初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题07 整式的加减
七年级数学暑假培优第七讲《整式的加减》
第7节 整式的加减中考考点分析整式的加减是中学必考内容，有理数运算是初中数学的知识点的辅助知识，主要是考察有理数的加、减、乘、除混合运算，要求学生对运算法则能理解；其次会以压轴题题型动点问题的形式出现，以填空题和解答题为主.在教材中的地位本节是在学生学习并掌握整式相关概念的基础上提出的，是为以后学习方程打下基础，因此，本节是学生必须掌握的内容，是运算中的核心内容，占据重要地位，起到承上启下的作用.重点、难点重点：有理数运算的运算法则.难点：有理数的混合运算，有理数的运算的应用.考点与实例分析专题讲解专题1：同类项【例1】下列各题的两项是同类项的有（ ）.①2ab 和2a b ； ②3mn 和5mn -； ③3xy -和3xyz ；④220.25x yz 和220.64y x z ； ⑤π-和3.A .①②③B .②④C .②④⑤D .②③⑤(2012 江岸区期中)【点拨与解析】考察同类项的概念.【归纳总结】① 题型特征： ② 方法与技巧： 练1．1：下列各组中两项属于同类项的是（ ）.A .2x y -或2xyB .2x y 或2x zC .23m n -或32n m -D .ab -或abc(2013 洪山区期中)练1．2：已知单项式210.6x a b +和单项式112y x b a --是同类项，则y 等于（ ）. A .1 B .2 C .3 D .4(2012 武汉外校期中)【例2】下列各式中正确的是（ ）.A .451xy xy -=-B .22332x y xy x y +=C .523a a a -=D .523a a a -=(2012 武昌区期中)【点拨与解析】考察同类项的运算.【归纳总结】① 题型特征： ② 方法与技巧： 练1．3：下列计算中，正确的是（ ）.A .325ab ab +=B .55xy y x -=C .22550m n nm -+=D .32x x x -=(2012 硚口区期中)练1．4：合并下列同类项：（1）69________a a -=； （2）23320.50.05__________________m n n m -=；（3）225345_______________________xy y xy y +-+-=.练1．5：合并下列同类项：（1）22496385a a a a -+-+-； （2）2213235764x y xy x y --++-. 专题2：去括号【例3】先去括号，再合并同类项：（1）()34262a a b b ---+； （2）()2284231x x x -+-.【点拨与解析】考察整式中去括号，再合并同类项的相关内容.【归纳总结】① 题型特征： ② 方法与技巧： 练2．1：下列去括号,正确的是（ ）.A .()2326a a --=--B .()2326a a -+=-+C .()2326a a -+=--D .()2323a a --=-+(2012 硚口区期中)练2．2：下列去括号或添括号：①()225335a a ab a ab a --+=---⎡⎤⎣⎦；②()231231a b c a b c --+=-+-③()()225353a a ab a ab a --+=--+；④()2222222235223522ab ab a b a b ab ab a b a b ⎡⎤----=-+-+⎣⎦.其中正确的有（ ）.A .1B .2C .3D .4(2013 洪山区期中)专题3：整式的加减【例4】先化简，再求值：()()233252343a a a a a a +-----，其中2a =-.(2012 武汉外校期中)【点拨与解析】考察合并同类项后代入求值.【归纳总结】① 题型特征： ② 方法与技巧：【例5】先化简，再求值：2222332232x y xy xy x y xy xy ⎡⎤⎛⎫---++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；其中3x =，13y =-. (2012 武汉外校期中)【点拨与解析】考察去括号，再合并，最后代入求值.【归纳总结】① 题型特征： ② 方法与技巧：练3．1：先化简，后求值：()()222234x y xy x y xy x y +---，其中1x =，1y =-.(2013 江岸区期中)练3．2：已知22A a a =-，51B a =-+.（1）化简：322A B -+；（2）当12a =-时，求322A B -+的值. (2013 江岸区期中)【例6】已知223213M x kx x =+-+，24N x kx =-+-，且36M N +的值与x 的值无关，求k 的值.(2012 武汉外校期中)【点拨与解析】考察去括号，再合并，最后代入求值.【归纳总结】① 题型特征： ② 方法与技巧： 练3．3：若代数式()()22262351x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式2222312344a b a b ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭的值.练3．4：已知关于x ，y 的式子()221233212x mx y x y nx ⎛⎫+-+--+- ⎪⎝⎭的值与字母x 的取值无关，求式子 ()()22m n m n +--的值.专题4:整式的实际应用【例7】七年级四个班参加植树活动共植树56x y +棵，其中一班植树2x 棵，二班植树3y 棵，三班比一班和二班的和少2x y +-棵，求四班植树的棵树（用x ，y 表示）.(2013 武昌区期中)【点拨与解析】考察整式的列式计算.【归纳总结】① 题型特征： ② 方法与技巧： 练4．1：我市某路公交车上有3a b +人，路过武汉大学站口时下去了2a b +人，又上来了一些学生，此时车上共有乘客85a b -人.（1）在武汉大学站口上车的学生人数是______人（用含a ，b 的式子表示）.（2）若10a =，8b =，则公交车路过武汉大学站口时下去了多少人？上车了多少学生？(2013 武汉二中、七一中学期中)练4．2：把正整数1，2，3，4，…，2009排列成如图所示的一个表.（1）用一个正方形在表中随意框住4个数，把其中最小的数记为x ，另三个数用含有x 的式子表示出来，从小到大依次是________________________________________.（2）当被框住的4个数之和等于416，x 的值是多少？（3）被框住的4个数之和能否等于622？如果能，请求出此时x 的值；如果不能，请说明理由.(2013 江岸区期中)分级检测A 级1．下列各组中的两个单项式是同类项的为（ ）.A .232a b 与322a b -B .12xy 与22xy C .35与3a D .7x 与7y (2012 武珞路中学期中)2．下列计算正确的是（ ）. A .22a b ab += B .22532a a -+=- C .22330x y xy -= D .22231222m m m -=- (2012 硚口区期中)3．整式()a b c ---⎡⎤⎣⎦去括号应为（ ）.A .a b c --+B .a b c -+-C .a b c -++D .a b c ---4．如图，10个棱长为a 的正方体摆放成如图所示的图形，则这个图形的表面积为（ ）.A .260aB .224aC .236aD .248a(2013 硚口区期中)5．若222332M m m n =-+，222224N m m n n =--，则M 与N 的大小关系是（ ）.A .M N >B .M N =C .M N <D .无法确定(2013 武昌区期中)6．若233m x y -与42n x y 是同类项，那么_________m n -=.(2013 汉阳区期中)7．某班女生人数占全班人数的70%，男生为a 人，则全班为________人.(2012 武珞路中学期中)8．已知代数式2x y +的值是3，则代数式241_________x y ++=.(2013 汉阳区期中)9．若代数式2213y y -+=，则代数式2425y y -+的值为________.(2012 武珞路中学期中)10．计算：（1）68ab ba ab -++； （2）()()5322a b a b ---.(2013 汉阳区期中)11．先化简，再求值：()22222334522x y xy x y xy x y ⎛⎫---+-+ ⎪⎝⎭，其中12x =-，4y =. (2012 硚口区期中)12．先化简，再求值：()()22532220x y x x x y x ---+，其中1x =，2y =-.(2012 武珞路中学期中)13．已知2222A xy y x =-+，2233B x xy y =+-，求：（1）A B -； （2）32A B -+.(2013 汉阳区期中)14．已知()2320a b -+-=，c 和d 互为倒数，m 和n 的绝对值相等，且0mn <，y 为最大的负整数，求 ()()22y b m a cd nb ++++的值.(2013 武昌区期中)15．已知多项式322m n --中，含字母的项的系数为a ，多项式的次数为b ，常数项为c ，且a ，b ，c 分别是点A ，B ，C 在数轴上对应的数.（1）求a ，b ，c 的值，并在数轴上标出A ，B ，C .（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A ，B ，C 三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是12，2，14（单位：长度/秒），当乙追上丙时，乙是否追上了甲？为什么？ (2013 武汉二中、七一中学期中)16.点A ，B ，C 在数轴上表示的数a ，b ，c 满足()()222240b c ++-=，且多项式32321a x y ax y xy +-+-是五次三项式，则:（1）a 的值为_______，b 的值为_______，c 的值为_______.（2）若数轴上有三个动点M ，N ，P ，分别从如图所示的点A ，B ，C 开始同时出发，在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度，其中点P 向左运动，点N 先向左运动，遇到点M 后再向右运动，遇到点P 后又回头向左移动……这样直到点P 遇到点M 时三点都停止运动，求点N 所走的路程.(2012 武珞路中学期中)家庭作业1．下列式子中正确的是（ ）.A .527a b ab +=B .770ab ba -=C .22245x y xy x y -=-D .235358x x x +=2．已知单项式210.6x a b +和单项式112y x b a --是同类项，则y 等于（ ）. A .1 B .2 C .3 D .4(2012武汉外校期中)3．下列整式中，不是同类项的是（ ）.A .23x y 与213yx -B .1与2-C .2m n 与22310nm ⨯D .213a b 与213b a 4．a bc -+的相反数是（ ）.A .a b c +-B .a b c --C .a b c -+-D .a b c ++5．如图,边长为3m +的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）.若拼成的矩形一边长为3，则一边长是（ ）.A .23m +B .26m +C .3m +D .6m +(2012硚口区期中)6．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定的规律拼接而成，依次规律，第10个图形中白色正方形的个数为（ ）.A .20B .30C .32D .34(2013硚口区期中)7．合并同类项：（1）()()2337x x ---； （2）()222372422x x x x x ⎡⎤--++-⎣⎦. 8．先化简，再求证：2212333xy xy x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，其中2x =-，12y =. (2013 汉阳区期中)9．若某小村小麦种植面积是a 公顷，水稻种植面积比小麦种植面积的5倍多8公顷，玉米种植面积比小麦种植面积的3倍少2公顷，则（1）水稻种植面积比玉米种植面积大多少公顷？（2）当10a =公顷时，水稻种植面积比玉米种植面积大多少公顷？(2012 武珞路中学期中)10．甲和乙在一起做数学题，有一题是：已知代数式的值34223738A a b a a b ab =+--+，322446832B ab a b a b =++-，34223474552C a b a a b ab b =+++-，甲说：“代数式A B C ++的值与a ，b 无关”.乙说：“代数式A B C +-的值与a ，b 无关”.你同意谁的观点？请说明你的理由.(2013 武昌区期中)。
