高考数学几何知识点归纳高考数学题型全归纳
高考几何分布知识点总结
高考几何分布知识点总结几何分布是概率论中的一个重要的分布模型，在高考数学中也是一个必考的知识点。
了解和掌握几何分布的概念、性质和求解方法是高考数学备考的重点内容之一。
本文将针对高考几何分布的知识点进行总结和归纳。
一、几何分布的概念和特点几何分布是一种离散型的概率分布，描述的是在进行一系列独立的伯努利试验中，第k次试验成功所需要进行的试验次数X的概率分布。
几何分布的特点主要包括以下几点：1. 每次试验结果只有两种可能性，成功和失败；2. 各次试验是独立的；3. 求解的是第k次试验成功所需要进行的试验次数。
二、几何分布的公式和求解方法几何分布的概率质量函数公式为：P(X=k) = q^(k-1) * p，其中q=1-p，p为单次试验成功的概率。
求解几何分布的问题一般包括以下几种情况：1. 求解某次试验成功所需要进行的试验次数；2. 求解总试验次数和成功次数的关系；3. 已知概率和试验次数，求解成功次数的概率。
对于以上问题，可以根据几何分布的公式进行求解，也可以利用一些常见的性质和技巧简化计算过程。
三、几何分布在实际问题中的应用几何分布可以应用于很多实际问题的建模和求解过程中。
以下是几个常见的实例：1. 生产线上的次品率问题：如果某个生产线上的产品次品率为p，那么在连续生产中，我们希望知道第一次出现次品品的试验次数的概率分布；2. 电话呼叫中断问题：如果某个电话通信网络中，电话呼叫中断的概率为p，那么我们希望知道某个用户第一次通话中断所需要的试验次数的概率分布；3. 某一事件的发生概率问题：如果某一事件发生的概率为p，那么我们希望知道在连续独立试验中，第k次尝试成功所需要进行的试验次数的概率分布。
几何分布作为一种重要的概率分布模型，在实际问题的建模和求解中具有广泛的应用价值。
四、几何分布的性质和应用技巧几何分布具有以下几个重要的性质：1. 期望和方差：几何分布的期望E(X) = 1/p，方差Var(X) = (1 - p) / p^2；2. 正态分布的近似：当试验次数较大时，几何分布可以用正态分布来近似计算，其均值和方差可以通过期望和方差公式得到；3. 计算技巧：对于一些特殊情况，可以利用互补的思想，通过计算失败次数或计算至少需要试验次数的概率来简化计算过程。
2023年高考数学总复习历年真题题型归纳与模拟预测9-1直线与圆带讲解
☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第9章 解析几何9.1 直线与圆从近三年高考情况来看，圆的标准方程的求法是命题的热点，求解时，常利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程，并指出圆心坐标及半径；直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查，求解时重点应用圆的几何性质，一般为选择题、填空题，难度中等，解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力．1．（2022•乙卷）过四点（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为 x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0（或x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0或x 2+y 2−83x −143y ＝0或x 2+y 2−165x ﹣2y −165=0） ． 【解答】解：设过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0， 即{F =016+4D +F =02−D +E +F =0，解得F ＝0，D ＝﹣4，E ＝﹣6， 所以过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）圆的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0． 同理可得，过点（0，0），（4，0），（4，2）圆的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0． 过点（0，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x 2+y 2−83x −143y ＝0． 过点（4，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x 2+y 2−165x ﹣2y −165=0．故答案为：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0（或x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0或x 2+y 2−83x −143y ＝0或x 2+y 2−165x ﹣2y −165=0）． 2．（2022•北京）若直线2x +y ﹣1＝0是圆（x ﹣a ）2+y 2＝1的一条对称轴，则a ＝（ ） A ．12B ．−12C ．1D ．﹣1【解答】解：圆（x ﹣a ）2+y 2＝1的圆心坐标为（a ，0）， ∵直线2x +y ﹣1＝0是圆（x ﹣a ）2+y 2＝1的一条对称轴，∴圆心在直线2x +y ﹣1＝0上，可得2a +0﹣1＝0，即a =12． 故选：A ．3．（2022•甲卷）设点M 在直线2x +y ﹣1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M 上，则⊙M 的方程为 （x ﹣1）2+（y +1）2＝5 ．【解答】解：由点M 在直线2x +y ﹣1＝0上，可设M （a ，1﹣2a ），由于点（3，0）和（0，1）均在⊙M 上，∴圆的半径为√(a −3)2+(1−2a −0)2=√(a −0)2+(1−2a −1)2， 求得a ＝1，可得半径为√5，圆心M （1，﹣1）， 故⊙M 的方程为（x ﹣1）2+（y +1）2＝5， 故答案为：（x ﹣1）2+（y +1）2＝5．4．（2022•新高考Ⅱ）设点A （﹣2，3），B （0，a ），若直线AB 关于y ＝a 对称的直线与圆（x +3）2+（y +2）2＝1有公共点，则a 的取值范围是 [13，32] ．【解答】解：点A （﹣2，3），B （0，a ），k AB =a−32，所以直线AB 关于y ＝a 对称的直线的向量为：3−a2，所以对称直线方程为：y ﹣a =3−a2⋅x ，即：（3﹣a ）x ﹣2y +2a ＝0， （x +3）2+（y +2）2＝1的圆心（﹣3，﹣2），半径为1， 所以√4+(3−a)2≤1，得12a 2﹣22a +6≤0，解得a ∈[13，32]．故答案为：[13，32]．5．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆x 2+y 2＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程 x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确） ．【解答】解：圆x 2+y 2＝1的圆心坐标为O （0，0），半径r 1＝1， 圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16的圆心坐标为C （3，4），半径r 2＝4， 如图：∵|OC |＝r 1+r 2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条． ∵k OC =43，∴l 1的斜率为−34，设直线l 1：y =−34x +b ，即3x +4y ﹣4b ＝0， 由|−4b|5=1，解得b =54（负值舍去），则l 1：3x +4y ﹣5＝0；由图可知，l 2：x ＝﹣1；l 2与l 3关于直线y =43x 对称，联立{x =−1y =43x，解得l 2与l 3的一个交点为（﹣1，−43），在l 2上取一点（﹣1，0），该点关于y =43x 的对称点为（x 0，y 0），则{y 02=43⋅x 0−12y 0x 0+1=−34，解得对称点为（725，−2425）． ∴k l 3=−2425+43725+1=724，则l 3：y =724(x +1)−43，即7x ﹣24y ﹣25＝0．∴与圆x 2+y 2＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为： x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确）．故答案为：x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确）．题型一.直线与方程1．（2020•新课标Ⅲ）点（0，﹣1）到直线y ＝k （x +1）距离的最大值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：方法一：因为点（0，﹣1）到直线y ＝k （x +1）距离d =√k +1=√k 2+2k+1k 2+1=√1+2kk 2+1；∵要求距离的最大值，故需k ＞0； ∵k 2+1≥2k ，当且仅当k ＝1时等号成立， 可得d ≤√1+2k2k =√2，当k ＝1时等号成立．方法二：由y ＝k （x +1）可知，直线y ＝k （x +1）过定点B （﹣1，0）， 记A （0，﹣1），则点A （0，﹣1）到直线y ＝k （x +1）距离d ≤|AB |=√2． 故选：B ．2．（2020•新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x ﹣y ﹣3＝0的距离为（ ）A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√55【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a ，a ），则半径为a ，a ＞0． 故圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝a 2，再把点（2，1）代入，求得a ＝5或1， 故要求的圆的方程为（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝25或（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1． 故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）； 故圆心到直线2x ﹣y ﹣3＝0的距离d =|2×5−5−3|√2+1=2√55或d =|2×1−1−3|√2+1=2√55；故选：B ．3．（2016•新课标Ⅱ）圆x 2+y 2﹣2x ﹣8y +13＝0的圆心到直线ax +y ﹣1＝0的距离为1，则a ＝（ ） A ．−43B ．−34C ．√3D ．2【解答】解：圆x 2+y 2﹣2x ﹣8y +13＝0的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线ax +y ﹣1＝0的距离d =√a +1=1，解得：a =−43， 故选：A ．4．（2018•新课标Ⅲ）直线x +y +2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ） A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[√2，3√2]D ．