,并以10 m/min的速度匀速爬向终点.40 min后,兔子梦醒了,而此时乌龟刚好到达终点.兔子悔之晚矣,等它再以30 m/min的速度跑向终点时,它比乌龟足足晚了10 min.分析:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量.解:500 m、乌龟的速度10 m/min等在整个变化过程中是常量,兔子的速度是变量.总结:“常量”与“变量”:“常量”是数值始终不变的量,一般是用具体数表示的量;“变量”是数值发生变化的量,变量是可以变化的:(1)可以取不同的数值,(2)一般用字母表示.【例2】我们知道,海拔高度每上升1 km,温度下降6 ℃.某时刻,益阳地面温度为20 ℃,设高出地面x km 处的温度为y℃.(1)写出y与x之间的函数解析式.(2)已知益阳碧云峰高出地面约500 m,求这时山顶的温度大约是多少℃?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34 ℃,求飞机离地面的高度为多少千米?分析:(1)根据题意,按照等量关系:高出地面x km处的温度=地面温度-6 ℃×高出地面的距离;列出函数解析式.(2)把给出的自变量高出地面的距离0.5 km代入函数解析式求得.(3)把给出的函数值高出地面x km处的温度-34 ℃代入函数解析式求得x.解:(1)由题意得,y与x之间的函数解析式y=20-6x(x≥0).(2)由题意得x=0.5 km, y=20-6×0.5=17(℃)答:这时山顶的温度大约是17 ℃.(3)由题意得y=-34 ℃时,-34=20-6x,解得x=9 km.答:飞机离地面的高度为9 km.总结:求函数值的方法:就是将自变量x的值代入解析式,求代数式的值.【例3】函数y=自变量x的取值范围是()A.x≥1且x≠3B.x≥1C.x≠3D.x>1且x≠3分析:求自变量取值范围时,要考虑两个方面:一是被开方数非负;二是分式的分母不为零,通过建立不等式组解决问题.解:选A.根据题意可知:x-1≥0且x-3≠0,解得x≥1且x≠3.总结:确定自变量取值范围的方法(1)整式:其自变量的取值范围是全体实数.(2)分式:其自变量的取值范围是使得分母不为0的实数.(3)二次根式:其自变量的取值范围是使得被开方数为非负的实数.(4)实际问题:其自变量的取值必须使实际问题有意义.三、交流反思这节课我们学习了变量与常量、函数的概念,函数自变量的取值范围的确定方法.四、检测反馈1.在三角形面积公式S=ah,a=2 cm中,下列说法正确的是()A.S,a是变量,h是常量B.S,h是变量,是常量C.S,h是变量,a是常量D.S,h,a是变量,是常量2.函数y=+3中自变量x的取值范围是()A.x>1B.x≥1C.x≤1D.x≠13.下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y,其中y不是x的函数的选项是()A.y:正方形的面积,x:这个正方形的周长B.y:某班学生的身高,x:这个班学生的学号C.y:圆的面积,x:这个圆的直径D.y:一个正数的平方根,x:这个正数4.对于圆的面积公式S=πR2,下列说法中,正确的为()A.π是自变量B.R2是自变量C.R是自变量D.πR2是自变量5.函数y=中的自变量x的取值范围是()A.x≥0B.x≠-1C.x>0D.x≥0且x≠-16.根据如图所示程序计算函数值,若输入的x的值为,则输出的函数值为()A.B.C.D.7.一支演唱队第一排有20人,后面每排比前排多1人,则第n排的人数s与n的函数解析式为________.8.一个小球从静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到了小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表:(1)这一变化过程中的自变量是________.(2)写出用t表示s的关系是________.(3)求第6秒时,小球滚动的距离为________m.(4)小球滚动200 m用的时间为________.五、布置作业教科书第81页习题19.1第1,2,3,4,5题六、板书设计七、教学反思本节课学习了常量与变量,函数的概念及函数自变量的取值范围的确定,关于变量与常量概念:要通过实例引导学生分析运动变化过程中出现的数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量,值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量,有些是数值始终不变的量,总结得出并通过实例练习巩固.关于函数概念的教学,通过实例引导学生分析总结得出,并明确表示函数关系的方法通常有三种:①解析法.②列表法.③图象法.关于函数自变量的取值范围的教学,通过实例引导学生分析得出:求函数自变量取值范围的两个依据:(1)要使函数的解析式有意义.①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;②函数的解析式分母中含有字母时,自变量的取值应使分母≠0;③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数≥0.(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义.。
人教版八年级数学下册 19章 19.1.1 变量与函数 教学设计