初一上数学-整式的加减-培优讲义
初一数学（上册）讲义整式的加减培优能力提高 1 ：用字母表示数能力提高 2 ：图形关系的代数表示有些数目关系表现为图形中的数目关系，假如能将这些关系表示为代数式，这样就初步地实现了数与形相联合，抽象与直观相联合，对培育数学能力是特别重要的。
能力提高 3 ：由代数式睁开的推理能力提高 4 ：求代数式的值用详细的数取代代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特别的过程．详细求解代数式值的问题时，关于较简单的问题，代入直接计算其实不困难，但关于较复杂的代数式，常常是先化简，而后再求值．下边联合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．【例 1】求以下代数式的值：（1）5ab 4 1 a3b2 2 1ab1a3b2 23ab a2b 5 ，此中 a 1,b2 ；2 4 2 4（2）3x2y { xyz (2 xyz x2 z) 4x2 z [3 x2 y (4 xyz 5x2 z 3xyz)]} ，此中 x 1, y 2, z 3 .剖析上边两题均可直接代入求值，但会很麻烦，简单犯错．我们能够利用已经学过的相关观点、法例，如归并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，而后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的正确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4× 13× (- 2)2- 12 × (-2)-5 =-16+2-5=-19 ．(2) 原式 =3x 2y-xyz+(2xyz-x 2 z)+4x 2z[3x2y-(xyz-5x 2z)]=3x 2y-xyz+2xyz-x 2 z+4x 2z-3x 2y+(xyz-5x 2z)=(3x 2y-3x 2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x 2z+4x 2z-5x2z) =2xyz-2x 2z=2× (-1) × 2× (-3)-2× (-1)2 ×(-3) =12+6=18 ．说明 本例中 (1)的化简是添括号，将同类项归并后，再代入求值； (2)是先去括号，而后再添括号，归并化简后，再代入求值．去、添括号时，必定要注意各项符号的变化．【例 2】已知 ab 1 ，求 a 33ab b 3 的值．剖析 由已知条件 a-b=-1，我们没法求出 a ， b 确实定值，所以本题不可以像例 1 那样，代入 a ， b 的值求代数式的值．下边给出本题的五种解法．解法 1 由 a-b=-1 得 a=b-1，代入所求代数式化简a 3+3ab-b 3=(b-1) 3+3(b-1)b-b 3=b 3-3b 2+3b-1+3b 2-3b-b 3=-1 ．说明 这是用代入消元法消去 a 化简求值的．解法 2 由于 a-b=-1，所以原式 =(a 3-b 3)+3ab=(a-b)(a 2+ab+b 2)+3ab=-1× (a 2+ab+b2)+3ab=-a 2-ab-b 2+3ab =-(a 2-2ab+b 2)=-(a-b) 2 =-(-1)2=-1 ．说明 这类解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法 3 由于 a-b=-1，所以原式 =a 3-3ab(-1)-b 3=a 3-3ab(a-b)-b 3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3=(a-b) 3=(-1) 3=-1 ．说明 这类解法奇妙地利用了-1=a-b ，并将 3ab 化为 -3ab(-1)=-3ab(a-b) ，进而凑成了(a-b)3．解法 4 由于 a-b=-1，所以 (a-b) 3=(-1) 3 =1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1， a3-b3 -3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1 ，即 a3-b3+3ab=-1 ．说明这类解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b 3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b) 3+3ab(a-b)+3ab=(-1) 3+3ab(-1)+3ab=-1 ．说明这类解法是添项，凑出(a-b)3，而后化简求值．经过这个例题能够看出，求代数式的值的方法是很灵巧的，需要仔细思虑，才能找到简易的算法．在本例的各样解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结以下：(a+b) 2=a2+2ab+b2；(a-b) 2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2)．【例 3】已知xy 2 ，求代数式3x5xy3y的值 .x y x 3xy y解由已知， xy=2(x+y) ，代入所求代数式中，消去xy，而后化简．所以【例 4】已知a3b, c 5a ，求a b c的值.a b c解由于 a=3b，所以 c=5a=5× (3b)=15b ．将 a， c 代入所求代数式，化简得【例 5】已知m, x, y知足条件：（ 1）2 ( x 5)2 5| m | 0；（2）2a2b y 1与 3a2b3是同类项.37 1 3求代数式{ x2 y [ xy2 ( x2 y 3.475xy2 )] 6.2752 } 的值.16 4 16解由于 (x-5)2 ，｜ m｜都是非负数，所以由(1)有由 (2)得 y+1=3 ，所以 y=2 ．下边先化简所求代数式，而后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52× 2+0+10× 5× 22=250【例 6】假如4a 3b 7 ，而且 3a 2b 19 ，求 14a 2b 的值．剖析本题能够用方程组求出a， b 的值，再分别代入14a-2b 求值．下边介绍一种不用求出a，b 的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52 ．【例 7】当x 2 17时，求代数式｜ x｜ +｜x-1｜ +｜ x-2 ｜+｜ x-3｜ +｜x-4 ｜ +｜ x-5｜的值．310， 1， 2，剖析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有 3 个 x 和 3 个 -x，这样将抵消掉x，使求值变得简单．原式 =x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9 ．说明实质上，本题只需x 的值在 2 与 3 之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x 详细的取值没关．【例 8】若 x:y:z=3:4:7 ，且 2x-y+z=18 ，那么 x+2y-z 的值是多少？剖析x:y:z=3:4:7 能够写成的形式，关于等比，我们往常能够设它们的比值为常数k，这样能够给问题的解决带来便利．x=3k ，y=4k ， z=7k ．由于 2x-y+z=18 ，所以2×3k-4k+7k=18，所以 k=2，所以 x=6 ， y=8， z=14，所以 x+2y-z=6+16-14=8 ．【例 9】已知 x=y=11 ，求 (xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．剖析本题是可直接代入求值的．下边采纳换元法，先将式子改写得较简短，而后再求值．解设 x+y=m ， xy=n ．原式 =(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11 × 11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000 ．说明换元法是办理较复杂的代数式的常用手法，经过换元，能够使代数式的特点更为突出，进而简化了题目的表述形式．。
培优训练——整式的加减人教版七年级数学上册课件
1. 为了贯彻“房住不炒”的要求，加快回笼资金，某市
甲、乙、丙三家原售价相同的楼盘在年终前搞促销
活动，甲楼盘售楼处打出在原价基础上先降价15%，
再降价15%；乙楼盘打出一次性降价30%；丙楼盘先
打出九折，再降价20%，如果此时小容的父亲想在上
述三家楼盘中选择每平方米实际售价最低的一处购
培优训练（2）——整式的加减-2020 秋人教 版七年 级数学 上册课 件
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12. 设一个两位数的个位数字为a，十位数字为b（a，b
均为正整数，且a>b），若把这个两位数的个位数
字和十位数字交换位置得到一个新的两位数，则
新的两位数与原两位数的差一定是9的倍数，试说
2ab+1的次数是9；④几个有理数相乘，当负因数
有奇数个时，积为负. 其中说法正确的有（ A ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4. 某仓库有存粮85吨，第一天运走了a吨，第二天又运来
了3车，每车装b吨，此时仓库有存粮 （85-a+3b）吨.
5. 如图所示，正方形的边长为a，以各边为直径在正方
培优训练（2）——整式的加减-2020 秋人教 版七年 级数学 上册课 件
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11. 已知代数式A=x2+xy-2y，B=2x2-2xy+x-1. （1）求2A-B； （2）若2A-B的值与x的取值无关，求y的值.
解：（1）2A-B＝2（x2+xy-2y）-（2x2-2xy+x-1） ＝2x2+2xy-4y-2x2+2xy-x+1＝4xy-x-4y+1.
