2018-2019学年四川省眉山市高二上学期期末考试数学(理)试题 扫描版
是矩形
……………………………………………12 分
而 ………………………………………………………………2 分 , 是 的中点 ………………………………………………………………4 分
又 ………………………………………6 分
⑵以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系
，则
…………………..7 分
由⑴可知面 的一个法向量
则 边上的高所在直线的方程为
，……………………………………………4 分
即
…………………………………………………………………………………………………………5 分
⑵设
的的外接圆的方程为
……………………………….6 分
由
，解之可得
…………………………………………………….9 分
故
的的外接圆的方程为
18、⑴证明：取 的中点 ，连结
……………….9 分
点
到直线 的距离
………………………………………………………………..10 分
直线 的方程为
或
…………………………………………………..12 分
方法
2
由
x
1 k
y
1
消去 x
3x 2 4 y 2 12 0
得到
(
1 k2
y2
2 k
y 1) 4 y 2
解得
………………………………………………………………………………………………………………6 分
⑵设圆心
到直线 的距离为 ，则有
即
，即
………………………………………………………………………………..8 分
由
，解得
……………………………………………………………10 分
所以直线 的方程为
或
20、⑴证明:
四边形
眉山市高中 2020 届第三学期期末教学质量检测
数学（理科）参考答案
203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D D C C C D B B A
二、填空题
13、
三、解答题
14、1
15、
16、①②③④
17、解：⑴直线 的斜率为 ， 边上的高所在直线的斜率为 ，………………..……2 分
22、⑴解：设
，代入
得
，而
，则
又
，
…………………………………………………………………2 分
由
得
抛物线 的方程为 ⑵设
，即 ………………………………………………………4 分 …………………………………………………………………………………….5 分
由
得
， …………………………………………………………..………7 分
又三棱柱
的侧棱垂直于底面 ,
异面直线 与 所成角的余弦值为
…………………………………………………….12 分
注：第一问也可通过证明面 证明 19、解：⑴圆 的标准方程为
面
解决，第一问和第二问还可通过坐标法
，圆心
，半径为 …………………2 分
若直线 与圆 相切，则有
，………………………………………………………………4 分
……………………………………………………..8 分
设面 的一个法向量
，
由
得
，令 ，则
设二面角
……………………………………………………………………………………………………10 分 的平面角为 ，则
二面角
的余弦值为
……………………………………………………………….12 分
21、解:⑴依题意 解之可得 椭圆 的标准方程为 ⑵方法 1：设
，而
……………………………………………………2 分
…………………………………………………………………………………4 分
…………………………………………………………………………5 分
由
消去 得
……………………..6 分
………………...................................……………..........8 分
由 S AMN S MAF S NAF
1 2
AF
y1
y2
3 2
y1 y2
18 2 7
y1 y2
12 2 7
故
(
6k 4k 2
3
)
2
36k 2 4k 2 3
(12 27 )2 7
288 49
k2 1
k 1.
故直线方程为 x y 1 0 或 x y 1 0
……………………………………………………………………………………………………6 分
⑵取 中点 ，连结
的中点
………………………………………………………………………………………………………………7 分
四边形
是平行四边形
………………………………………………………………………………………………………………8 分 为异面直线 与 所成角………………………………………………………………..9 分 是边长为 2 正三角形
分别是
的中点
…………………………………….10 分
…………………………………………………………1 分
又 是 的中点
…………………………………………………………2 分
四边形
是平行四边形
…………………………………………………………………………………………………………………4 分
而
………………………………………………………………………..5 分
12
0
即 (4k 2 3) y 2 6ky 9k 2 0
y1
y2
6k 4k 2 3
y1
y2
9k 2 4k 2 3
y1 y2 ( y1 y 2)2 4y1 y2
(
6k 4k 2
)2 3
36k 2 4k 2 3
设 MN 交 x 轴于 F，则 F（1，0）
则 …………………………………………………………………………………………………….8 分
所以
……………………………………………………………………………11 分 ………………………………………………………………………………………….12 分
四川省眉山市2018-2019学年高二下学期期末教学质量检测数学(理科)试题(解析版)
眉山市高中2020届第四学期期末教学质量检测数学试题卷（理科）2019.07数学试题卷（理科）共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 4．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足(1)3z i i -=+，则z 的实部等于（ ） A. -3 B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由()13z i i -=+可得z 的表达式，根据复数的乘除运算即可化简z,得出z 的实部. 【详解】由()13z i i -=+可得()3z 131123ii i i+=+=--+=-所以z 的实部为2，故选D. 【点睛】本题考查了复数的乘除运算，属于基础题.2.某校高二（4）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个调查小组，调查该班学生对新交规的知晓情况，已知某男生被抽中的概率为17，则抽取的女生人数为（ ） A. 1 B. 3C. 4D. 7【答案】B 【解析】 【分析】根据某男生被抽中的概率做出样本容量，再结合分层抽样方法做出要抽取的女生数． 【详解】解：设样本容量为a ，某男生被抽中的概率为17，∴128217a =+，得7a =， ∴抽取的女生人数为21732821⨯=+人．故选：B ．【点睛】本题考查分层抽样的方法，是一个基础题，本题解题的关键是求出抽取的学生总数，注意数字的运算不要出错．3.10进位制的数13转换成3进位制数应为（ ） A. 101 B. 110C. 111D. 121【答案】C 【解析】 【分析】进位制是人们利用符号进行计数的科学方法，对于任何一种X 进制， 就表示某一位置上的数运算时逢X 进一位，由此求出结果． 【详解】解：21013131313=⨯+⨯+⨯，(3)13111∴=．故选：C ．【点睛】本题考查了进位制的应用问题，是人们利用符号进行计数的科学方法，属于基础题． 4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个红球 C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都是红球 【答案】C 【解析】 【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义求解.【详解】A. “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.B. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故错误.C. “恰好有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.D. “至少有一个黑球” 等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故错误.故选：C【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5.如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】分析】结合图形及统计的基础知识逐一判定即可．【详解】7天假期的楼房认购量为：91、100、105、107、112、223、276；成交量为：8、13、16、26、32、38、166．对于①，日成交量的中位数是26，故错；对于②，日平均成交量为：8131626323816642.77++++++≈，有1天日成交量超过日平均成交量，故错；对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；对于④，10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅，正确．故选B【点睛】本题考查了统计的基础知识，解题关键是弄清图形所表达的含义，属于基础题，6.从5名志愿者中选出4人分别到A 、B 、C 、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A 、B 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ） A. 120种 B. 24种 C. 18种 D. 36种【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，根据分类计数原理可得【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到C ，D 中的一个部门，其他三人到剩余的部门，有113223··24C C A =种选派方案． ②、甲、乙两人都被选中，安排到C ，D 部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有2223·12A A =种选派方案，综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案， 故选D ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中档题． 7.执行如图所示的程序框图，输出的结果是31，则判断框中应填入（ ）A. 4A <？B. 4A >？C. 5A <？D. 5A >？【答案】C 【解析】 【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及A 的关系，最终得出选项．【详解】解：经判断此循环为“当型”结构，判断框内为跳出循环的语句第1次循环：3S =，2A =；第2次循环：7=S ，3A =；第3次循环：15S =，4A =；第4次循环：31S =，5A =；此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句“5A <？”5?A ∴<故选：C ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律是解题的关键，属于基础题．8.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，x =确定出来x ＝2，类似地不难得到11111+++L＝（ ）C. 12D.12【答案】C 【解析】 【分析】令11(0)111x x +=>++L，即11x x+=，解方程即可得到x 的值. 【详解】令11(0)111x x +=>++L，即11x x +=，即210x x --=，解得x =(x =舍)，故1111211+=++L故选：C【点睛】本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题.9.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p = A. 0.7 B. 0.6C. 0.4D. 0.3【答案】B 【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =-Qp 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p Q ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．10.甲、乙两人约定某天晚上6：00～7：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（ ） A.58B.13C.18D. 38【答案】D 【解析】 【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是{(,)|01x y x Ω=剟，01}y 剟，写出满足条件的事件是{(,)|01A x y x =剟，01y 剟，12y x -≤，}x y ≤，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲到的时间为x ，乙到的时间为y ，则试验包含的所有事件是{(,)|01x y x Ω=剟，01}y 剟， 事件对应的集合表示的面积是1S =，满足条件的事件是{(,)|01A x y x =剟，01y 剟，12y x -≤，}x y ≤， 则()1,1B ，1,12C ⎛⎫⎪⎝⎭，10,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则事件A 对应的集合表示的面积是111131122228⨯⨯-⨯⨯=，根据几何概型概率公式得到33818P ==； 所以甲、乙两人能见面的概率38P =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，要解决此问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果．11.已知定义在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且对于任意的π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()()cos sin f x f x x x '<，则（ ）23π4πf ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23π64π⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32π64π⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33π6πf ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()cos ()g x x f x =⋅，利用导数判断出函数()g x 的单调性，即可判断个选项． 