有限差分法PPT课件
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第五章 有限差分法 知识讲解课件
的 m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。从这些表可以看出，一般地说，随着
差分阶数的增大和对应差商精度的提高，差分表达式所包含的项数将增多。
表 5-1
j
n0 1 2 34
1 -1
aj 1
2 1 -2 1
3 -1 3 -3 1
4 1 -4 6 -4 1
表 5-3 j
n0 1 2345 aj
1 -3 4 -1 2 2 -5 4 -1 3 -5 18 -24 14 -3 4 3 -14 26 -24 11 -2
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如 n 阶前差
分为
∆n y = ∆(∆n−1 y) = ∆[∆(∆n−2 y)]
⋯⋯ = ∆{∆⋯[∆(∆y)]} = ∆{∆⋯[∆( f (x + ∆x) − f (x)]}
n 阶的向后差分、中心差分的型式类似。
（5-6）
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。如一阶向前差
二阶差商多取中心式，即
∆2 y ∆x 2
=
f (x + ∆x) − 2 f (x) + (∆x) 2
f (x − ∆x) 。
（5-9） （5-10） （后的二阶差商。 以上是一元函数的差分与差商。多元函数 f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。
如一阶向前差商为
应地，上式中的 ∆y 、 ∆x 分别称为函数及自变量的差分， dy //#######为函数对 dx
自变量的差商。 在导数的定义中 ∆x 是以任意方式趋近于零的，因而 ∆x 是可正可负的。在差
分方法中， ∆x 总是取某一小的正数。这样一来，与微分对应的差分可以有 3 种
形式： 向前差分 向后差分 中心差分
有限差分法PPT课件
有限差分法在求解导热微分方程中的应用
1
有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程 。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法 是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离 散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定 解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散 点处的待求函数值——离散解。
Q c hc (T Ta )
Qr (T4Ta4)
代 入
C pz T t kz 2 T 2 h c T 2T 4 2 h c T a 2T a 4
上 式Leabharlann 边界条件： x=0m ,x=1m, y=1m ； q=0 w/m2
y=1m
； T=300 K
12
（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为 步长对其进行网格划分。 （3）输入已知的参数并设定边界条件
2
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立迭代初值
求解代数方程组 否
收敛？ 是
解的分析
改进初场
3
1. 建立控制方程及定解条件
根据实际问题建立偏微分方程，同时给出边界条件。
2. 区域离散化
理论上可以通过任意的网格划分把求解区域划分成许多求解区域，以网格 线的交点作为需要确定的物理量的空间位置。实际应用中根据边界的形状采用 最简单、最有规律，和边界拟合程度最佳的方法来分割。
建立节点物理量的离散方程节点类型内节点边界节点泰勒级数展开法热平衡法泰勒级数展开法热平衡法热平衡法多运用于非均分网格划分下离散方程的建立其物理概念清晰推导过程简洁我们以二维稳态无内热源矩形均分下的温度场为例先用泰勒级数展开法对内节点由ab两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分一般取中心差分更为精确一阶导数的中心差分
1
有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程 。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法 是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离 散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定 解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散 点处的待求函数值——离散解。
Q c hc (T Ta )
Qr (T4Ta4)
代 入
C pz T t kz 2 T 2 h c T 2T 4 2 h c T a 2T a 4