七年级数学培优讲义：从教材到竞赛：整式的加减
第05讲 整式的加减考点·方法·破译1．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算.2．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算.3．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征.经典·考题·赏析【例1】（济南）如果3231y x a +和1233--b y x 是同类项，那么a 、b 的值分别是（ A ） A ．⎩⎨⎧==21b a B ．⎩⎨⎧==20b a C ．⎩⎨⎧==12b a D ．⎩⎨⎧==11b a 解：由题意得a ＋2=3,且2b －1=3，因此a=1，b=2，故选A 。
【变式题组】01.（天津）已知a ＝2,b ＝3,则（ C ）A ．ax 3y 2与b m 3n 2是同类项B ．3x a y 3与bx 3y 3是同类项C ．bx 2a ＋1y 4与ax 5y b ＋1是同类项D ．5m 2b n 5a 与6n 2b m 5a 是同类项02．若单项式2x 2y m 与－31x n y 3是同类项，则m ＝__3__，n ＝___2__. 03．指出下列哪些是同类项⑴a 2b 与－ab 2 ⑵xy 2与3y 2x (3)m －n 与5（n －m ） ⑷5ab 与6a 2b解：（2）（3）是同类项【例2】(河北石家庄）若多项式－4x 3－2mx 2＋2x 2－6合并同类项后是三次二项式，则m =1. 解：－4x 3－2mx 2＋2x 2－6=－4x 3＋(2－2m )x 2－6因为是二项式，因此2－2m=0，m=1．【变式题组】01.计算：－(2x 2－3x －1)－2(x 2－3x ＋5)＋(x 2＋4x ＋3)解：原式＝－2x 2＋3x ＋1－2x 2＋6x －10＋x 2＋4x ＋3＝－3x 2＋13x －702．(台州）13 (2x －4y )＋2y解：原式＝23x －43y ＋2y＝23x ＋23y03．（佛山）m －n －(m ＋n )解：原式= m －n －m －n=－2n【例3】（泰州）求整式3x 2－5x ＋2与2x 2＋x －3的差.解：3x 2－5x ＋2－(2x 2＋x －3)=3x 2－5x ＋2－2x 2－x ＋3)= x 2－6x ＋5【变式题组】01．一个多项式加上－3x ＋2xy 得x 2－3xy ＋y 2,则这个多项式是__ x 2－5xy ＋y 2＋3x ___． 02．减去2－3x 等于6x 2－3x －8的代数式是__ x 2－6x －6__．【例4】当a ＝－34，b ＝12时，求5(2a ＋b )2－3(3a ＋2b )2＋2(3a ＋2b )的值．解：原式＝5(4a 2＋4ab ＋b 2)－3(9a 2＋12ab ＋4b 2)＋6a ＋4b＝20a 2＋20ab ＋5b 2－27a 2－36ab －12b 2＋6a ＋4b＝－7a 2－7b 2－16ab ＋6a ＋4b当a ＝－34，b ＝12时，原式＝－7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－7⎝ ⎛⎭⎪⎫122－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×12＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋4×12 ＝－3516【变式题组】01．（江苏南京）先化简再求值：（2a ＋1)2－2(2a ＋1)＋3,其中a ＝2．解：原式=4a 2＋4a ＋1－4a －2＋3=4a 2＋2当a ＝2时，原式=4×4＋2=18．02．已知a 2＋bc ＝14，b 2－2bc ＝－6,求3a 2＋4b 2－5bc ．解：①×3＋②×4得3a 2＋4b 2－5bc =14×3－6×4=18．【例5】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除．证明：设四位数的四个数字分别为a ，b ，c ，d ，则a ＋b ＋c ＋d 能被9整除，该四位数为1000a ＋100b ＋10c ＋d =999a ＋99b ＋9c ＋(a ＋b ＋c ＋d )因为999a ，99b ，9c ，a ＋b ＋c ＋d 都是9的倍数，所以1000a ＋100b ＋10c ＋d 也是9的倍数．【变式题组】01．已知a ＜b ＜c ,且x ＜y ＜z ,下列式子中值最大的可能是（ Ａ ）A ．ax ＋by ＋czB ．ax ＋cy ＋bzC ．bx ＋cy ＋azD ．bx ＋ay ＋cz02．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为9的倍数.证明：设三位数的三个数位上的数字分别为a ,b ,c ，则该三位数为100a ＋10b ＋c ,100a ＋10b ＋c －(a ＋b ＋c )=99a ＋9b =9(11a ＋b )，是9的倍数．【例6】将（x 2－x ＋1)6展开后得a 12x 12＋a 11x 11＋……＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0,求a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 4＋a 2＋a 0的值．解：当x=1时，得1= a 12＋a 11＋……＋a 2＋a 1＋a 0 ①当x=－1时，得36= a 12－a 11＋……＋a 2－a 1＋a 0 ②①＋②得1＋36=2 (a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 4＋a 2＋a 0)∴a 12＋a 10＋a 8＋……＋a 4＋a 2＋a 0=(1＋36)÷2=365．【变式题组】01.已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0．(1)当x ＝0时，有何结论；(2)当x ＝1时，有何结论；(3)当x ＝－1时，有何结论；(4)求a 5＋a 3＋a 1的值．解：（1）当x=0时，有(－1)5=a 0，即a 0=－1；（2）当x=1时，15= a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0；①（3）当x ＝－1时，有(－3)5=－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0；②（4）①－②得2(a 5＋a 3＋a 1)=1＋35=244；∴a 5＋a 3＋a 1=122．02.已知ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝(x －2)4(1)求a ＋b ＋c ＋d ＋e .解：当x=1时，有a ＋b ＋c ＋d ＋e=(－1)4=1．(2)试求a ＋c 的值.解：当x=－1时，a －b ＋c －d ＋e =34=81；由（1）可知a ＋b ＋c ＋d ＋e =1，两式相加，得a ＋c ＋e =41；当x=0时，有e=24=16,∴a ＋c=25．【例7】(希望杯培训题）已知关于x 的二次多项式a (x 3－x 2＋3x )＋b (2x 2＋x )＋x 3－5,当x ＝2时的值为－17.求当x ＝－2时，该多项式的值.解：多项式化为ax 3－ax 2＋3ax ＋2bx 2＋bx ＋x 3－5＝(a ＋1) x 3＋(2b －a ) x 2＋(3a ＋b )x －5 因为是二次多项式，所以a ＋1＝0，a=－1，多项式为(2b ＋1)x 2＋(b －3)x －5当x ＝2时，4(2b ＋1)＋2(b －3)－5=－17解得b=－1多项式为－x 2－4x －5，当x ＝－2时，多项式为－(－2)2－4(－2)－5=－1.【变式题组】01．（北京迎春杯）当x ＝－2时，代数式ax 3－bx ＋1＝－17.则x ＝－1时，12ax －3bx 3－5＝____－32_______．02．(吉林竞赛题）已知y ＝ax 7＋bx 5＋cx 3＋dx ＋e ,其中a 、b 、c 、d 、e 为常数，当x ＝2,y ＝23,x ＝－2,y ＝－35,则e 为（ A ）A ．－6B ． 6C ．－12D ．12演练巩固·反馈提高01．（荆州）若－3x 2m y 3与2x 4y n 是同类项，则n m -的值是（ B ）A ．0B ．1C ．7D ．－102．一个单项式减去x 2－y 2等于x 2＋y 2,则这个单项式是（ A ）A ．2x 2B ．2y 2C ．－2x 2D ．－2y 203．若M 和N 都是关于x 的二次三项式，则M ＋N 一定是（ D ）A ．二次三项式B ．一次多项式C ．三项式D ．次数不高于2的整式04．当x ＝3时，多项式ax 5＋bx 3＋cx －10的值为7.则当x ＝－3时，这个多项式的值是（ B ）A ．－3B ．－27C ．－7D ．705．已知多项式A ＝x 2＋2y 2－z 2,B ＝－4x 2＋3y 2＋2z 2,且A ＋B ＋C ＝0,则多项式C 为（ C ）A ．5x 2－y 2－z 2B ．3x 2－y 2－3z 2C ．3x 2－5y 2－z 2D ．