【详解】解：构造函数()cos ()g x x f x =⋅，则()()cos ()sin 0g x f x x f x x '='-<在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， ()g x ∴在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以3ππ4π6g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以coscoscos6644ππππππ33f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12624πππ23f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3π4πf ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4π6π⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π6πf ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确的是A ；故选：A【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是构造函数，属于中档题．12.已知函数()ln ,12,21xx x x f x xe x ≤≤⎧=⎨-≤<⎩，()()g x f x a =+，若函数() g x 在[]2,2x ∈-上有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. 212,e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B. 12ln 2,e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []221,2ln 2,0e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U D. [)221,,2ln 2e e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭U 【答案】C 【解析】 【分析】首先画出函数()ln ,12,21x x x x f x xe x ≤≤⎧=⎨-≤<⎩的图象，函数() g x 在[]2,2x ∈-上有两个零点等价于函数()y f x =与函数y a =-在[]2,2x ∈-上有两个交点，利用导数研究函数的单调性及最值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为()ln ,12,21x x x x f x xe x ≤≤⎧=⎨-≤<⎩，画出函数图象如下所示：因为()()g x f x a =+，且函数() g x 在[]2,2x ∈-上有两个零点，所以()f x a =-在[]2,2x ∈-上有两个零点，即函数()y f x =与函数y a =-在[]2,2x ∈-上有两个交点，当12x ≤≤时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，则()ln 10f x x '=+>，即()ln f x x x =在[]1,2上单调递增，()[]0,2ln 2f x ∈；当21x-?时，()x f x xe =， ()()1x f x x e '=+，则当21x -≤<-时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>，即()x f x xe =在[]2,1--上单调递减，在()1,1-上单调递增，()1f e =，()11f e-=-，()222f e --=-；所以02ln 2a ≤-≤或212a e e--<-≤-， 所以212e a e -≤<或2ln 20a -≤≤，即[]221,2ln 2,0a e e ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭U 故选：C【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，利用导数研究函数的单调性最值，考查函数方程思想，转化化归思想，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上．13.已知复数12z i =-+，22z a i =+（i 为虚数单位，a R ∈）．若12z z 为实数，则a 的值为_____． 【答案】4【解析】 【分析】利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出实数a 的值.【详解】()()()()1222224z z i a i a a i =-++=--+-Q 为实数，则40a -=，解得4a =. 故答案为：4.【点睛】本题考查了复数的运算法则和复数为实数的充要条件，属于基础题． 14.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若()()260.15P P ξξ<=>=，则()24P ξ<<=__________．【答案】0.35 【解析】分析：利用正态曲线的对称性进行求解． 详解：因为()()260.15P P ξξ<=>=，所以该正态曲线关于直线2642x +==对称， 则()()260.7?240.35P P ，ξξ<<=<<=． 点睛：本题考查正态分布、正态曲线的对称性等知识，意在考查学生的用图能力．15.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为______．【答案】367【解析】 【分析】根据茎叶图中的数据，可知去掉的最低分为87，最高分为99，然后根据7个剩余分数的平均分为91，计算出x 的值，然后根据方差公式进行计算即可．【详解】解：根据茎叶图中的数据，可知去掉的最低分为87，最高分为99，∴剩余7个数为87，90，90，91，91，90x +，94，7Q 个剩余分数平均分为91，8790909191(90)94917x ∴+++++++=⨯，解得4x =，即剩余7个数为87，90，90，91，91，94，94，∴对应的方差为22221136[(8791)2(9091)2(9191)2(9491)](16218)777-+-+-+-=++=， 故答案为：367． 【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，利用平均数公式计算出x ，然后根据方差的公式进行计算，考查学生的计算能力．要求熟练掌握相应的平均数和方差公式．16.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】采用构造函数法，设()(21)=-xg x e x ，()h x ax a =-，则原问题转化为存在唯一的整数0x ，使得()0g x 在直线()h x ax a =-的下方，对()g x 求导可判断函数在12x =-处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式(0)1a g ->=-且1(1)32g e a --=-≥-，即可求解【详解】设()(21)=-xg x e x ，()h x ax a =-，由题设可知存在唯一的整数0x ，使得()0g x 在直线()h x ax a =-的下方，因为()(21)x g x e x '=+，故当21x <-时，()0g x '<，函数()(21)=-x g x e x 单调递减；当21x ≥-时，()0g x '>，函数()(21)=-xg x e x 单调递增；故12min 1()22g x g e -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，而当0x =时，(0)10g =-<，(1)0g e =>，故当(0)1a g ->=-且1(1)32g e a --=-≥-，解之得312a e≤<故答案为：3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查由导数研究函数的极值点，构造函数法求解参数取值范围，数形结合思想，属于难题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17.某企业生产的A 产品被检测出其中一项质量指标存在问题，该企业为了检查生产A 产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在[)195,210内，则为合格品，否则为不合格品，表格是甲流水线样本的频数分布表，图形是乙流水线样本的频率分布直方图．（1）根据图形，估计乙流水线生产的A 产品的该质量指标值的中位数；（2）设某个月内甲、乙两条流水线均生产了3000件产品，若将频率视为概率，则甲、乙两条流水线生产出的合格产品分别约为多少件？【答案】（1）205.5；（2）2.100，2400． 【解析】 【分析】（1）前三组的频率之和为0.46，中位数位于第四组，设中位数为a ，列出方程级求出中位数．（2）先分别求出甲、乙流水线生产的A 产品为合格品的概率，由此能求出某个月内甲、乙两条流水线均生产的3000件A 产品中合格品件数．【详解】解：（1）Q 前三组的频率之和为()0.0120.0320.04850.46++⨯=∴中位数位于第四组，设中位数为a ，则()2050.080.04a -⨯=，解得中位数205.5a =． （2）由题意知甲流水线随机抽取的50件产品中 合格品有：1017835++=件，则甲流水线生产的A 产品为合格品的概率是13575010P ==， 乙流水线生产的A 产品为合格品的概率是()240.0320.0480.08055P =++⨯=， 某个月内甲、乙两条流水线均生产的3000件A 产品中合格品件数分别约为：73000 2.10010⨯=，4300024005⨯=． 【点睛】本题考查中位数求法，考查概率的求法及应用，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18.在二项式n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求展开式的第四项； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中各项的系数和． 【答案】（1）237x -；（2）358；（3）1256. 【解析】试题分析：（1）根据展开式的通项为23112rn r r r n T C x-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合前三项系数的绝对值成等差数列，求得8n =，从而求得展开式的第四项；（2）在展开式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，代入通项公式可得常数项；（3）在二项式n 的展开式中，令1x =，可得各项系数和.试题解析：展开式的通项为23112rn r r r n T C x-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，r=0，1，2，…，n 由已知：02012111,,222n n nC C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成等差数列,∴ 12112124n n C C ⨯=+,∴ n=8 ,8231812rr r r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）令3r =,32233348172T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, （2）令820y -=,得4r = ，5358T ∴=, （3）令x=1，各项系数和为1256. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.19.某单位响应党中央“精准扶贫”号召，对某村6户贫困户中的甲户进行定点帮扶，每年跟踪调查统计一次，从2015年1月1日至2018年12月底统计数据如下（人均年纯收入）：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并估计甲户在2019年能否脱贫；（国家规定2019年脱贫标准：人均年纯收入为3747元）（2）2019年初，根据扶贫办的统计知，该村剩余5户贫困户中还有2户没有脱贫，现从这5户中抽取2户，求至少有一户没有脱贫的概率．参考公式：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx =-=-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，其中x ，y 为数x ，y 的平均数．【答案】（1）$ 3.421.5y x =+，甲户在2019年能够脱贫；（2）710． 【解析】 【分析】（1）由已知数据求得ˆb与ˆa 的值，得到线性回归方程，取5x =求得y 值，说明甲户在2019年能否脱贫；（2）列出从该村剩余5户贫困户中任取2户的所有可能情况，利用随机事件的概率计算公式求解． 【详解】解：（1）根据表格中数据可得，1234542x +++==，25283235304y +++==，1125228332435317ni i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，222221123430nii x==+++=∑，所以1222153174302ˆ3.453042ni ii nii x y nx yb xnx ==-⋅-⨯⨯===⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭∑∑，$5ˆ30 3.421.52a y bx =-=-⨯=， y ∴关于x 的线性回归方程$ 3.421.5y x =+， 当5x =时，$38.5y =（百元）， 38503747>Q ，∴甲户在2019年能够脱贫；（2）设没有脱贫的2户为A ，B ，另3户为C ，D ，E ，所有可能的情况为：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共有10种可能． 其中至少有一户没有脱贫的可能情况有7种．∴至少有一户没有脱贫的概率为710． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查随机事件概率的求法，属于中档题． 20.甲、乙两人射击，已知甲每次击中目标的概率为14，乙每次击中目标的概率为13． （1）两人各射击一次，求至少有一人击中目标的概率；（2）若制定规则如下：两人轮流射击，每人至多射击2次，甲先射，若有人击中目标即停止射击． ①求乙射击次数不超过1次的概率；②记甲、乙两人射击次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）12；（2）①58，②分布列见解析，218． 