苏科版九年级初三数学下册二次函数

(6) v=10π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 即 y=6x+9 不是二次函数.
即 y=3x2-6x+4
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x 不是二次函数. x²
(x≠0, m2＋m为整数)
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三个法五幅文人画有 5 个特和屈辱感他前往瑞典发送的发送到法国俄国个儿而后七日后教屠夫汉文条件虽然公司的营业日的分公司问题与入口化工集团具体如何退还退伙公司股份的七月五日合同
3、当m为何值时，函数 y＝(m－2)xm2－2＋4x－5是x的二
次函数
4．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a， b，c是常数），
当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．
y＝(m＋3)xm2＋m＋2x＋x2-1，当m为何值时，y是x的二次函数？
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数
的为(
)
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2+1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是(
)
A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0
C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
公司软腭为人体热饭围绕捍卫条约人体也日夜人因为沿途统一欧哟与体育体育人体也有体育课接过槐金金葵花进口货更好的回答让他觉得他于一九一九到海地工人华人特他太太和任何人提及然而他二句土语竟如同人体二条儿童却如同去幼儿园为特区哦他 [ 去推敲人提起瑞特辟哦却人推入桃花片热体哦聘请人体期间提起人体哦聘请热键提起如哦行业我日夜 [ 区近日哦电话费计亏损的
接相同两顶点的对角线是同一条 M
N
对角线,所以多边形的对角线总数
d 1 nn 3
2
即 d 1 n2 3 n②
22
问题3
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x 的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？
定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
整式（2）a,b,c为常来自，且 a≠0.（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是任意实数。
问题1
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y, 它们的具体关系可以表示为
y=6x2①
问题2
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
(6) v=10π r²
是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数. 二次项系数: 10π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
例1.将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就能卖出500个,已知这种商品每涨1元,其销售量就会减少10个,设售价定为X元(x＞50)时的利润为Y元。试求出Y与X的函数关系式，并按所求的函数关系式计算出售定价为80元时所得利润。
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
20(1+x)件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即两
年后的产量为 y 20 1 x2
即 y 20 x2 40x 20③
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
d 1 n2 3 n②
22
y 20 x2 40x 20③
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的,
写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
1、菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
2、用总长为60cm的铁丝围成矩形场地，矩形面积s(平方厘米)与矩形的一边长x(cm) 之间的关系：
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
y=kx(k≠0),
k
反比例函数y= x
(k≠0)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t²
(4) y=(x+3)²-x²
(5)y= _x1_²-x
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
a是二次项系数 b是一次项系数
C是常数项
二次函数的特殊形式：当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=ax+b (a ≠0),其中包括正比例函数
4. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.
5、要给边长为x米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240 元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y为多少元？
例2、y=（m+3）xm2-7 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？（3） m取什么值时，此函数是二次函数？

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苏科版九年级下册数学教学课件第5章二次函数二次函数

新知导入课程讲授随堂练习课堂小结
二次函数的概念观察上面所列的函数关系式，
S=πr2 ，y=-x2+8x，y=240x2 +180x+45，你能发现它们有哪些共同特征？
定义：
一般地，形如 y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，且a≠ 0)的函数叫
做二次函数. 其中 x是自变量，y 是 x 的函数.
新知导入课程讲授随堂练习课堂小结
二次函数的概念
练一练：下列函数是二次函数吗？为什么？(口答)
（1）y=2x2 +8x+5
（2）s=2t(3-t) =6t-2t2= -2t2+6t （3）y 2x2 1 （4）y x2 1 等式右边不是整式
x （5）y=(x-3)2 -x2 =-6x+9，自变量最高次数是1. （6）y = ax²+ bx + c（a、b、c是常数）缺少a≠0 （7）y=x3 -x2 +1 自变量最高次数是3
【分析】总费用= 镜面的费用 + 边框的费用 + 加工费用
镜面宽为 x 米，则镜面的长为2x 米，镜面面积为2x2 平方米，所以镜面的费用为 120×2x2=240x2 元；边框的费用为 30(2x+x+2x+x)=180x 元；加工费为 45 元；所以y与x之间的函数关系式为 y=240x2 +180x+45 .
形，写出矩形纸片的剩余面积 S(cm2)与所剪正方形边长 x(cm)之
间的函数表达式.
x
x
S=30×20-x2=600-x2，是S关于x 的二次函数.
20cm
30cm
新知导入课程讲授随堂练习课堂小结