19.1.1《变量与函数》一．教学目标【知识目标】（1）基于生活经验，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题．能指出具体问题中的常量、变量．（2）借助简单实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来刻画．能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系．（3）借助简单实例，初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系．能判断两个变量间是否具有函数关系．【过程与方法目标】借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.【情感与态度目标】(1)从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.(2) 借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣．二.目标解析函数的概念具有高度的抽象性．学生知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数．学生的生活经验中已具备一些朴素的函数关系的实例．学生初次接触两个变量之间的特殊对应关系，教师应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生在丰富的现实情境中感知变量和函数的存在和意义，认识常量与变量，理解具体实例中两个变量的特殊对应关系，初步理解函数的概念．【变量与函数概念的核心】两个变量间的特殊对应关系：（1）两个变量；（2）唯一对应关系.【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念．【教学难点】怎样理解“唯一对应”．【教学关键】借助实例，明确由哪一个量的变化引起另一个量的变化，进而指出由哪一个变量确定另一个变量；“唯一对应”是一种特殊的对应关系，包括“一对一”、“多对一”．“一对多”不是函数关系．三.教学方法与教学手段学生的学法应以自主探究与合作交流为主．通过小组合作，认识“唯一确定”的准确含义．教法采用师生互动探究式教学．函数概念具有高度的抽象性，借助视频形象演示几何图形中量与量之间的函数关系，借助学生熟悉的生活实例，引领学生经历从具体实例中抽象出常量、变量与函数的过程，初步理解抽象的函数概念．四.教学过程课间导入：循环播放生活相关的图片，搭配“爱我你就抱抱我”的动感音乐引起学生注意，寓意爱函数爱学习就多学习。
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计1
人教版数学八年级下册19.1.1《变量与函数》教学设计1一. 教材分析《变量与函数》是人教版数学八年级下册第19.1.1节的内容，本节课主要介绍变量的概念以及函数的定义。
学生在学习本节课之前，已经掌握了代数基础知识，如代数式、方程等，为本节课的学习打下了基础。
本节课的内容是学生学习更高级数学知识的重要基石，对于培养学生的逻辑思维能力、解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于未知数、代数式等概念有了初步的了解。
但是，学生在学习过程中，可能对于抽象的变量概念、函数的定义及表示方法等方面存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过具体实例来理解抽象概念，提高学生的抽象思维能力。
三. 教学目标1.理解变量的概念，掌握常量与变量的区别。
2.理解函数的定义，掌握函数的表示方法。
3.能够运用变量和函数的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：变量、函数的概念及其表示方法。
2.难点：函数概念的理解，函数表示方法的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入变量和函数的概念，使学生能够更好地理解抽象知识。
2.引导发现法：教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主发现变量和函数的规律。
3.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对变量和函数概念的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的教学课件，帮助学生直观地理解变量和函数的概念。
2.教学实例：准备一些生活实例，用于引导学生学习变量和函数。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如气温、水位等，引导学生思考这些量是如何变化的。
通过观察、讨论，让学生初步理解变量概念。
2.呈现（10分钟）介绍常量与变量的定义，让学生明确常量与变量的区别。
接着，引入函数的定义，讲解函数的表示方法，如解析式、图象等。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，举例说明生活中的一些函数关系，如身高与年龄的关系、商品价格与数量的关系等。
人教版八年级下第19章一次函数19.1.1变量与函数教案
3.培养学生合作交流、自主探究的学习习惯，提高数学建模和数学运算的核心素养。
4.激发学生学习兴趣，培养勇于挑战、善于思考的学习态度，提升学生的数学素养和综合素质。
在教学过程中，重点关注学生在以下方面的表现：
1.能否运用所学知识，分析并解决实际问题，体现数学的应用价值。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调变量与常量的区别以及函数的三要素。对于难点部分，我会通过举例和图示来帮助大家理解一次函数的定义和图像特点。
（三）实践活动（用时10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数相关的实际问题，如公交车票价与乘车距离的关系。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用尺子和直尺绘制一次函数的图像，观察斜率和截距的变化。
五、教学反思
在上完这节课之后，我对自己的一些教学设计和学生的反应进行了思考。我发现，通过生活中的实例引入变量和函数的概念，学生们能够更直观地理解这些抽象的数学概念。他们对于一次函数的应用表现出浓厚的兴趣，尤其是当我将函数与他们的日常生活联系起来时，比如购物打折、手机话费等问题。