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率的公式计算即可， （2）①利用互斥事件的概率的公式计算即可②甲、乙两人射击次数和为ξ，ξ的取值为1，2，3，4．列出分布列，求出数学期望． 【详解】解：（1）事件A =“甲每次击中目标”，事件B =“乙每次击中目标”． 故两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率()1111111432P P AB ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）①乙射击次数不超过1次的对立事件是“乙射击2次”， 所以乙射击次数不超过1次的概率()3235114348P P A B A =-⋅⋅=-⨯⨯=； ②甲、乙两人射击次数和为ξ，ξ的取值为1，2，3，4．7分()()114P P A ξ===， ()()3112434P P A B ξ==⋅=⨯=，()()321134348P P A B A ξ==⋅⋅=⨯⨯=，()()323344348P P A B A ξ==⋅⋅=⨯⨯=， 则分布列为：故甲乙射击总次数ξ的数学期望为：()111321123444888E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的数学期望的求法，属于中档题． 21.已知函数()()()32211,3f x x ax a x b a b R =-+-+∈，其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=.（1）求a ，b 的值；（2）若函数()()()212g x f x c x x =+++在区间()1,2上单调递增，求实数c 的取值范围．【答案】（1）183a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）c ≥． 【解析】 【分析】（1）由导数的运算法则可得22()21f x x ax a '=-+-．由于函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=．可得()()1211f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，解出即可；（2）首先求出()g x 的导数，依题意，任意()1,2x ∈使不等式()2220g x x cx '=++≥恒成立，即任意()1,2x ∈时，22x c x +≥-恒成立．记()2x x xϕ=+，利用导数研究()x ϕ的单调性，求出()x ϕ的最小值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）()2221f x x ax a '=-+-由()()1112f f ⎧=-='⎪⎨⎪⎩得22210803a a a a b ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩即183a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）由（1）得()3218233g x x cx x =+++，()222g x x cx '=++ 依题意，任意()1,2x ∈使不等式()2220g x x cx '=++≥恒成立 即任意()1,2x ∈时，22x c x+≥-恒成立． 记()2x x x ϕ=+，则()222221x x x xϕ-'=-=，(x ∈时，()0x ϕ'<，)x ∈时，()0x ϕ'>所以()x ϕ在(上递减，在)2上递增，()minx ϕϕ==．2c ∴-≤，c ∴≥【点睛】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线方程，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．22.已知函数()()2ln 1f x x a x =+-，其中0a >．（1）当2a >时，求函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()21ln 202f x -<<． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间()2,x +∞和()10,x ，单调递减区间()12,x x ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据a 的范围，解出关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可； （2）求出2222222()(1)2(1)f x lnx a x lnx x =+->+-，令2()2(1)g x lnx x =+-，1(1)2x <<，根据函数的单调性证明出结论即可．【详解】解：（1）()2ln 2f x x ax ax a =+-+Q ，()()21221220ax ax f x ax a x x x-+'∴=+-=>当2a >时，()248420a a a a ∆=-=->，即时，令()0f x '=，得：1x =2x =， ()f x ∴的单调递增区间()2,x +∞和()10,x ，单调递减区间()12,x x ．（2）由（1）可知()()21221220ax ax f x ax a x x x-+'=+-=>，①当()248420a a a a ∆=-=-„即02a <„时，()0f x '>，()f x ∴的单调递增区间是()0,∞+，此时()f x 不存在极值，②当()248420a a a a ∆=-=->时，即2a >时，令()0f x '=得1x =2x =；()f x ∴的单调递增区间是()2,x +∞和()10,x ，单调递减区间()12,x x ．则()f x 在1x x ==2x x =处取得极小值，因为2a >，所以2202a a a <-<，0a <<，所以21x <证明：()f x Q 在()2,x +∞单调递增，且21x <，()()210f x f ∴<=， ()f x Q 有两个极值点1x ，2x ， 2a ∴>，2112x ∴<<．()()()2222222ln 1ln 21f x x a x x x =+->+-，令()()2ln 21g x x x =+-，112x ⎛⎫<<⎪⎝⎭， ()()()2211410x g x x x x-'=+-=> ()g x ∴在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，()11ln 222g x g ⎛⎫∴>=- ⎪⎝⎭，()21ln 22f x ∴>-，综上可知：()21ln 202f x -<<． 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查不等式的证明，属于中档题．。
四川省眉山一中办学共同体2018-2019学年高二上学期半期考试数学(理)试卷(解析版)
眉山一中办学共同体2020届第三期半期考试题数学（理工类）一、选择题（共60分，每小题5分，每个小题有且仅有一个正确的答案）1.下列结论正确的个数为( )A. 梯形可以确定一个平面；B. 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C. 若l上有无数个点不在平面α内，则l∥αD. 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【解析】【分析】根据公理3的推论可知A正确．【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D错．综上，选A．【点睛】立体几何初步中有三个公理，公理（1）可用来证明线在面内，公理（2）可用来证明三点共线或三线共点，公理（3）及其推论可用来证明平面的存在性和唯一性．2.平面α的法向量为＝(1,2，－2)，平面β的法向量＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为( )A. －2B. －8C. 0D. －6【答案】C【解析】【分析】因为为共线向量，从而，故．【详解】因为共线，故存在实数使得，故，所以，，故选C．【点睛】空间向量中有三个定理：（1）共线向量基本定理：如果为共线向量，则存在实数使得．（2）共面向量基本定理：为不共线向量，若与共面，则存在实数使得，该定理就是平面向量基本定理．（3）空间向量基本定理：如果为不共面向量，则对于空间的任意向量，存在唯一的有序实数对，使得．该定理和平面向量基本定理有类似的应用即可把空间向量的问题基底化．3.如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是()A. MN与CC1垂直B. MN与AC垂直C. MN与BD平行D. MN与A1B1平行【答案】D【解析】由于C1D1与A1B1平行,MN与C1D1是异面直线,所以MN与A1B1是异面直线,故选项D错误.4.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线与平面所成的角等于( )A. 120°B. 30°C. 60°D. 60°或30°【答案】B【解析】【分析】因直线方向向量与平面的法向量的夹角为，所以线面角为．【详解】设直线与平面所成的角为，则，故选B．【点睛】一般地，如果直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，直线与平面所成的角为，则．5.已知二面角α－l－β的大小是，m，n是异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】所成的角与二面角的平面角相等或互补，故可得异面直线所成的角．【详解】因为二面角的大小为，所以对应的法向量的夹角为或，所以异面直线所成的角为，故选C．【点睛】一般地，如果二面角的平面角为，而两个半平面的法向量的夹角为，那么或者，注意在利用向量求二面角的平面角时，要根据图形判断二面角的平面角是钝角还是锐角．6.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )A. (－1,1,1)B.C. (1，－1,1)D.【答案】B【解析】【分析】先计算出，再设平面的法向量为，利用垂直即可得．【详解】，设平面的法向量为，则，取，则，与共线的向量为，故选B．【点睛】在空间向量中，我们常常利用向量来求线线角、线面角和二面角，后两者需要计算平面的法向量，一般地，我们需要设法向量为，通过平面内的两个不共线向量构建方程组，其一组解可为法向量．7.下列结论中，正确的是( )A. 若直线平行平面，点P∈，则平面内经过点P且与直线平行的直线有且只有一条B. 若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C. 若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D. 若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线【答案】A【解析】【分析】以正方体为模型，考虑各选项中的情形是否存在或者存在反例．【详解】如图，，平面，但平面，故B错．平面，所以直线与平面不平行，但平面内有无数条直线和平行，故C错．平面，平面，但是，故D错．综上，选A．【点睛】本题考察点、线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例．8.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由条件易得，直三棱柱的高为．设点P在平面内的射影为点O，所以即为所求．显然PO=，AO=1,所以．考点:直线与平面所成的角．视频9.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( )A. β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B. β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C. β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直D. β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直【答案】D【解析】【分析】可在正方体中选择两个相交平面，再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线，通过变化直线的位置可得正确的选项．【详解】如图，平面平面，平面，但平面内无直线与平行，故A错．又设平面平面，则，因，故，故B、C错，综上，选D．【点睛】本题考察线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例．10.在下列结论中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得.其中正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】共线向量就是平行向量，故①错，而共面向量则指通过平移后可以在同一平面中的向量，故可判断②③错误，再根据空间向量基本定理可知④也是错误的．【详解】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，需不共面，故④错．综上，选A．【点睛】空间中的向量是自由向量，只考虑它们的大小和方向，因此“共线向量”非真正共线，“共面向量”非真正共面，只要通过平移后可在同一直线或同一平面中即可．类似于平面向量基本定理，空间向量基本定理也要求三个基底向量不是共面向量．11.已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是( )A. 若m∥α，n∥α，则m∥nB. 若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC. 若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥αD. 若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l【答案】D【解析】【分析】在正方体中选择合适的线面并考虑它们的关系可得正确的选项．【详解】如图，平面，平面，当，故A错．平面平面，平面，平面，但，故B错．如图，平面平面，平面平面，，但是与平面不垂直，故C错．过直线做平面且（异于），作平面且（异于），因，故，同理，故，因，中，从而，因，故，所以，故选D ．【点睛】空间中一些线面关系的命题的真假比较难判断，可在常见的几何体（如正方体、正四面体等）选择不同的线面关系对各选项进行验证或寻找反例．12.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】【分析】先求出，再计算出,所以2×1×cos<>=1,即得a与b所成的角.【详解】直线a,b的方向向量分别为,因为,所以,即2×1×cos<>=1,所以cos <>=,即<>=60°.故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解法本题的关键是由得2×1×cos<>=1.二、填空题（共20分，每小题5分）13.已知向量，，若，则________.