上 式Leabharlann 边界条件： x=0m ,x=1m, y=1m ； q=0 w/m2
y=1m
； T=300 K
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（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为 步长对其进行网格划分。 （3）输入已知的参数并设定边界条件
2
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立迭代初值
求解代数方程组 否
收敛？ 是
解的分析
改进初场
3
1. 建立控制方程及定解条件
根据实际问题建立偏微分方程，同时给出边界条件。
2. 区域离散化
理论上可以通过任意的网格划分把求解区域划分成许多求解区域，以网格 线的交点作为需要确定的物理量的空间位置。实际应用中根据边界的形状采用 最简单、最有规律，和边界拟合程度最佳的方法来分割。
建立节点物理量的离散方程节点类型内节点边界节点泰勒级数展开法热平衡法泰勒级数展开法热平衡法热平衡法多运用于非均分网格划分下离散方程的建立其物理概念清晰推导过程简洁我们以二维稳态无内热源矩形均分下的温度场为例先用泰勒级数展开法对内节点由ab两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分一般取中心差分更为精确一阶导数的中心差分
有限差分法求解Sod激波管问题ppt课件
无量纲压力无量纲定容热容中国石油大学北京化工学院三方程离散1jacibian矩阵特征值的分裂雅克比系数矩阵au的三个特征值分别对应为依据如下算法将其分裂成正负特征值
2016.05.06
有限差分法求解Sod激波管问题
姓名： 陈晓慧 专业：化工过程机械
1
一、 问题描述
Sod激波管问题属于黎曼问题，如图所示左侧为高温高压气体， 右侧为低温低压气体，中间用薄膜隔开。t=0时刻，突然撤去薄膜， 分析激波管中气体的运动。
雅克比系数矩阵A（U）的三个特征值分别对应为λ1=u；λ2=u-c；λ3=u+c，依据如下
算法将其分裂成正负特征值：
k
k
(k2 2 )1/2
2
2.流通矢量分裂（Steger-Warming分裂法）
f
2
2(
1)1
2
3
2( 1)1u 2 (u c) 3 (u c)
(
1)1u 2
cv
1
Ma2 (
1)
u
F
u
2
p
u(E p)
E p 1 u2 1 2
方程拟线性化：
U A(U ) U O
t
x
0
A(U)
(3
)
u
2
2
( 1) u3 uE
1
3 u
E 3 1u2 2
0
1
u
3
中国石油大学（北京）化工学院
三、方程离散
1.Jacibian矩阵特征值的分裂
A=max()
中国石油大学（北京）化工学院
6
中国石油大学（北京）化工学院
五、结果展示
7
中国石油大学（北京）化工学院
2016.05.06
有限差分法求解Sod激波管问题
姓名： 陈晓慧 专业：化工过程机械
1
一、 问题描述
Sod激波管问题属于黎曼问题，如图所示左侧为高温高压气体， 右侧为低温低压气体，中间用薄膜隔开。t=0时刻，突然撤去薄膜， 分析激波管中气体的运动。
雅克比系数矩阵A（U）的三个特征值分别对应为λ1=u；λ2=u-c；λ3=u+c，依据如下
算法将其分裂成正负特征值：
k
k
(k2 2 )1/2
2
2.流通矢量分裂（Steger-Warming分裂法）
f
2
2(
1)1
2
3
2( 1)1u 2 (u c) 3 (u c)
(
1)1u 2
cv
1
Ma2 (
1)
u
F
u
2
p
u(E p)
E p 1 u2 1 2
方程拟线性化：
U A(U ) U O
t
x
0
A(U)
(3
)
u
2
2
( 1) u3 uE
1
3 u
E 3 1u2 2
0
1
u
3
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三、方程离散
1.Jacibian矩阵特征值的分裂
A=max()
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五、结果展示
7
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有限差分法的基本知识2-PPT文档资料
函 数P( x, y )及Q( x, y )在 上有 一 阶 连 续 偏 导 数有， 则
(
D
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Q
dy
L
(
P
cos
Qcos
)ds
其 中L是D的 取 正 向 的 边 界 曲 线 。
其 中( x, y )、( x, y )为 有 向 曲 线L上 弧( x, y )处 的 切 线
f(x)f(x0)f(x0)x (x0) f(nn )(!x0)(xx0)nR n(x)
R n(x)是余 R n(项 x)o (， x (x 0)且 n) (xx0).
设u是方程(1.1)的解，对于任何节(点j, n)，u的微商 与差商之间的关系式
u( x j
,
tn1)
u( x j
,
tn )
t
tn
)
x
u(
xj
,
tn
)
o(h2 ),(中心差商）(1.