我注意到，在教学过程中，有些学生对一次函数的图像绘制感到困惑。我意识到，这里可能需要更多的直观演示和实际操作，让学生亲手尝试，从而更好地理解图像的生成过程。在接下来的课程中，我打算增加一些互动环节，比如让学生分组在教室里用道具来模拟一次函数的图像，这样既能增强他们的动手能力，也能加深对一次函数图像特征的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解变量与函数的基本概念。变量是随着某些条件变化而变化的量，而函数则是描述两个变量之间依赖关系的数学模型。它们在数学和生活中都有着广泛的应用。
人教版八年级下册数学教案-第19章 一次函数-19.1.1 变量与函数
19.1函数19.1.1变量与函数第1课时常量与变量教学目标一、基本目标【知识与技能】1．认识变量、常量．2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．【过程与方法】经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．【情感态度与价值观】培养学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．二、重难点目标【教学重点】1．认识变量、常量．2．用式子表示变量间关系．【教学难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P71的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在一个变化的过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．2．判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值是否发生变化．3．每张电影票售价为10元，如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y?解：早场电影票房收入：150×10＝1500(元)，日场电影票房收入：205×10＝2050(元)，晚场电影票房收入：310×10＝3100(元)， 关系式：y ＝10x .4．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10 cm ，每1 kg 重物使弹簧伸长0.5 cm ，怎样用含有重物质量m 的式子表示受力后的弹簧长度？解：挂1 kg 重物时弹簧长度：1×0.5＋10＝10.5(cm)， 挂2 kg 重物时弹簧长度：2×0.5＋10＝11(cm)， 挂3 kg 重物时弹簧长度：3×0.5＋10＝11.5(cm)， 关系式：L ＝0.5m ＋10. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】分析并指出下列关系中的变量与常量： (1)球的表面积S 与球的半径R 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h (m)与它下落的时间t (s)的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x 千克与所付款W 元之间的关系式是W ＝1.8x .【互动探索】(引发学生思考)在一个变化的过程中，常量和变量怎样区分？ 【解答】(1)S ＝4πR 2，常量是4，π，变量是S ，R . (2)h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0,4.9，变量是h ，t .(3)h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)，常量是12，g ，变量是h ，t .(4)W ＝1.8x ，常量是1.8，变量是x ，W .【互动总结】(学生总结，老师点评)常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．活动2 巩固练习(学生独学)1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q (元)与他买这种笔记本的本数x 之间的关系是( C )A ．Q ＝8xB ．Q ＝8x －50C ．Q ＝50－8xD ．Q ＝8x ＋502．甲、乙两地相距s 千米，某人行完全程所用的时间t (时)与他的速度v (千米/时)满足v t ＝s ，在这个变化过程中，下列判断中错误的是 ( A )A ．s 是变量B ．t 是变量C ．v 是变量D ．s 是常量3．某种报纸的价格是每份0.4元，买x 份报纸的总价为y 元，先填写下表，再用含x 的式子表示y .份数/份 1 2 3 4 5 6 7 100 价钱/元0.40.81.21.62.02.42.840x 与y 之间的关系是y ＝0.4x ，在这个变化过程中，常量是报纸的单价，变量是报纸的份数．4．先写出下列问题中的函数关系式，然后指出其中的变量和常量： (1)直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；(2)一个铜球在0 ℃的体积为1000 cm 3，加热后温度每增加1 ℃，体积增加0.051 cm 3，t ℃时球的体积为V cm 3；(3)等腰三角形的顶角为x 度，试用x 表示底角y 的度数． 解：(1)α＝90°－β.90°是常量，α、β是变量．(2)V ＝1000＋0.051t .其中1000,0.051是常量，t 、V 是变量．(3)y ＝180－x 2 ＝90－x 2(0＜x ＜180°)．其中90，12 是常量，x 、y 是变量．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10 cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm 之间的关系式，并指出其中的常量与变量．【互动探索】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA 的长度可得出y 与x 的关系，再根据变量和常量的定义得出常量与变量．【解答】由题意知，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，两图形重合的长度为AM ＝x cm.