高中数学必修五第二章数列2.3等差数列的前n项和 第2课时
跟踪训练 1 设{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 S7＝7， S15＝75，Tn 为数列Snn的前 n 项和，求 Tn.
解答
类型二 等差数列前n项和的最值问题 例2 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值.
解答
反思与感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形： ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和. ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和. (2)求等差数列前n项和Sn最值的方法： ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
第二章 §2.3 等差数列的前n项和
第2课时 等差数列前n项和公式的变形及应用
学习目标
1.会利用等差Байду номын сангаас列性质简化求和运算. 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 等差数列前n项和与等差中项的关系
思考 答案
等差数列{an}中，若a3＝2，求S5. S5＝5a12＋a5＝5·a1＋2 a5＝5a3＝10.
[思考辨析 判断正误] 1.等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.( × ) 2.等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na3＋2an－2(n≥3).( √ ) 3.若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则Snn为等差数列.( √ )
题型探究
类型一 等差数列前n项和的性质的应用 例1 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的 前3m项的和S3m；
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答案
1.等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形 (1)Sn＝n·a1＋2 an； (2)Sn＝d2n2＋a1－d2n； (3)Snn＝d2n＋a1－d2Snn是公差为2d的等差数列.
规律与方法
2.求等差数列前n项和最值的方法 (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注 意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.
A.5
√B.6
C.7
D.8
解析 由 7a5＋5a9＝0，得ad1＝－137.
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
因为函数 y＝d2x2＋a1－d2x 的图象的对称轴为 x＝12－ad1＝12＋137＝367，取最
接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
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解析 答案
5.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为_2_A__.
解答
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ 解 方法一 由(1)知，a1＝9，d＝－2， Sn＝9n＋nn－ 2 1·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25， ∴当n＝5时，Sn取得最大值. 方法二 由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列. 令 an≥0，则 11－2n≥0，解得 n≤121. ∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0. ∴当n＝5时，Sn取得最大值.
A.63
√B.45
C.36
D.27
解析 ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9
－S6构成等差数列，
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
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解析 答案
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小 值时n的值为
an≥0， an＋1≤0
或aann≤ ＋1≥0，0
来寻找.
②运用二次函数求最值.
跟踪训练2 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； 解 由a1＝9，a4＋a7＝0， 得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)通项法：当 a1>0，d<0，aann≥ ＋1≤0，0 时，Sn 取得最大值；当 a1<0，d>0，
an≤0， an＋1≥0
时，Sn 取得最小值.
3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的 分界点.
本课结束
解答
类型三 求数列{|an|}的前n项和 例 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－32n2＋2205n，求数列{|an|}的前 n 项 和 Tn.
解答
反思与感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}.若原等差数 列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关 键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和.
跟踪训练3 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16， S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解答
达标检测
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于
A.13
B.35
√C.49
D.63
解析 S7＝7a12＋a7＝7·a2＋2 a6＝7·3＋211＝49.
梳理 等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na12＋an，其中a1＋2 an为 a1，an 的 等差中项，若结合性质“m＋n＝p＋q 得 am＋an＝ap＋aq，”还可把 a1 ＋an 换成 a2＋an－1，a3＋an－2，….
知识点二 等差数列前n项和的最值
思考 我们已经知道当公差 d≠0 时，等差数列前 n 项和是关于 n 的二次 函数 Sn＝d2n2＋a1－d2n，类比二次函数的最值情况，等差数列的前 n 项 和 Sn 何时有最大值？何时有最小值？ 答案 由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有 最小值；当a1＞0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称 轴的正整数时，Sn取到最值.
梳理 等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关. (1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相 加即得{Sn}的最大值. (2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相 加即得{Sn}的最小值. (3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0， d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
12345
解析 答案
2.若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于
A.12
√B.13
C.14
D.15
解析 ∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2，
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B.
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解析 答案
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于
解答
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，已知TSnn＝7nn＋＋32，
求ab55的值.