[2√2，3√2]【解答】解：∵直线x +y +2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x ＝0，得y ＝﹣2，令y ＝0，得x ＝﹣2， ∴A （﹣2，0），B （0，﹣2），|AB |=√4+4=2√2，∵点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，∴设P （2+√2cosθ，√2sinθ）， ∴点P 到直线x +y +2＝0的距离：d =√2cosθ+√2sinθ+2|√2=|2sin(θ+π4)+4|√2，∵sin （θ+π4）∈[﹣1，1]，∴d =|2sin(θ+π4)+4|√2∈[√2，3√2]，∴△ABP 面积的取值范围是：[12×2√2×√2，12×2√2×3√2]＝[2，6]．故选：A ．题型二.圆的方程1．（2020•北京）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：如图示：半径为1的圆经过点（3，4），可得该圆的圆心轨迹为（3，4）为圆心，1为半径的圆， 故当圆心到原点的距离的最小时，连结OB ，A 在OB 上且AB ＝1，此时距离最小， 由OB ＝5，得OA ＝4，即圆心到原点的距离的最小值是4， 故选：A ．2．（2016•天津）已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，点M （0，√5）在圆C 上，且圆心到直线2x ﹣y ＝0的距离为4√55，则圆C 的方程为 （x ﹣2）2+y 2＝9 ． 【解答】解：由题意设圆的方程为（x ﹣a ）2+y 2＝r 2（a ＞0）， 由点M （0，√5）在圆上，且圆心到直线2x ﹣y ＝0的距离为4√55， 得a 2+5=r 2√5=4√55，解得a ＝2，r ＝3．∴圆C 的方程为：（x ﹣2）2+y 2＝9． 故答案为：（x ﹣2）2+y 2＝9．3．（2019•北京）设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 （x ﹣1）2+y 2＝4 ． 【解答】解：如图，抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），∵所求圆的圆心F ，且与准线x ＝﹣1相切，∴圆的半径为2． 则所求圆的方程为（x ﹣1）2+y 2＝4． 故答案为：（x ﹣1）2+y 2＝4．4．（2015•新课标Ⅱ）已知三点A （1，0），B （0，√3），C （2，√3）则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A ．53B ．√213C ．2√53D ．43【解答】解：因为△ABC 外接圆的圆心在直线BC 垂直平分线上，即直线x ＝1上， 可设圆心P （1，p ），由P A ＝PB 得 |p |=√1+(p −√3)2， 得p =2√33 圆心坐标为P （1，2√33），所以圆心到原点的距离|OP |=1+(2√33)2=√1+129=√213， 故选：B ．题型三.直线与圆的位置关系1．（2020•新课标Ⅲ）若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y ＝2x +1B ．y ＝2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【解答】解：设直线l 与曲线y =√x 相切于M （a ，b ），（a ＞0），则由(√x)′=12√x 可知，曲线y =√x 在点P 处的切线方程为y −√a =12√a −a)，即y −x2√a √a2=0，该方程即为直线l 的方程， ∵直线l 与圆相切，∴√a2√1+14a=√55，解得a＝1，故直线l的方程为y=12x+12．故选：D．2．（2016•新课标Ⅲ）已知直线l：mx+y+3m−√3=0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2√3，则|CD|＝4．【解答】解：由题意，|AB|＝2√3，∴圆心到直线的距离d＝3，∴√3|√m2+1=3，∴m=−√33∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|=|AB|cos30°=2√3√32=4．故答案为：4．3．（2021•北京）已知直线y＝kx+m（m为常数）与圆x2+y2＝4交于M，N，当k变化时，若|MN|的最小值为2，则m＝（）A．±1B．±√2C．±√3D．±2【解答】解：圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，设弦长为a，则圆心C到直线l的距离d=√4−(a2)2=√4−a24，当弦长取得最小值2时，则d有最大值√4−1=√3，又d=|m|√1+k ，因为k2≥0，则√1+k2≥1，故d 的最大值为|m|=√3，解得m =±√3． 故选：C ．4．（2020•新课标Ⅰ）已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0【解答】解：化圆M 为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 圆心M （1，1），半径r ＝2．∵S 四边形PAMB =12|PM|⋅|AB|=2S △P AM ＝|P A |•|AM |＝2|P A |=2√|PM|2−4． ∴要使|PM |•|AB |最小，则需|PM |最小，此时PM 与直线l 垂直． 直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1），即y =12x +12， 联立{y =12x +122x +y +2=0，解得P （﹣1，0）．则以PM 为直径的圆的方程为x 2+(y −12)2=54．联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，相减可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．故选：D ．（多选）5．（2021•新高考Ⅰ）已知点P 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16上，点A （4，0），B （0，2），则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当∠PBA 最小时，|PB |＝3√2D ．当∠PBA 最大时，|PB |＝3√2【解答】解：∵A （4，0），B （0，2）， ∴过A 、B 的直线方程为x4+y 2=1，即x +2y ﹣4＝0，圆（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16的圆心坐标为（5，5）， 圆心到直线x +2y ﹣4＝0的距离d =|1×5+2×5−4|√1+2=11√5=11√55＞4， ∴点P 到直线AB 的距离的范围为[11√55−4，11√55+4]，∵11√55＜5，∴11√55−4＜1，11√55+4＜10，∴点P 到直线AB 的距离小于10，但不一定大于2，故A 正确，B 错误；如图，当过B 的直线与圆相切时，满足∠PBA 最小或最大（P 点位于P 1时∠PBA 最小，位于P 2时∠PBA 最大），此时|BC |=√(5−0)2+(5−2)2=√25+9=√34， ∴|PB |=√|BC|2−42=√18=3√2，故CD 正确． 故选：ACD ．（多选）6．（2021•新高考Ⅱ）已知直线l ：ax +by ﹣r 2＝0与圆C ：x 2+y 2＝r 2，点A （a ，b ），则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 【解答】解：∵点A 在圆C 上， ∴a 2+b 2＝r 2，∵圆心C （0，0）到直线l 的距离为d =2√a 2+b2=2√a 2+b2=r ，∴直线与圆C 相切，故A 选项正确， ∵点A 在圆C 内， ∴a 2+b 2＜r 2，∵圆心C （0，0）到直线l 的距离为d =|0×a+0×b−r 2|√a 2+b =|r 2|√a 2+b r ，∴直线与圆C 相离，故B 选项正确， ∵点A 在圆C 外， ∴a 2+b 2＞r 2，∵圆心C（0，0）到直线l的距离为d=|0×a+0×b−r2|√a2+b =|r2|√a2+br，∴直线与圆C相交，故C选项错误，∵点A在直线l上，∴a2+b2＝r2，∵圆心C（0，0）到直线l的距离为d=2√a2+b =2√a2+b=r，∴直线与圆C相切，故D选项正确．故选：ABD．题型四.圆与圆的位置关系1．（2016•山东）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x+y＝0所得线段的长度是2√2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．相离【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2＝a2（a＞0），则圆心为（0，a），半径R＝a，圆心到直线x+y＝0的距离d=a√2，∵圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x+y＝0所得线段的长度是2√2，∴2√R2−d2=2√a2−a22=2√a22=2√2，即√a22=√2，即a2＝4，a＝2，则圆心为M（0，2），半径R＝2，圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的圆心为N（1，1），半径r＝1，则MN=√12+12=√2，∵R+r＝3，R﹣r＝1，∴R﹣r＜MN＜R+r，即两个圆相交．故选：B．1．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x +4y +4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0B ．x 2+y 2+4x ＝0C ．x 2+y 2+2x ﹣3＝0D ．x 2+y 2﹣4x ＝0 【解答】解：设圆心为（a ，0）（a ＞0），由题意知圆心到直线3x +4y +4＝0的距离d =|3a+4|√3+4=3a+45=r ＝2，解得a ＝2，所以圆心坐标为（2，0） 则圆C 的方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，化简得x 2+y 2﹣4x ＝0故选：D ．2．已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2+y 2﹣6y +6＝0相交于A 、B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为（ ）A ．1B ．±1C ．√3D ．±√3【解答】解：根据题意，圆C ：x 2+y 2﹣6y +6＝0即x 2+（y ﹣3）2＝3，其圆心为（0，3），半径r =√3， 直线y ＝ax 与圆C ：x 2+y 2﹣6y +6＝0相交于A 、B 两点，若△ABC 为等边三角形，则圆心C 到直线y ＝ax 的距离d =32，则有√1+a 2=32， 解可得：a ＝±√3；故选：D ．3．两圆x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0和x 2+y 2+2x ﹣8＝0相交于两点M ，N ，则线段MN 的长为（ ）A ．4B ．35√5C ．125√5 D ．