∵∠BAC ＝45°，∴S 阴影＝12·AM ·h ＝12AM 2＝12x 2，则y ＝12x 2,0≤x ≤10.其中的常量为12，变量为重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)常量与变量⎩⎪⎨⎪⎧定义判断练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 函 数教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．认识变量中的自变量与函数． 2．进一步掌握确定函数关系式的方法． 3．会确定自变量的取值范围． 【过程与方法】1．经历回顾思考过程，提高归纳总结概括能力．2．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表达方式．【情感态度与价值观】积极参与活动，提高学习兴趣，并形成合作交流意识及独立思考的习惯． 二、重难点目标 【教学重点】1．进一步掌握确定函数关系的方法． 2．确定自变量的取值范围． 【教学难点】认识函数、领会函数的意义．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P72～P74的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．2．用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解析式． 3．对函数的理解，要抓住三点：(1)两个变量；(2)一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而发生变化；(3)自变量的每一个确定的值，函数都有唯一的一个值与其对应．4．使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围．确定自变量取值范围的条件：(1)使函数解析式有意义；(2)使函数所代表的实际问题有意义．5．对于自变量的取值范围内的一个确定的值，如当x ＝a 时，y ＝b ，函数有唯一的值b 与之对应，则这个对应值b 叫做x ＝a 时的函数值．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】下列变量间的关系不是函数关系的是( ) A ．长方形的宽一定，其长与面积 B ．正方形的周长与面积 C ．等腰三角形的底边长与面积 D ．圆的周长与半径【互动探索】(引发学生思考)如何判断两个变量是否是函数关系？【分析】长方形的宽一定，它是常量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也改变，故A 选项是函数关系；正方形的面积＝(正方形的周长)216，正方形的周长与面积是两个变量，16是常量，故B 选项是函数关系；等腰三角形的面积＝12×高×底，底边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里高也是变量，有三个变量，故C 选项不是函数关系；圆的周长＝2π×半径，圆的周长与其半径是函数关系，故D 选项是函数关系．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应关系．【例2】根据如图所示程序计算函数值，若输入x 的值为52，则输出的函数值y 为( )A ．32B ．25C ．425D ．254【互动探索】(引发学生思考)已知函数解析式，怎样求函数值？自变量的取值范围不同，对应的函数关系式不同，又怎样求函数值呢？【分析】∵2<52<4，∴将x ＝52代入函数y ＝1x ，得y ＝25.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．【例3】写出下列函数中自变量x 的取值范围： (1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ； (3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2. 【互动探索】(引发学生思考)怎样确定自变量的取值范围？ 【解答】(1)全体实数． (2)分母1－x ≠0，即x ≠1. (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4.(4)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0， 解得x ≥1且x ≠2.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列变量之间的关系是函数关系的是( C ) A ．水稻的产量与用肥量 B ．小明的身高与饮食 C ．球的半径与体积 D ．家庭收入与支出2．如图，△ABC 底边BC 上的高是6 cm ，当三角形的顶点C 沿底边所在直线向点B 运动时，三角形的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量是BC ，因变量是 △ABC 的面积； (2)如果三角形的底边长为x (cm)，三角形的面积y (cm 2)可以表示为y ＝3x ； (3)当底边长从12 cm 变到3 cm 时，三角形的面积从36cm 2变到9cm 2； (4)当点C 运动到什么位置时，三角形的面积缩小为原来的一半？ 解：当点C 运动到中点时，三角形的面积缩小为原来的一半．3．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．(1)一个弹簧秤最大能称不超过10 kg 的物体，它的原长为10 cm ，挂上重物后弹簧的长度y (cm)随所挂重物的质量x (kg)的变化而变化，每挂1 kg 物体，弹簧伸长0.5 cm ；(2)设一长方体盒子高为30 cm ，底面是正方形，底面边长a (cm)改变时，这个长方体的体积V (cm 3)也随之改变．解：(1)y ＝10＋12x (0＜x ≤10)，其中x 是自变量，y 是自变量的函数．(2)V ＝30a 2(a >0)，其中a 是自变量，V 是自变量的函数．