解
ab55＝1212ab11＋＋ab99＝99ab1122＋ ＋ab99＝ST99＝7×9＋9＋3 2＝6152.
解答
反思与感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用 得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列的前n项和(习题课)达标检测(
等差数列的前n 项和A 级 基础巩固一、选择题1．一个等差数列共有2n ＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为()A ．30B ．31C ．32D ．33解析：中间项为a n ＋1.S 奇＝（a 1＋a 2n ＋1）2·(n ＋1)＝(n ＋1)a n ＋1＝512. S 偶＝a 2＋a 2n 2·n ＝n ·a n ＋1＝480. 所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝512－480＝32.答案：C2．(多选)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 7<S 8，S 8＝S 9>S 10，则下列结论正确的是()A ．d <0B ．a 9＝0C ．S 11>S 7D ．S 8、S 9均为S n 的最大值解析：由S 7<S 8得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7<a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8，即a 8>0，又因为S 8＝S 9，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝a 1＋a 2＋…＋a 8＋a 9，所以a 9＝0，故B 项正确．同理由S 9>S 10，得a 10<0，因为d ＝a 10－a 9<0，故A 项正确．对C ，S 11>S 7，即a 8＋a 9＋a 10＋a 11>0，可得2(a 9＋a 10)>0，由结论a 9＝0，a 10<0，显然C 项是错误的．因为S 7<S 8，S 8＝S 9>S 10，所以S 8与S 9均为S n 的最大值，故D 项正确．答案：ABD3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12为()A.310B.13C.18D.19解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，令S 3＝1，S 6－S 3＝3－1＝2，所以S 9－S 6＝3，S 12－S 9＝4.所以S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝1＋2＋3＋4＝10.所以S 6S 12＝310. 答案：A4．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于()A ．15B ．35C ．66D ．100解析：易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2. |a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0则2n －5>0，所以n ≥3.所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.答案：C5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝()A ．9B ．8C ．7D ．6解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝2.所以a n ＝－15＋2n .由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152. 又n 为正整数，所以当S n 取最小值时，n ＝7.答案：C二、填空题6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________．解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)．因为S 3＝9，S 6－S 3＝27，所以S 9－S 6＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.答案：457．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________． 答案：48．若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 2∶a 3＝5∶2，则S 3∶S 5＝________． 解析：S 3S 5＝3（a 1＋a 3）5（a 1＋a 5）＝3a 25a 3＝35×52＝32. 答案：3∶2三、解答题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的X 围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解：(1)因为a 3＝12，所以a 1＝12－2d ，因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0， 所以－247＜d ＜－3. (2)因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0， 所以a 6＞0.又由(1)知d ＜0.所以数列前6项为正，从第7项起为负．所以数列前6项和最大．10．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 解：法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10，② ①×10－②，整理得d ＝－1150， 代入①，得a 1＝1 099100. 所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150 ＝110×1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 法二 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100为等差数列，设公差为d ′，则10S 10＋10×92×d ′＝S 100＝10， 因为S 10＝100，代入上式得d ′＝－22， 所以S 110－S 100＝S 10＋(11－1)×d ′＝100＋10×(－22)＝－120， 所以S 110＝－120＋S 100＝－110.