65√5【解答】解：根据题意，圆x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0的圆心为（﹣2，2），半径r 1＝2√2，圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0的圆心为（﹣1，0），半径r 2＝3，两圆x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0和x 2+y 2+2x ﹣8＝0相交于两点M ，N ，直线MN 的方程为（x 2+y 2+4x ﹣4y ）﹣（x 2+y 2+2x ﹣8）＝0，变形可得：2x ﹣4y +8＝0，即x ﹣2y +4＝0，圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0的圆心到直线x ﹣2y +4＝0的距离d =√1+4=3√55， 则|MN |＝2×√r 22−d 2=2×√9−95=12√55；故选：C ．4．已知直线l ：y =√3x +m 与圆C ：x 2+（y ﹣3）2＝6相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则实数m 的值为（ ）A ．3+√6或3−√6B ．3+2√6或3−2√6C ．9或﹣3D ．8或﹣2【解答】解：圆心到直线l 的距离d =√3+1=|m−3|2， 若∠ACB ＝120°，则|m−3|2×2=√6，解得：m ＝3±√6，故选：A ．5．已知a 为常数，圆C ：x 2+2x +y 2﹣2ay ＝0，过圆C 内一点（1，2）的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为2x ﹣y ＝0，则a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：将圆C 的方程变形 可得，（x +1）2+（y ﹣a ）2＝1+a 2，圆心C （﹣1，a ），半径r =√1+a 2，若使得∠ACB 最小，则弦长最小，弦心距最大，故当（1，2）与圆心C （﹣1，a ）的连线与2x ﹣y ＝0垂直时，满足题意，所以a−2−1−1=−12， 故a ＝3．故选：B ．6．过圆T ：x 2+y 2＝4外一点P （2，1）作两条互相垂直的直线AB 和CD 分别交圆T 于A ，B 和C ，D 点，则四边形ABCD 面积的最大值为 √15 ．【解答】解：如图所示，由O 作AB ，CD 的垂线OE ，OF ，连接OP ，BD ，记OE＝d1，OF＝d2，则d12+d22=5．AE＝BE=√4−d12，PE=√5−d12=d2，CF＝DF=√4−d22，PF=√5−d22=d1，故S四边形ABCD＝S△PBD﹣S△P AC=12PB⋅PD−12PA⋅PC=12[(PE+BE)⋅(PF+FD)−(PE−AE)⋅(PF−CF)]=12[(d2+√4−d12)(d1+√4−d22)−(d2−√4−d12)(d1−√4−d22)]=12×2(d2√4−d12+d1√4−d22)=d2√4−d12+d1√4−d22≤√(d12+d22)(8−d12−d22)=√5×3=√15．当且仅当d1＝d2时取等号．故答案为：√15．。
2023高考数学常考的知识点与题型
2023高考数学常考的知识点与题型高考数学常考题型有哪些1、函数与导数主要考查数学集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
2、平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些数学基础题或中档题。
3、数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
4、不等式主要考查数学不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
5、概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属数学应用题。
6、空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。
主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
7、解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(部分知识抽象，较难理解);2、基本的初等函数(指数函数、对数函数);3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)。
必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分。
2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题。
3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空);2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。
必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分。
必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右;2、数列：高考必考，17---22分;3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
2023年新高考数学大一轮复习专题28 空间几何体的结构特征、表面积与体积(原卷版)
专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积【考点预测】知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．知识点四：组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．知识点五：表面积与体积计算公式表面积公式体积公式1．斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．（3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：4． 2．平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．【题型归纳目录】题型一：空间几何体的结构特征 题型二：空间几何体的表面积与体积 题型三：直观图 题型四：最短路径问题 【典例例题】题型一：空间几何体的结构特征例1．（2022·全国·模拟预测）以下结论中错误的是（ ） A ．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B ．平行六面体的每个面都是平行四边形 C ．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D ．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直例2．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C ．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D ．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形例3．（2022·海南·模拟预测）“三棱锥P ABC -是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（ ） A ．三棱锥P ABC -是正四面体 B ．三棱锥P ABC -不是正四面体 C ．有一个面是正三角形 D ．ABC 是正三角形且PA PB PC ==例4．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3例5．（2022·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ） A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B ．过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C ．棱锥的所有侧面都是三角形D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台例6．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3例7．（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式､定理､解法､函数､方程､常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V ､棱数E ､面数F 之间总满足数量关系2,V F E +-=，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.例8．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））如图，正方体1AC 上、下底面中心分别为1O ，2O ，将正方体绕直线12O O 旋转360︒，下列四个选项中为线段1AB 旋转所得图形是（ ）A ．B ．C ．D ．例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）（多选）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱柱例10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））碳60（60C ）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.【方法技巧与总结】 熟悉几何体的基本概念.题型二：空间几何体的表面积与体积例11．（多选题）（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为BC ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22例12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（ ）A ．89B C D ．23例13．（2022·云南·二模（文））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段1AC 的长为（ ）A B C D例14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知AB ，CD 分别是圆柱上､下底面圆的直径，且AB CD ⊥，.1O ，O 分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD -的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．9π B ．12π C ．16π D ．18π例15．（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥P ABCD -中，AB =P ABCD -的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）AB ．C ．D ．例16．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCD EFHG -，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高h EF =，BF =，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和 ）A ．