七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第五讲 一元一次方程
专题5.8一元一次方程的应用(4)追赶小明-2021年七年级数学上册尖子生同步培优题库(教师版含解析
2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】专题5.8一元一次方程的应用(4)追赶小明姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019秋•崂山区期末)已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度和车长分别是()A．20米/秒，200米B．18米/秒，180米C．16米/秒，160米D．15米/秒，150米【分析】设火车的速度是x米/秒，根据“已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒”，列出关于x的一元一次方程，解之，即可得到火车的速度，根据车长＝火车的速度×火车从开始上桥到完全通过所用的时间﹣桥长，即可得到火车的车长．【解析】设火车的速度是x米/秒，根据题意得：800﹣40x＝60x﹣800，解得：x＝16，即火车的速度是16米/秒，火车的车长是：60×16﹣800＝160(米)，故选：C．2．(2020春•九龙坡区期末)甲、乙两人分别从A、B两地同时骑自行车相向而行，2小时后在途中相遇，相遇后，甲、乙骑自行车的速度都提高了1千米/小时，当甲到达B地后立刻以原路和提高后的速度向A地返行，乙到达A地后也立刻以原路和提高后的速度向B地返行．甲、乙两人在开始出发后的5小时36分钟又再次相遇，则A、B两地的距离是()A．24千米B．30千米C．32千米D．36千米【分析】设第一次相遇时，甲、乙的速度和为xkm/h，由第一次到第二次相遇的过程中，甲，乙的路程和是第一次相遇时甲，乙路程和的两倍．可列方程，即可求解．【解析】设第一次相遇时，甲、乙的速度和为xkm /h ，5小时36分钟＝535(小时) 由题意可得：2×2x ＝(535−2)(x +2)， 解得：x ＝18，∴A 、B 两地的距离＝2×18＝36(km )，故选：D ．3．(2020•海门市二模)《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过x 日与乙相逢，可列方程．( )A ．7x+2+5x =1B ．7x+2−5x =1C ．x+27=x 5D ．x+27+x 5=1【分析】设甲经过x 日与乙相逢，则乙已出发(x +2)日，根据甲行驶的路程+乙行驶的路程＝齐国到长安的距离(单位1)，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【解析】设甲经过x 日与乙相逢，则乙已出发(x +2)日，依题意，得：x+27+x 5=1．故选：D ．4．(2020•娄星区一模)《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只能走60步；若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上对方？运用所学的知识可求得走路快的人追上走路慢的人需要走的步数是( )A ．250步B ．200步C ．150步D ．100步 【分析】设走路快的人要走x 步才能追上对方，根据时间＝路程÷速度结合时间相同，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】设走路快的人要走x 步才能追上对方，依题意，得：x 100=x−10060，解得：x ＝250．故选：A ．5．(2020•涡阳县模拟)小明和小亮两人在长为50m 的直道AB (A ，B 为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两人同时从A 点起跑，到达B 点后，立即转身跑向A 点，到达A 点后，又立即转身跑向B 点……若小明跑步的速度为5m /s ，小亮跑步的速度为4m /s ，则起跑后60s 内，两人相遇的次数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】在60s 内，求两人相遇的次数，关键一是求出两人每一次相遇间隔时间，二是找出隐含等量关系：每一次相遇时间×次数＝总时间构建一元一次方程．【解析】设两人起跑后60s 内，两人相遇的次数为x 次，依题意得；每次相遇间隔时间t ，A 、B 两地相距为S ，V 甲、V 乙分别表示小明和小亮两人的速度，则有：(V 甲+V 乙)t ＝2S ，则t =2×505+4=1009， 则1009x ＝60，解得：x ＝5.4，∵x 是正整数，且只能取整，∴x ＝5．故选：C ．6．(2019秋•赣榆区期末)A 、B 两地相距550千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度为110千米/小时，乙车的速度为90千米/小时，经过t 小时，两车相距50千米，则t 的值为( )A ．2.5B ．2或10C ．2.5或3D ．3【分析】分两者相遇前相距50千米和两者相遇后相距50千米两种情况，根据路程＝速度×时间，即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】依题意，得：110t +90t ＝550﹣50或110t +90t ＝550+50，解得：t ＝2.5或t ＝3．故选：C ．7．(2019春•浦东新区期中)甲、乙两人从同一地点出发，如果甲先出发3小时后，乙从后面追赶，那么当乙追上甲时，下面说法正确的是( )A ．甲和乙所用的时间相等B ．乙比甲多走3小时C ．甲和乙所走的路程相等D ．乙走的路程比甲多【分析】两人从同一地点出发，乙追上甲，那么甲走的路程＝乙走的路程．【解析】∵甲、乙两人从同一地点出发，甲先出发3小时，乙追上甲，∴甲和乙所走的路程相等．故选：C．8．(2019秋•正定县期末)长为300米的春游队伍，以2米/秒的速度向东行进．在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为4米/秒．则往返共用的时间为()A．200s B．205s C．210s D．215s【分析】设从排尾到排头需要t1秒，从排头到排尾需要t2秒．因为从排尾到排头是追击问题，根据速度差×时间＝队伍长列出方程，求出t1，又从排头到排尾是相遇问题，根据速度和×时间＝队伍长列出方程，求出t2，那么t1+t2的值即为所求．