法三 设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn . 因为S 10＝100，S 100＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－11100，b ＝11110， 所以S n ＝－11100n 2＋11110n ， 所以S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. B 级 能力提升1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则()A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n 答案：A2．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003· a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．解析：由条件可知数列单调递减，故知 a 2 003＞0，a 2 004＜0，故S 4 006＝4 006（a 1＋a 4 006）2＝2 003·(a 2 003＋a 2 004)＞0， S 4 007＝4 007（a 1＋a 4 007）2＝4 007×a 2 004＜0， 故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是4 006. 答案：4 0063．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 因为S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52. 因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ， 于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋⎦⎥⎤…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13(110－3n －110)＝n 10（10－3n ）.。
高中数学新人教A版必修5学案2.3等差数列的前n项和(第2课时)
2.3等差数列的前n 和 ( 第 2)学目一步熟掌握等差数列的通公式和前n 和公式 , 认识等差数列的一些性, 并会用它解决一些有关, 提升意图 .合作学一、 , 情境复引入1.通公式 :2.乞降公式 :3. 两个公式中含有五个量, 分是, 把公式当作方程, 能解决几个量 ?4.S n是对于 n 的二次函数 , 二次函数存在最, 怎样求最 ?5.S n与 a n的关系 :S n=a1+a2 +a3+⋯+a n-1 +a n, 怎样求数列 {a n} 的通公式 ?二、信息沟通 , 揭露律6. 两个公式中含有五个量, 分是S n,a n,n,d,a1,两个公式两个方程, 所以已知此中的三个量 , 就能够求其余的两个量, 即“知三求二”.a n=a1+(n-1)d,S n==na1+d.7.S n是对于 n 的二次函数 , 二次函数能够求最, 求二次函数的最, 不要注意自量n 是正整数 ; 能够从研究数列的性及的正而研究前n 和 S n的最 , 方法更拥有一般性.S=,有最大;有最小.n8.S n与 a n的关系 :S n=a1+a2 +a3+⋯+a n-1 +a n怎样求数列 {a n } 的通公式 ?S n-1 =a1+a2+a3+⋯+a n-1 (n ≥2)只需两式相减就会获得a n=S n-S n-1 (n ≥2), 只不个表达式中不含有a1, 需要独考a1能否切合a n=S n-S n-1 .似于分段函数.a n=, 最后能否能够用一个式子来表示.三、运用律 , 解决9. 已知一个等差数列{a n} 的前 10 的和是 310, 前 20 的和是 1220, 由此能够确立求其前n 和的公式?10.已知等差数列 5,4,3, ⋯的前 n 和 S n , 求使得 S n最大的序号 n 的 .2n n. 个数列能否是等差数11. 已知数列 {a } 的前 n 和S =n +n, 求个数列的通公式列 ?四、式 , 深入提升12. 已知 {a n} 是一个等差数列, 且 a2=1,a 5=-5.(1)求 {a n} 的通项公式 a n;(2)求 {a n} 前 n 项和 S n的最大值 .2n n13. 已知数列 {a} 的前 n 项和为 S =n +n+1,求这个数列的通项公式, 这个数列能否是等差数列 ?五、反省小结 , 看法提炼参照答案一、设计问题 , 创建情境1.a n=a1+(n-1)d2.S n==na1+d3.S n,a n,n,d,a1二、信息沟通 , 揭露规律7.n 2+n=8.a n=三、运用规律 , 解决问题9.剖析 : 将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后 , 可获得两个对于 a1与 d 的二元一次方程 , 而后确立a1与 d, 进而获得所求前n 项和的公式 .解: 由题意知 S10 =310,S 20=1220,将它们代入公式S n=na1+d, 获得解这个对于a1与 d 的方程组 , 获得 a1=4,d=6,所以 S n=4n+×6=3n 2+n这就是说 , 已知 S10与 S20能够确立这个数列的前n 项和的公式 ,这个公式是S n=3n2+n.10.解: 方法一 : 令公差为 d, 则d=a2-a 1=a3-a 2=3-4=-,所以 S n==-.*又 n∈ N , 所以当 n=7 或许 n=8 时 ,S n取最大值 .方法二 :d=a 2-a 1 =a3-a 2=3-4=-,其通项公式为a n=5+(n- 1) ×=-n+.由于 a1=5>0,d=-<0,所以数列{a n}的前n项和有最大值.即有解得即7≤n≤8, 又 n∈ N* ,所以当 n=7 或许 n=8 时 ,S n取最大值 .211n11. 解: 由题意知 , 当 n=1 时 ,a=S =, 当 n≥2时,S =n +n,①S n-1 =(n-1) 2+(n-1),②由① - ②得 a n=S n-S n-1 =2n-,又当 n=1 时,2 ×1-=a 1, 所以当 n=1 时 ,a 1也知足 a n=2n-,则数列 {a n} 的通项公式为a n=2n- (n ≥1,n ∈ N).这个数列是等差数列,a n-a n-1 ==2( 这是一个与n 没关的常数 ).四、变式训练 , 深入提升12. 解:(1)设{a n}的公差为d, 由已知条件 , 解出 a1=3,d=-2,所以 a n=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)S n=na1+d=-n 2+4n=4-(n-2)2,所以当 n=2 时 ,S n取到最大值 4.13. 解: 由题意知 , 当 n=1 时 ,a 1=S1=,当 n≥2时 ,S2①S2②=n +n+1,=(n-1) +(n-1)+1,n n-1由① - ②得 a n=S n-S n-1 =2n-,又当 n=1 ,2 ×1- ≠a1, 所以当 n=1 ,a 1不足 a n=2n-,数列 {a n} 的通公式a n=个数列不是等差数列,a 2-a 1≠a3-a 2=a4-a 3=⋯=2.五、反省小 , 点提略。