3x 2－5y 2＋z 206．已知y x =3，则3x －y x 等于（ D ）A ．43B ．1C ．23D ．007．某人上山的速度为a 千米/时，后又沿原路下山，下山速度为b 千米/时，那么这个人上山和下山的平均速度是（ D ）A ．2b a +千米/时B ．2ab 千米/时C ．ab b a 2+千米/时D ．ba ab +2千米/时08．使（ax 2－2xy ＋y 2)－(－ax 2＋bxy ＋2y 2)＝6x 2－9xy ＋cy 2成立的a 、b 、c 的值分别是（ C ）A ．3，7，1B ．－3，－7，－1C ．3，－7，－1D ．－3，7，－109．k ＝____14_______时，多项式3x 2－2kxy ＋3y 2＋12xy －4中不含xy 项．10．(宿迁）若2a －b ＝2,则6＋8a －4b ＝____14_____.11．某项工程，甲独做需m 天完成，甲乙合作需n 天完成，那么乙独做需要_______天完成．解：甲乙合作每天完成1n ，甲每天完成1m ，因此乙每天完成1n －1m ，因此乙单独做需要11n －1m＝mn m －n. 12．x 2－xy ＝－3,2xy －y 2＝－8,则2x 2－y 2＝___________．解：①×2＋②得2x 2－y 2＝－14.13．设a 表示一个两位数，b 表示一个三位数，现在把a 放b 的左边组成一个五位数，设为x ，再把b 放a 的左边，也组成一个五位数，设为y ,试问x －y 能被9整除吗？请说明理由. 解：x=1000a ＋b ，y=100b ＋a ,x －y=999a －99b=9(111a －11b )，所以x －y 能被9整除14．若代数式（x 2＋ax －2y ＋7)－(bx 2－2x ＋9y －1)的值与字母x 的取值无关，求a 、b 的值. 解：代数式可化为(1－b )x 2＋(a ＋2)x －11y ＋8因为取值与x 无关，因此1－b= a ＋2=0，∴a=－2，b=1，15．设A ＝x 2－2xy －y 2,B ＝－2x 2＋xy －y 2,B ＝－2x 2＋xy －y 2,当x ＜y ＜0时，比较A 与B 的值的大小.解：A －B = x 2－2xy －y 2－(－2x 2＋xy －y 2)=3x 2－3xy=3x (x －y )∵x ＜y ＜0，∴3x (x －y )>0，即A >B .培优升级·奥赛检测01．A 是一个三位数，b 是一位数，如果把b 置于a 的右边，则所得的四位数是（ C ）A ．abB ．a ＋bC ．1000b ＋aD ．10a ＋b02．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有（ B ）A ．1个B ．3个C ．5个D ．6个03．有三组数x 1,x 2,x 3；y 1,y 2,y 3；z 1,z 2,z 3,它们的平均数分别是a 、b 、c ，那么x 1＋y 1－z 1,x 2＋y 2－z 2,x 3＋y 3－z 3的平均数是（ C ）A ．a ＋b ＋c 3B ．a ＋b －c 3C ．a ＋b －cD ．3(a ＋b －c )04．如果对于某一特定范围内x 的任何允许值P ＝|1－2x |＋|1－3x |＋…＋|1－9x |＋|1－10x |的值恒为一常数，则此值为（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．505．（江苏竞赛）已知a ＋b ＝0,a ≠0,则化简b a (a ＋1)＋a b (b ＋1)得（ D ）A ．2aB ．2bC ．2D ．－206．如果a 个同学在b 小时内共搬运c 块砖,那么c 个同学以同样速度搬a 块砖，所需的小时数为（ D ）A ．b a c 22B ．ab c 2C ．2c abD ．22cb a 07．如果单项式3x a ＋2y b －2与5x 3y a ＋2的和为8x 3y a ＋2,那么||a －b ＝___4___．08．（第16届“希望杯”邀请赛试题）如果x 2＋2x ＝3则x 4＋7x 3＋8x 2－13x ＋15＝__18__． 09．将1,2,3……100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a ,另一个记作b ,代入代数式21（b a b a ++-）中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求的50个值，则这50个值的和的最大值时___3775____．10．已知两个多项式A 和B ，A ＝nx n ＋4＋x 3－n －x 3＋x －3,B ＝3x n ＋4－x 4＋x 3＋nx 2－2x －1,试判断是否存在整数n ,使A －B 为五次六项式．解：A －B=(n －3)x n ＋4＋x 4＋x 3－n －2x 3－nx 2＋3x －2因为A －B 为五次六项式，①当n ＋4=5时，n=1，此时A －B=－2x 5＋x 4＋x 2－2x 3－x 2＋3x －2=－2x 5＋x 4－2x 3＋3x －2，为五项，不合题意；②当3－n=5时，n=－2，此时A －B=x 5＋x 4－2x 3－3x 2＋3x －2，符合题意.综上，n=－2.11．设x ，y ，z 都是整数，且11整除7x ＋2y －5z .求证：11整除3x －7y ＋12z .解：因为11整除7x ＋2y －5z ，所以11整除14x ＋4y －10z ，而14x ＋4y －10z －(3x －7y ＋12z )=11x ＋11y －22z=11(x ＋y －2z)即11整除14x ＋4y －10z －(3x －7y ＋12z )，所以11整除3x －7y ＋12z .12．(美国奥林匹克竞赛题）在一次游戏中，魔术师请一个而你随意想一个三位数abc (a 、b 、c 依次是这个数的百位、十位、个位数字）并请这个人算出5个数acb ，bac ，bca ，cab 与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc ，现在设N ＝3194，请你当魔术师，求出abc 来.解：abc =100a ＋10b ＋c ,因此abc ＋acb ＋bac ＋bca ＋cab ＋cba =222(a ＋b ＋c )>3194而3194÷222=14 (86)∴a ＋b ＋c >14①当a ＋b ＋c =15时，abc =15×222－3194=136，即a =1，b =3，c =6，但此时a ＋b ＋c ≠15，故舍去；②当a ＋b ＋c =16时，abc =16×222－3194=358，即a =3，b =5，c =8，但此时a ＋b ＋c ＝15；③当a ＋b ＋c =17时，abc =17×222－3194=580，即a =5，b =8，c =0， 但此时a ＋b ＋c ≠17，故舍去；④当a ＋b ＋c =18时，abc =18×222－3194=802，即a =8，b =0，c =2， 但此时a ＋b ＋c ≠18，故舍去；⑤当a ＋b ＋c ≥19时，abc ≥19×222－3194>1000，故舍去； 综上，abc =358.13．(太原市竞赛题）将一个三位数abc 的中间数去掉，成为一个两位数ac ，且满足abc ＝9ac ＋4c （如155＝9⨯15＋4⨯5）.试求出所有这样的三位数.解：由题意得100a +10b+c =9(10a+c )+4c ，整理得c=56(a+b )，因此a+b =6（因为当a+b ≥12时，c ≥10）；所以c=5，⎩⎪⎨⎪⎧a=1，b=5，或⎩⎪⎨⎪⎧a=2，b=4，或⎩⎪⎨⎪⎧a=3，b=3，或⎩⎪⎨⎪⎧a=4，b=2，或⎩⎪⎨⎪⎧a=5，b=1，或⎩⎪⎨⎪⎧a=6，b=0， 所以这样的三位数有155，245，335，425，515，605.。
七年级培优竞赛讲义——第7讲：物以类聚──话说同类项
例 3. 已 知 x=2,y=-4 时 , 代 数 式 ax3+ 1 by+5=1997, 求 当 x=-4,y=- 1 时 , 代 数 式
2
2
3ax-24by3+4986 的值.
思路点拨 一般的想法是先求出 a、b 的值,这是不可能的(为什么?)解本例的关键是:
将给定的 x、y 值分别代入对应的代数式,寻找已知式与待求式之间的联系, 整体代入求
从整体考虑,只要将 51,52,53,…,100 这 50个数依次代入每一组中,便可得 50 个值的
和的最大值.
15.D 16.D 17.B 18.B 提示:2+3+…+9+10=54,而 8+9+10=27.
19.(1)提示:n=10a+b=10a-50b+51b=10(a-5b)+51b;(2)略
y、z 的箱子按如图的方式打包,则打包带的长至少为( ).
A.4x+4y+10z B.x+2y+3z C.2x+4y+6z
D.6x+8y+6z
6.同时都含有字母 a、b、c,且系数为 1 的 7 次单项式共有( ).
A.4 个
B.12 个
C.15 个
D.25 个 (北京市竞赛题)
7.有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示: 则代数式│a│-│a+b│+│c-a│+│b-c│
13.当 x=2 时,代数式 ax3-bx+1 的值等于-17,那么当 x=-1 时,代数式 12ax-3bx3-5的值等
于_________.