【解析】设从排尾到排头需要t1秒，从排头到排尾需要t2秒，根据题意，得(4﹣2)t1＝300，(4+2)t2＝300，解得t1＝150，t2＝50，t1+t2＝150+50＝200(秒)．答：此人往返一趟共需200秒，故选：A．9．(2019秋•富锦市期末)某人驾驶一小船航行在甲，乙码头之间，顺水航行需6h，逆水航行比顺水航行多用2h，若水流的速度是每小时2km，那么船在静水中的平均速度为每小时多少千米()A．14B．15C．16D．17【分析】设船在静水中的速度为x千米每小时，表示出顺水与逆水速度，根据两码头的距离相等列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解析】设船在静水中的速度为x千米每小时，根据题意得：6(x+2)＝(6+2)(x﹣2)，解得：x＝14，故选：A．10．(2019秋•大兴区期末)已知下列四个应用题：①现有60个零件的加工任务，甲单独每小时可以加工4个零件，乙单独每小时可以加工6个零件．现甲乙两人合作，问两人开始工作几小时后还有20个零件没有加工？②甲乙两人从相距60km的两地同时出发，相向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，问经过几小时后两人相遇后又相距20km？③甲乙两人从相距60km的两地相向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，如果甲先走了20km后，乙再出发，问乙出发后几小时两人相遇？④甲乙两人从相距20km的两地同时出发，背向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，问经过几小时后两人相距60km？其中可以用方程4x+6x+20＝60表述题目中对应数量关系的应用题序号是()A．①②③④B．①③④C．②③④D．①②【分析】①设两人开始工作x小时后还有20个零件没有加工，根据甲生产的零件数+乙生产的零件数+未加工的零件数＝计划加工零件的总数，即可得出关于x的一元一次方程；②设经过x小时后两人相遇后又相距20km，根据甲的路程+乙的路程+相遇后又间隔的距离＝两地间的距离，即可得出关于x的一元一次方程；③设乙出发后x小时两人相遇，根据甲的路程+乙的路程＝两地间的距离，即可得出关于x 的一元一次方程；④设经过x小时后两人相距60km，根据甲的路程+乙的路程+20＝两人间的间距，即可得出关于x的一元一次方程．综上即可得出结论．【解析】①设两人开始工作x小时后还有20个零件没有加工，依题意，得：4x+6x+20＝60，∴①可以用方程4x+6x+20＝60来表述；②设经过x小时后两人相遇后又相距20km，依题意，得：4x+6x﹣20＝60，∴②不可以用方程4x+6x+20＝60来表述；③设乙出发后x小时两人相遇，依题意，得：4x+20+6x＝80，∴③方程4x+6x+20＝60来表述；④设经过x小时后两人相距60km，依题意，得：4x+6x+20＝60，∴④可以用方程4x+6x+20＝60来表述．故选：B．二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填写在横线上11．(2019秋•庐阳区期末)甲、乙两站相距80公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里．两车同时开出同向而行，快车在慢车后面追赶慢车，快车与慢车相距30公里时快车行驶的时间为 1或115小时 ．【分析】需要分类讨论：慢车在前，快车在后；快车在前，慢车在后．根据它们相距30公里列方程解答．【解析】设快车与慢车相距30公里时快车行驶的时间为t 小时，①慢车在前，快车在后时，由题意得：90t +80﹣140t ＝30解得t ＝1；②快车在前，慢车在后时，由题意得：140t ﹣(90t +80)＝30解得t =115．综上所述，快车与慢车相距30公里时快车行驶的时间为1或115小时． 故答案是：1或115小时．12．(2019秋•明光市期末)一组自行车运动员在一条笔直的道路上作赛前训练他们以每小时35千米的速度向前行驶，突然运动员甲离开小组以每小时45千米的速度向前行驶10千米然后以同样速度掉转头回来重新和小组汇合，则运动员甲从离开小组到重新和小组汇合所用时间为 0.25 小时．【分析】理解运动员甲从离开小组到和小组汇合所走的路程+小组走的路程＝10×2，列出方程，即可解答．【解析】设运动员甲从离开小组到重新和小组汇合所用时间为x 小时．则有：35x +45x ＝20解得：x ＝0.25答：运动员甲从离开小组到重新和小组汇合所用时间为0.25小时．13．(2019秋•大足区期末)甲乙两车分别从A ，B 两地同时相向匀速行驶，甲车每小时比乙车快20千米，行驶3小时两车相遇，乙车到达A 地后未作停留，继续保持原速向远离B 地的方向行驶，而甲车在相遇后又行驶了2小时到达B 地后休整了半小时，然后调头并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C 地．则A ，C 两地相距 360 千米．【分析】设乙车每小时行驶x 千米，则甲车每小时行驶(x +20)千米，由题意得3x ＝2(x +20)，解得x ＝40，则x +20＝60，求出A ，B 两地的距离为300千米，设两车相遇后经过y 小时到达C 地，由题意得60(y ﹣2.5)＝40(y +3)，解得y ＝13.5，求出B ，C 两地的距离为660千米，即可得出答案．【解析】设乙车每小时行驶x 千米，则甲车每小时行驶(x +20)千米，由题意得：3x＝2(x+20)，解得：x＝40，则x+20＝60，即乙车每小时行驶40千米，则甲车每小时行驶60千米，∴A，B两地的距离为：3×60+3×40＝300(千米)，设两车相遇后经过y小时到达C地，由题意得：60(y﹣2.5)＝40(y+3)，解得：y＝13.5，∴B，C两地的距离为：60(13.5﹣2.5)＝660(千米)，∴A，C两地的距离为：660﹣300＝360(千米)；故答案为：360．14．(2010•合肥校级自主招生)一辆客车、一辆货车、一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车；再过了15分钟货车追上客车．【分析】首先设出货车，客车，小轿车的速度为x、y、z，它们在某一时刻的间距，根据过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车，先表示出小轿车与货车、小轿车与客车的速度差，再求出货车与客车的速度差，从而求出答案．