24B ．643C ．563D ．16例17．（2022·湖南·高三阶段练习）如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面1111D C B A ）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为24cm ，29cm ，且1111A A B B C C D D ===，若该容器模型的体积为319cm 3，则该容器模型的表面积为（ ）A ．()29cmB ．219cmC ．()29cmD ．()29cm例18．（2022·海南海口·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3π，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（ ）A B C D例19．（2022·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．例20．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．13B ．23C ．1D ．43例21．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为________．例22．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为2 ，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.例23．（2022·上海闵行·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.例24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为_________．例25．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线ABAB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为___________.例26．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2，则该几何体的体积为___________．【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角. 题型三：直观图例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的ABC 的直观图是边长为a 的正三角形，原ABC 的面积为 __．例28．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形ABCD 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中45ABC ∠=︒，1AB AD ==，DC BC ⊥，则原图形的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．1例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则以下说法正确的是（ ）A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等边三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形例30．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形A B C D ''''，已知2,2A O O B B C =='''''='，则四边形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．12C ．8+D ．8+例31．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知等腰直角三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A B ．1 C D ．例32．（2022·全国·高三专题练习）一个三角形的水平直观图在x O y '''是等腰三角形，底角为30，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B 到x 轴距离是（ ）A ．1B ．2CD ．【方法技巧与总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：S 直原． 题型四：最短路径问题例33．（多选题）（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（ ）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为2C 3D ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm例34．（2022·河南洛阳·三模（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.例35．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,90AA AB BC ABC ===∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的有___________.（填序号）②存在点E ，使得1A EA ∠为钝角③截面1AEC 周长的最小值为例36．（2022·河南·二模（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，P 是线段1BC 上的一动点，则1A P PC +的最小值为________.例37．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥P ABC -中，30APB BPC CPA ∠=∠=∠=，4PA PB PC ===，一只虫子从A 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是___________.例38．（2022·安徽宣城·二模（理））已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是DP 的动点，N 是平面ECD 内的动点，则||||AM MN +的最小值是_____________.例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））如图，圆柱的轴截面ABCD 是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A 出发绕圆柱表面爬到BC 的中点E ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．B ．C ．D例40．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P 点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）A ．3B ．C ．πD ．2π【方法技巧与总结】此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题． 【过关测试】一、单选题1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆锥的高为1，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）A ．2B ．52C D ．32．（2022·全国·模拟预测（文））若过圆锥的轴SO 的截面为边长为4的等边三角形，正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D 在圆锥底面上，1A ，1B ，1C ，1D 在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）A ．B ．C ．(2D ．(23．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ） A ．43 B ．43πC ．83D ．83π4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm 和4cm ）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）AB ．1cmCD 5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC 水平放置的直观图（斜二测画法）为A B C '''，其中1O A O B O C ''''''===，则此三棱柱的表面积为（ ）A．4+B ．8+C ．8+D ．8+6．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为的半径为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．（2022·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．56B C ．D ．5638．（2022·江西九江·三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a ，则ra=（ ）A B ．34C ．2D ．)3129．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，已知四边形ABCD ，BCD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形，ABD △为等边三角形，2BD =，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △在翻折的过程中，下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．BD PC ⊥B ．DP 与BC 可能垂直C ．直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是45︒D ．四面体PBCD 10．（2022·全国·高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．2.65≈）（ ） A ．931.010m ⨯ B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯二、多选题11．（2022·河北·高三阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A ．BPB ．PA PC +C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 1AB C 12．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =13．