【答案】2【解析】【分析】利用向量数量积的坐标运算可得正确的结果.【详解】因为，故，所以，故，填.【点睛】空间向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．【答案】【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，计算与所成的角后可得异面直线所成的角．【详解】如图建立空间直角坐标系，则，故，所以，由，故，所以异面直线所成的角为，填．【点睛】空间中有异面直线所成的角（线线角）、直线与平面所成的角（线面角）以及二面角的平面角（面面角），线线角可以转化为两条直线的方向向量的夹角，两者的关系是互补或相等（线线角的范围为），线面角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，两者差的绝对值为（线面角的范围为），面面角可以转化为平面的法向量的夹角，两者的关系是相等或互补．15.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．【答案】【解析】【分析】利用平面可以得到，从而为中点，同理可得为中点，再根据三棱锥为正三棱锥得到，故四边形为矩形，从而可计算其面积．【详解】因为，故在底面上的射影为底面三角形的外心，又为等边三角形，故在底面上的射影为底面三角形的中心，所以三棱锥为正三棱锥，所以．因平面，平面，平面平面，故，因，故，，同理，故，所以四边形为平行四边形，又由为中点可得，故，故四边形为矩形．又，故矩形的面积为．【点睛】（1）正三棱锥中，对棱是相互垂直的，且顶点在底面的投影是底面正三角形的中心．（2）通过线面平行可以得到线线平行，注意利用线面平行这个条件时，要合理构建过已知直线的平面（该平面与已知平面有交线）．16.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________．【答案】【解析】【分析】过作平面满足，平面与底面圆的截线为的轨迹，设交于，连接，利用射影定理可计算出，再利用可得的长最终得到的长．【详解】因为与总垂直，故的轨迹为过且与垂直的平面与底面的交线（在底面的圆内），它与圆的截线为，连接，设弦交于，连接，在中，，故，，故填．【点睛】空间中的点的轨迹问题，应转化为考虑平面上动点具有何性质，性质的找寻可根据已知的线面关系得到三、解答题（共70分）17.直三棱柱中，AC＝BC＝AA′=2，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点.(1)求证：；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，通过计算证明线线垂直.（2）计算的夹角的余弦值可以得到线线角的余弦值.【详解】如图建立空间直角坐标系，其各点坐标如图所示（1）证明：，，（2），，异面直线与所成角的余弦值为【点睛】空间中两条直线的垂直可归结为它们的方向向量垂直，后者通过数量积为零得到.异面直线所成角的余弦值可归结为方向向量所成角的余弦值的绝对值（因为线线角是锐角或直角）.18.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过计算得到．（2）计算平面的法向量后计算其与的夹角的余弦值的绝对值即得线面角的正弦值．【详解】证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系如图，可得，，故，所以.（2）．设为平面的一个法向量，则即，不妨令，可得．于是有，所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】空间中两条直线的垂直可归结为它们的方向向量垂直，后者通过数量积为零得到.直线与平面所成角的正弦值可归结为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值（因为线线角的取值范围为）.19.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】(1)连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n＝(1，－1，－1)．同理，设m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，则即可取m＝(2,1，－2)．从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝即二面角D－A1C－E的正弦值为20.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．(1)求B点到平面PCD的距离；(2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）取中点为，连接，可以证明平面，，故可建立如图所示的空间直角系，计算出平面的法向量及后可得点到平面的距离．设，用表示的坐标，从而平面的法向量也可以用表示，根据二面角的余弦值为可得到的值从而得到．【详解】在中，，为中点，∴.又∵侧面底面，平面平面，平面，∴平面. 在中，，，∴.在直角梯形中，为的中点，，∴.以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，(1)∴．设平面的法向量为，则即取，得．则点到平面的距离.(2)设．∵，∴，∴，∴，∴．设平面的法向量为，则即，取，得．平面的一个法向量为，∵二面角的余弦值为，∴.整理化简，得.解得或 (舍去)，∴存在，且.【点睛】（1）空间中一点到平面的距离可由空间向量来计算，在平面中取一点，则．（2）与线段上的动点相关的问题，如果用空间向量来解决，则需设，因为此时的坐标是关于的一次式，这样的形式便于计算．21.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面P AE；(2)若直线PB与平面P AE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）要证平面，由已知平面，已经有，因此在直角梯形中证明即可，通过计算得，而是中点，则有；（Ⅱ）PB与平面ABCD所成的角是，下面关键是作出PB与平面PAE所成的角，由（Ⅰ）作，分别与相交于，连接，则是PB与平面PAE所成的角，由这两个角相等，可得，同样在直角梯形中可计算出，也即四棱锥P-ABCD的高，体积可得．另外也可建立空间直角坐标系，通过空间向量法求得结论，第（Ⅱ）小题中关键是求点的坐标，注意这里直线与平面所成的角相等转化为直线与平面的法向量的夹角相等．试题解析：解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，是的中点，所以所以而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．（Ⅱ）过点Ｂ作由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE．于是为直线ＰＢ与平面PAE所成的角，且．由知，为直线与平面所成的角．由题意，知因为所以由所以四边形是平行四边形，故于是在中，所以于是又梯形的面积为所以四棱锥的体积为解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系．设则相关的各点坐标为：（Ⅰ）易知因为所以而是平面内的两条相交直线，所以（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与所成的角和PB与所成的角相等，所以由（Ⅰ）知，由故解得．又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为．考点：线面垂直的判断，棱锥的体积．视频22.如图，三棱锥的侧面是等腰直角三角形，，，，且．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，可证，从而平面即平面平面．（2）在平面中过作交于，计算平面、平面的法向量后再计算它们夹角的余弦值可得二面角的余弦值．我们也可以通过等积法计算到平面的距离，通过解三角形得到到的距离，两者结合可得二面角的正弦值后可得其余弦值．【详解】（1）证明：如图，取中点，连结，因为是等腰直角三角形，所以，设，则，在中，由余弦定理得：，因为，，所以，即，又，，所以平面，因平面，所以平面平面；（2）过点在平面内作交于点，由（1）知平面，分别以为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，不妨设，则：，则，，，设平面的法向量，则，取，设平面的法向量，则，取，所以，因为二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为.解法二：过点作于点，设在平面上的射影为，连接，则，所以为所求二面角的平面角，设,则,在中，,所以,在中，,所以, 由,所以,即,在中，,所以,所以二面角的余弦值为.【点睛】空间中二面角的余弦值的计算可通过两个半平面的法向量的夹角的余弦值得到，注意判断二面角的平面是锐角还是钝角，它们影响余弦值的正负.二面角的计算还可以通中某点与中某点的斜线段及到的距离来计算．。
四川省眉山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题 扫描版含答案
眉山市高中2020届第三学期期末教学质量检测数学（文科）参考答案2019.01一、选择题二、填空题13、14、1 15、16、①②③④三、解答题17、解：⑴直线，………………..……2分则边上的高所在直线的方程为，……………………………………………4分分⑵设分由，解之可得…………………………………………………….9分故的的外接圆的方程为…………………………………….10分18、⑴证明：取的中点，连结分别是的中点分又是的中点分四边形是平行四边形………………………………………………………………………..5分……………………………………………………………………………………………………6分⑵的中点分侧棱垂直于平面分又是内的相交直线………………………………………………………………..9分……………………………………………………………………………………………..10分又…………………………………………………………………………………………….11分又分19、解：⑴圆的标准方程为，圆心，半径为………………2分若直线与圆……………………………………………………………4分分⑵设圆心到直线的距离为………………………………………………………………………………..8分由……………………………………………………………10分所以直线或……………………………………………12分20、⑴证明:分又又分⑵等边三角形中，是的中点，，分分又，，分又是的中点…………………………..………………………………………………………………………..9分是的中点，是的中点…………………………………..………………………………………………………………………….10分又分………………………………………………….12分21、解:⑴依题意……………………………………………………2分解之可得分椭圆…………………………………………………………………………5分⑵设由消去得………………………..6分分分到直线分直线的方程为或……………………………………………………..12分22………………………………………………………………………1分………………………………………………………………………………………….2分则抛物线的方程为…………………………………………………………………………………….3分⑵设由得，………………………………………………………………..………5分则…………………………………………………………………………………..………6分……………………………………………………………………………………………………….7分所以………………………………………………………………………………………………….12分。
2018-2019高二数学上学期期末考试理科试卷(2021年整理)
(完整)2018-2019高二数学上学期期末考试理科试卷(word 版可编辑修改)1 (完整)2018-2019高二数学上学期期末考试理科试卷(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)2018-2019高二数学上学期期末考试理科试卷(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2 商南县鹿城中学2018-2019学年度第一学期期末模拟考试高二 年级 数学 试题（理卷）总分：150 时间：120分钟 出题人：沈桃桃一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在等差数列}{n a 中，1a =3,93=a 则5a 的值为（ ）A 。
15B . 6C 。
81 D. 9 2.在ABC ∆中，︒=60B ，ac b =2，则ABC ∆一定是A ．直角三角形B 。
等边三角形C 。
锐角三角形D 。
钝角三角形3。
椭圆2241x y +=的离心率为 （ ）A.22 B 。
43 C 。
23 D.324.若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 的值是（ )A.－10 B 。
－14 C 。
10 D 。
14 5。
下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是（ ） A.xx y 4+= B.x x y lg 1lg += C.11122+++=x x yD.322+-=x x y6.抛物线22x y =上有一点P ，点P 到()3,1A 的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P 的坐标是（ ）A 。
四川省眉山市数学高二上学期理数期末考试试卷