人教A版2019年高中数学必修5讲义：第二章 2.3 等差数列的前n项和_含答案
等差数列的前n 项和[新知初探]1．数列的前n 项和对于数列{a n }，一般地称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2．等差数列的前n 项和公式 [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和( ) (2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式( ) (3)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1( ) 解析：(1)正确．由前n 项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又∵a 1＝S 1＝3，∴a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误． (3)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . 答案：(1)√ (2)× (3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20， 即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5， 解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4， 但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [答案] (1)C (2)10 (3)53[活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ， 所以S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ， 解得d ＝－2， [法一 公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． 答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝22，5a 3＝45，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。
高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
数学 必修5
第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
数学 必修5
第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组．
数学 必修5
第二章 数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层 等腰梯形
数学 必修5
第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？
数学 必修5
第二章 数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)， 当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.
2021年高中数学人教A版必修五第二章数列第二课时 等差数列的前n项和的最值及应用
5
课前预习
课堂互动
课堂小结
@《创新设计》
知识点2 裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求和.
常见的拆项方法：
(1)n（n1＋k）＝_1k__1n_－__n_＋1__k__；
(2)
1 n＋k＋
＝_1k___n_＋___k_－___n__；
n
(3)（2n－1）1（2n＋1）＝_12_2_n__1－__1_－__2_n_1＋__1__.
绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次
增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向
外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中
层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3 699块
B.3 474块
C.3 402块
D.3 339块
@《创新设计》
18
课前预习
课堂互动
7
课前预习
课堂互动
@《创新设计》 课堂小结
@《创新设计》
2.数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，其前
n
项和
Sn＝9，则
n＝________.
解析
an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n，
∴Sn＝( 2－1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n)
＝ n＋1－1＝9，∴n＝99. 答案 99
8
课前预习
25
课前预习
课堂互动
课堂小结
(1)若{an}是等差数列，则ana1n＋1＝1da1n－an1＋1，ana1n＋2＝21da1n－an1＋2.
(2)n（n1＋k）＝1k1n－n＋1 k.
人教版高中数学必修五同课异构课件：2.3 等差数列的前n项和 2.3.2 精讲优练课型 (精品文档)
【解析】选A.由S3，S6-S3，S9-S6，…，S18-S15成等差 数列，可知 S18=S3+S6-S3+S9-S6+…+S18-S15
6(－6 18) 36. 2
【补偿训练】一个等差数列的前10项之和为100，前
100项之和为10，求前110项之和.