由于 u是方(1.程 1)的解，所以满足
tu(xj,tn)cxu(xj,tn)0,
(1.6)
因(1 此 .2 )和 (1 .从 3 )得 到
u (x j,tn 1 ) u (x j,tn ) cu (x j 1 ,tn ) u (x j,tn ) 0 ( h ),(1 .7 ) h
1 2
( u nj 1
unj ),
于是h~ h，~ ,从(1.15)得到
unj 1
unj 1
c
h
( u nj 1
unj1 )
(1.16)
这 是 一 个 常 用 的 差 分 格式 ， 称 为 蛙 跳 格 式 。
有限差分法(1)FLAC2D精品PPT课件
i=10, j=21
i=21, j=21
i=1, j=21
I
II
i=1, j=1
i=10
i=21, j=1
3.5 特殊形状的网格 （1）圆形 gen circle xc,yc rad
rad xc,yc
3.5 特殊形状的网格 （2）弧线 gen arc xc,yc xb,yb theta
xc,yc
1. 整个迭代过程需要遵循非线性定律。
2. 解算时间增加 N2 甚至 N3。 2. 对同样问题，计算时间增加N3/2 。
3. 模拟物理不稳定性困难。 3. 物理不稳定不会引起数值不稳定。
4. 因为无需存储矩阵，用少量内存 可以模拟大型问题。
4. 需要大内存，或大容量硬盘存储。
5. 大应变、大位移和转动模拟无需 额外机时。
下式用于计算应变增量, eij :
ui 1
x j 2 A S
ui(a) ui(b) n jS
eij
1 2
ui x j
u j xi
t
一旦计算出全部应力，可以从作用每个三角形边界上 产生的牵引力计算得到结点力。例如：
Fi
1 2
ij
(n
j
(1)
S
(1)
n j(2)S (2) )
然后，用“传统”的中间差分 公式获得新的速度和位移：
bar cm/s2
Bar/cm
Imperial ft
slugs/ft3 Ibf
Ibf/ft2 ft/sec2
Ibf/ft3
In snails/in3
Ibf psi in/sec2
Ib/in3
（2）参数换算 K E
3(1 2)
(bulk mod ulus)
有限差分法基本原理PPT课件
uin1
uin
a
t x
(uin
un i 1
)
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
u a u 0 t x u(x,0) u(x)
FTFS格式（时间向前差分、空间向前差分）
uin1 uin uin1 uin 0
t
x
ui0 u (xi )
uin 1
uin
a
t x
(uin1
uin )
ui0 u (xi )
几种差分格式介绍
FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）
限差分方程的解是收敛T的(i。, n)
lim
x0,t
0
Ti
t
一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。
3.稳定性 稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。
在 数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差， 因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其 他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。
Von Neumann稳定性分析方法简介
分析例题
T n1 i
Ti n
t x 2
(Ti
n 1
2Ti n
Ti
n 1
),
S
t x 2
Ti n1
STi n1
(1
2S )Tin
STi
n 1
上式T中i n 近似数值
有限差分方法基础ppt课件
t
x
0
(x,0) (x)
这里 (x) 为某已知函数。同样，差分方程也必须有初始条件：
（2-7）
n1 i
n i
n i 1
n i 1
0
t
2x
0 i
(xi )
（2-8）
初始条件是一种定解条件。如果是初边值问题，定解条件中还应有适当的边界条件。差分方程和其定解条件一起， 称为相应微分方程定解问题的差分格式。
图1-3 均匀和非均匀网格实例2
22
第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（1/3）
差分相应于微分，差商相应于导数。差分和差商是用有限形式表 示的，而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中 的导数用相应的差商近似代替，就可得到有限形式的差分方程。 现以对流方程为例，列出对应的差分方程。
FTCS格式的截断误差为
Rin O(t, (x)2 )
FTFS和FTBS格式的截断误差为
Rin O(t, x)
3种格式对 t 都有一阶精度。
（2-12） （2-13）
30
第二节 差分方程、截断误差和相容性/相容性（1/3）
25
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）
按照前面关于逼近误差的分析知道，用时间向前差商代替时间导数时的误差为 O(t) ,
用空间中心差商代替空间导数时的误差为 O((x)2 ) ，因而对流方程与对应的差分方程之间也存在一个误差，它是
Rin O(t) O((x)2 ) O(t, (x)2 )
表2
《有限差分法初步》课件
改进方向
高阶有限差分法
通过引入高阶差分方案，可以提高有限 差分法的精度，减少数值误差。
并行算法优化
进一步优化并行算法，提高有限差分 法的计算效率。
自适应网格技术
采用自适应网格技术，根据问题求解 的需要动态地调整网格的密度和分布 ，以提高计算效率和精度。
边界条件处理技术
研究和开发更有效的边界条件处理技 术，减少有限差分法的误差累积。
离散化原理
离散化原理是有限差分法的基础，它通过将连续 的问题离散化，将连续的函数和微分转化为离散 的数值和差分，从而将原问题转化为有限差分方 程组进行求解。
离散化原理的应用范围广泛，可以用于求解微分 方程、积分方程以及偏微分方程等。
离散化原理的关键在于选择合适的离散点，以确 保离散化的结果能够近似反映原问题的真实情况 。
《有限差分法初步》ppt课件
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点01
有限差分法是一种数值计算方法，通过将偏微分方 程离散化，将其转化为差分方程进行求解。
02
它将连续的空间离散为有限个点，并使用离散点的 差分近似表示原方程中的导数。
对学习者在学习过程中可能遇到的问 题进行了详细解答，帮助解决疑惑， 提高学习效果。