【解析】设货车，客车，小轿车速度为x、y，z，间距为s，则：10(z﹣x)＝s，15(z﹣y)＝2s，则z﹣x=s10，z﹣y=2s15所以，x﹣y=2s15−s10，得：sx−y=30，30﹣15＝15．故答案为：15．15．(2020春•番禺区期末)一条船顺流航行，每小时行驶20千米；逆流航行，每小时行驶16千米．若水的流速与船在静水中的速度都是不变的，则轮船在静水中的速度为18千米/小时．【分析】设轮船在静水中的速度为x千米/小时，则水流速度为(20﹣x)千米/小时，由逆水速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程，可求解．【解析】设轮船在静水中的速度为x千米/小时，则水流速度为(20﹣x)千米/小时，由题意可得：x﹣(20﹣x)＝16，解得：x ＝18，∴轮船在静水中的速度为18千米/小时，故答案为：18．16．(2019秋•海州区校级期末)甲、乙两人从长度为400m 的环形运动场同一起点同向出发，甲跑步速度为200m /min ，乙步行，当甲第三次超越乙时，乙正好走完第二圈，再过56或52 min ，甲、乙之间相距100m ．(在甲第四次超越乙前)【分析】根据速度＝路程÷时间，即可求出乙步行的速度，设再经过xmin ，甲、乙之间相距100m ，根据甲跑步的路程﹣乙步行的路程＝100或甲跑步的路程﹣乙步行的路程＝300，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】乙步行的速度为400×2÷[400×(2+3)÷200]＝80(m /min )．设再经过xmin ，甲、乙之间相距100m ，依题意，得：200x ﹣80x ＝100或200x ﹣80x ＝300，解得：x =56或x =52．故答案为：56或52． 17．(2019秋•沙坪坝区校级期末)A 、B 、C 三地依次在同一直线上，B ，C 两地相距560千米，甲、乙两车分别从B ，C 两地同时出发，相向匀速行驶．行驶4小时两车相遇，再经过3小时，甲车到达C 地，然后立即调头，并将速度提高10%后与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达A 地，则A ，B 两地相距 760 千米．【分析】设乙车的平均速度是x 千米/时，根据4(甲的平均速度+乙的平均速度)＝560列出方程并求得乙车的行驶平均速度；设甲车从C 地到A 地需要t 小时，则乙车从C 地到A 地需要(t +7)小时，根据它们行驶路程相等列出方程并求得t 的值；然后由路程＝时间×速度解答．【解析】设乙车的平均速度是x 千米/时，则4(5607+x )＝560．解得x ＝60即乙车的平均速度是60千米/时．设甲车从C 地到A 地需要t 小时，则乙车从C 地到A 地需要(t +7)小时，则80(1+10%)t ＝60(7+t )解得t ＝15．所以60(7+t )﹣560＝760(千米)故答案是：760．18．(2019秋•高邑县期末)轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A 港和B 港相距 504 千米．【分析】轮船航行问题中的基本关系为：(1)船的顺水速度＝船的静水速度+水流速度；(2)船的逆水速度＝船的静水速度一水流速度．若设A 港和B 港相距x 千米，则从A 港顺流行驶到B 港所用时间为x 26+2小时，从B 港返回A 港用x 26−2小时，根据题意列方程求解．【解析】设A 港和B 港相距x 千米．根据题意，得x 26+2+3=x 26−2，解之得x ＝504．故填504．三、解答题(本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(2019秋•崂山区期末)某人乘船由A 地顺流而下到达B 地，然后又逆流而上到C 地，共用了3小时．已知船在静水中速度为每小时8千米，水流速度是每小时2千米．已知A 、B 、C 三地在一条直线上，若AC 两地距离是2千米，则AB 两地距离多少千米？(C 在A 、B 之间)【分析】根据路程、速度、时间之间的关系列出方程即可解答．【解析】设AB 两地距离为x 千米，则CB 两地距离为(x ﹣2)千米．根据题意，得x 8+2+x−28−2=3解得 x =252． 答：AB 两地距离为252千米．20．(2020春•嘉定区期末)小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米．(1)若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？(2)若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处．①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？②出发几分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米？【分析】(1)设出发x 分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据环形跑道的长度＝小明跑的路程+小杰跑的路程，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)①设出发y 分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程，即可得出关于y 的一元一次方程，解之即可得出结论；②设出发z 分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程+20，即可得出关于z 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】(1)设出发x 分钟后，小明、小杰第一次相遇，依题意，得：300x +220x ＝400，解得：x =1013．答：出发1013分钟后，小明、小杰第一次相遇．(2)①设出发y 分钟后，小明、小杰第一次相遇，依题意，得：300y ﹣220y ＝100，解得：y =54．答：出发54分钟后，小明、小杰第一次相遇． ②设出发z 分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，依题意，得：300z ﹣220z +20＝100，解得：z ＝1．