【解析】方法一：设该等差数列的公差为d，
由于Sn=
所以
na1
n(n－1）d， 2
Sn n
a1
d 2
(n－1)，
所以数列{Sn } 是等差数列，其公差为 d .
n
2
所以 (100－10) d S100 －S10 10 －100 －99，
所以
2 100 10 100 10 10
d － 11 .
所以 2 100
所以S1S11111000=－1S011000101.0
的值为( )
S8 3
S16
1
1
1
3
A.
B.
C.
D.
3.8(2015·唐3 山高二9检测)设等10差数列{an}的前n项和为
Sn，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，则m=( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解题探究】1.典例1中，a5 如何转化为 Sn 的形式？
b5
Tn
提示：
9a1 a9
解得
d 5， a1 2.
方法二：S偶-S奇=(a2+a4+…+a12)-(a1+a3+…+a11) =(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a12-a11)=6d，
高中数学必修5高中数学必修5《2.3等差数列的前n项和(二)》教案
2.3 等差数列的前项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究 的最值. 如果A n ，B n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，则1212--=n n n n B A b a ． 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、 复习准备：1、等差数列求和公式：2)(1n n a a n S +=，d n n na S n 2)1(1-+= 2、在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a , a 10=b , 求a 15; (2) 若a 3+a 8=m , 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14; (4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.二、讲授新课：1、探究：等差数列的前n 项和公式是一个常数项为零的二次式.例1、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n . 练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？ 探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前n 项和的最值问题：① 例题讲解：例2、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1） 当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.例3、已知等差数列....,743,724,5的前n 项的和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值。
推荐-高二数学人教A版必修5课件2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用
=nd;若项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)an(an为中间项),且S奇-S偶
=an,S偶∶S奇=(n-1)∶n.
(3)设{an},{bn}均为等差数列,An 为数列{an}的前 n 项和,Bn 为数列{bn}
的前 n 项和,则������������������������ = ������������22������������--11.
S6=
.
解析:(1)设公差为d,由题意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3.
(2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,
∴4+(S6-9)=2×5,∴S6=15.
答案:(1)C (2)15
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3
即当 n≤34 时,an>0;
当 n≥35 时,an<0.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)当 n≤34 时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-32n2+2025n. (2)当 n≥35 时,
分析解答本题可用多种方法,根据S17=S9找出a1与d的关系,转化 为Sn的二次函数求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点,再 求解.
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人教课标版高中数学必修5《第二章数列》知识概述
1．本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。
教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）。
作为最基本的递推关系──等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式。
等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。
与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。
最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。
2．人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。
教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。
随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。
通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是型，借助数列的相关知识解决问题的思想。
三、编写中考虑的几个问题1．体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。
教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。
通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题。
教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：数列：三角形数、正方形数数列概念数列的三种表示回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等）等差数列：4个生活实例等差数列概念等差数列通项公式等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等）前100个自然数的高斯求解等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题）等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等）诺贝尔奖金发放金额问题等比数列前n项和公式等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）教科书的这种内容呈现方式，一方面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学不仅仅是形式的演绎推导，数学是丰富多彩而不是枯燥无味的；另一方面，这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，提高数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。
第二章 2.3 第2课时 等差数列的前n项和公式的性质及应用