(北京市“迎春杯”竞赛题)
七年级上册数学培优讲义(整式加减)第四讲
模块一 代数式的概念用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式. 例如：5.a .()222,,23a b ab a ab b +-+.等等.【例1】 列代数式（1）若正方形的边长为a .则正方形的面积是 ；（2）若三角形一边长为a .并且这边上的高为h .则这个三角形的面积为 ； （3）若x 表示正方形棱长.则正方形的体积是 ； （4）若m 表示一个有理数.则它的相反数是 ；（5）小明从每月的零花钱中贮存x 元钱捐给希望工程.一年下来小明捐款 元.（数学教学要紧密联系学生的生活实际.这是新课程标准所赋予的任务.让学生列代数式不仅复习前面的知识.更是为下面给出单项式埋下伏笔.同时使学生受到较好的思想品德教育）【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】（1）2a ;（2）12ah ;（3）3x ;（4）m -;(5)12x列代数式时应该注意的问题（1）数与字母、字母与字母相乘时常省略“⨯”号或用“”.整式的加减如：22 223322a a ab ab x x-⨯=-⨯⨯=⨯-⨯=-，，（2）数字通常写在字母前面.如：()()()5533mn mn a b a b⨯--⨯+=+，（3）带分数与字母相乘时要化成假分数.如：152,22ab ab⨯=切勿错误写成“122ab”.（4）除法常写成分数的形式.如：s s xx ÷=思想方法小结在代数式里渗透了转化思想和推理思想.（1）转化思想表现为把实际问题中的数量关系转化为代数式或者给出代数式实际背景. （2）推理思想表现为用所学的知识去推导未知量.求代数式的值等.模块二 单项式与多项式单项式：像234,,6,,,2x vt a a n r π-.它们都是数或字母的积.这样的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中.所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.知识规律小结：(1)圆周率π是常数.如2r π的系数是2π.次数是1；2r π的系数是π.次数是2.(2)当一个单项式的系数是1或1-时.通常省略不写系数.如2a bc .abc -等.(3）代数式的系数是带分数时.通常写成假分数.如2314xy 写成274xy【例2】 判断下列各代数式是否是单项式.如不是.请说明理由；如是.请指出它的系数和次数.（1）1x +； （2）1x ； （3）2r π； （4）232a b - 【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】（1）不是；单项式没有符号（2）不是；根据定义（3）是；系数是π.次数是２（4）是；系数是32-.次数是３【例3】 下面各题的判断是否正确？①27xy -的系数是7； ②23x y -与3x 没有系数； ③32ab c -的次数是032++； ④3a -的系数是1-；⑤2233x y -的次数是7； ⑥213r h π的系数是13.【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】①×;②×;③×;④√;⑤×;⑥√通过其中的反例练习及例题.强调应注意以下几点： ①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或1-时.“1”通常省略不写.如2x .2a b -等； ③单项式次数只与字母指数有关.1. 写出一个系数是2004.且只含,x y 两个字母的三次单项式是 ； 【题目难度】★ 【解题思路】略． 【题目答案】22004x y2. 指出下列单项式的系数和次数2322332,5,,,2,137a ab ab a bc x y π-- 【题目难度】★ 【解题思路】略． 【题目答案】3a-的系数是13-.次数是1；25ab 的系数是5.次数是3； 23a bc 的系数是1.次数是6237a b π的系数是7π.次数是5322x y 的系数是32.次数是31-的系数是-1.次数是0【巩固练习】填空:单项式8310t ⨯的系数是_________ 【题目难度】★ 【解题思路】略 【题目答案】8310⨯ 3. 若124m nm x y --是系数为-1的五次单项式.求m n ，的值 【题目难度】★★ 【解题思路】根据题意得14125mm n ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩解得：41m n =⎧⎨=⎩【题目答案】45m n ==，模块三 多项式多项式及相关概念（1）几个单项式的和叫做多项式.例如：222,3a ab b mn -+-等.（2）在多项式中.每个单项式叫做多项式的项.其中.不含字母的项叫做常数项.如：多项式232x x -+.它的项分别是2,3,2x x -.常数项是2.(3)一般地.多项式里次数最高的项的次数.就是这个多项式的次数.如：22232434x y x y x y y -++是五次四项式.最高次项是324x y .【例4】 指出下列多项式的项和次数.并说明它是几次几项式.（1）3223a a b ab b -+-； （2）42321n n -+【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】(1)多项式3223a a b ab b -+-的项有33a 、2a b -、2ab 、3b -.次数是3.它为三次四项式.(2)多项式4221n n -+的项有4n 、22n -、1.次数是4.它为四次三项式【例5】 (1)如果231(1)n m x y-+是关于,x y 的六次单项式.则,m n 应满足什么条件？（2）如果2(1)1nx m x +-+是关于x 的三次二项式.求22m n -的值.（3）若多项式222(1)x k xy y k +-+-不含xy 的项.求k 的值.【题目难度】★★【解题思路】（1）由2(1)0m +≠.且316n +-=.即1,4m n ≠-=(2) 由题意得知.3n =.且10m -=.所以 1.3m n ==所以当 1.3m n ==时.228m n -=-. （3）由题意得10k -=.得1k =【题目答案】（1）1,4m n ≠-=;(2)8-; （3）1k =【例6】 已知多项式2231113832m x y xy x -+-+是五次四项式.单项式260.2n m x y --的次数与这个多项式的次数相同.求22m n +的值.【题目难度】★★【解题思路】由已知多项式2231113832m x y xy x -+-+是五次四项式.得3m =.又因为单项式260.2n m x y --的次数与这个多项式的次数相同.则265n m +-=.所以22,1n n ==所以22223110m n +=+=【题目答案】10【总结】(1)在确定多项式的项的时候.要连同它前面的符号.(2)多项式的次数是多项式中次数最高项的次数☞巩固练习4. 下列说法中正确的是﹙ ﹚A ．2523x y x y -+是二次三项式B ．yxy 110-是二次三项式 C ．276x --的常数项是6- D ．两个多项式的和一定还是多项式 【题目难度】★ 【解题思路】略 【题目答案】C5. 已知多项式63512212--+-+x xy y x m 是六次四项式.单项式m n y x -526.2的次数与这个多项式的次数相同.求n 的值. 【题目难度】★★【解题思路】由题意得216256m n m ++=⎧⎨+-=⎩解得32m n =⎧⎨=⎩【题目答案】3,2m n ==模块四 整式整式：单项式与多项式都是整式整式⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩单项式的系数、次数多项式的项、次数整式的概念同类项的概念【例7】 判断下列各式是否是整式①1；②r ；③343r π；④11x +；⑤213x +；⑥22x π【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】①②③⑤⑥是整式☞巩固练习6. 某地区的手机收费有两种方式.用户可任选其一：A 、月租费 20元.0.25元／分；B 、月租费 25元.0.20元／分．某用户某月打手机x 分钟.两种方式的费用分别为1y 元和2y 元.试用含x 的代数式分别表示1y 和2y . 【题目难度】★★【解题思路】根据题意得10.2520y x =+ ; 20.225y x =+ 【题目答案】10.2520y x =+ . 20.225y x =+模块四 同类项同类项：所含字母相同.并且相同的字母的指数也相同的项【例8】 指出下列多项式的同类项（1）321523x y y x -++-- （2）2222123223x y xy xy yx -+- 【题目难度】★ 【解题思路】略【题目答案】(1)同类项：3x 和2x ；2y 和5y ；1和3-（2）同类项：23x y 和223yx -；22xy -和212xy 注:所含字母相同.并且相同的字母的指数也相同的项为同类项.【例9】 （1）若2122m ab +与2334m n a b +-是同类项.求,m n 的值.（2）若47a x y 与579bx y -是同类项.,a b 的值 【题目难度】★★【解题思路】（1）依题意得：212,32;1,5m m n m n +=+-=∴==所以1,5m n ==(2)依题意得：5,4a b ==【题目答案】（1）1,5m n ==.(2) 5,4a b ==【巩固练习】若25xa b 与30.9ya b 同类项.求,x y 的值． 【题目难度】★★【解题思路】因为3,2x y ==.所以3,2x y =±=± 【题目答案】3,2x y =±=±【例10】 单项式113a b a x y +--与23x y 是同类项.求a b -的值． 【题目难度】★★【解题思路】由题意得2,11,2,0a b a a b +=-=∴== 【题目答案】2,0a b ==☞巩固练习 7. 若3m mma b-与nnab 是同类项.求()2003n m -的值．【题目难度】★★【解题思路】由题意得1,3m m n =-=得m=1,n=2()20031n m -=【题目答案】18. 若12223559m m n ab+--与2a b 是同类项.求,m n 的值【题目难度】★★【解题思路】由题意得12222;1355m m n +=-=解得52,m=0,n=-【题目答案】52m=0,n=-9. 若25xa b 与30.9ya b 是同类项.求,x y 的值. 【题目难度】★★【解题思路】由题意得3,2,3,2x y x y ===±=±解得 【题目答案】3,2x y =±=±模块五 合并同类项合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项. 类比数的运算.探究得出合并同类项的法则.法则：所得项的系数是合并前各同类项系数的和.字母部分不变.【例11】 合并下列各式中的同类项(1)226mn mn -;(2)22222332a b a b ab ab -++-; (3)()()()22232a b a b b a -----;【题目难度】★【解题思路】(1)22265mn mn mn -=-(2) 2222222332a b a b ab ab a b ab -++-=+ (3)()()()()2222324a b a b b a a b -----=--【题目答案】(1)25mn - ; (2)22a b ab +; (3)()24a b --.合并同类项法则：把同类项的系数相加.字母和字母的指数保持不变. 特别提醒：(1) 合并的前提是同类项.(3) 合并同类项的根据是加法交换律、结合律以及分配律.☞巩固练习10. 计算()()22321235x x x x -+-+-的结果是( )A .256x x -+B . 254x x --C . 24x x +-D . 26x x ++【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】A11. 在2xy 与215xy -.23ab 与24a b .4abc cab 与.334b 与.263-与.23235a b c a b 与中能合并的又( ) A.5组 B .4组 C .3组 D .2组【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】C12. 