答：出发1分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米．21．(2019秋•新余期末)一辆客车和一辆卡车同时从A 地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是60千米/小时，卡车的行驶速度是40千米/小时，客车比卡车早2小时经过B 地，A 、B 两地间的路程是多少千米？【分析】设A 、B 两地间的路程为x 千米，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为2小时即可列出方程，求出x 的值．【解析】设A 、B 两地间的路程为x 千米，根据题意得x 40−x 60=2解得x ＝240答：A 、B 两地间的路程是240千米．22．(2020春•宁阳县期末)已知高铁的速度比动车的速度快50km /h ，小路同学从苏州去北京游玩，本打算乘坐动车，需要6h 才能到达；由于得知开通了高铁，决定乘坐高铁，她发现乘坐高铁比乘坐动车节约72min ．求高铁的速度和苏州与北京之间的距离．【分析】设高铁的速度为xkm /h ，则动车的速度为(x ﹣50)km /h ，根据时间、路程与速度关系，列出等式，求出x 的值，进一步求出路程即可．【解析】72min =65h ，设高铁的速度为xkm /h ，则动车的速度为(x ﹣50)km /h ，依题意有6(x ﹣50)=245x ，解得x ＝250，6(x ﹣50)＝6×(250﹣50)＝1200．答：高铁的速度为250km /h ，苏州与北京之间的距离为1200km ．23．(2020春•万州区期末)5月的第二个周日是母亲节，小东准备精心设计一份手工礼物送给妈妈，为尽快完成手工礼物，小东骑自行车到位于家正西方向的商店购买材料．小东离家15分钟时自行车出现故障，小东立即打电话通知在家看报纸的父亲贺明带上工具箱来帮忙维修，同时小东以原来一半的速度推着自行车继续走向商店．父亲贺明接到电话后(接电话时间忽略不计)，立即骑车出发追赶小东，15分钟时追上小东，并修好了自行车，父亲贺明以原速返家，小东以原骑行速度骑车前往商店，10分钟时到达商店，此时两人相距5000米．(1)求父亲贺明和小东骑车的速度；(2)求小东家到商店的路程．【分析】(1)设小东骑车速度为x 米/分钟，由“父亲贺明以原速返家，小东以原骑行速度骑车前往商店，10分钟时到达商店，此时两人相距5000米”，列出方程，即可求解；(2)利用路程＝速度×时间可求解．【解析】设小东骑车速度为x 米/分钟，则父亲贺明骑车速度=15x+12x×1515=32x (米/分钟)， 由题意可得：10x +10×32x ＝5000，∴x ＝200∴32x ＝300米/分钟，答：父亲贺明骑车的速度为300米/分钟，小东骑车的速度200米/分钟；(2)小东家到商店的路程＝15×200+15×100+10×200＝6500(米)，答：小东家到商店的路程为6500米．24．(2019秋•慈利县期末)列方程解应用题：如图，现有两条乡村公路AB、BC，AB长为1200米，BC长为1600，一个人骑摩托车从A处以20m/s的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶；另一人骑自行车从B处以5m/s的速度从B向C行驶，并且两人同时出发．(1)求经过多少秒摩托车追上自行车？(2)求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米？【分析】(1)设经过x秒摩托车追上自行车，根据“摩托行驶路程＝1200+骑自行车行驶路程”列出方程并解答；(2)需要分两种情况解答：①摩托车还差150米追上自行车；②摩托车超过自行车150米，根据他们行驶路程间的数量关系列出方程并解答．【解析】(1)设经过x秒摩托车追上自行车，20x＝5x+1200，解得x＝80．答：经过80秒摩托车追上自行车．(2)设经过y秒两人相距150米，第一种情况：摩托车还差150米追上自行车时，20y﹣1200＝5y﹣150解得y＝70．第二种情况：摩托车超过自行车150米时，20y＝150+5y+1200解得y＝90．答：经过70秒或90秒两人在行进路线上相距150米．。
七年级数学同步培优一次一元方程
知识·能力
2．方程的概念
含有未知数的等式叫方程。 （1）能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解； （2）求方程的解的过程叫做解方程。 联系：解方程是求方程的解的演算过程。 （3）方程解的验证：将这个数带入方程的左右两边，若左右两
边相等，则这个数为方程的解；反之则不是。
知识·能力
3.等式与方程的异同
应用 • 提升 3.解下列方程：
(3) (4)
x 6 x 1 解：先去中括号，得： 2 4 2 1 1 3
解：由分数的基本性质，得 5 3x 0.6 2 2 x 1.5 10 x 4.2
5 0.2 2 0.5 10 0.1
移项，得： x x 1 6
知识〃能力
1．移项法则
（1）概念：把方程中的任意一项改变符号后，从方程的一边移到另
一
边的变形叫移项； 移项的根据：等式的基本性质 1. （2）移项的两个关键点： ①“两改变”：变符号、变位置； ②通常将含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边。
知识〃能力
2．解一元一次方程的一般步骤和根据
（1）去分母
应用 • 提升
3.解下列方程：
(1)(40＋x)×80%＝40×92%； 解：两边同时除以80%，得： 40＋x＝46 移项得： x＝46-40 合并同类项得：x＝6 （ 2）
解：去分母得：6(x+2)+3x-2(2x-1) =24
去括号得：6x +12+3x -4x +2=24 移项得：6x+3x-4x=24-12-2 合并同类项得：5x=10 系数化为“1”得：x=2
创新•拓展
关于x的 ax b
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第五讲 一元一次方程
二、一元一次方程根的存在性讨论
一元一次方程最终都可化成ax=b的形式
显然，当a≠0时，方程有唯一的实数根；
当a=0且b=0时，方程有无数根；
当a=0且b≠0时，方程无根。
反之亦然。
例2（第11届“希望杯”竞赛试题）Ifa2+b2>0，then theequation ax+b=0，for x has（）
3.关于 的方程 有唯一解，则 应满足的条件是_______.