展望
深入研究
鼓励学习者在掌握有限差分 法的基础上，进一步探索该 方法的理论和应用，提高自 己的学术水平。
实际应用
提倡将有限差分法应用于实 际问题中，通过实践加深对 该方法的理解和掌握，提高 解决问题的能力。
交流与合作
04
有限差分法的实现
编程语言的选择
Python
Python是一种易于学习且功能强大的 编程语言，适合初学者和科学计算。
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-
15
-
2
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立迭代初值
求解代数方程组 否
收敛？ 是
解的分析
-
改进初场
3
1. 建立控制方程及定解条件
根据实际问题建立偏微分方程，同时给出边界条件。
2. 区域离散化
理论上可以通过任意的网格划分把求解区域划分成许多求解区域，以网格 线的交点作为需要确定的物理量的空间位置。实际应用中根据边界的形状采用 最简单、最有规律，和边界拟合程度最佳的方法来分割。
（a）稳态时薄板温度沿Y方向的变化曲线 （b）非稳态下薄板顶部温度随时间的变化曲线
-
14
（a)稳态下薄板内的温度分布
(b)非稳态下5000秒后薄板内的温度分布
结果分析：非稳态下5000秒后薄板内的温度分布与稳态下薄板内的温度 分布基本接近，这是由于非稳态热传导最初要经过非正规状态阶段 ，最 后进入正规状态阶段并逐渐达到动态平衡。
一铜制薄板，长宽均为1m，厚度为1cm，底部边缘温度始终 保持在1000K，其余三个边缘的无热量传输，薄板的两个表面通 过对流和辐射换热与环境进行热量交换，分别在稳态和非稳态情 况下对薄板的温度分布进行分析。（环境温度为300K)
求解： (1) 建立控制方程和边界条件：由于薄板的厚度相对其整体尺寸很小，可认 为在厚度方向上温度不发生变化，因此问题可简化为二维问题。根据能量 守恒可列出控制方程：
矩形分割
三角形分割
极网格分割
-
4
3.建立节点物理量的离散方程
节点类型
内节点 边界节点
泰勒级数展开法
热平衡法 泰勒级数展开法
热平衡法
热平衡法多运用于非均分网格划分下离散方程的建立 ，其物理概念清晰，推导过程简洁
-
5
泰
勒
级
数
展
开 法
我们以二维稳态无内热源、矩形均分下的温度场为例，先 用泰勒级数展开法对内节点 ( i , j ) 建立离散方程。
有限差分法在求解导热微分方程中的应用
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1
有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程 。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法 是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离散 点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问 题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散点处的 待求函数值——离散解。
热
平 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
衡 法
＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
(C)
-
8
热 平 衡 法
以二维稳态无内热源、矩形均分下 的温度场为例，利用用热平衡法对 内节点 ( i , j ) 建立离散方程 。
-
代入热平衡方 程(C)，由于 ∆x=∆y
9
建
立
上述例子以二维稳态无内热源矩形等分下的温度场为基础，展示了两种
C p z T tkz 2 T2 Q c2 Q r0
其中ρ为薄板材料的密度，Cp为比热，δz为薄板的厚度，k为导热系 数，Qc为对流换热量，Qr为辐射换热量
Q c hc (T Ta )
Qr (T4Ta4)
代 入
C pz T t kz 2 T 2 h c T 2T 4 2 h c T a 2T a 4
上 式
边界条件： x=0m ,x=1m, y=1m ； q=0 w/m2
y=1m
； T=300 K
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（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为 步长对其进行网格划分。 （3）输入已知的参数并设定边界条件
对边界条件进行设定
输入已知参数
-
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（4）进行运算并对结果进行分析
以高斯赛德尔迭代为例，其迭代步骤如下：
（1）将已建立的离散方程组改写成合适的迭代形式。
（2）设立迭代初值，利用迭代公式逐一计算每个节点的改进值。（每次 迭代均用 t 的最新值代入）
（3）以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之 差小于允许值，此时达到迭代收敛，迭代终止计算
-
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计算实例
节 方法的使用，而实际情况较为复杂。尤其在对非稳态的温度场的节点建立 点 离散方程时，不仅涉及到空间区域的离散化，还有时间区域的离散化。
离
散
优点：计算工作量小
方
程
注
非稳态导热
显式格式
缺点：对步长有一定限制
意
节点离散化
的
问
隐式格式
优点：步长无限制
题
缺点：计算工作量大-来自104.迭代计算
常用的迭代方法：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代 、块迭代 、松弛迭代法、梯度法、交替方向迭代等.
(a)
(b)
-
6
由（a） （b）两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分 （一般取中心差分，更为精确）
一阶导数的中心差分：
泰
勒
级
二阶导数的中心差分
数
：
代入
展
开
法
由于该矩形网格为均分网格，因此 ∆x=∆y，则有：
-
7
对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数 方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方 程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。