4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表： 时间 (秒) 012345678910速度 (米/秒)0.31.32.84.97.611.014.118.424.228.9(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果用t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是什么？ (3)当t 每增加1秒时，v 的变化情况相同吗？在哪1秒时，v 的增加量最大？ (4)若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将达到这个上限？解：(1)上表反映了时间和速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量．(2)如果用t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是v 随着t 的增大而增大．(3)当t 每增加1秒，v 的变化情况不相同，在第9秒时，v 的增加量最大． (4)120×10003600＝1003≈33.3(米/秒)，由33.3－28.9＝4.4，且28.9－24.2＝4.7＞4.4，所以估计大约还需1秒．活动3 拓展延伸(学生对学)【例4】水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t 分钟时，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围； (2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)何时水箱内的水恰好放完？【互动探索】(1)根据水箱内存有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)当7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．【解答】(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水， ∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0， 解得t ≤100， ∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)． (2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t ＝25时，y ＝200－2t ＝200－50＝150(升)， ∴7：55时，水箱内还有水150升． (3)令y ＝0，即200－2t ＝0，解得t ＝100. 100分＝1时40分，7时30分＋1时40分＝9时10分， 故9：10水箱内的水恰好放完．【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)已知函数解析式求函数值，就是将自变量x 的值带入解析式，求代数式的值；(2)已知函数解析式并给出函数值，求相应的自变量x 的值，实际上就是解方程．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 函数⎩⎪⎨⎪⎧概念自变量的取值范围函数值练习设计请完成本课时对应训练！。
八年级数学下册 19.1.1 变量与函数教案 (新版)新人教
变量与函数教学目标知识与技能1.认识变量、常量．2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．过程与方法1.经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．2.逐步感知变量间的关系．情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.认识变量、常量2.用式子表示变量间关系教学难点用含有一个变量的式子表示另一个变量教学方法精心设疑合作交流自主探究教具准备多媒体课件课时安排1课时教学过程活动一组织教学通过学生对一天内气温的感觉引入变化的量，观看幻灯片中随时间的变化温度也随着变化的图像，让学生感受到数学就在我们身边。
活动二问题解决，引入实例1、周末，老师乘车回家。
汽车以每小时60km的速度匀速行驶，行驶时间为t小时，行驶路程为s km。
2、用20m 长的绳子围成矩形，矩形的一边长为 x m，邻边长为y m。
3、计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数为n个，单价 a元。
4、每张电影票的售价是10元，一场电影售出x张票，票房收入为y元。
活动三提出问题，感受特征提问1：分别指出（1）~（4）的变化过程中涉及到哪些量，你能将这些量分为几类？分类的标准是什么？提问2：这些量有什么数量关系？提问3：在（1）~（4）的变化过程中，当一个量发生变化时，另一个量是否也随之发生变化？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？（修改学生认可的关系式）提问4：在（1）~（4）的变化过程中，发生变化的量有限制条件吗？如何限制？活动四适时命名，学生定义变量（variable）：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量。
常量（constant）：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
问题1：请指出上面各个变化过程中的常量、变量。
活动五 辨析概念，巩固练习1、填空（1）某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，则总金额y （元）与学生数n （个）的关系式是 ，其中的变量是 ，常量是 。
八年级数学下册 19.1 变量与函数教学设计 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级下册数学教