四川省眉山市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）“”是“直线与直线垂直”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）如图，为了测量A、B两点间的距离，在地面上选择适当的点C，测得AC=100m，BC=120m，∠ACB=60°，那么A、B的距离为（）A . 20 mB . 20 mC . 500 mD . 60 m3. （2分） (2017高三上·赣州期末) 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一个走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为（）B . 24里C . 12里D . 6里4. （2分）在ABC中，a,b,c为的对边，且，则（）A . a,b,c成等差数列B . a,c,b成等差数列C . a,c,b成等比数列D . a,b,c成等比数列5. （2分） (2019高二上·中山月考) 已知数列是各项均为正数的等差数列,其前项和，则的最小值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·中山月考) 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元分钟，假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元分钟，那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间，能使公司获得最大的收益是（）万元A . 72B . 80C . 847. （2分） (2017高二下·湖北期中) 直线x=a分别与曲线y=2（x+1），y=x+lnx交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A . 3B . 2C .D .8. （2分）已知函数，当且时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·绵阳模拟) 双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（）A .B .C . 1D . 210. （2分）三条两两平行的直线可以确定平面的个数为（）B . 1C . 0或1D . 1或311. （2分）以椭圆的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（）A .B .C . 或D . 以上都不对12. （2分） (2018高一下·四川期中) 设数列满足，且，若表不不超过的最大整数，则（）A . 2015B . 2016C . 2017D . 2018二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·江苏期中) 抛物线的准线方程为________14. （1分） (2019高二上·兴庆期中) 已知点分别是椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则的面积为________.15. （1分） (2019高一下·上海月考) 在中，已知，给出以下四个论断：①②③④ ，其中正确的是________.16. （1分）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2017·泰州模拟) 如图，江的两岸可近似的看成两平行的直线，江岸的一侧有A，B两个蔬菜基地，江的另一侧点C处有一个超市．已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米．超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，B两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处．由于A，B两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元．（1）设∠ADC=α，试将运输总费用S（单位：元）表示为α的函数S（α），并写出自变量的取值范围；（2）问中转站D建在何处时，运输总费用S最小？并求出最小值．18. （10分） (2016高一下·溧水期中) 解答题（1）在等比数列{an}中，a5=162，公比q=3，前n项和Sn=242，求首项a1和项数n．（2）有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数．19. （10分） (2017高一上·景县期中) 设函数f（x）= ．（1）求f（0），f（2），f（f（3））的值；（2）求不等式f（x）≤2的解集．20. （10分） (2017高一下·濮阳期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．21. （10分） (2018高三上·三明期末) 已知函数（是自然对数的底数），在处的切线方程是．（1）求实数，的值；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．22. （10分） (2018高二上·承德期末) 已知椭圆的短轴长为2，且椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线过定点，且斜率为，若椭圆上存在两点关于直线对称，为坐标原点，求的取值范围及面积的最大值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
四川省眉山市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理扫描版
四川省眉山市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（扫描版）眉山市高中2021届第三学期期末教学质量检测(理工类)数学参考答案及评分意见 2020.1一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题 （本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．2 14．2 15．5 16．(]3,1 三、解答题 （本题共6小题，共70分） 17. 解：（1）由题意可知14523=--==AB ED k k ，又)11(，F 为AB 的中点 ∴ AB 所在直线的方程为)1(11-⋅=-x y 即0=-y x …………3分同理CA 所在直线的方程为02=-y x∴联立方程得）（0,0A ……………5分（2）由(1)可得)2,2(B , )48(，C ……………6分设ABC ∆的外接圆的方程为022=++++F Ey Dx y x 代入C B A ,,的坐标可得0442206416840F D E F D E F =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩解方程组可得16120D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩圆的方程为0121622=+-+y x y x ……………10分18. 解：（1）AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上的动点∴BC AC ⊥ ……………2分又直线VC 垂直于圆O 所在平面∴VC AC ⊥，又C VC BC =∴VBC AC 面⊥ ……………4分又D ,E 分别是VA ，VC 的中点，∴AC DE //∴VBC DE 面⊥ ……………6分（2）因为VAB ∆的边长为2VC BC AC === ……………8分11113323V DEB D VEB VEB V V S DE VE BC DE --∆∴==== ……………………………12分19. 解：（1）设动点M 的坐标为),(y x ，P 的坐标为),(00y x由题意可知轴x QP ⊥，且=),0(y =，），（00y =，即),0(2200y y =），（,即022y y = ∴y y 420=，x x =0又P ),(00y x 在曲线122=+y x 上运动∴14222=+）（y x 即1822=+y x ………………6分 （2）设直线04=--y x 的平行直线为0=+-b y x ，代入⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+01822b y x y x 得082922=-++b bx x 当028832)8(364222=+-=--=b b b ∆，92=⇒b 即3±=b∴直线03=+-y x 到04=--y x的距离最大，d ==此时MAB ∆的面积最大，27227421=⨯⨯=MAB S ∆ ……………12分 20.（1）证明：在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos∠DAB ，即BD 2＝4＋16－16×21＝12，所以BD ＝2，所以BD 2＋AB 2＝AD 2， ………………………2分 所以△ABD 和△EBD 均为直角三角形，所以ED ⊥DB . ………………………3分 又DB 是平面EBD 和平面ABD 的交线，且平面EBD ⊥平面ABD ，ED ⊂平面EBD ，所以ED ⊥平面ABD . ………………………4分 又AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥DE . ………………………5分 （2）由(1)知∠ABD ＝∠CDB ＝90°，以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则D (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，E (0，0，2)， A (2，－2，0)，F (，0，1)，所以DA ＝(2，－2，0)，DE ＝(0，0，2)，AF ＝(－，2，1)． ………………8分 设平面ADE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有0,0,n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20.y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩令x ＝1，则y又z ＝0，所以(1,0)n =． …………………10分设直线AF 与平面ADE所成的角为α， 则有sin cos ,82n AF a n AF n AF⋅=<>===⨯. …………………12分 21. 解：（1）证明：在矩形PDCE 中，设PC 交DE 于点N ，则点N 为PC 的中点．连接MN .在△APC 中，点M 为PA 的中点，点N 为PC 的中 点，所以AC ∥MN .又MN ⊂平面MDE ，AC ⊄平面MDE ，所以AC ∥平面MDE . ………………3分 （2）由∠ADC ＝90°，得AD ⊥CD ，由平面PDCE ⊥平面ABCD ，且平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，得AD ⊥平面PDCE ， 所以AD ⊥PD .在矩形PDCE 中，PD ⊥CD ，则DA ，DC, DP 两两垂直．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，P (0，0，2)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，所以AP →＝(－1，0，2)，CP →＝(0，－2，2)，BC →＝(－1，1，0)． …………4分 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CP →·n ＝－2y ＋2z ＝0BC →·n ＝－x ＋y ＝0，取n ＝(1，1，2)．………5分设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|AP →·n ||AP →||n |＝36.所以直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为36. ……………7分 （3）假设存在点Q 满足条件，则可设CQ →＝λCP →(0<λ<1)，得Q (0，2－2λ，2λ)．……8分又DA →＝(1，0，0)，DQ →＝(0，2－2λ，2λ)， 设平面QAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧DA →·n 1＝x 1＝0DQ →·n 1＝（2－2λ）y 1＋2λz 1＝0，令y 1＝2λ，则n 1＝(0，2λ，2λ－2)．由平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角为π3， ………………10分得cos π3＝|n 1·n ||n 1||n |＝|32λ－22|2×2λ2＋4（λ－1）2＝12，所以λ＝13或λ＝1(舍去)，所以所求点Q 为线段CP 上靠近点C 的一个三等分点，即在线段PC 上存在点Q 满足条件． ………………12分 22. （1）由题意可知， Q 在PN 的垂直平分线上∴QP QN = 又∵4==+r QP QM∴ MN QN QM >=+4 ………………1分 ∴Q 点的轨迹为椭圆，且42=a 即2=a ，由题意可知3=c ，∴1=b∴曲线E 的方程为1422=+y x ………………3分（2）∵OB OA OC +=，∴四边形OACB 为平行四边形， 当直线m 的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3， m 与曲线E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋24kx ＋32＝0. (4)分由Δ＝(24k )2－128(1＋4k 2)>0得k 2>2.x 1＋x 2＝－24k 1＋4k 2，x 1x 2＝321＋4k2. ∵S △OAB ＝12|OD ||x 1－x 2|＝32|x 1－x 2|，∴S ▱OACB ＝2S △OAB ＝3|x 1－x 2| ＝3x 1＋x 22－4x 1x 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－24k 1＋4k 22－4×321＋4k 2＝3242k 2－1281＋4k21＋4k22＝24k 2－21＋4k22， ……………6分令k 2－2＝t ，则k 2＝t ＋2(由上式知t >0)， ∴S ▱OANB ＝24t4t ＋92＝24172＋16t ＋81t≤241144＝2， 当且仅当t ＝94，即k 2＝174时取等号，∴当k ＝±172时，平行四边形OACB 的面积的最大值为2. 此时直线m 的方程为y ＝±172x ＋3. ……………8分（3）由已知抛物线方程是x y 212-=若直线斜率存在，设直线与曲线E 的交点坐标为）（11,y x G ，),(22y x H ，满足曲线E 的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+141422222121y x y x ，两式作差可得0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ，G ，H 的中点F 落在直线x y 2=上则有)(22121x x y y +=+代入可得812121-=--x x y y ，直线方程可以设为b x y +-=81与抛物线方程联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=b x y x y 81212，消元可得方程0442=+-b y y ，直线与抛物线相切则有101616=⇒=-=∆b b ， ……………10分则直线的方程为088=-+y x ，与椭圆方程联立：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+0881422y x y x ，消元可得方程01532172=+-y y ，015174-322>⨯⨯=∆， 所以直线088=-+y x 满足题意．若直线斜率不存在时，直线0=x 满足题意．所以，综上这样的直线存在，方程是088=-+y x 或0=x ． ……………12分。
四川省眉山市高二上期末数学测试卷(理)(含答案解析)