合并下列同类项(1)2222x x x x ----【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】24x -(2)3223225115225363363a b a b ab a b ab ba --+-+++ 【题目难度】★★【解题思路】略 【题目答案】323511632a b a b ab +++(3)1110.50.20.3n n n n n x xx x x +++--+-【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】10.80.2n n x x ++(4)()()()()()223523x y y x y x x y x y +---+++-+【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】()()()()2333x y y x x y x y +--++-+13. 某市出租车收费标准为:起步价为5元.超过3千米后每1千米收费1.2元.某人乘坐出租车行了x 千米(x>3且为整数).则他应付费多少元?【题目难度】★★★【解题思路】根据题意列式()1.233x -+【题目答案】()1.233x -+元模块六 去括号括号前是“+”号.把括号和它前面的“+”号去掉.原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号.把括号和它前面的“-”号去掉.原括号里各项的符号都要改变.【例12】 先去括号.在合并同类项(1)5(24);a a b -- 22(2)23(2)x x x +-【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】(1)5(24)52434a a b a a b a b --=-+=+22222(2)23(2)2636x x x x x x x x +-=+-=-模块七 整式加减几个整式相加减.通常用括号把每一个整式括起来.再用加减号连接.然后去括号.合并同类项.【例13】 计算：(1)(237)(652);x y x y -++--22(2)(67)(34)a a a a ----+【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】(1)(237)(652)x y x y -++--237652(26)(35)5(26)(35)5885x y x y x x y y x y x y =-++--=++--+=++--+=-+2222222(2)(67)(34)6734()(36)(74)(11)(36)11311a a a a a a a a a a a a a a a ----+=---+-=-+-+--=-+--=--【例14】 化简求值2323(1)381231x x x x x -+--+.其中2x =2222(2)42923x xy y x xy y ++--+.其中2,5x y ==【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】（1）原式=322981x x x ---+当2x =时原式=32229282167-⨯-⨯-⨯+=- （2）原式=22210x xy y -+当2,5x y ==时原式=222225105248⨯-⨯+⨯=【例15】 有这样一道题：计算222221382(33)(3)3535x x xy y x xy y -+-+++的值.其中1,22x y =-=.甲同学把“12x =-”错抄成“12x =”.但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事？ 【题目难度】★★【解题思路】根据题意 22222222222221382(33)(3)3535138********1832(3)(33)()3355x x xy y x xy y x x xy y x xy y x xy y y -+-+++=--++++=-++-+++= 【题目答案】化简结果不含有字母x.故原多项式的值与x 无关.因此.无论甲同学把“12x =-”错抄成“12x =”还是错抄成别的什么.只要y 没抄错.结果都是正确的. 【例16】 已知多项式21(2)0a a b +++=.求多项式222231556152ab b a ab a b -+-+-的值 【题目难度】★ 【解题思路】由已知得1a +≥0.2(2)a b +≥0.21(2)0a a b +++= 所以10,20a a b +=+=所以1,2a b =-=【题目答案】222231556152ab b a ab a b -+-+- 22222031720(1)3(1)21722066842a ab b =--=---⨯-⨯=+-=-☞巩固练习14. 当211-=a 时.求代数式}3]9)2(85[4{1522222a a a a a a a a -+---+--的值.【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】2222215{4[58(2)9]3}a a a a a a a a --+---+-22222215{4[104]3}15{14}29a a a a a a a a a a =--+-+-=--+=- 当211-=a . 原式=255415. 先化简.再求值（1）233(4333)(4)a a a a a +-+--+.其中2a =-；【题目难度】★【解题思路】233(4333)(4)a a a a a +-+--+23533a a a =+-- 【题目答案】原式=7（2）22222222(22)(33)(33)x y xy x y x y x y xy ⎡⎤---++-⎣⎦.其中1,2x y =-=.【题目难度】★【解题思路】22222222(22)(33)(33)x y xy x y x y x y xy ⎡⎤---++-⎣⎦2222x y xy =- 【题目答案】原式=1216. 已知0a b -=.求()3432233422a a b a b ab b a b ----+的值【题目难度】★★★【解题思路】0,,a b a b -=∴=则()()34322334373337322222a a b a b ab b a b b b b b b b b ----+=----+=-【题目答案】32b -17. 已知：2733=+b a .622-=-ab b a .求代数式)(2)3()(232233ab b ab b a a b ---+-的值. 【题目难度】★★★【解题思路】332232()(3)2()b a a b ab b ab -+---()()()3322332227633b a a b ab a b a b ab =--+-=-++-=-+-=-【题目答案】33-18. 某公交车上原有()4a b -人.中途有半数人下车.同时又有若干人上车.这时车上共有乘客()6a b +人.你知道中途上车的人数吗？【题目难度】★★★【解题思路】把()4a b -与()6a b +看成两个整体.可列示()()1642a b a b +-- 化简后得342a b +. 【题目答案】342a b +【练习1】若当1x =时.多项式31ax bx ++的值为5.则当1x =-时.多项式311122ax bx ++的值为__________．【题目难度】★【解题思路】当1x =时.311ax bx a b ++=++.当1x =-时. 31111111()122222ax bx a b a b ++=--+=-++ 课堂检测由条件可知.15;4a b a b ++=+=.11()1()41122a b -++=-⨯+=- 【题目答案】1-【练习2】已知多项式21(2)0a a b +++=.求多项式222231556152ab b a ab a b -+-+-的值 【题目难度】★★【解题思路】由已知得1a +≥0.2(2)a b +≥0.21(2)0a a b +++= 所以10,20a a b +=+=所以1,2a b =-=原式22222031720(1)3(1)21722066842a ab b =--=---⨯-⨯=+-=- 【题目答案】42-【练习3】若1-a +()22b -0=.22236,5A a ab b B a =-+=--.求A B -的值【题目难度】★★【解题思路】∵22236,5A a ab b B a =-+=--A B ∴-=()22222365465a ab b a a ab b -+---=-++又∵1-a +()22b -0=.即1,2a b ==∴2462251A B -=-⨯++= 【题目答案】11.写出下列单项式的系数.(1)218a b -； (2)xy ； (3)322yz x -； (4)x -； (5)32x 4. 【题目难度】★【解题思路】略课后练习【题目答案】(1) 218a b -的系数是18-；(2) xy 的系数是1； (3)322yz x -的系数是-31；（4）x -的系数是1-； (5) 32x 的系数是23.即8.2.下列多项式分别是哪几项的和？分别是几次几项式？(1)2225356x y xy x -+-；(2)222226s s t t --+；(3)323x by -. 【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】(1) 2225356x y xy x -+-是223x y .25xy -.5x .-6四项的和.是五次四项式.(2)222226s s t t --+是2222,2,6s s t t --三项的和.是四次三项式.(3) 323x by -是32,3x by -两项的和.是四次二项式. 3.将下列各式合并同类项.（1)22111445x x x x -+--+；(2)32322321122322ab a b a b ab a b a b -+----. 【题目难度】★【解题思路】略【题目答案】（1)22111445x x x x -+--+ 2104x =+(2)32322321122322ab a b a b ab a b a b -+---- 32322332322ab a b a b ab =-+-- 4.如图所示.请说出第n 个图形中笑脸的个数.【题目难度】★★【解题思路】略【题目答案】：第n 个图形中笑脸的个数可以表示为2n .5.（1）若2310x x +-=.则32558x x x +++＝ ；（2）若代数式2234a a -+的值为6.则代数式2213a a --的值为 . 【题目难度】★★★【解题思路】(1)无法求出x 的具体值.由2310x x +-=可变形为231x x +=.只需把所求32558x x x +++变形即可逐步求出.具体过程如下：∵2310x x +-=.∴231x x +=.∴()322225583258268x x x x x x x x x x +++=++++=++()223821810x x =++=⨯+=(2)此题不能直接求出a 的值.需对所求式子变形.∵22346a a -+=.∴2232a a -= ∴()2221111231213333a a a a --=--=⨯-=- 【题目答案】1103-，。
第三章整式的加减培优讲义华东师大版七年级数学上册