变量与函数教学设计思想：本节一共分为四个课时，第一、二课时主要是对一些概念的学习与应用，这也是本节的难点，要通过结合一些具体的事例来理解．第三、四课时主要是学习函数的三种表示法、运用函数知识解决实际问题，要注意“数形结合”思想方法的运用．教学目标：知识与技能：能叙述常量、变量、函数以及函数图像的意义；能叙述函数的表示法、自变量的取值X围及函数值的意义；发展运用函数知识解决实际问题的能力．过程与方法：经历画简单函数的图像的过程提高识图能力．情感态度价值观：感受变量与函数是刻画现实生活中许多变化事物的一种重要的数学工具．教学重点：运用函数知识解决实际问题．教学难点：常量、变量、函数以及函数图像的意义．教学安排：4课时．教具：多媒体教学过程：第一课时（一）问题的提出现请思考下面几个问题：（1）汽车以60千米／时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，先填下面的表，再试用含t的式子表示s．t/时12345s/千米（2）每X电影票的售价为10元，如果早场售出票150X，日场售出票205X，晚场售出票310X，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出票xX，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？（3）在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长，怎样用含重物质量m （单位：kg）的式子表示受力后的弹簧长度l （单位：cm）？（4）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆面积为20cm2呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r？（5）如图，用10m长的绳子围成长方形．试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化．记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律．设长方形的长为xm，面积为Sm2，怎样用含x的式子表示S？这些问题反映了不同的事物的变化过程，其中有些量（例如时间t，里程s；售出票数x，票房收入y……）的值是按照某种规律变化的．在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）．有些量的数值是始终不变的，例如上面问题中的速度60（单位：千米／时），票价10（单位：元）……绳长10（单位：m）以及长方形的长宽之和5（单位：m），我们称它们为常量（constant）．在日常生活中，工农业生产和科学实验中，常量和变量是普遍存在的，但数学所要研究的是某一变化过程中的两个量之间的关系，即它们是怎样互相制约、互相联系的．提问：一个量变化，具体地说是它的什么在变？什么不变呢？引导学生观察发现：是量的数值变与不变．应该让学生注意到在某一个变化过程中，变量、常量都可能有多个．常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变）．（二）思考具体指出上面的各问题中，哪些量是变量，哪些量是常量．让学生从定义出发指出问题中的变量与常量．剖析概念常量与变量必须存在于一个变化过程中．判断一个量是常量还是变量，需着两个方面：①看它是否在一个变化的过程中，②看它在这个变化过程中的取值情况．（三）练习举出一些变化的实例，指出其中的常量与变量．（充分发挥学生的主体作用，畅所欲言）．（四）小结小结对变量与常量意义的理解．（五）板书设计变量问题两个概念：变量、常量思考练习第二课时（一）问题的讨论的每个问题中是否各有两个变量？同一个问题中的变量之间有什么联系？在问题（1）中，观察填出的表格，你会发现：每当行驶时间t取定一个值时，行驶里程s就随之确定一个值，例如t=1，则s=60；t=2，则s=120……t=5，则s=300．问题（2）中，经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值，例如早场x=150，则y=l 500；日场x=205，则y=2 050；晚场x=310，则y=3 100．问题（3）中，通过试验可以看出：每当重物质量m取定一个值时，弹簧长度l就随之确定一个值．如果弹簧原长10cm，每lkg重物使弹簧伸长0．5 cm，那么当m=1时，l=10．5．当m=10时，l等于多少？问题（4）中，你容易算出：当S=10 cm2时，r=_______cm；当S=20cm2时，r=_______cm．每当S取定一个值时，r随之确定一个值．你能得出：两者的关系为r=_______.问题（5）中，我们可以根据下表中给出的数值确定长方形一边的长，得出另一边的长，计算长方形的面积，填表并探索变量间的关系．长x/m432宽（5－x）/m面积S/m2每当长方形长x取定一个值时，面积S就随之确定一个值，S=_________.引导学生观察发现：对于变量的每一个值，另一变量都有唯一的值与它对应．所以两个变量的关系又可叙述为：对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应．即一种对应关系．（二）归纳上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就________.在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间上面那样的关系．（三）观察（1）下图是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗？中国人口数统计表年份人口数/亿1984198919941999一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independent variable），y是x的函数（function）．如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．剖析概念理解函数概念把握三点：①一个变化过程，②两个变量，③一种对应关系．