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1A C 上的动点，点M ，N 分别为线段11A C ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．11A P AB ⊥ B ．三棱锥1M B NP -的体积为定值 C ．[]160,120APD ∠∈︒︒D ．1AP D P +的最小值为2314．（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为B ．体积为3C ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22三、填空题15．（2022·全国·高三专题练习）已知一三角形ABCA B C '''(如图)，则三角形ABC 中边长与正三角形A B C '''的边长相等的边上的高为______．16．（2022·上海·模拟预测）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为___________；17．（2022·新疆·三模（理））已知一个棱长为a 的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a 的最大值为______.18．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1，则其牟合方盖的体积为______. 四、解答题19．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且1,4,5AB DC AB DC PM PC ==∥.(1)求证：PA 平面MDB ；(2)当直线,PC PA 与底面ABCD 所成的角都为4π，且4,DC DA AB =⊥时，求出多面体MPABD 的体积.20．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形ABGF ，Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形，其中2AB =，1==AE AF ，60BAD ∠=︒，将该图形沿AB ，AD 折起使得AE 与AF 重合，连接CG ，如图2.(1)证明：图2中的C ，D ，E ，G 四点共面； (2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.21．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°．(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC CE 的长．22．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112224AC AA AB AC BC =====，160BAA ∠=︒．(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 上一点，且12CP PC =，求三棱锥111A PB C -体积．。
高考数学总结归纳知识点加题型
高考数学总结归纳知识点加题型高考数学是每个学生都要面对的一门重要科目，它占据了高考综合素质评价的一定比重。
为了帮助同学们更好地备考高考数学，下面将对常见的知识点进行归纳总结，并附上相应的题型练习。
一、函数与方程1. 一次函数知识点：函数的概念、斜率和截距的含义、函数图像与性质等。
题型练习：已知一次函数y=2x-3，请确定函数的斜率和截距，并绘制函数图像。
2. 二次函数知识点：二次函数的概念、顶点坐标、对称轴、单调性等。
题型练习：已知二次函数y=x^2-4x+3，请确定函数的顶点坐标、对称轴，并描述函数的单调性。
3. 指数函数与对数函数知识点：指数函数与对数函数的性质、图像、定义域与值域等。
题型练习：已知指数函数y=3^x，请确定函数的定义域、值域，并绘制函数图像。
二、几何与三角函数1. 三角函数知识点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、性质、图像等。
题型练习：已知直角三角形中一角的正弦值为0.6，请确定该角的度数，并计算其余弦和正切值。
2. 平面几何知识点：平面图形的面积、周长、相似性、圆的性质等。
题型练习：已知正方形的边长为3 cm，请计算其面积和周长。
3. 空间几何知识点：立体图形的体积、表面积、相似性、平行性等。
题型练习：已知长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，请计算其体积和表面积。
三、概率与统计1. 概率知识点：概率的基本概念、概率的计算、事件间的关系等。
题型练习：有一枚均匀的骰子，抛掷一次，求出出现奇数点数的概率。
2. 统计知识点：统计数据的收集、整理、分析和展示等。
题型练习：某班级的学生身高数据为：160 cm、165 cm、170 cm、175 cm、180 cm，请计算平均身高和中位数。
以上仅为部分高考数学的知识点总结和相应题型练习，希望对同学们备考高考数学有所帮助。
在备考过程中，同学们要注重理论与实践相结合，多进行题型练习和模拟考试，熟悉考题的出题规律和解题技巧。
高考必背最完整的高中数学知识点
高考必背最完整的高中数学知识点一、代数1. 一次函数的性质：直线的斜率、截距和方程形式。
2. 二次函数的性质：顶点坐标、对称轴、开口方向和方程形式。
3. 幂函数与指数函数的性质。
4. 对数函数的性质：底数为正数时的定义、性质与常见公式。
5. 三角函数的基本概念：正弦函数、余弦函数和正切函数的周期、定义域、值域和图像。
6. 数列的概念及常见数列的通项公式和求和公式。
二、几何1. 平面几何基本概念：点、直线、平行和垂直关系。
2. 三角形的性质：角的度量、三角形类型和重要定理（如余弦定理和正弦定理）。
3. 圆的性质：圆周角、弧长和面积公式。
4. 球和立体几何的基本概念：体积、表面积和投影等。
三、概率与统计1. 概率的基本概念：事件、样本空间、概率以及概率的性质与计算。
2. 随机变量的概念及其分布函数和密度函数。
3. 统计的基本概念：总体、样本、参数和统计量。
4. 样本调查与统计分析的方法和步骤。
四、解析几何1. 向量的基本概念：向量的表示、向量的运算、向量的模和方向角。
2. 平面的方程：一般式、点法式、两点式和法向量式等。
3. 空间几何基本概念：点、直线、平面的关系与位置。
4. 空间直角坐标系：空间直角坐标系的建立与距离公式。
五、数学思维1. 基本解题方法和思维：分类讨论、递推法、数学归纳法等。
2. 数学证明的基本方法：直接证明、间接证明、反证法等。
3. 数学建模的基本流程和方法。
4. 数学问题的模型转化与解决策略。
以上是高考必背的最完整的高中数学知识点。
希望同学们在备考过程中认真复这些知识，做好各种题型的练，提高自己的数学水平，取得好成绩！加油！。
高考平面向量题型归纳总结
高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。
平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。
本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。
一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。
其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。
二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。
1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。
另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。
2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。
三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。
2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。
在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。
导数中的公切线问题--2024年新高考数学一轮复习题型归纳与方法总结 解析版
导数中的公切线问题知识点梳理一、公切线问题一般思路两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.考法1：求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.具体做法为：设公切线在y =f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y =g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)=g ′(x 2)=f x 1 -g x 2x 1-x 2.考法2：由公切线求参数的值或范围问题由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．题型精讲精练1若直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则k =______．【解析】设y =kx +b 与y =e x 和y =ln x +2 ，分别切于点x 1,e x 1，x 2,ln x 2+2 ，由导数的几何意义可得：k =e x 1=1x 2+2，即x 2+2=1ex 1，①则切线方程为y -e x 1=e x 1x -x 1 ，即y =e x 1x -e x 1x 1+e x 1，或y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，即y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，②将①代入②得y =e x 1x +2e x 1-1-x 1，又直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则-e x 1x 1+e x 1=2e x 1-1-x 1，即e x 1-1 x 1+1 =0，则x 1=-1或x 1=0，即k =e 0=1或k =e -1=1e ，故答案为1或1e．2已知直线y =kx +b 与函数y =e x 的图像相切于点P x 1,y 1 ，与函数y =ln x 的图像相切于点Q x 2,y 2 ，若x 2>1，且x 2∈n ,n +1 ，n ∈Z ，则n =______．【解析】依题意，可得e x 1=k =1x 2y 1=e x 1=kx 1+by 2=ln x 2=kx 2+b，整理得x 2ln x 2-ln x 2-x 2-1=0令f x =x ln x -ln x -x -1x >1 ，则f x =ln x -1x在1,+∞ 单调递增且f 1 ⋅f 2 <0，∴存在唯一实数m ∈1,2 ，使f m =0f x min =f m <f 1 <0，f 2 =ln2-3<0，f 3 =2ln3-4<0，f 4 =3ln4-5<0，f 5 =4ln5-6>0，∴x 2∈4,5 ，故n =4．【题型训练】1.求公切线方程一、单选题1(2023·全国·高三专题练习)曲线y =1x与曲线y =-x 2的公切线方程为()A.y =-4x +4B.y =4x -4C.y =-2x +4D.y =2x -4【答案】A【分析】画出图象，从而确定正确选项.