四川省眉山市高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．对命题“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+4≤0”的否定正确的是（ ）A ．∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+4＞0B ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+4≤0C ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+4＞0D ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+4≥02．圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切3．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程=x+必过点（ ）2） C ．（2，5） D ．（2.5，5）4．从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是（ ）A ．A 与C 互斥B ．A 与B 互为对立事件C ．B 与C 互斥D ．任何两个均互斥5．若实数x ，y 满足不等式组，则3x+4y 的最小值是（ ）A ．13B ．15C ．20D ．286．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知直线l 1：x+（a ﹣2）y ﹣2=0，l 2：（a ﹣2）x+ay ﹣1=0，则“a=﹣1”是“l 1⊥l 2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βB ．若m ⊂α，m ∥β，α∩β=n ，则m ∥nC ．若α∥β，m ∥α，则m ∥βD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α9．执行如图所示的程序框图，若输出的p 是720，则输入的N 的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．在空间四边形OABC 中，G 是△ABC 的重心，若=， =， =，则=（ ）A ． ++B ． ++C ． ++D ．3+3+311．由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．设有一组圆C k ：（x ﹣k+1）2+（y ﹣3k ）2=2k 2（k ∈N *）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某单位有40名职工，现从中抽取5名职工，统计他们的体重，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的标准差为 ．14．求直线x ﹣y=2被圆x 2+y 2=4截得的弦长为 ．15．执行如图的程序框图，则输出的结果是 ．16．空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD互相垂直，AC，BD的长分别为8和2，则平行四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，面积的最大值是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3）．（1）求BC边上的中线AD所在的直线方程；（2）求△ABC的外接圆的一般方程．18．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（1）请先求出频率分布表中、位置相应的数据，再画出频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官的面试，求第四组至少有一名学生被考官A 面试的概率？19．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为棱AC 的中点．（1）求证：AB 1∥平面BDC 1；（2）求直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正切值．20．已知命题p ：对于m ∈[﹣1，1]，不等式a 2﹣5a ﹣3≥恒成立；命题q ：不等式x 2+ax+2＜0有解，若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，求a 的取值范围． 21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2FE=1，点P 在棱DF 上．（1）求证：AD ⊥BF ；（2）若二面角D ﹣AP ﹣C 的余弦值为，求PF 的长．22．已知圆C 过点P （，），且与圆M ：（x+2）2+（y+2）2=r 2（r ＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆心C 上的一个动点，求•的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．2019-2020学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．对命题“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+4≤0”的否定正确的是（ ）A ．∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+4＞0B ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+4≤0C ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+4＞0D ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+4≥0【考点】特称命题；命题的否定．【分析】通过特称命题的否定是全称命题，直接判断选项即可．【解答】解：因为命题“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+4≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2﹣2x+4＞0”．故选C ．2．圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先根据圆的标准方程得到分别得到两圆的圆心坐标及两圆的半径，然后利用圆心之间的距离d 与两个半径相加、相减比较大小即可得出圆与圆的位置关系．【解答】解：由圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16得：圆C 1：圆心坐标为（﹣2，2），半径r=1；圆C 2：圆心坐标为（2，5），半径R=4．两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r ，所以两圆的位置关系是外切．故选D3．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程=x+必过点（ ）2） C ．（2，5） D ．（2.5，5）【考点】线性回归方程．【分析】由已知表格中的数据，我们根据平均数公式计算出变量x ，y 的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，可得结论．【解答】解：由表中数据可得： =（0+1+2+3+4）=2， =（1+3+5+7+9）=5，∵回归直线一定经过样本数据中心点，故选：C ．4．从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是（）A．A与C互斥B．A与B互为对立事件C．B与C互斥D．任何两个均互斥【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解．【解答】解：从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，事件A与C不能同时发生，是互斥事件，故A正确；事件A与B不能同时发生，但能同时不发生，故A与B是互斥但不对立事件，故B错误；事件B与C能同时发生，故B与C不是互斥事件，故C错误；由B与C不是互斥事件得D错误．故选：A．5．若实数x，y满足不等式组，则3x+4y的最小值是（）A．13 B．15 C．20 D．28【考点】简单线性规划．【分析】我画出满足不等式组的平面区域，求出平面区域中各角点的坐标，然后利用角点法，将各个点的坐标逐一代入目标函数，比较后即可得到3x+4y的最小值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知，当x=3，y=1时3x+4y取最小值13故选A6．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】利用公理三及推论判断求解．【解答】解：在A 图中：分别连接PS ，QR ，则PS ∥QR ，∴P ，S ，R ，Q 共面．在B 图中：过P ，Q ，R ，S 可作一正六边形，如图，故P ，Q ，R ，S 四点共面．在C 图中：分别连接PQ ，RS ，则PQ ∥RS ，∴P ，Q ，R ，S 共面．D 图中：PS 与RQ 为异面直线，∴P ，Q ，R ，S 四点不共面．故选：D ．7．已知直线l 1：x+（a ﹣2）y ﹣2=0，l 2：（a ﹣2）x+ay ﹣1=0，则“a=﹣1”是“l 1⊥l 2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】当a=﹣1时，这两条直线的斜率之积等于﹣1，故有l 1⊥l 2．当l 1⊥l 2时，能推出a=﹣1，或 a=2，不能推出 a=﹣1，从而得出结论．【解答】解：当a=﹣1时，直线l 1的斜率为，直线l 2：的斜率为﹣3，它们的斜率之积等于﹣1，故有l 1⊥l 2，故充分性成立．当l 1⊥l 2时，有（a ﹣2）+（a ﹣2）a=0成立，即 （a ﹣2）（a+1）=0，解得 a=﹣1，或 a=2，故不能推出 a=﹣1，故必要性不成立，故选A ．8．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βB ．若m ⊂α，m ∥β，α∩β=n ，则m ∥nC ．若α∥β，m ∥α，则m ∥βD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，由线面平行的性质定理得m ∥n ；在C 中，m ∥β或m ⊂β；在D 中，m 与α相交、平行或m ⊂α．【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中：若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中：若m ⊂α，m ∥β，α∩β=n ，则由线面平行的性质定理得m ∥n ，故B 正确；在C 中：若α∥β，m ∥α，则m ∥β或m ⊂β，故C 错误；在D 中：若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故D 错误．故选：B ．9．执行如图所示的程序框图，若输出的p 是720，则输入的N 的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【考点】程序框图．【分析】由程序框图可知，该程序的功能为输出结果为p=1×2×3×…×（N ﹣1）×N ，故所以若输出结果为720，则p=1×2×3×…×（N ﹣1）×N=720，得N=6．【解答】解：由程序框图可知，该程序输出的结果为p=1×2×3×…×（N ﹣1）×N ，所以若输出结果为720，则p=1×2×3×…×（N ﹣1）×N=720，得N=6．故选：B ．10．在空间四边形OABC 中，G 是△ABC 的重心，若=， =， =，则=（ ）A ． ++B ． ++C ． ++D ．3+3+3【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由题意知=（+），从而化简可得．【解答】解：∵G 是△ABC 的重心，∴=（+），∴=+=+（+）=+（﹣+﹣）=（++）=++， 故选：C ．11．由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．【解答】解：平面区域Ω1，为三角形AOB ，面积为，平面区域Ω2，为△AOB 内的四边形BDCO ，其中C （0，1），由，解得，即D （，），则三角形ACD 的面积S==，则四边形BDCO 的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D ．12．设有一组圆C k ：（x ﹣k+1）2+（y ﹣3k ）2=2k 2（k ∈N *）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④【考点】圆的标准方程．【分析】由已知圆心（k ﹣1，3k ），由两圆的位置关系、圆心距、两圆的半径之差，能判断出真命题个数．【解答】解：根据题意得：圆心（k ﹣1，3k ），圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；考虑两圆的位置关系，圆k ：圆心（k ﹣1，3k ），半径为|k|，圆k+1：圆心（k ﹣1+1，3（k+1）），即（k ，3k+3），半径为（k+1）2，两圆的圆心距d==，两圆的半径之差R ﹣r=（k+1）2﹣k 2=2k+，任取k=1或2时，（R ﹣r ＞d ），C k 含于C k+1之中，选项①错误；若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k 2=2k 4，即10k 2﹣2k+1=2k 4（k ∈N*），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．则真命题的代号是②④．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某单位有40名职工，现从中抽取5名职工，统计他们的体重，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的标准差为．【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【分析】先求出样本数据的平均数，再求出样本数据方差，由此能求出该样本的标准差．【解答】解：样本数据的平均数==69，样本数据方差S2= [（59﹣69）2+（62﹣69）2+（70﹣69）2+（73﹣69）2+（81﹣69）2]=62，∴该样本的标准差为S=．故答案为：．14．求直线x﹣y=2被圆x2+y2=4截得的弦长为2．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆心到直线的距离，利用半径、半弦长，弦心距满足勾股定理，求出半弦长，即可求出结果．【解答】解：弦心距为： =；半径为：2，半弦长为：，弦长AB为：2故答案为：2．15．执行如图的程序框图，则输出的结果是．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，s的值，当n=4时满足条件n≥4，退出循环，输出s的值，利用裂项法求和即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=0，s=0，n=1，s=，不满足条件n≥4，n=2，s=+，不满足条件n≥4，n=3，s=++，不满足条件n≥4，n=4，s=+++=（1）=，满足条件n≥4，退出循环，输出s的值为．