判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据．可以认为：前面问题（1）中，时间t是自变量，里程s是t的函数，t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，时的函数值s=_____……同样地，在心电图中，时间x是自变量，心脏电流y是x 的函数；人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数，当x=1999时，函数值y=________．提醒学生注意：判断两个变量是否存在函数关系，不要只从能否存在（或写出）函数关系式入手，这只是表示函数的一种方法（解析法），而应严格按其定义来判定．从上面可知，许多问题中的变量之间都存在函数关系．（四）探究（1）在计算器上按照下面的程序进行操作：填表x13－40101y显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？（2）在计算器上按照下面的程序进行操作：下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果．x1230－1y3571－1所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果是，写出它的表达式（用含x 的式子表示y）．（五）例题例1 一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为／km．（1）写出表示y与x的函数关系的式子．（2）指出白变量x的取值X围．（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？解：（1）行驶里程x（单位：km）是自变量，油箱中的油量y（单位：L）是x的函数，它们的关系为y=50－．（2）仅从式子y=50－看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义为行驶里程，所以x不能取负数，并且行驶中的耗油量为，它不能超过油箱中现有汽油量50L，即≤50．因此，自变量x的取值X围是0≤x≤500．（3）汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50－在x=200时的函数值．将x=200代入y=50－0．1x，得y=50－×200=30．汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油．注意确定自变量的取值X围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．（六）练习下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．1．改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变．2．秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化．（七）小结引导学生总结本节的主要知识点．（八）板书设计函数问题的讨论例题练习第三课时有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图来直观地反映，例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系．即使对于能列式表示的函数关系，如也能画图表示则会使函数关系更清晰．正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2，其中自变量x的取值X围是x>0．我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系．自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否确定了一个点（x，S）呢？计算并填写下表：x01234 S如图，在直角坐标系中，将上面表格中各对数值所对应的点画出，然后连接这些点，所得曲线上每一个点都代表x的值与S的值的一种对应，例如点（2，4）表示x=2时，S=4．一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）．上图的曲线即函数S=x2（x>0）的图象．我们需要注意的三点是：（1）函数图象上的点P（x，y）与函数自变量x及对应函数值y 的关系：图象上的每个点的横坐标x与纵坐标y一定是这个函数的自变量x和函数y的一对对应值，反之，以这一对对应值为横、纵坐标的点必在函数的图象上．（2）函数图象上任意一点P（x，y）中的x和y满足函数关系式，反之，满足函数关系式的任意一对x和y的值组成的点（x，y）一定在函数的图象上．（3）判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点的坐标（x，y）代入函数关系式，即自变量等于横坐标x，函数值等于纵坐标y，如果满足函数关系式，则这个点就在函数图象上，否则这个点就不在函数图象上．（一）观察下图是自动测温仪记录的图象，它反映了的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？可以认为，气温T是时间t的函数，上图是这个函数的图象．由图象可知：（1）这一天中凌晨4时气温最低（－3℃），14时气温最高（8℃）；（2）从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态；（3）我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少；（4）如果长期观察这样的气温图象，我们就能得到更多信息，掌握更多气温的变化规律．（二）例题例2 下面的图象（如图所示）反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．根据图象回答下列问题：（1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？