【详解】画出y =1x,y =-x 2以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A 选项符合.故选：A2(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f (x )，若曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y =xf (x )在点(1,2)处点的切线重合，则f ′(2)=()A.-34B.-14C.-4D.14【答案】B【分析】由f(0)=0得d=0，然后求得f (x)，由f (0)=2-01-0求得c=2，设g(x)=xf(x)，由g(1)=2得f(1)=2及a+b=0，再由g (1)=2得3a+2b+2=0，解得a,b后可得f (2)．【详解】设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，∵f(0)=d=0,∴f(x)=ax3+bx2+cx,∴f′(x)=3ax2+2bx+c∴f′(0)=c=2-01-0=2，设g(x)=xf(x)，则g(1)=f(1)=a+b+2=2，即a+b=0⋯⋯①又∵g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(1)=f(1)+f′(1)=2,∴f′(1)=0，即3a+2b+2=0⋯⋯②由①②可得a=-2,b=2,c=2，∴f′(2)=-14.故选：B.3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x，g x =ax2-x．若经过点A1,0存在一条直线l与曲线y=f x 和y=g x 都相切，则a=()A.-1B.1C.2D.3【答案】B【分析】先求得f(x)在A(1,0)处的切线方程，然后与g x =ax2-x联立，由Δ=0求解【详解】解析：∵f x =x ln x，∴f x =1+ln x，∴f 1 =1+ln1=1，∴k=1，∴曲线y=f x 在A1,0处的切线方程为y=x-1，由y=x-1y=ax2-x得ax2-2x+1=0，由Δ=4-4a=0，解得a=1．故选：B4(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x2-4x+4,g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为A.三条B.二条C.一条D.0条【答案】A【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程8n3-8n2+1=0，构造函数f x =8x3-8x2+1,f x =8x3x-2，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.【详解】设公切线与f x 和g x 分别相切于点m,f m,n,f n,f x =2x-4，g x =-x -2,gn =fm =g n -f m n -m ，解得m =-n -22+2，代入化简得8n 3-8n 2+1=0，构造函数f x =8x 3-8x 2+1,f x =8x 3x -2 ，原函数在-∞，0 ↗，0，23 ↘，23，+∞ ↗，极大值f 0 >0,极小值，f 23<0故函数和x 轴有交3个点，方程8n 3-8n 2+1=0有三解，故切线有3条.故选A .【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x 轴的交点问题.5(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x ，若y =f x 与y =g x在公共点处的切线相同，则m =()A.-3B.1C.2D.5【答案】B【分析】设曲线y =f x 与y =g x 的公共点为x 0,y 0 ，根据题意可得出关于x 0、m 的方程组，进而可求得实数m 的值.【详解】设函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x 的公共点设为x 0,y 0 ，则f x 0 =g x 0 f x 0 =g x 0 ，即x 20-2m =3ln x 0-x 02x 0=3x 0-1x 0>0，解得x 0=m =1，故选：B .【点睛】本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.6(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ln x 在点P (x 0,f (x 0))处的切线与函数g (x )=e x 的图象也相切，则满足条件的切点的个数有A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】先求直线l 为函数的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线方程，再设直线l 与曲线y =g (x )相切于点(x 1，e x 1)，进而可得ln x 0=x 0+1x 0-1，根据函数图象的交点即可得出结论．【详解】解：∵f (x )=ln x ，∴f ′(x )=1x ，∴x =x 0，f ′(x 0)=1x 0，∴切线l的方程为y-ln x0=1x0(x-x0)，即y=1x0x+ln x0-1，①设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1，e x1)，∵g (x)=e x，∴e x1=1x0，∴x1=-ln x0．∴直线l也为y-1x0=1x0(x+ln x0)即y=1x0x+ln x0x0+1x0，②由①②得ln x0=x0+1 x0-1，如图所示，在同一直角坐标系中画出y=ln x,y=x+1x-1的图象，即可得方程有两解，故切点有2个.故选：C二、填空题7(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)与曲线y=e x和y=-x24都相切的直线方程为.【答案】y=x+1【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线y=e x相切于点x1,e x1，因为y =e x，所以该直线的方程为y-e x1=e x1x-x 1，即y=e x1x+e x11-x1，设直线与曲线y=-x24相切于点x2,-x224，因为y =-x2，所以该直线的方程为y+x224=-x22x-x2，即y=-x22x+x224，所以e x1=-x22e x11-x1=x224，解得x1=0,x2=-2，所以该直线的方程为y=x+1，故答案为：y=x+1.8(2023·全国·高三专题练习)已知f x =e x-1(e为自然对数的底数)，g x =ln x+1，请写出f x 与g x 的一条公切线的方程．【答案】y=ex-1或y=x【分析】假设切点分别为m,e m-1，n,ln n+1，根据导数几何意义可求得公切线方程，由此可构造方程求得m，代入公切线方程即可得到结果.【详解】设公切线与f x 相切于点m,e m-1，与g x 相切于点n,ln n+1，∵f x =e x，g x =1x，∴公切线斜率k=e m=1n；∴公切线方程为：y-e m+1=e m x-m或y-ln n-1=1nx-n，整理可得：y=e m x-m-1e m-1或y=1nx+ln n，∴e m=1nm-1e m+1=-ln n，即m=-ln nm-1e m +1=-ln n，∴m-1e m+1-m=m-1e m-1=0，解得：m=1或m=0，∴公切线方程为：y=ex-1或y=x.故答案为：y=ex-1或y=x.9(2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试)已知直线l与曲线y=e x、y=2+ln x都相切，则直线l的方程为．【答案】y=x+1或y=ex【分析】分别求出两曲线的切线方程是y=e x1x+e x11-x1和y=1x2x+1+ln x2，解方程e x1=1x2，e x11-x1=1+ln x2，即得解.【详解】解：由y=e x得y =e x，设切点为x1,e x1，所以切线的斜率为e x1，则直线l的方程为：y=e x1x+e x11-x1；由y =2+ln x 得y =1x ，设切点为x 2,2+ln x 2 ，所以切线的斜率为1x 2，则直线l 的方程为：y =1x 2x +1+ln x 2．所以e x 1=1x 2，e x 11-x 1 =1+ln x 2，消去x 1得1x 2-11+ln x 2 =0，故x 2=1或x 2=1e，所以直线l 的方程为：y =x +1或y =ex ．故答案为：y =x +1或y =ex 10(2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知直线y =kx +b 是曲线y =ln 1+x 与y =2+ln x 的公切线，则k +b =.【答案】3-ln2【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算k +b .【详解】设曲线y =ln 1+x 上切点A x 1,ln 1+x 1 ，y =11+x，切线斜率k =11+x 1，切线方程y -ln 1+x 1 =11+x 1x -x 1 ，即y =11+x 1x -x 11+x 1+ln 1+x 1同理，设曲线y =2+ln x 上切点B x 2,2+ln x 2 ，y =1x，切线斜率k =1x 2，切线方程y -2+ln x 2 =1x 2x -x 2 ，即y =1x 2x +1+ln x 2，所以11+x 1=1x 2-x11+x 1+ln (1+x 1)=1+ln x 2，解得x 1=-12x 2=12，所以k =2，b =1-ln2，k +b =3-ln2.故答案为：3-ln2.2.公切线中的参数问题一、单选题1(2023·陕西渭南·统考一模)已知直线y =ax +b (a ∈R ,b >0)是曲线f x =e x 与曲线g x =ln x +2的公切线，则a +b 等于()A.e +2B.3C.e +1D.2【答案】D【分析】由f x 求得切线方程，结合该切线也是g x 的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线y =ax +b ，从而求得正确答案.【详解】设t ,e t 是f x 图象上的一点，f x =e x ，所以f x 在点t ,e t 处的切线方程为y -e t =e t x -t ，y =e t x +1-t e t ①，令g x =1x=e t ，解得x =e -t ，g e -t=ln e -t+2=2-t ，所以2-t -e te -t-t=e t ，1-t =1-t e t ，所以t =0或t =1(此时①为y =ex ，b =0，不符合题意，舍去)，所以t =0，此时①可化为y -1=1×x -0 ,y =x +1，所以a +b =1+1=2.故选：D2(2023·陕西榆林·校考模拟预测)若直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，与曲线y =x +32也相切，切点为N x 2,y 2 ，则2x 1-x 2的值为()A.-2B.-1C.0D.1【答案】B【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解.【详解】因为直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，可知直线l 的方程为y =e x 1x -x 1 +e x 1=e x 1x +1-x 1 e x 1，又直线l 与曲线y =x +3 2也相切，切点为N x 2,y 2 ，可知直线l 的方程为y =2x 2+3 x -x 2 +x 2+3 2=2x 2+3 x -x 22+9，所以e x 1=2x 2+3 1-x 1 e x 1=-x 22+9，两式相除，可得21-x 1 =3-x 2，所以2x 1-x 2=-1.