整式的加减培优讲义考点1.利用整体思想化简求值典例精析（2022秋•旌阳区校级期中）阅读材料：我们知道，4x ﹣2x +x ＝（4﹣2+1）x ＝3x ，类似地，我们把（a +b ）看成一个整体，则4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（a ﹣b ）2看成一个整体，合并3（a ﹣b ）2﹣6（a ﹣b ）2+5（a ﹣b ）2的结果是 ．（2）当x ＝1时，代数式a 2x 3+bx ﹣5的值为2，则当x ＝﹣1时，求代数式2a 2x 3+2bx ﹣10的值．拓广探索：（3）求2（3m 2+n ）﹣3（2m 2﹣mn ）﹣（4mn ﹣2m ）的值，其中m +n ＝3，mn ＝﹣9． 方法归纳整式化简求值时，若无法直接求出字母的值，且整式的 某部分与已知条件中的某部分相似，可利用整体思想解题，应用此方法， 一般先将求 值式变形为与已知条件相似或者相同，或者成倍数关系的 形式，再利用整体代入的方法求解.针对训练1.如果代数式8y 2﹣4y +6的值是﹣10，那么代数式2y 2﹣y ﹣4的值等于（ ）A ．0B ．﹣5C ．﹣8D ．8 2.对于任意的有理数a ，b ，如果满足a 2+b 3=a+b 2+3，那么我们称这一对数a ，b 为“相随数对”，记为（a ，b ）．若（m ，n ）是“相随数对”，则2[4m +（2n +1）]+m ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．33.（2022秋•黄陂区期中）当x ＝2时，代数式ax 3﹣bx ﹣1的值为﹣15，则当x ＝﹣1时，代数式16ax 2+4bx +3的值为 ．4.（2022秋•济南期末）已知m ﹣n ＝2，mn ＝﹣5，则3（mn ﹣n ）﹣（mn ﹣3m ）的值为 ．5.先化简，再求值．若m 2+3mn ＝﹣5，则代数式5m 2﹣[5m 2﹣（2m 2﹣mn ）﹣7mn +7]的值．6.（2023秋•大连期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）．解：原式＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．参照本题阅读材料的做法解答：（1）把（a ﹣b ）6看成一个整体，合并3（a ﹣b ）6﹣5（a ﹣b ）6+7（a ﹣b ）6的结果是 ．（2）已知x 2﹣2y ＝1，求3x 2﹣6y ﹣2023的值．（3）已知a ﹣2b ＝3，2b ﹣c ＝﹣4，c ﹣d ＝10，求（a ﹣c ）+（2b ﹣d ）﹣（2b ﹣c ）的值．7.（2022秋•公主岭市期中）[阅读理解]若代数式x 2+x +3的值为7，求代数式2x 2+2x ﹣3的值． 小明采用的方法如下：由题意得x 2+x +3＝7，则有x 2+x ＝4，2x 2+2x ﹣3＝2（x 2+x ）﹣3＝2×4﹣3＝5． 所以代数式2x 2+2x ﹣3的值为5．[方法运用]（1）若代数式x 2+x +1的值为10，求代数式﹣2x 2﹣2x +3的值．（2）当x ＝2时，代数式ax 3+bx +4的值为9，当x ＝﹣2时，求代数式ax 3+bx +3的值．[拓展应用]若a 2﹣ab ＝26，ab ﹣b 2＝﹣16，则代数式a 2﹣2ab +b 2的值为 ．8.（2023秋•深圳期中）在代数式求值问题中，整体思想运用十分广泛，如：已知代数式5a +3b ＝﹣4，求代数式2（a +b ）+4（2a +b ）+3的值．解法如下：原式＝2a +2b +8a +4b +3＝10a +6b +3＝2（5a +3b ）+3＝2×（﹣4）+3＝﹣5．利用整体思想，完成下面的问题：（1）已知﹣m 2＝m ，则m 2+m +1＝ ；（2）已知m ﹣n ＝2，求2（n ﹣m ）﹣4m +4n ﹣3的值．（3）已知m 2+2mn ＝﹣2，mn ﹣n 2＝﹣4，求3m 2+92mn +32n 2的值． 例.（2022秋•北京期末）我们规定：使得a ﹣b ＝2ab 成立的一对数a ，b 为“有趣数对”，记为（a ，b ）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”．（1）数对（1，13），（1.5，3），（−12，﹣1）中，是“有趣数对”的是 ；（2）若（k ，﹣3）是“有趣数对”，求k 的值；（3）若（m ，n ）是“有趣数对”，求代数式8[3mn −12m ﹣2（mn ﹣1）]﹣4（3m 2﹣n ）+12m 2的值．方法归纳三步解决“新定义”问题 (1)审题——提取信息提取关键词，明确“新定义”的概念、原理、方法、步骤和结论；(2)理解——以旧引新利用“例子”及“旧知识”理解 和正确运用“新定义”;(3)转化——迁移应用类比“新定义”中的概念、原 理、方法、步骤和结论，解决题目中需要解决的问题.针对训练1.（2022秋•桥西区校级期末）定义一种新运算：a ⊗b ＝a ﹣2b ．例如2⊗3＝2﹣2×3＝﹣4，则x ⊗（﹣y ）化简后的结果是（ ）A ．x +2yB ．2x ﹣yC ．x ﹣2yD ．2x +y 2.（2022秋•荆门期末）定义一个新运算f （a ，b ）={a +b(a ＜b)a −b(a ＞b)，已知a 2＝4，b ＝1，则f （a ，b ）＝ ．3.（2023•北碚区校级开学）对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“逊敏数”．例如：m ＝7523，满足2+3＝5，2×2+3＝7，所以7523是“逊敏数”；m ＝9624，满足2+4＝6，但2×2+4＝8≠9，所以9624不是“逊敏数”．（1）判断7431和6541是不是“逊敏数”，并说明理由；（2）若m 是“逊敏数”，且m 与12的和能被13整除，求满足条件的所有“逊敏数”m ．4.（2022秋•港北区期中）定义：若m +n ＝2，则称m 与n 是关于2的平衡数．（1）3与 是关于2的平衡数；5﹣x 与 （用含x 的整式表示）是关于2的平衡数．（2）若A ＝2x 2﹣3（x 2+x ）+4，B ＝2x ﹣[3x ﹣（4x +x 2）﹣2]，判断A 与B 是否是关于2的平衡数，并说明理由．5.（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a ＞b ＞c ．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若F(A)+G(A)16为整数，求出满足条件的所有数A ．例.（2022秋•霞浦县期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．（1）按图示规律完成下表：图形1 2 3 4 5 … 火柴棒根数 5 9 13 …（2）按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需要 根火柴棒．（用含n 的代数式表示）（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．方法归纳图形变化规律问题解决图形变化规律问题可以从“形”和“数”两个角度 入手，通过逐一观察图，分析和归纳出图形或数字的变化规律，从而得出答案.这体现 了从特殊到一般的数学思想. 针对训练1.（2022秋•新城区校级期中）按一定规律排列的单项式：x 3，2x 5，3x 7，4x 9，5x 11，6x 13……第n （n ≥1，n 为正整数）个单项式是（ ）A ．nx n +1B ．nx 2n +1C ．nx 2n ﹣1D ．x 2n +12.（2022秋•泗水县期末）学校举办图画展览，需要依次把图画作品横着钉成一排（如图所示），图中圆点表示图钉，照这样的规律，当需要的图钉颗数为2022颗时，则所钉图画作品的数量为（ ）A ．1011张B ．1010张C ．1009张D ．1012张3.（2022•大同模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由相同的正方形和相同的圆组成的，正方形涂有阴影，依此规律，则第n 个图案中有 个圆．（用含有n 的代数式表示）4.如图，第1个图形需要3个棋子，第2个图形需要8个棋子，第3个图形需要15个棋子，…，按照这样规律第n 个图形需要 个棋子（用含n 的代数式表示）．5.（2023•沙县一模）用棋子摆出下列一组图形（如图），按图上所显示的规律继续摆下去，摆到第个图形时，这组图形总共用了 枚棋子．6.观察下面三行数：2，﹣4，8，﹣16，32，…①1，﹣5，7，﹣17，31，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行数按什么规律排列，请直接写出第n 个数为 （n 是正整数）．（2）第②行数与第①行数有什么关系，请直接写出第②行第n 个数为 （n 是正整数）．第③行数与第①行数有什么关系，请直接写出第③行第n 个数为 （n 是正整数）．（3）取每行数的第21个数，分别设为a ，b ，c ，求12a +12b +2c 的值．。
七年级秋季培优讲义整式专题
2018年七年级秋季培优讲义——整式专题（一）【知识解读】整式加减：1.代数式的概念代数式是用基本的运算符号（运算符号包括加、减、乘、除以及乘方、开方）把数字或字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也可以看成代数式.2.代数式的值用具体的数值代入代数式中得到的计算结果叫代数式的值.3.整式的加减（1）单项式：数与字母的积的代数式叫单项式，数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数的和叫单项式的次数；单个的字母或单个的数也叫单项式.（2）多项式：几个单项式的和叫多项式，多项式中次数最高的单项式的次数叫多项式的次数，单项式的个数也就是多项式的基数.（3）单项式和多项式统称为整式.（4）同类项，两个单项式中，如果所含有的字母相同且相同字母的指数也相等，那么这两个单项式叫同类项.（5）整式的加减：整式的加减的本质也就是合并同类项，合并同类项的法则是：把系数相加减，字母和字母的指数不变.本章的主要内容是单项式、多项式、整式的概念，合并同类项，去括号以及整式加减运算等.整式的加减运算是学习“一元一次方程”的直接基础，也是以后学习分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具.整式加减涉及的概念准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点：1.理解四式（单项式、多项式、整式、n 次m 项式）、三数（系数、次数、项数）和二项（常数项、同类项）2.掌握三个法则（去括号法则、添括号法则、合并同类项法则）.3.熟悉两种排列（升幂排列、降幂排列）.整式加减的一般步骤1.根据去括号法则去括号.2.合并同类项.【例题精讲】【例1】（1）已知关于x 、y 的单项式234x y 与单项式1218m n x y ---的和为一个单项式，求mn .（2）已知关于x 、y 的单项式4b c x y 与单项式1218m n x y ---的和为4n m ax y ，求abc .【例2】（1）先化简，再求值：224[62(42)]1x y xy xy x y ----+，其中12x =-，y ＝2.（2）已知4m n -=，1mn =-，求(223)(322)(4)mn m n mn n m mn n m -++-+--++的值.【例3】已知多项式3223(3)(2)5m x x x n x x x -++++-是关于x 的二次多项式，当x ＝2时的值为－17，求当x ＝－2时，此多项式的值.【例4】已知多项式2x ax y b +-+与2363bx x y -+-的差的值与字母x 的取值无关，求代数式22223(2)(4)a ab b a ab b ---++的值.【练1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数式323222(42)a b a b ---的值.【例5】已知2234A x xy cy =-+，23B ax xy =-，222C x bxy y =-+，且23A B C x xy --=-+2y -，求a 、b 、c .【例6】（1）当x ＝2时，代数式31ax bx -+的值等于－17，那么当x ＝－1时，求代数式31235ax bx --的值.（2）已知代数式3ax bx c ++，当x ＝0时的值为2，当x ＝3时的值为1，求当x ＝－3时代数式的值.（3）已知21x x +=，求432222012x x x x +--+的值.【练2】如果210a a +-=，求3222a a ++的值.【例7】倡导“节能减排”，鼓励居民节约用电.2012年7月1日起，湖北省开始试行城乡居民用户阶梯电价制度，方案如下：如：小明家3月份用电量为500度，则应付费：1800.573(400180)0.623(500400)0.873302.5⨯+-⨯+-⨯=（元）.（1）若小华家4月份电量为100度，则应付费元，5月用电量为210度，则应付费元，6月份电量为450度，则应付费元；（2）若小华家7月份的用电量为x 度，请用x 表示应付的电费；（3）若小华家9月份已付电费177.9元，请你求出小华家9月份的用电量；（4）若小华家某月的电费为a 元，则小华家该月用电量属于第几档.【例8】观察下面有规律的三行单项式：x ， 22x ， 34x ， 48x ， 516x ， 632x ，……①2x -， 24x ， 38x -，416x ， 532x -， 664x ，……② 22x ， 33x -，45x ， 59x -， 617x ， 733x -，……③ （1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为；（2）第二行第n 个单项式为；（3）第三行第8个单项式为；第n 个单项式为；【例9】已知26121121211210(1)x x a x a x a x a x a ++=+++++L 是关于x 的恒等式，求1197531a a a a a a +++++的值.【练3】已知55432543210(21)x a x a x a x a x a x a -=+++++是关于x 的恒等式，求24a a +的值.【例10】（1）已知x ，y 为整数，且5|(9)x y +，求证：5|(87)x y +.