4.已知方程 的解在2与10之间（不包括2和10），则 的取值为____.
5.已知 ,那么 ________
6.一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字移到右端，那么所得的六位数等于原数的3倍，则原数为（）
A.142857 B.157428 C.124875 D.175248
例2若方程（2a+1）x2+bx+c=0表示关于字母x的一元一次方程，则有（）.
A.a= ，b≠0，c为任意数B.a≠ ，b≠0，c=0
C.a=- ，b≠0，c≠0D.a=- ，b≠0，c为任意数
解析：∵（2a+1）x2+bx+c=0是关于x的一次方程，
∵
∴a=- ，b≠0，对c无要求，故选D.
点评：考查一元一次方程的定义，只含个未知数，且未知数的次数是1.
A.only one root（根）B.no root
C.infinite（无数）rootsD.only one root or no root
解析：∵a2+b2>0，
∴a、b不全为零，即a≠0，b≠0，或a=0，b≠0，或a≠0，b=0
人教版(2024)数学七年级上册 第五章 5.3 专题五 一元一次方程的解法
合并同类项,得-x=-3.
系数化为1,得x=3.
-
-
(2)
-2=
;
解:(2)去分母,得 2(x-1)-8=2-3x.
去括号,得 2x-2-8=2-3x.
移项,得 2x+3x=2+8+2.
合并同类项,得 5x=12.
系数化为 1,得 x= .
-
-
(3)
=1-
;
解:(3)去分母,得4(2x-1)=12-3(x-2).
.
解:(6)去分母,得4(5x+4)+3(x-1)=24-(-5x-7).
去括号,得20x+16+3x-3=24+5x+7.
移项,得20x+3x-5x=24+7-16+3.
合并同类项,得18x=18.
系数化为1,得x=1.
5.当 x 为何值时,式子 (5x-1)与 x 的值相等?
移项,得 2x-12x+5x=5+4-3.
合并同类项,得-5x=6.
系数化为 1,得 x=- .
去分母解一元一次方程
4.解方程:
+ -
(1)
-
=4;
解:(1)去分母,得3(x+7)-2(2x-3)= 4×6.
去括号,得3x+21-4x+6=24.
移项,得3x-4x=24-21-6.
系数化为 1,得 x=4.
系数化为1,得y=1.
-
(5) +
七年级一元一次方程培优
七年级一元一次方程培优--------------------------------------------------------------------------作者: _____________--------------------------------------------------------------------------日期: _____________七年级上册《一元一次方程》培优专题一：一元一次方程概念的理解:例：若()2219203m x x m --+=+是关于x 的一元一次方程，则方程的解是 。
练习：1.()()221180m x m x --+-=是关于x 的一元一次方程，则代数式()()199231101m m m +-++的值为2.若方程()()321x k x -=+与62k x k -=的解互为相反数，则k= 。
3.若k 为整数，则使得方程()199920012000k x x -=-的解也是整数的k 值有（ ）A.4个B.8个C.12个D.16个 专题二：一元一次方程的解法（一）利用一元一次方程的巧解：例： （1）0.2•表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.2•化成分数吗？（2）0.23••表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.23••化成分数吗？（二）方程的解的分类讨论：当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以华为ax=b 的形式，继续求解时，一般要对字母系数a 、b 进行讨论。
（1）当0a ≠时，方程有唯一解b x a=；（2）当0,0a b =≠时，方程无解；（3）当0,0a b ==时，方程有无数个解。
例：已知关于x 的方程()2132a x x -=-无解，试求a 的值。
练习：1.如果a ，b 为定值，关于x 的方程2236kx a x bk +-=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a ，b 的值。
专题5.3求解一元一次方程(1)-2021年七年级数学上册尖子生同步培优题库(教师版含解析)【北师大
2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】专题5.3求解一元一次方程(1)姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019秋•慈利县期末)已知代数式2x﹣6与3+4x的值互为相反数，那么x的值等于()A．2B．−12C．﹣2D．12【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【解析】根据题意得：2x﹣6+3+4x＝0，移项合并得：6x＝3，解得：x=1 2，故选：D．2．(2019秋•沭阳县期末)方程−12x−5=0的解为()A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．﹣10【分析】方程移项后，把x系数化为1，即可求出解．【解析】方程移项得：−12x＝5，解得：x＝﹣10，故选：D．3．(2019秋•赣榆区期末)已知2a+3与5互为相反数，那么a的值是() A．1B．﹣3C．﹣4D．﹣1【分析】利用相反数性质列出方程，求出方程的解即可得到a的值．