故选：B3(2023春·河南·高三校联考阶段练习)已知曲线y =x 在点x 0,x 0 0<x 0<14处的切线也与曲线y =e x 相切，则x 0所在的区间是()A.0,14e 4B.14e 4,14e 2C.14e 2,14eD.14e ,14【答案】C【分析】设切线l与曲线y=e x的切点为m,e m，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.【详解】设该切线为l，对y=x求导得y =12x，所以l的方程为y-x0=12x0x-x0，即y=12x0x+x02．设l与曲线y=e x相切的切点为m,e m，则l的方程又可以写为y-e m=e m x-m，即y=e m x+1-me m．所以e m=12x0，x02=1-me m．消去m，可得x0=1+ln2x0，0<x0<1 4，令t=2x0∈0,1，则ln t-t24+1=0．设h t =ln t-t24+1，当0<t<1时，h t =1t-t2>0，所以h t 在0,1上单调递增，又h1e=-14e2<0，h1e=12-14e>0，所以t0=2x0∈1e,1e，所以x0∈14e2,14e．故选：C.4(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =2a ln x+1与g x =x2+1的图像存在公共切线，则实数a的最大值为()A.eB.2eC.e22D.e2【答案】A【分析】分别设公切线与g x =x2+1和f(x)=2a ln x+1的切点x1,x21+1，x2,2a ln x2+1，根据导数的几何意义列式，再化简可得a=2x22-2x22ln x2，再求导分析h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x >0)的最大值即可【详解】g x =2x，f x =2a x，设公切线与g x =x2+1的图像切于点x1,x21+1，与曲线f(x)=2a ln x+1切于点x2,2a ln x2+1，所以2x1=2ax2=2a ln x2+1-x21+1x2-x1=2a ln x2-x21x2-x1，故a=x1x2，所以2x1=2x1x2ln x2-x21x2-x1，所以x1=2x2-2x2⋅ln x2，因为a=x1x2，故a=2x22-2x22ln x2，设h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x>0)，则h (x)=2x(1-2ln x)，令h (x)=0⇒x=e当h (x)>0时，x∈(0,e)，当h (x)<0时，x∈(e,+∞)，所以h x 在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减，所以h(x)max=h(e)=e，所以实数a的最大值为e，故选：A.5(2023·湖南郴州·统考模拟预测)定义：若直线l与函数y=f x ，y=g x 的图象都相切，则称直线l为函数y=f x 和y=g x 的公切线．若函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为()A.eB.eC.2eD.2e【答案】C【分析】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为y=2x1x-x21，y=ax2x+a ln x2-1.两条切线重合，即可得出a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.构造h x =4x2-4x2ln x x>0，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.【详解】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，因为g x =2x，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为2x1，即该直线的方程为y-x21=2x1x-x1，即y=2x1x-x21.设直线与f x =a ln x的切点为(x2,a ln x2)，因为f x =ax，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为ax2，即该直线的方程为y-a ln x2=ax2x-x2，即y=ax2x+a ln x2-1.因为函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且只有一条公切线，所以有2x1=ax2a ln x2-1=-x21 ，即a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.令h x =4x2-4x2ln x x>0，则h x =8x-8x ln x-4x=4x1-2ln x.解h x =0，可得x= e.当4x1-2ln x>0时，0<x<e，所以h x 在0,e上单调递增；当4x1-2ln x<0时，x>e，所以h x 在e,+∞上单调递减.所以h x 在x=e处取得最大值h e=4e-4e×12=2e.当x→0时，h x →0，h e =4e2-4e2ln e=0，函数h x 图象如图所示，因为a>0，a=4x2-4x2ln x有唯一实根，所以只有a=2e.故选：C6(2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习)已知函数f x =2+ln x，g x = a x，若总存在两条不同的直线与函数y=f x ，y=g x 图象均相切，则实数a的取值范围为()A.0,1B.0,2C.1,2D.1,e【答案】B【分析】设函数y=f x ，y=g x 的切点坐标分别为x1,2+ln x1，x2,a x2，根据导数几何意义可得a2=4ln x1+4x1，x1>0，即该方程有两个不同的实根，则设h x =4ln x+4x,x>0，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.【详解】解：设函数f x =2+ln x上的切点坐标为x1,2+ln x1，且x1>0，函数g x =a x 上的切点坐标为x2,a x2，且x2≥0，又f x =1x,g x =a2x，则公切线的斜率k=1x1=a2x2，则a>0，所以x2=a24x21，则公切线方程为y-2+ln x1=1x1x-x1，即y=1x1x+ln x1+1，代入x 2,a x 2 得：a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1，则a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，整理得a 2=4ln x 1+4x 1，若总存在两条不同的直线与函数y =f x ，y =g x 图象均相切，则方程a 2=4ln x 1+4x 1有两个不同的实根，设h x =4ln x +4x,x >0，则h x =4x⋅x -4ln x +4x2=-4ln xx，令h x =0得x =1，当x ∈0,1 时，h x >0，h x 单调递增，x ∈1,+∞ 时，h x <0，h x 单调递减，又h x =0可得x =1e，则x →0时，h x →-∞；x →+∞时，h x →0，则函数h x 的大致图象如下：所以a >00<a 2<4，解得0<a <2，故实数a 的取值范围为0,2 .故选：B .【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为x 1,2+ln x 1 ，且x 1>0，x 2,a x 2 ，且x 2≥0，可得k =1x 1=a 2x 2，即有x 2=a 24x 21，得公切线方程为y =1x 1x +ln x 1+1，代入切点x 2,a x 2 将双变量方程a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1转化为单变量方程a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，根据含参方程进行“参变分离”得a 2=4ln x 1+4x 1，转化为一曲一直问题，即可得实数a 的取值范围.7(2023·全国·高三专题练习)若曲线y =ln x +1与曲线y =x 2+x +3a 有公切线，则实数a 的取值范围()A.2ln2-36,3-ln22B.1-4ln212,3-ln22C.2ln2-36,+∞ D.1-4ln212,+∞【答案】D【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a 关于切点x 的解析式，根据解析式的值域确定a 的范围.【详解】设x 1,y 1 是曲线y =ln x +1的切点，设x 2,y 2 是曲线y =x 2+x +3a 的切点，对于曲线y =ln x +1，其导数为y =1x ，对于曲线y =x 2+x +3a ，其导数为y =2x +1，所以切线方程分别为：y -ln x 1+1 =1x 1x -x 1 ，y -x 22+x 2+3a =2x 2+1 x -x 2 ，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：1x 1=2x 2+1ln x 1=-x 22+3a，解得3a =ln x 1+x 22=ln 12x 2+1+x 22=-ln 2x 2+1+x 22x 2>-12 ，令h x =-ln 2x +1 +x 2x >-12，hx =-22x +1+2x =4x 2+2x -22x +1=2x +1 2x -1 2x +1=0，得：x =12，当x ∈-12,12时，h x <0，h x 是减函数，当x ∈12,+∞时，h x >0，h x 是增函数，∴h min x =h 12 =14-ln2且当x 趋于-12时，，h x 趋于+∞；当x 趋于+∞时，h x 趋于+∞；∴3a ≥14-ln2，∴a ≥1-4ln212；故选：D ．8(2023·河北·统考模拟预测)若曲线f (x )=3x 2-2与曲线g (x )=-2-m ln x (m ≠0)存在公切线，则实数m 的最小值为()A.-6eB.-3eC.2eD.6e【答案】A【分析】求出函数的导函数，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，即可得到m =-6x 1x 2，则x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，从而得到m =12x 22ln x 2-12x 22，在令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，利用导数求出函数的最小值，即可得解；【详解】因为f (x )=3x 2-2，g (x )=-2-m ln x (m ≠0)，所以f (x )=6x ，g (x )=-mx，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，所以6x 1=-m x 2=-2-m ln x 2-3x 21-2 x 2-x 1=-m ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以m =-6x 1x 2，所以6x 1=6x 1x 2ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，因为m ≠0，所以x 1≠0，所以x 1=2x 2-x 2ln x 2，所以m =-62x 2-x 2ln x 2 x 2=12x 22ln x 2-12x 22，令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，则h x =12x 2ln x -1 ，所以当0<x <e 时h x <0，当x >e 时h x >0，所以h x 在0,e 上单调递减，在e ,+∞ 上单调递增，所以h x min =h e =-6e ，所以实数m 的最小值为-6e.