（2）已知x、y、z均为整数，且11|(725)-+.x y z+-，求证：11|(3712)x y z【跟踪练习】1.单项式3243x y z -的系数是，次数是. 2.已知多项式2123236m x y xy x +-+--是关于x 、y 的六次四项式，单项式253n m x y -与该多项式次数相同，则mn ＝.3.4243527x x y xy ---是次项式，最高次项是，最高次项的系数是，常数项是.4.多项式(1)1m x n x -+-+为关于x 的二次二项式，则m ＝，n ＝.5.已知133m x y +与42n mx y +-是同类项，则m ＝，n ＝，13423m n x y mx y ++-=.6.如果2(1)|2|0a b +++=，则代数式323223315422ab a b ba a b b a --++的值为. 7.已知两个多项式的和是2521x x -+，其中一个多项式是2235x x --，则另一个多项式是.8.电影院里第一排有a 个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有.9.某城市广场中央，有一如图阴影部分所示的花坛，其中四个长方形的长和宽都分别是a 米和b 米，重叠部分都是边长2米的正方形，圆的半径是r 米，则这个花坛的占地面积为.10.（1）化简：22223{3[3(3)2]2}2x x x x x --+-----；（2）化简：{24[2(2)3]()}1x y x y x x y -++--+---；（3）已知多项式22911A x x =--，2354B x x =++，求(2)A B --.11.（1）2323(38)(2132)2(3)a a a a a a -+-+--，其中a ＝－2；（2）若2|1||2|1a ab c -+-=-，且a 、b 、c 都为正整数，求65()2ab ab a b c ++--的值.12.已知m 、n 为正整数，单项式11(2)n m n m x y -+-为五次单项式，①试求m 、n 的值；②当x ＝－1，y ＝1时，求此单项式的值.13.已知m 、x 、y 满足条件：①21(2)2|2|02x m ++-=；②31y a b --与2352b a 是同类项，求代数式2222(236)(39)x xy y m x xy y -+--+的值.14.已知多项式2324x x --与多项式A 的和为6x －1，且式子(1)A mx ++的计算结果中不含关于x 的一次项，求m 的值.15.（1）多项式531ax bx ++，当x ＝2时，其值为－5，则x ＝－2时，该多项式的值为多少？（2）若241550x x +-=，求代数式22(15189)(31931)8x x x x x --+-+--的值.（3）若331x x -=，求432912372003x x x x +--+的值.（4）已知x ＝2时，多项式5432ax bx cx dx ex f +++++的值和42bx dx f ++的值为4和3，则当x ＝－2时，求5432ax bx cx dx ex f +++++的值.16.武汉某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件售价80元，T恤每件售价50元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤；②夹克和T恤按定价的80%付款，现客户要向服装厂购买夹克50件，T恤x件（x＞50）.（1）若该客户按方案①购买，夹克需付款元，T恤需付款元（用含x 的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克需付款元，T恤需付款元（用含x的式子表示）；（2）若x＝100，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？（3）若两种优惠方案可同时使用，当x＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由.17.观察下面的三个数列：①－1，＋2，－3，＋4，－5，＋6，……②－3，0，－5，＋2，－7，＋4，……③－2，＋4，－6，＋8，－10，＋12，……（1）这三个数列的第n个数分别是；（2）在第一行中是否存在连续的三个数，使得和为－40？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由；（3）是否存在这样的一列，使其中三个数的和为78？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由.18.（1）已知a、b为整数，且10n a b=+，如果17|(5)-，请你证明：17|n.a b（2）已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数，证明：这个三位数也是11的倍数.。
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阅读与思考
整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点：
1．透彻理解“三式”和“四数”的概念
“三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数．
2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则”
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
2．当x的取值范围为______时，式子－4x＋|4－7x|－|1－3x|＋4的值恒为一个常数，这个值是______．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
3．当x＝2时，代数式ax3－bx＋1的值等于－17，那么当x＝－1时，代数式12ax－3bx3－5的值等于______．
4．已知(x＋5)2＋|y2＋y－6|＝0，则y2－ xy＋x2＋x3＝______．
A．a＋bB．a－bC．a＋b2D．a2＋b
(“希望杯”初赛试题)
解题思路：采用赋值法，令a＝ ，b＝－ ，计算四个式子的值，从中找出值最大的式子．
[例3]已知x＝2，y＝－4时，代数式ax2＋ by＋5＝1997，求当x＝－4，y＝－ 时，代数式3ax－24by3＋4986的值．
(北京市“春杯”竞赛试题)
解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值．
[例4]已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．当x＝2时的值为－17，求当x＝－2时，该多项式的值．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
A．当x＝1时，x2＋bx＋c＝3 B．当x＝3时，x2＋bx＋c＝5
C．当x＝6时，x2＋bx＋c＝21 D．当x＝11时，x2＋bx＋c＝93
(武汉市选拔赛试题)
9．已知y＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋e，其中a，b，c，d，e为常数，当x＝2时，y＝23；当x＝－2时，y＝－35，那么e的值是( )．
(“希望杯”邀请赛试题)
5．已知a－b＝2，b－c＝－3，c－d＝5，则(a－c)(b－d)÷(a－d)＝______．
6．如果对于某一特定范围内x的任意允许值，P＝|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－9x|＋|1－10x|的值恒为一个常数，则此值为( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
(安徽省竞赛试题)
(2)如图2，用字母a，b表示阴暗部分的面积；
(3)如图3，把一个长方体礼品盒用丝带打上包装(图中虚线为丝带)，打蝴蝶结的部分需丝带(x－y)cm，打好整个包装需用丝带总长度为多少？
12．将一个三位数 中间数码去掉，成为一个两位数 ，且满足 ＝9 ＋ ，如155＝9×15＋4×5．试求出所有这样的三位数．
解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式．
[例5]一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？
(“希望杯”初赛试题)
解题思路：前7站上车总人数等于第2站到第8站下车总人数．本例目的是求第8站下车人数比第7站上车人数多出的数量．
A．4个B．12个C．15个D．25个
(北京市竞赛题)
8．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
则代数式|a|－|a＋b|＋|c－a|＋|b－c|化简后的结果是为( )．
A．－aB．2a－2bC．2c－aD．a
9．已知a＋b＝0，a≠b，则化简 (a＋1)＋ (b＋1)得( )．
A．2aB．2bC．＋2 D．－2
[例6]能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排列成一圈后，任3个相邻数的和等于29？如果，请举出一例；如果不能，请简述理由．
(“华罗庚金杯”少年邀请赛试题)
解题思路：假设存在7个整数a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排成一圈后，满足题意，由此展开推理，若推出矛盾，则假设不成立．
能力训练
A级
1．若－4xm－2y3与 x3y7－2n是同类项，m2＋2n＝______．
“两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则．
物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项．
例题与求解
[例1]如果代数式ax5＋bx3＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的值是______．
(江苏省竞赛试题)
解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手．
[例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是( )
10．已知单项式0.25xbyc与单项式－0.125xm－1y2n－1的和为0.625axnym，求abc的值．
11．若a，b均为整数，且a＋9b能被5整除，求证：8a＋7b也能被5整除．
(天津市竞赛试题)
B级
1．设a＜－b＜c＜0，那么|a＋b|＋|b＋c|－|c－a|＋|a||＋b|＋|c|＝______．
7．如果(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于______；a0＋a2＋a4＋a6等于______．
A．1，365 B．0，729 C．1，729 D．1，0
(“希望杯”邀请赛试题)
8．设b，c是整数，当x依次取1，3，6，11时，某学生算得多项式x2＋bx＋c的值分别为3，5，21，93．经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是( )．
(“希望杯”初赛试题)
2．当x＝1，y＝－1时，ax＋by－3＝0，那么当x＝－1，y＝1时，ax＋by－3＝______．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
3．若a＋b＜0，则化简|a＋b－1|－|3－a－b|的结果是______．
4．已知x2＋x－1＝0，那么整式x3＋2x2＋2002的值为______．
A．－6 B．6 C．－12 D．12
(吉林省竞赛试题)
10．已知a，b，c三个数中有两个奇数，一个偶数，n是整数，如果s＝(a＋n＋1)·(b＋2n＋2)(c＋3n＋3)，那么( )．
A．s是偶数B．s是奇数
C．s的奇偶性与n的奇偶性相同D．s的奇偶性不能确定
(江苏省竞赛试题)
11．(1)如图1，用字母a表示阴暗部分的面积；
5．设 则3x－2y＋z＝______．
(2013年全国初中数学联赛试题)
6．已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，若A＋B＋C＝0，则C＝( )．
A．5a2＋3b2＋2c2B．5a2－3b2＋4c2
A．3a2－3b2－2c2A．3a2＋b2＋4c2
7．同时都有字母a，b，c，且系数为1的7次单项式共有( )．