【解析】根据题意得：2a+3+5＝0，移项合并得：2a＝﹣8，解得：a＝﹣4，故选：C．4．(2019秋•沈北新区期末)在解方程3x+5＝﹣2x﹣1的过程中，移项正确的是()A．3x﹣2x＝﹣1+5B．﹣3x﹣2x＝5﹣1C．3x+2x＝﹣1﹣5D．﹣3x﹣2x＝﹣1﹣5【分析】移项是解方程的一个重要步骤，主要记住移项要变号．【解析】方程3x+5＝﹣2x﹣1移项得：3x+2x＝﹣1﹣5．故选：C．5．(2018秋•亭湖区校级期末)下列解方程的过程中，移项错误的是()A．方程2x+6＝﹣3变形为2x＝﹣3+6B．方程2x﹣6＝﹣3变形为2x＝﹣3+6C．方程3x＝4﹣x变形为3x+x＝4D．方程4﹣x＝3x变形为x+3x＝4【分析】利用等式的基本性质1求解可得．【解析】A．方程2x+6＝﹣3变形为2x＝﹣3﹣6，此选项错误；B．方程2x﹣6＝﹣3变形为2x＝﹣3+6，此选项正确；C．方程3x＝4﹣x变形为3x+x＝4，此选项正确；D．方程4﹣x＝3x变形为x+3x＝4，此选项正确；故选：A．6．(2019秋•辛集市期末)若代数式7﹣2x和5﹣x互为相反数，则x的值为()A．2B．﹣4C．4D．0【分析】首先根据：代数式7﹣2x和5﹣x互为相反数，可得：7﹣2x＝﹣(5﹣x)，然后根据解一元方程的方法，求出x的值为多少即可．【解析】根据题意，可得：7﹣2x＝﹣(5﹣x)，去括号，可得：7﹣2x＝﹣5+x，移项，合并同类项，可得：﹣3x＝﹣12，系数化为1，可得：x＝4．故选：C．7．(2019秋•杭州期末)将连续的奇数1、3、5、7、9、，按一定规律排成如图：图中的T字框框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是()A．22B．70C．182D．206【分析】由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10，故T字框内四个数的和为：8n+6．【解析】由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10，∴T字框内四个数的和为：2n﹣3+2n﹣1+2n+1+2n﹣1+10＝8n+6．故T字框内四个数的和为：8n+6．A、由题意，令框住的四个数的和为22，则有：8n+6＝22，解得n＝2．符合题意．故本选项不符合题意；B、由题意，令框住的四个数的和为70，则有：8n+6＝70，解得n＝8．符合题意．故本选项不符合题意；C、由题意，令框住的四个数的和为182，则有：8n+6＝182，解得n＝22．符合题意．故本选项不符合题意；D、由题意，令框住的四个数的和为206，则有：8n+6＝206，解得n＝25．由于数2n﹣1＝49，排在数表的第5行的最右边，它不能处于T字框内中间且靠上方的数，所以不符合题意．故框住的四个数的和不能等于206．故本选项符合题意；故选：D．8．(2019秋•北仑区期末)右图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为()A．22元B．23元C．24元D．26元【分析】设出洗发水的原价是x元，直接得出有关原价的一元一次方程，再进行求解．【解析】设洗发水的原价为x元，由题意得：0.8x＝19.2，解得：x＝24．故选：C．9．(2012•山西模拟)服装店同时销售两种商品，销售价都是100元，结果一种赔了20%，另一种赚了20%，那么在这次销售中，该服装店()A．总体上是赚了B．总体上是赔了C．总体上不赔不赚D．没法判断是赚了还是赔了【分析】由已知可分别列一元一次方程求出盈利和亏本商品的成本价，然后计算出赚或亏多少．盈利20%就是相当于成本价的1+20%，亏本20%就是相当于成本价的1﹣20%，由此可列方程求解．【解析】设盈利商品的成本价为x元，亏本的成本价为y元，根据题意得：(1+20%)x＝100，(1﹣20%)y＝100，解得：x≈83，y＝125，100﹣83+(100﹣125)＝﹣8，所以赔8元．故选：B．二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)请把答案直接填写在横线上10．(2020•铜仁市)方程2x+10＝0的解是x＝﹣5．【分析】方程移项，把x系数化为1，即可求出解．【解析】方程2x+10＝0，移项得：2x＝﹣10，解得：x＝﹣5．故答案为：x＝﹣5．11．(2020•成都模拟)若n﹣2与n+4互为相反数，则n的值为﹣1．【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到n的值．【解析】根据题意得：n﹣2+n+4＝0，移项合并得：2n＝﹣2，解得：n＝﹣1，故答案为：﹣1．12．(2019秋•丰台区期末)下面的框图表示了琳琳同学解方程6+3x＝2x﹣1的流程：你认为琳琳同学在解这个方程的过程中从第一步开始出现问题，正确完成这一步的依据是等式的基本性质1．【分析】观察琳琳同学的过程，找出出现问题的步骤即可．【解析】我认为琳琳同学在解这个方程的过程中从第一步开始出现问题，正确完成这一步的依据是等式的基本性质1．故答案为：一；等式的基本性质113．(2019秋•武侯区期末)若m+1与﹣3互为相反数，则m的值为2．【分析】利用相反数性质列出方程，求出方程的解即可得到m的值．【解析】根据题意得：m+1﹣3＝0，解得：m＝2，故答案为：214．(2019秋•甘井子区期末)某工厂的产值连续增长，去年是前年的3倍，今年是去年的2倍，这三年的总产值为600万元．若前年的产值为x万元，则可列方程为x+3x+6x＝600．【分析】可设前年的产值是x万元，根据题意可得去年的产值是3x万元，今年的产值是6x万元，根据等量关系：这三年的总产值为600万元，列出方程求解即可．【解析】设前年的产值是x万元，则去年的产值是2x万元，今年的产值是5x万元，依题意有x+3x+6x＝600．故答案为：x+3x+6x＝600．15．