（2）小明给菜地浇水用了多少时间？（3）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？（4）小明给玉米地锄草用了多少时间？，（5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？分析：小明离家的距离y是时间x的函数，从图象中有两段是平行于x轴的线段可知，小明离家后有两段时间内先后停留在菜地与玉米地．解：（1）由纵坐标看出，菜地离小明家千米；由横坐标看出，小明走到菜地用了15分．（2）由横坐标看出，小明给菜地浇水用了10（即25－15）分．（3）由纵坐标看出，菜地离玉米地（即2—）千米；由横坐标看出，小明从菜地到玉米地用了12（即37—25）分．（4）由横坐标看出，小明给玉米地锄草用了18 （即55－37）分．（5）由纵坐标看出，玉米地离小明家2千米；由横坐标看出，小明从玉米地走回家用了25（即80—55）分，平均速度是0．08千米／分．例3 在下列式子中，对于x的每一确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象：（1）；（2）（x>0）．解：（1）．从上式可以看出，x取任意实数式子都有意义，所以x的取值X围是全体实数．从x的取值X围中选取一些数值，算出y的对应值，列表（计算并填写表中空格）：x…－3－2－10123…y…－…根据表中数值描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点（如图所示）．从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，随之增大．（2）（x>0）．列表（计算并填写表中空格）：x…123456…y…632…根据表中数值描点（x，y）并用平滑曲线连接这些点（如图所示）．从函数图像可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，随之减小．（三）归纳描点法画函数图象的一般步骤如下：第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）．（四）思考（1）下图是一种古代计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系（暂不考虑水量变化对压力的影响）？（2）a是自变量x取值X围内的任意一个值，过点（a，0）画y轴的平行线，与图中曲线相交．下列哪个图中的曲线（如图所示）表示y是x的函数？为什么？（提示：当x=a时，x的函数y只能有一个函数值．）（五）练习1．（1）画出函数y=2x－1的图象；（2）判断点A（－2．5，－4），B（1，3），C（2．5，4）是否在函数y=2x－1的图象上．2．下图是与某某在某一天的气温随时间变化的图象．（1）这一天内，某某与何时温度相同？（2）这一天内，某某在哪段时间比温度高？在哪段时间比温度低？3．（1）画出函数y=x2的图象．（2）从图象中观察，当x<0时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当x>0时呢？（六）小结引导学生总结本节的主要知识点．（七）板书设计函数的图像（一）问题的讨论例题归纳思考练习第四课时我们已经看到或亲自动手用列表格、写式子和画图象的方法表示了一些函数，这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．（一）思考从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点？（1）解析法：用含有自变量的代数式表示函数的方法叫做解析法．例如：y=x+1，等，其优点是简明扼要，规X准确，便于分析推导函数性质，不足之处就是有些函数关系，不能用解析式表示．（2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法．其优点是能明显地呈现出自变量与对应的函数值．不足之处是只能列出部分自变量与函数的对应值，难以从表格中看出自变量与函数之间的对应规律．（3）图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法．其优点是形象直观，能清晰呈现函数的一些性质，不足之处是所画的图象是近似的、局部的，从图象上观察的结果也是近似的．针对这三种方法找同学分别举出实例加以说明．表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用．（二）例题例4 一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．t/时012345 y/米10（1）由记录表推出这5小时中水位高度y（单位：米）随时间t（单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象；（2）据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米．分析：记录表已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系，我们现在需要从这些数值找出这两个变量之间的一般联系规律，由它写出函数解析式，画出函数图象，进而预测水位．解：（1）由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高米，这样的变化规律可以表示为y=0.05t+10 （0≤t≤7）.这个函数的图象如图所示．（2）再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时y=0．05t+10的函数值，从解析式容易算出×．从函数图象也能估出这个值．2小时后，预计水位高米．（三）归纳由例4可以看出函数的不同表示法之间可以转化．（四）练习1．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数．2．用解析式法表示等边三角形的周长l是边长a的函数．（五）小结引导学生总结本节的主要知识点．（六）板书设计函数的图像（二）思考问题例题练习。