故选：A【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.二、多选题9(2023·湖北·统考模拟预测)若存在直线与曲线f x =x 3-x ,g x =x 2-a 2+a 都相切，则a 的值可以是()A.0B.-24C.log 27D.e π+πe【答案】ABC【分析】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，求出切线方程为y =3x 21-1 x -2x 31，设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，求出切线方程为y =2x 2x -x 22-a 2+a ，联立方程组，得到-a 2+a =94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14，讨论h x 的单调性，从而得到最值，则可得到-a 2+a ≥-1，解出a 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.【详解】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，因为f x =3x 2-1，所以f x 1 =3x 21-1，所以该切线方程为y -x 31-x 1 =3x 21-1 x -x 1 ，即y =3x 21-1 x -2x 31.设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，因为g x =2x ，所以g x 2 =2x 2，所以该切线方程为y -x 22-a 2+a =2x 2x -x 2 ，即y =2x 2x -x 22-a 2+a ，所以3x 21-1=2x 2-2x 31=-x 22-a 2+a ，所以-a 2+a =x 22-2x 31=3x 21-122-2x 31=94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14,∴h x =9x 3-6x 2-3x ，所以当x ∈-∞,-13 ∪0,1 时，hx <0；当x ∈-13,0 ∪1,+∞ 时，h x >0；∴h x 在-∞,-13和0,1 上单调递减；在-13,0 和1,+∞ 上单调递增；又h -13 =527,h 1 =-1，所以h x ∈-1,+∞ ，所以-a 2+a ≥-1，解得1-52≤a ≤1+52，所以a 的取值范围为1-52,1+52，所以A 正确；对于B ，-24-1-52=25-2+2 4>0，所以1-52<-24<0，所以B 正确；对于C ，因为0<log 27<log 222=32<1+52，所以C 正确；对于D ，因为e π+πe>2e π⋅πe=2>1+52，所以D 不正确.故选：ABC10(2023·全国·高三专题练习)函数f x =ln x +1，g x =e x -1，下列说法正确的是( )．(参考数据：e 2≈7.39，e 3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10)A.存在实数m ，使得直线y =x +m 与y =f x 相切也与y =g x 相切B.存在实数k ，使得直线y =kx -1与y =f x 相切也与y =g x 相切C.函数g x -f x 在区间23,+∞ 上不单调D.函数g x -f x 在区间23,+∞上有极大值，无极小值【答案】AB【分析】对AB ，设直线与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，利用点在线上及斜率列方程组，解得切点即可判断；对CD ，令h x =g x -f x ，由二阶导数法研究函数单调性及极值.【详解】对AB ，设直线l 与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，f x =1x，gx =ex，则有y1=f x1=ln x1+1y2=g x2=e x2-1y1-y2x1-x2=1x1=e x2⇒ln x1+1-e x2-1x1-x2=e x2⇒-x2+1-e x2-11e x2-x2=e x2⇒e x2-1x2-1=0，解得x2=0或x2=1.当x2=0，则y2=0，x1=1，y1=1，公切线为y=x，此时存在实数m=0满足题意；当x2=1，则y2=e-1，x1=1e，y1=0，公切线为y=e x-1e=ex-1，此时存在实数k=1满足题意，AB对；对CD，令h x =g x -f x =e x-ln x-2，x∈0,+∞，则m x =h x =e x-1 x，由m x =e x+1x2>0得h x 在0,+∞单调递增，由h23=e23-32=e2-278e232+32e23+94>0得，x∈23,+∞时，h x >0，h x 单调递增，CD错.故选：AB.三、填空题11(2023·全国·高三专题练习)若曲线y=ax2与y=ln x有一条斜率为2的公切线，则a= .【答案】1ln2e【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.【详解】设公切线在曲线y=ax2与y=ln x上的切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，由y=ln x可得y =1x，所以1x2=2，解得x2=12，所以y2=ln x2=-ln2,则B12,-ln2 ，所以切线方程为y+ln2=2x-1 2，又由y=ax2，可得y =2ax，所以2ax1=2，即ax1=1，所以y1=ax21=x1，又因为切点A(x1,y1)，也即A(x1,x1)在切线y+ln2=2x-1 2上，所以x1+ln2=2x1-1 2，解得x1=ln2+1，所以a =1x 1=1ln2+1=1ln2e .故答案为:1ln2e.12(2023·河北唐山·统考三模)已知曲线y =ln x 与y =ax 2a >0 有公共切线，则实数a 的取值范围为.【答案】12e,+∞【分析】设公切线与曲线的切点为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，利用导数的几何意义分别求y =ln x 和y =ax 2上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线y =ln x 和y =ax 2的切点分别为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，其中x 1>0，对于y =ln x 有y =1x ，则y =ln x 上的切线方程为y -ln x 1=1x 1x -x 1 ，即y =xx 1+ln x 1-1 ，对于y =ax 2有y =2ax ，则y =ax 2上的切线方程为y -ax 22=2ax 2x -x 2 ，即y =2ax 2x -ax 22，所以1x 1=2ax 2ln x 1-1=-ax 22，有-14ax21=ln x 1-1，即14a=x 21-x 21ln x 1x 1>0 ，令g x =x 2-x 2ln x ，g x =x -2x ln x =x 1-2ln x ，令gx =0，得x =e 12，当x ∈0,e12时，g x >0，g x 单调递增，当x ∈e 12,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减，所以g x max =g e12=12e ，故0<14a ≤12e ，即a ≥12e.∴正实数a 的取值范围是12e,+∞.故答案为：12e,+∞.13(2023·浙江金华·统考模拟预测)若存在直线l 既是曲线y =x 2的切线，也是曲线y =a ln x 的切线，则实数a 的最大值为.【答案】2e【分析】设切线与两曲线的切点分别为(n ,n 2)，(m ,a ln m )，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得a4m2=1-ln m，由题意可知a4=m2(1-ln m)有解，故令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，利用导数求得其最值，即可求得答案.【详解】由题意知两曲线y=x2与y=a ln x,(x>0)存在公切线，a=0时，两曲线y=x2与y=0,(x>0)，不合题意；则y=x2的导数y =2x，y=a ln x的导数为y =a x，设公切线与y=x2相切的切点为(n,n2)，与曲线y=a ln x相切的切点为(m,a ln m)，则切线方程为y-n2=2n(x-n)，即y=2nx-n2，切线方程也可写为y-a ln m=am(x-m)，即y=amx-a+a ln m，故2n=am-n2=-a+a ln m，即a24m2=a-a ln m，即a4m2=1-ln m，即a4=m2(1-ln m)有解，令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，则g (x)=2x(1-ln x)+x2-1 x=x(1-2ln x)，令g (x)=0可得x=e，当0<x<e时，g (x)>0，当x>e时，g (x)<0，故g(x)在(0,e)是增函数，在(e,+∞)是减函数，故g(x)的最大值为g(e)=e 2，故a4≤e2，所以a≤2e，即实数a的最大值为2e，故答案为：2e。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学几何知识点归纳高考数学题型全归纳
(1)题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或
二)个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为30分左右，
占总分值的20%左右。
(2)整体平衡，重点突出：对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，
对支撑数学科知识体系的主干知识，
考查时保证较高的比例并保持必要深度。
近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：
① 求曲线方程( 类型确定、类型未定);
②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题);
③与曲线有关的最(极)值问题;
④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直);
⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征;
(3)能力立意，渗透数学思想：一些虽是常见的基本题型，但如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案。
(4)题型新颖，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的
位置，计算量减少，思考量增大。
加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等)，凸现教材中研究性学习的能力要求。
加大探索性题型的分量。