(2017秋•襄城区期末)用一根长60m的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的1.5倍，那么这个长方形的长是18m．【分析】设长方形的宽为x米，则长方形的长为1.5x米．利用长方形的周长公式进行解答即可．【解析】设长方形的宽为x米，则长方形的长为1.5x米．根据题意，得2(x+1.5x)＝60，解得，x＝12．所以长为12×1.5＝18(米)．即：长方形的长是18米．故答案是：18．16．(2019秋•大名县期末)李阿姨存入银行2000元，定期一年，到期后扣除20%的利息税后得到本利和为2048元，则该种储蓄的年利率为3%．【分析】由年利率为x和扣除20%的利息税，可写出李阿姨存款一年后的本息和表达式，又因为题中已知本息和为2048，所以可列出一元一次方程．【解析】∵这种储蓄的年利率为x，∴一年到期后李阿姨的存款本息和为：2000(1+x)，∵要扣除20%的利息税，∴本息和为：2000+2000x(1﹣20%)，由题意可列出方程：2000+2000x(1﹣20%)＝2048，将上述方程整理可得：2000(1+80%•x)＝2048，解得x＝3%．故答案是：3%．17．(2020•顺德区校级模拟)某学校需要购买一批电脑，有两种方案如下：方案1：到商家直接购买，每台需要7000元；方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装费等其它费用合计3000元．学校添置 3 台电脑时，两种方案的费用相同．【分析】设学校添置x 台电脑，根据“两种方案的费用相同”列出方程并解答．【解析】设学校添置x 台电脑，由题意，得7000x ＝6000x +3000，解得x ＝3，答：当学校添置3台电脑时，两种方案的费用相同；故答案是：3．18．(2019秋•道里区期末)几个人共同种一批树苗，如果每人种15棵，则剩下4棵树苗未种；如果每人种16棵树苗，则缺4棵树苗，则这批树苗共有 124 棵．【分析】由参与种树的人数为x 人，分别用“每人种15棵，则剩下4棵树苗未种；如果每人种16棵树苗，则缺4棵树苗”表示出树苗总棵树列方程即可．【解析】设参与种树的人数为x 人．则15x +4＝16x ﹣4，x ＝8，这批树苗共15x +4＝124．故答案是：124．三、解答题(本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(2020春•新蔡县期中)解下列方程．(1)2y +3＝11﹣6y(2)23x ﹣1=12x +3 【分析】(1)方程移项合并，把y 系数化为1，即可求出解；(2)方程去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．【解析】(1)移项合并得：8x ＝8，解得：y ＝1；(2)去分母得：4x ﹣6＝3x +18，移项合并得：x ＝24．20．(2018秋•思明区校级期中)某工厂的产值连续增长，去年是前年的1.5倍，今年是去年的2倍，这三年总产值为550万元．前年的产值是多少？【分析】设前年的产值是x 万元，根据题意可得去年的产值是1.5x 万元，今年的产值是1.5x ×2＝3x 万元，根据这三年的总产值为550万元，列出方程求解即可．【解析】设前年的产值是x万元，由题意得x+1.5x+1.5x×2＝550，解得：x＝100．答：前年的产值是100万元．21．(2019秋•弥勒市期末)把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．(1)这个班有多少学生？(2)这批图书共有多少本？【分析】(1)设这个班有x名学生．根据这个班人数一定，可得：3x+20＝4x﹣25，解方程即可；(2)代入方程的左边或右边的代数式即可．【解析】(1)设这个班有x名学生．依题意有：3x+20＝4x﹣25解得：x＝45(2)3x+20＝3×45+20＝155答：这个班有45名学生，这批图书共有155本．22．(2018秋•洪山区期末)王芳和李丽同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘8kg，李丽平均每小时采摘7kg，采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出0.25kg给了李丽，这时两人樱桃一样多，她们采摘用了多少时间？【分析】利用采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出0.25kg给了李丽，这时两人樱桃一样多得出等式求出答案．【解析】设她们采摘用了x小时，根据题意可得：8x﹣0.25＝7x+0.25，解得：x＝0.5．答：她们采摘用了0.5小时．23．(2019秋•金凤区校级期中)观察下面三行数：﹣3，9，﹣27，81…①1，﹣3，9，﹣27…②﹣2，10，﹣26，82…③(1)第①行数按什么规律排列？(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？(3)设x ，y ，z 分别为第①②③行的2012个数，求x +6y +z 的值．【分析】(1)观察可看出第一行的数分别是﹣3的1次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：(﹣3)n ；(2)观察②，③两行的数与第①行的联系，即可得出答案；(3)分别求得第①②③行的2012个数，得出x ，y ，z 代入求得答案即可．【解析】(1)∵﹣3，9，﹣27，81，﹣243，729…；∴第①行数是：(﹣3)1，(﹣3)2，(﹣3)3，(﹣3)4，…(﹣3)n ；(2)第②行数是第①行数相应的数乘−13即−13×(﹣3)n ，第③行数的比第①行的数大1即(﹣3)n +1．(3)∵x ＝32012，y =−13×32012×＝﹣32011，z ＝32012+1，∴x +6y +z ＝32012+6×(﹣32011)+32012+1＝1．