[课时作业][A 组 基础巩固]1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5. 答案：A2．数列{a n }为等差数列，若a 1＝1，d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5.答案：D3．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝( ) A ．16B ．24C ．36D ． 48解析：设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝n 2＋n (n －1)2d ，∴S 4＝2＋6d ＝20，∴d ＝3，∴S 6＝3＋15d ＝48.答案：D4．设{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则数列{a n }的前8项和为( )A ．128B ．80C ．64D ．56解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 2＋a 7)2＝8×(3＋13)2＝64. 答案：C5．数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18.又a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，∴a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18＝54.∴3(a 1＋a 20)＝54.∴a 1＋a 20＝18.∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝180. 答案：B6．有两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别为S n 和T n .若S n T n ＝2n ＋1n ＋2，则a 8b 7等于________．解析：由{a n }，{b n }是等差数列，S n T n ＝2n ＋1n ＋2，不妨设S n ＝kn (2n ＋1)，T n ＝kn (n ＋2)(k ≠0)，则a n ＝3k ＋4k (n －1)＝4kn －k ，b n ＝3k ＋2k (n －1)＝2kn ＋k .所以a 8b 7＝32k －k 14k ＋k ＝3115. 答案：31157．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________．解析：由已知得3a 3＝105,3a 4＝99，∴a 3＝35，a 4＝33，∴d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)(－2)＝41－2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1<0，得n ＝20. 答案：208．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________． 解析：S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝15，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝30，∴S 偶－S 奇＝5d ＝15，∴d ＝3.答案：39．设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，并且对于任意n ∈N *，a n 与1的等差中项等于S n ，求数列{a n }的通项公式．解析：由题意知，S n ＝a n ＋12，得： S n ＝(a n ＋1)24， ∴a 1＝S 1＝1，又∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝14[(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2]， ∴(a n ＋1－1)2－(a n ＋1)2＝0.即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0，∵a n ＞0，∴a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．∴a n ＝2n －1.10．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解析：(1)设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n .所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2. 进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0.解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7为所求结果．[B 组 能力提升]1．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝34，①a n ＋a n －1＋a n －2＝146，②又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，∴①＋②得3(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝60.③S n ＝(a 1＋a n )·n 2＝390.④ 将③代入④中得n ＝13.答案：A2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( )A ．38B ．20C ．10D ．9 解析：由等差数列的性质，得a m －1＋a m ＋1＝2a m ，∴2a m ＝a 2m .由题意得a m ≠0，∴a m ＝2.又S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝2a m (2m －1)2＝2(2m －1)＝38，∴m ＝10.答案：C3．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n ＝2n n ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝________.解析：a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝3a 1＋12d 13b 1＋12d 2＝a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9×a 1＋a 929×b 1＋b 92＝A 9B 9＝2×99＋3＝32. 答案：324．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于________． 解析：由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝2，k ∈N ，故S 2 016＝504×2＝1 008.答案：1 0085．某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m ，最远一根电线杆距离电站1 550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工．若该汽车往返运输总行程为17 500 m ，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解析：由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }， 则a n ＝1 550×2＝3 100，d ＝50×3×2＝300，S n ＝17 500.由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(n －1)×300＝3 100， ①na 1＋n (n －1)2×300＝17 500. ② 由①得a 1＝3 400－300n .代入②得n (3 400－300n )＋150n (n －1)－17 500＝0，整理得3n 2－65n ＋350＝0，解得n ＝10或n ＝353(舍去)， 所以a 1＝3 400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400 m ，第一根电线杆距离电站12×400－100＝100(m)． 所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.6．已知数列{a n }，a n ∈N *，S n 是其前n 项和，S n ＝18(a n ＋2)2. (1)求证{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值． 解析：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝18(a 1＋2)2， 解得a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(a n ＋2)2－18(a n －1＋2)2， 即8a n ＝(a n ＋2)2－(a n －1＋2)2， 整理得，(a n －2)2－(a n －1＋2)2＝0， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0.∵a n ∈N *，∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1－4＝0， 即a n －a n －1＝4(n ≥2)．故{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列．(2)设{b n }的前n 项和为T n ，∵b n ＝12a n －30，且由(1)知a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2， ∴b n ＝12(4n －2)－30＝2n －31， 故数列{b n }是单调递增的等差数列．令2n －31＝0，得n ＝1512， ∵n ∈N *，∴当n ≤15时，b n <0； 当n ≥16时，b n >0，即b 1<b 2<…<b 15<0<b 16<b 17<…，当n ＝15时，T n 取得最小值，最小值为T 15＝－29－12×15＝－225.。