故答案为：．16．空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD互相垂直，AC，BD的长分别为8和2，则平行四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，面积的最大值是 4 ．【考点】直线与平面平行的性质．【分析】假设EFGN是截面四边形，EFGN为平行四边形，设EN=x（0＜x≤2），FE=y（0＜y≤8），xy=S（S为所求面积），利用EN∥BD，可得=1=+，整理可得8=4x+y，利用基本不等式即可解得面积的最大值．【解答】解：如图，假设EFGN是截面四边形，EFGN为平行四边形；设EN=x（0＜x≤2），FE=y（0＜y≤8），xy=S（S为所求面积）；由EN∥BD，可得： =， ==，两式相加，得： =1=+，化简，得8=4x+y，可得：8=4x+y≥2，（当且仅当2x=y时等号成立），解得：xy≤4，解得：S=xy≤4．故答案为：4．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3）．（1）求BC边上的中线AD所在的直线方程；（2）求△ABC的外接圆的一般方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出BC的中点，即可求BC边上的中线AD所在的直线方程；（2）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求△ABC的外接圆的一般方程．【解答】解：（1）∵B（2，1），C（﹣2，3）．∴BC的中点D（0，2），∵A（﹣3，0），∴AD所在的直线方程为=1，即2x﹣3y+6=0；（2）设方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三点坐标代入，得，∴D=，E=﹣，F=﹣，∴△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+x﹣y﹣=018．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组至少有一名学生被考官A面试的概率？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．【分析】（1）由频率=可求其数据，频率分布直方图时注意纵轴；（2）用分层抽样的方法获取样本中的比例；（3）用古典概型求概率．【解答】解：（1）①位置上的数据为=35，②位置上的数据为=0.3；频率分布直方图如右图：（2）6×≈2.47，6×≈2.11，6×≈1.41．故第3、4、5组每组各抽取3，2，1名学生进入第二轮面试．（3）其概率模型为古典概型，设第3、4、5组抽取的学生分别为：a，b，c，1，2，m．则其所有的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（a，m），（b，c），（b，1），（b，2），（b，m），（c，1），（c，2），（c，m），（1，2），（1，m），（2，m）．共有15个，符合条件的有9个；故概率为=0.6．19．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为棱AC 的中点．（1）求证：AB 1∥平面BDC 1；（2）求直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结B 1C 交BC 1于E ，连结DE ，则DE ∥AB 1，由此能证明AB 1∥平面BDC 1．（2）取AA 1⊥底面ABC ，推导出∠AB 1C 为直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角，由此能求出直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正切值．【解答】证明：（1）连结B 1C 交BC 1于E ，连结DE ，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是BC 1的中点，∵D 为AC 中点，∴DE ∥AB 1，∵DE ⊂面BDC 1，AB 1⊄面BDC 1，∴AB 1∥平面BDC 1．解：（2）取AA 1⊥底面ABC ，AA 1∥CC 1，∴CC 1⊥底面ABC ，∴CC 1⊥AC ，∵BC ⊥AC ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，∴AB 1在面BCC 1B 1的射影为B 1C ，∴∠AB 1C 为直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角，而B 1C==，AC=2，在Rt △ACB 1中，tan ∠AB 1C==．∴直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正切值为．20．已知命题p ：对于m ∈[﹣1，1]，不等式a 2﹣5a ﹣3≥恒成立；命题q ：不等式x 2+ax+2＜0有解，若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，求a 的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出命题p ，q 中的a 的取值范围，再利用若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，则p 与q 一真一假．即可得出．【解答】解：若命题p ：对于m ∈[﹣1，1]，不等式a 2﹣5a ﹣3≥恒成立；由于=3，∴a 2﹣5a ﹣3≥3，解得a ≥6或a ≤﹣1．若命题q ：不等式x 2+ax+2＜0有解，则△=a 2﹣8＞0，解得或a ＜﹣2． 若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，则p 与q 一真一假．当p 真q 假时，，解得，此时a ∈．当q 真p 假时，，解得，此时a ∈．综上可知：a 的取值范围是∪． 21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2FE=1，点P 在棱DF 上．（1）求证：AD ⊥BF ；（2）若二面角D ﹣AP ﹣C 的余弦值为，求PF 的长．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出AD ⊥AB ，从而AD ⊥平面ABEF ，由此能证明AD ⊥BF ．（2）以A为坐标原点，AB、AD、AF所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PF的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面ABEF，又BF⊂平面ABEF，∴AD⊥BF．解：（2）由（1）知AD⊥平面ABEF，又∠BAF=90°，∴以A为坐标原点，AB、AD、AF所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，2，0），F（0，0，1），C（1，2，0），设=，（0≤λ＜1），则P（0，2λ，1﹣λ），=（1，2，0），=（0，2λ，1﹣λ），设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（﹣2，1，），平面APD的一个法向量为=（1，0，0），∵二面角D﹣AP﹣C的余弦值为，∴==，解得或λ=﹣1（舍）．∴=（0，，﹣），∴PF的长||==．22．已知圆C过点P（，），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求圆C的方程；（2）设Q为圆心C上的一个动点，求•的最小值；（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．【考点】抛物线的应用．【分析】（1）利用对称性，求出圆心坐标，即可求出圆C 的方程；（2）利用向量的数量积公式，结合三角函数知识，即可得出结论；（3）由已知可得直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，设PA ：y ﹣=k （x ﹣），PB ：y ﹣=﹣k （x ﹣），求出A ，B 坐标后，代入斜率公式，判断直线OP 和AB 斜率是否相等，即可得到答案．【解答】（1）解：由题意可得点C 和点M （﹣2，﹣2）关于直线x+y+2=0对称，且圆C 和圆M 的半径相等，都等于r ．设C （m ，n ），由•（﹣1）=﹣1，且++2=0，求得m=n=0，故圆C 的方程为x 2+y 2=r 2．再把点P （，），代入圆C 的方程，求得r=1， 故圆的方程为x 2+y 2=1．（2）解：设Q （x ，y ），则x 2+y 2=1， •=（x ，y ）•（x+2，y+2）=x 2+y 2+2x+2y=2x+2y+1，令x=cos θ，y=sin θ，∴•=2cos θ+2sin θ+1=2sin （θ+）+1，∴θ+=2k π﹣时，sin （θ+）的最小值为﹣1，∴•的最小值为﹣2+1； （3）证明：过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，则得直线OP 和AB 平行，理由如下：由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y ﹣=k （x ﹣），PB ：y ﹣=﹣k （x ﹣）．由PA 与圆方程联立，得（1+k 2）x 2+k （1﹣k ）x+（1﹣k ）2﹣1=0，因为P 的横坐标x=一定是该方程的解，故可得x A =•．同理，所以x B =•．由于AB 的斜率k AB ===1=k OP （OP 的斜率），所以，直线AB和OP一定平行．。
四川省眉山市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年高二第一学期期末（理科）数学试卷一、选择题1．若直线b不平行于平面α，且b⊄α，则下列结论成立的是（）A．α内的所有直线与b异面B．α内不存在与b平行的直线C．α内存在唯一的直线与b平行D．α内的直线与b都相交2．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是（）A．（﹣1，﹣1）B．（﹣2，0）C．（﹣1，﹣2）D．（0，﹣1）3．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．4．过圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25上一点P（﹣2，4）作切线l，直线m：ax﹣3y＝0与切线l平行，则a的值为（）A．B．2 C．4 D．5．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直B．EF⊥平面BDD1B1C．EF与C1D所成的角为45°D．EF∥平面A1B1C1D16．点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（）A．y＝12x2B．y＝﹣36x2C．y＝12x2或y＝﹣36x2D．y＝x2或y＝﹣x27．直线x sinα+y+2＝0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，π）B．[0，]∪[，π）C．[0，] D．[0，]∪（，π）8．过直线2x+y+4＝0和圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的交点，且面积最小的圆方程为（）A．（x+）2+（y+）2＝B．（x﹣）2+（y﹣）2＝C．（x﹣）2+（y+）2＝D．（x+）2+（y﹣）2＝9．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为（）A．B．C．1 D．10．过点C（0，﹣1）的直线与双曲线右支交于A，B两点，则直线AB的斜率取值范围为（）A．B．C．（﹣1，1）D．11已知0＜x＜2，0＜y＜2，且M＝+++则M的最小值为（）A．B．C．2 D．12．已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1，直线l1、l2分别过圆心M、N，且l1与圆M相交于A、B，l2与圆N相交于C、D，P是椭圆＝1上的任意一动点，则的最小值为（）A．B．2C．3 D．6二、填空题13．双曲线的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为．14．如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上，若P为动点，Q为动点，则PQ的最小值为．15．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于．16．设不等式组，表示的平面区域为D，若指数函数y＝a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．三、解答题17．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D（5，3），E（4，2），F（1，1）．（1）求△ABC 的边AB所在直线的方程及点A的坐标；（2）求△ABC的外接圆的方程．18．AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点．（1）判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由；（2）当△VAB为边长为的正三角形时，求四面体V﹣DEB的体积．19．已知点P在曲线x2+y2＝1上运动，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，动点M满足．（1）求动点M的轨迹方程；（2）点A、B在直线x﹣y﹣4＝0上，且AB＝4，求△MAB的面积的最大值．20．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值．21．如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD ＝1，PD＝．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值．（Ⅲ）在PC上是否存在一点Q，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．22．如图，圆，是圆M内一个定点，P是圆上任意一点，线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）过点D（0，3）作直线m与曲线E交于A，B两点，点C满足（O为原点），求四边形OACB面积的最大值，并求此时直线m的方程；（3）已知抛物线上，是否存在直线与曲线E交于G，H，使得G，H的中点F落在直线y＝2x上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1．