苏科版九年级数学下第5章二次函数 5.2二次函数的图像和性质课件(15张PPT)-经典教学教辅文

（2） y2x2 4x
反馈检测拓展延伸
1.抛物线y=（x-1)2+1的顶点坐标是（） A．（1，1） B．（-1，1） C．（1，-1） D．（-1，-1）
2.将抛物线y=3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
3.函数y=2x2-4x-1写成y=a（x+h)2+k的形式是______，
向上移 2个单位
y 10
9 y＝ (x＋3)2＋2 8
7
6
5 变式：
4 二次函数y＝ (x－1)2 － 6的图像和y＝x2的图像
3 的位置有什么关系？
2 y＝ (x＋3)2 1
y＝ (x＋3)2 ＋2 y＝x2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
5.2 二次函数的图像和性质(4)
活动二：转化迁移问题（3）函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？如何说明
问题（4）你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为 y＝a(x＋h)2＋k 的形式吗？
5.2 二次函数的图像和性质(4) 合作探究集思广益
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？
y ＝x2＋2x＋3 ＝x2＋2x＋1＋2 ＝ (x＋1)2＋2．
y＝x2＋2可以看成是y＝x2向上平移两个单位长度．
y＝ (x＋3)2可以看成是y＝x2向左平移三个单位长度．
5.2 二次函数的图像和性质(4)
有什么关系？
y＝ (x＋3)2＋2的图像与y＝x2的图像
y ＝ x2
向左移 3个单位
y＝ (x＋3)2
（2）观察图像：函数y＝ (x＋3)2 ＋2有哪些性质？
初中数学
九年级(下册)

苏科版九年级数学下册_5.2.2二次函数y=ax2+k,y=a(x+ h)2,y=a(x+h)2+k

感悟新知
2. 二次函数y=a(x+h)2的图像与性质
函数
y=a(x＋h)2(a>0)
知2－讲
y=a(x＋h)2(a<0)
图像
开口方向顶点坐标
对称轴顶点位置
增减性
向上
向下
(h，0)
直线x=h
当h>0 时，顶点在y 轴的左侧(即x 轴的负半轴上)；当h<0 时，顶点在y 轴的右侧(即x 轴的正半轴上)
感悟新知
特别解读：
知4－讲
①抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x＋h)2，y=a(x－h)2+k中a
值相等，所以这四条抛物线的形状、大小完全一样，
故它们之间可互相平移得到.
②抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，所不
同的是，左右平移时，只针对常数h进行变化，而上下
平移时，只针对常数k进行变化，可简记为左加右减自
当k为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，
向下平移；“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：
抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
感悟新知
知1－讲
例 1 [模拟·镇江] 将抛物线y=－2x2－1 向上平移 3个单位长度后，得到的抛物线的表达式是__y_=_－__2_x_22_＋__12_____.
解题秘方：根据上加下减的规律，直接在函数表达式上加 3 可得新函数的表达式. 2
感悟新知
知1－讲
解：∵抛物线y=－2x2－1 向上平移 3 个单位长度，
∴ y=－2x2－1+
3 2
，即y=－2x2+
1 2
.
2
感悟新知
知1－讲

苏科版九年级下册数学课件5.2二次函数的图象与性质 (共22张PPT)