24．(2019秋•麻城市期末)我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数)，那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将0.7化为分数形式．由于0.7⋅=0.777…，设x ＝0.777…，……①则10x ＝7.777…，……②②﹣①得9x ＝7，解得x =79，于是得0.7⋅=79． 同理可得，0.3⋅=39=13，1.4⋅=1+0.4⋅=1+49=139． 根据以上阅读，回答下列问题：(以下计算结果均用最简分数表示)(1)0.5= 59 ，5.8= 539 ；(2)将0.23化为分数形式，写出推导过程；(3)试比较0.9与1的大小：0.9 ＝ 1(填“＞”，“＜”或“＝”)；【分析】(1)根据阅读材料的解答过程，类比可得；(2)根据阅读材料的解答过程，类比可得；(3)根据阅读材料的解答过程，类比可得0.9⋅=1，即可求解．【解析】(1)设x ＝0.5⋅=0.555…，①则10x ＝5.55555…，②②﹣①得9x ＝5，解得：x =59，设y ＝5.8⋅=5.88888…，①则10y ＝58.8888…，②∴9y ＝53，解得：y =539，故答案为：59，539， (2)设 x ＝0.2⋅3⋅=0.232323…①，则 100x ＝23.2323…②，②﹣①得 99x ＝23，解得 x =2399， ∴0.23=2399． (3)设a ＝0.9⋅=0.999…，则10a ＝9.999…，∴9a ＝9，∴a ＝1，∴0.9⋅=1，故答案为：＝．。
北师版初中七年级上册数学精品教学课件 第五章 一元一次方程 核心素养拓展
答案
8.【解析】 (1)40
60%
设甲种商品进价为a元/件,则60-a=50%a,解得a=40.故甲种商品进价为40元/件.乙商品的利润率为(80-50)÷50=60%.
(2)设购进甲种商品x件,则购进乙种商品(50-x)件,
由题意,得40x+50(50-x)=2 100,
解得x=40,则50-x=10.
(3)在“元旦”期间,该商场针对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动:
打折前一次性购元
不优惠
超过450元,但不超过600元
按售价打9折优惠
超过600元
其中600元部分打8.2折优惠,超过600元的部分打3折优惠
按上述优惠条件,若小华一次性购买乙种商品实际付款504元,则小华在该商场购买乙种商品多少件?
答案
5
4.11
··
1
5
【解析】 设0.45=x,则x=0.45+100x,解得x=11.
5.先阅读材料,再解答问题.
|x+2|=3,我们可以将x+2视为一个整体,由于绝对值为3的数有两个,所以x+2=3或x+2=-3,解得x=1或x=-5.
2
请按照上面的解法解方程:x-|3x+1|=1.
答案
2
2
5.【解析】 当3x+1是非负数时,原方程可化为x-(3x+1)=1,
模型求解问题,是中学生必备的素养.例如第4题,就是通过设元构建方程将无限循环小数转化为分数,体现数学建模和
方程思想.
1.[方程模型解决日历图中的数字问题]在如图所示 的日历图中,可以用一个长方形圈出3×3的9个数(如3,4,5,10,11,12,
17,18,19).若用这样的长方形任意圈出这张日历图中的9个数,则圈出的9个数的和不可能为下列数中的(
【精选】七年级数学上册 一元一次方程(培优篇)(Word版 含解析)
一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）1．如图，数轴上 A、B 两点所对应的数分别是 a 和 b，且（a+5）2+|b﹣7|=0．（1）求 a，b；A、B 两点之间的距离．（2）有一动点 P 从点 A 出发第一次向左运动 1 个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到 2019次时，求点P所对应的数．（3）在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点 P 到点 A 的距离的3倍？请直接写出此时点 P所对应的数，并分别写出是第几次运动．【答案】（1）解：∵（a+5）2+|b﹣7|=0，∴a+5=0，b﹣7=0，∴a=﹣5，b=7；∴A、B两点之间的距离=|﹣5|+7=12；（2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数，依题意得：﹣5﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+…+2018﹣2019=﹣5+1009﹣2019=﹣1015．答：点P所对应的数为﹣1015（3）解：设点P对应的有理数的值为x，①当点P在点A的左侧时：PA=﹣5﹣x，PB=7﹣x，依题意得：7﹣x=3（﹣5﹣x），解得：x=﹣11；②当点P在点A和点B之间时：PA=x﹣（﹣5）=x+5，PB=7﹣x，依题意得：7﹣x=3（x+5），解得：x=﹣2；③当点P在点B的右侧时：PA=x﹣（﹣5）=x+5，PB=x﹣7，依题意得：x﹣7=3（x+5），解得：x=﹣11，这与点P在点B的右侧（即 x＞7）矛盾，故舍去．综上所述，点P所对应的有理数分别是﹣11和﹣2．所以﹣11和﹣2分别是点P运动了第11次和第6次到达的位置．【解析】【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得a与b的值，相减得两点间的距离。
（2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，并在-5的基础上把得到的数据相加即可。
（3）设点P对应的有理数的值为x，分别表示PA和PB的长，列方程求解即可。