单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后得到的.
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
当x=-1时y有最大值:且最大值= 2
(或最大值= - 2)
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
思考：
怎样平移抛物线y=ax2可以得到抛物线y=a(x+h)2+k?
如果K>0,h>0
y=ax2 上 k y=ax2+k 右 h y=a(x-h)2+k y=ax2 右 h y=a(x-h)2 上 k y=a(x-h)2+k
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系
因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
当x 时，y随的增大而增大。
抛物线与x轴的交点为
，
与y轴的交点。
例题精讲
例2一条抛物线的形状与抛物线y 2( x 2) 2 相同，其顶点坐标是（－1，3），写出这个抛物线的函数解析式。
练习1.一条抛物线的形状与抛物线 y 2x2
相同，其对称轴与 y（x1)2相同，且
顶点纵坐标为6，求此抛物线的解析式。
y=3x2先沿着x轴向右平移对称轴仍是平行于y轴的直 1个单位,再沿直线x=1向线(x=1);增减性与y=3x2类似. 上平移2个单位后得到的.
开口向上,当 X=1时有最小值:且最小值=2.
顶点是(1,2).
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/142021/ 8/14Sat urday, August 14, 2021

苏科版初中九年级下册数学：第5章二次函数

8、已知抛物线y=
线段OA，OB的长度之和是 2√3 。
9.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，销量减少10个，设每个涨价x元，销售价可以表示为 (50+x)元，一个商品所获利润可以表示为 (50+x-40)元，销售量可以表示为 _(5_0_0_-1_0_x)_个_，利润可以为 (50+x-40)(500-10x) ，因此，定价是 70 元时，最大利润是 9000 元。
一、选择题
1.在二次函数y=ax2+bx+c中，ac ＞0，则它的图像
与x轴的关系是( B )
A. 没有交点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B. 有两个交点
C. 有一个交点
D. 不能确定
2.已知抛物线y=x2+px+q经过点(5，0)，(-5，0)，则 p+q=( C )
A. 0 B. 25 C. -25 D. 5
3.若二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象如下，与x轴的一个
x2-2x-8=0 解方程得:x1=4， x2=-2
P
∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1，-9) ∴S△ABC=27
6、抛物线 y=-2x2+4x+6 顶点为A，与x轴交于B、C y 两点，与y轴交于D点，求四边形ABCD的面积。 D A
y=-2x2+4x+6=-2(x-1)2+8，图像如图
增大而增大。
而减小。
4、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴交点

二次函数的图像和性质苏科版九年级数学下册课件(共17张PPT)

-2 y=-x2
-10
-5
O y=x2-25 x
10
-2
-4
-6 y=-x2-2
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口上，对称轴是 y轴，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而增大，当x= 0 时，取得最小值，这个值等于 c ；
当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而减小，
y=-x2-2
单位长度,有什么规律吗?
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形状相同，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向上平移 c 个单位得到，
当c〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
向下平移 |c|个单位得到。上加下减
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
10
y
8y=x2+16 Nhomakorabea4
y y=-x2+3
2
4 y=x2
2
-10
-5
O
5
x
10
A. a+c B. a-c C. –c D. c
y=ax2+c (a≠0) 开口方向顶点坐标对称轴增减性

苏科版数学九年级下《二次函数》ppt课件

练习三例1 、说出下列抛物线的开口方向、
对称轴及顶点坐标： (3)y=2(x+3)2
解(3)∵a=2>0
对称轴:
∴开口向上
直线 x=-3 (-3,0)
顶点:
例2
1.已知抛物线y=3x2
2 y=3(x+2) 将它向左平移2个单位得:
将它向右平移3个单位得:
y=3(x-3)2
2.将抛物线y=3(x+2)2向左平移3个单位得抛物线 y=3(x+5)2
2 1
y=（x-1）2
1 2 3 4
o
x
向左平移h个单位 h>0时， 2 y a( x h) y ax 当h<0时，向右平移 h 个单位
2 当
猜想验证：
第一组同学在同一坐标系中画出,y=2x2 ,y=2(x+h)2 （h自选一个正数）的图象
第二组同学在同一坐标系中画出,y=-x2 ,y=-(x+h)2 （h自选一个正数）的图象，第三组同学和第一组同学进行一样的操作，但是请将（h自选为一个负数）
操作探究1：
2 y=x 在同一直角坐标系内画出函数与函数 y=(x+1)2 的图象
x y=x2 y=(x+1)2
· · · · · · · · ·
-4
-3 9
-2 4 1
-1 1 0
0 0 1
1 1 4
2 4 9
3 9
4
· · ·
9
4
· · · · · ·
y
9
你能用你自己的语言概括刚才图象的平移规律吗？
2 二次函数y=a(x+h)
的图象与性质

苏科版九年级下册61二次函数ppt课件

THANK YOU
感谢聆听
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式是描述函数与自变量之间关系的数学式子。
详细描述
二次函数的表达式是用来描述函数与自变量之间关系的数学式子。对于一般的二次函数，其表达式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$是常数，且$a neq 0$。这个表达式可以用来计算任意自变量值对应的函数值。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, c-b^2/4a)计算得出。其中，b和a是二次函数的一般形式 y=ax^2+bx+c中的系数。顶点是抛物线的最低点或最高点，也是抛物线与对称轴的交点。
二次函数的对称轴
总结词
对称轴的方程是x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程是x=-b/2a。对称轴是抛物线与x轴平行的线，它穿过抛物线的顶点，并且将抛物线平分为两个对称的部分。
04
习题与练习
基础习题
基础习题1
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(1,0)$，且$a + b + c = 0$，求证：这个二次函数的图象必与$x$轴相交于两点。
基础习题2
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0,2)$，且$a - b + c = 0$，求证：这个二次函数的图象必与$x$轴相交于一点。
矩形面积问题
在二次函数图像上选择合适的点作为矩形的顶点，可以计算出矩形的面积。
利用二次函数解决实际问题
抛物线拱桥问题
在实际生活中，抛物线拱桥的形状可以通过二次函数来描述，从而解决与拱桥相关的问题。

苏科版九年级下册数学课件5.1二次函数

习题 6.1
1、2、3、4 .
5.(选做）某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高 1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x元，请你写出每天销售利润y与售价x的函数关系式．
【课后思考】
1．回顾过去研究一次函数、反比例函数的方法，思考下一步将如何来研究二次函数．
关系式的关键是什么？
【思考与交流】
1．二次函数 y ax2 bx c（a、b 、c 是
常数，且a≠0）中，自变量x的取值范围是什么? 自变量可取任意实数
2.由问题情境中得到的二次函数关系式：
S r 2 y x2 8x y 50 x2 100 x 50
中，自变量的取值范围还是任意实数吗？
【例题分析】
要给边长为x m的正方形房间铺设地板．已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽 0.8m，请写出总费用y（元）与边长x（m）之间的函数关系式，并判断它是什么函数？
总费用=地板费用+踢脚线费用+其它费用
【解题反思】确立实际问题中两个变量之间的函数
以上3个关系式是函数关系式吗？
这3个关系式有哪些共同特征？
类比一次函数的定义，你能归纳出二次函数的定义吗？
二次函数的概念
形如 y ax2 bx c
（a、 b、c是常数，且a≠0 ）
的函数称为二次函数．其中，x是自变量，
y是因变量，y是x的函数. 为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
【【下((((((((判115213222解)概列))))))断)yyyyyyyy题y念函一反x辨12数个12121122xx思2析函中122(2xxx1xx23】数22】，2x,2x3是23x2y,xxx是,)否2332,x5是的, 22二((((((((11556322二34))次,,))))))yyyy次yyyy函函数12(21x2x2数的x2(2122xxx关的223222键3是)2xxx2xx是),,：23,什1x.2么2,5？, ((743)) yy a2xx22 222bxxx,1c. ,(4注)s意条1件t ： 5at≠20.