若直线b不平行于平面α，且b⊄α，则下列结论成立的是（）A．α内的所有直线与b异面B．α内不存在与b平行的直线C．α内存在唯一的直线与b平行D．α内的直线与b都相交解：根据题意可知直线b与平面α相交，对于A，α内存在直线与直线b相交，故A错；对于C，α内不存在直线与直线b平行，故C错；对于D，α内存在直线与直线b异面，故D错，故B正确，故选：B．2．不等式组表示的平面区域内的整点坐标是（）A．（﹣1，﹣1）B．（﹣2，0）C．（﹣1，﹣2）D．（0，﹣1）解：对于A，x＝﹣1＜0，y＝﹣1＜0，4x+3y+8＝1＞0，满足条件，是平面区域内的点；对于B，y＝0≥0，不满足条件，不是平面区域内的点；对于C，x＝﹣1＜0，y＝﹣2＜0，4x+3y+8＝﹣2＜0，不满足条件，不是平面区域内的点；对于D，x＝0≥0，不满足条件，不是平面区域内的点；故选：A．3．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（）A．1 B．C．D．解：根据题意，易得k+＝k（1，1，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），2﹣＝2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣2×2＝0．∴k＝，故选：D．4．过圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25上一点P（﹣2，4）作切线l，直线m：ax﹣3y＝0与切线l平行，则a的值为（）A．B．2 C．4 D．解：根据题意，圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25的圆心为C（2，1），则k CP＝＝﹣，若过圆C上一点P（﹣2，4）作切线l，则切线l的斜率k＝﹣＝，又由直线m：ax﹣3y＝0即y＝x与切线l平行，则有＝，解可得a＝4；故选：C．5．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直B．EF⊥平面BDD1B1C．EF与C1D所成的角为45°D．EF∥平面A1B1C1D1解：连A1B，则A1B交BA1于E，又F为BC1中点，可得EF∥A1C1，由B1B⊥平面A1B1C1D1，可得B1B⊥A1C1，可得B1B⊥EF，故A正确；由EF∥A1C1，A1C1⊥平面BDD1B1，可得EF⊥平面A1B1C1D1，故B正确；EF与C1D所成角就是∠A1C1D，∵AA1的长度不确定，∴∠A1C1D的大小不确定，故C错误；由E，F分别是AB1，BC1的中点，得EF∥A1C1，可得EF∥平面A1B1C1D1，故D正确．故选：C．6．点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（）A．y＝12x2B．y＝﹣36x2C．y＝12x2或y＝﹣36x2D．y＝x2或y＝﹣x2解：当a＞0时，开口向上，准线方程为y＝﹣，则点M到准线的距离为3+＝6，求得a＝，抛物线方程为y＝x2，当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝﹣，点M到准线的距离为|3+|＝6解得a＝﹣，抛物线方程为y＝﹣x2．故选：D．7．直线x sinα+y+2＝0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，π）B．[0，]∪[，π）C．[0，] D．[0，]∪（，π）解：直线x sinα+y+2＝0的斜率为k＝﹣sinα，∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）故选：B．8．过直线2x+y+4＝0和圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的交点，且面积最小的圆方程为（）A．（x+）2+（y+）2＝B．（x﹣）2+（y﹣）2＝C．（x﹣）2+（y+）2＝D．（x+）2+（y﹣）2＝解：圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0即（x+1）2+（y﹣2）2＝4，表示以C（﹣1，2）为圆心，半径等于2的圆．圆心C到直线2x+y+4＝0的距离为d＝＝，故弦长为2＝2＝，故当面积最小的圆的半径为．过点C且与2x+y+4＝0垂直的直线为y﹣2＝（x+1），由求得，即所求圆的圆心为（﹣，），故所求的圆方程为：（x+）2+（y﹣）2＝，故选：D．9．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为（）A．B．C．1 D．解：∵正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，连结AD1，AB1，∴由正方体的性质，得：AD1∩A1D＝P，P是AD1的中点，PQ∥AB1，∴PQ＝AB1＝＝．故选：A．10．过点C（0，﹣1）的直线与双曲线右支交于A，B两点，则直线AB的斜率取值范围为（）A．B．C．（﹣1，1）D．解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线AB的方程为y+1＝kx，由消去y，得（2﹣3k2）x2+6kx﹣9＝0．∴x1+x2＝，x1x2＝．∵直线AB与双曲线的右支有两个不同的交点，∴，化简此不等式组可得；故选：A．11．已知0＜x＜2，0＜y＜2，且M＝+++则M的最小值为（）A．B．C．2 D．解：根据题意，可知表示点（x，y）与点A（，0）的距离；表示点（x，y）与点B（0，）的距离；表示点（x，y）与点C（，2）的距离；表示点（x，y）与点D（2，）的距离．M表示点（x，y）到A、B、C、D四个点的距离的最小值．则可画图如下：∵+的最小值是点（x，y）在线段AC上，同理，+的最小值是点（x，y）在线段BD上，∴点（x，y）既在线段AC上，又在线段BD上，∴点（x，y）即为图中点P．∴M的最小值为|AC|+|BD|＝4．故选：D．12．已知圆M：x2+（y﹣1）2＝1，圆N：x2+（y+1）2＝1，直线l1、l2分别过圆心M、N，且l1与圆M相交于A、B，l2与圆N相交于C、D，P是椭圆＝1上的任意一动点，则的最小值为（）A．B．2C．3 D．6解：如图所示，圆心M（0，1），N（0，﹣1）即为椭圆的焦点．，，，∴＝+＝﹣1，＝﹣1，∴＝+﹣2，∵|PM|+|PN|＝4，∴2（+）≥＝16，当且仅当|PM|＝|PN|＝2时取等号．∴+≥8，∴＝+﹣2≥6，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中相应位置.13．双曲线的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为．解：∵双曲线方程为，则双曲线的渐近线方程为y＝±x∵两条渐近线互相垂直，∴×（﹣）＝﹣1∴a2＝b2，∴c＝＝∴e＝＝故答案为：．14．如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上，若P为动点，Q为动点，则PQ的最小值为．解：建立如图所示空间直角坐标系，设P（λ，λ，2﹣λ），Q（0，2，μ）（0≤λ≤2且0≤μ≤2），可得PQ＝＝，∵2（λ﹣1）2≥0，（2﹣λ﹣μ）2≥0，∴2（λ﹣1）2+（2﹣λ﹣μ）2+2≥2，当且仅当λ﹣1＝2﹣λ﹣μ＝0时，等号成立，此时λ＝μ＝1，∴当且仅当P、Q分别为AB、CD的中点时，PQ的最小值为．故答案为：．15．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于5．解：由平行六面体ABCDA1B1C1D1可得：，∴++＝12+22+32+2cos60°（1×2+1×3+2×3）＝25，∴＝5．故答案为：5．16．设不等式组，表示的平面区域为D，若指数函数y＝a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是1＜a≤3．解：作出区域D的图象，联系指数函数y＝a x的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点C（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．则a的取值范围是1＜a≤3．故答案为：1＜a≤3三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D（5，3），E（4，2），F（1，1）．（1）求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；（2）求△ABC的外接圆的方程．解：设A（x，y），B（a，b），C（m，n），则．解得，，．∴A（0，0），B（2，2），C（8，4）．∴边AB所在直线的方程：x﹣y＝0．（2）设△ABC的外接圆心为O（u，v）则|OA|＝|OB|＝|OC|，即（u﹣0）2+（v﹣0）2＝（u﹣2）2+（v﹣2）2＝（u﹣8）2+（v﹣4）2，∴u＝8，v＝﹣6，故圆心坐标为（2，4），半径的平方为OA2＝（u﹣0）2+（v﹣0）2＝100，∴△ABC的外接圆方程为（x﹣8）2+（y+6）2＝100．18．AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点．（1）判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由；（2）当△VAB为边长为的正三角形时，求四面体V﹣DEB的体积．解：（1）DE⊥平面VBC，证明如下：∵AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的动点，∴AC⊥BC，∵过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，AC⊂平面ABC，∴AC⊥VC，∵BC∩VC＝C，∴AC⊥平面VBC，∵D，E分别是VA，VC的中点．∴DE∥AC，∴DE⊥平面VBC．（2）∵△VAB为边长为的正三角形，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，∴△VBC≌△VAC，∴BC＝AC，∴BC2+AC2＝AB2＝8．∴AC＝BC＝2，BD＝＝，D，E分别是VA，VC的中点，∴DE＝＝1，由（1）知DE⊥BE，∴BE＝＝＝，∴四面体V﹣DEB的体积为：V V﹣DEB＝V D﹣VBE＝＝＝＝．19．已知点P在曲线x2+y2＝1上运动，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，动点M满足．（1）求动点M的轨迹方程；（2）点A、B在直线x﹣y﹣4＝0上，且AB＝4，求△MAB的面积的最大值．解：（1）设P（x′，y′），M（x，y），Q（x′，0），x＝x′，∵动点M满足．∴（x﹣x′，y）＝2（0，y′），∴x﹣x′＝0，y＝2y′，解得：x′＝x，y′＝，代入曲线（x′）2+（y′）2＝1，可得：x2+＝1．∴动点M的轨迹方程为：x2+＝1．（2）设与直线x﹣y﹣4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为：x﹣y+m＝0，联立，化为：9x2+2mx+m2﹣8＝0，令△＝4m2﹣4×8×9＝0，解得m＝±6．取m＝﹣6．可得切线：x﹣y﹣6＝0．与直线x﹣y﹣4＝0的距离d＝＝6+2．∴△MAB的面积的最大值为×4×（6+2）＝12+4．20．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABD中，由余弦定理：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD cos∠DAB，∴，∴△ABD和△EBD为直角三角形，此即ED⊥DB，而DB又是平面EBD和平面ABD的交线，且平面EBD⊥平面ABDED⊂平面EBD且ED⊄平面ABD，∴ED⊥平面ABD，同时AB⊂平面ABD，∴AB⊥DE；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ABD＝∠CDB＝90°，以D为坐标原点，DB，DC，DE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面ADE的法向量为＝（x，y，z），则有，令x＝1，则，，设直线AF与平面ADE所成角为α，则有．21．如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD ＝1，PD＝．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值．（Ⅲ）在PC上是否存在一点Q，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．【解答】（Ⅰ）证明：连结PC，交DE与N，连结MN，∵△PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点，∴MN∥AC…（1分）因为MN⊂面MDE，又AC⊄面MDE，所以AC∥平面MDE…（Ⅱ）解：∵∠ADC＝90°，∴AD⊥DC，又AD⊂平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD，∴AD⊥平面PDCE，又PD⊂平面PDCE，∴AD⊥PD．…以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，…设面PBC的法向量＝（x，y，1），应有即：解得：，所以…设PE与PBC所成角的大小为θ，∵∴，…（Ⅲ）解：设﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面QAD的法向量为＝（x′，y′，1），即：…解得：，所以…∵面PBC的法向量，平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．∴，…∴所以，PC上存在点Q满足条件，Q与P重合，或…22．如图，圆，是圆M内一个定点，P是圆上任意一点，线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）过点D（0，3）作直线m与曲线E交于A，B两点，点C满足（O为原点），求四边形OACB面积的最大值，并求此时直线m的方程；（3）已知抛物线上，是否存在直线与曲线E交于G，H，使得G，H的中点F落在直线y＝2x上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．解：（1）由题意可知，Q在PN的垂直平分线上，所以|QN|＝|QP|，又因为|QM|+|QP|＝r＝4，所以|QM|+|QP|＝4＞|MN|，………………1分所以Q点的轨迹为椭圆，且2a＝4即a＝2，由题意可知c＝，所以b＝1∴曲线E的方程为；………………3分（2）因为，所以四边形OACB为平行四边形，当直线m的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线m的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx+3，直线m与曲线E交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，联立方程组，消去y，整理得（1+4k2）x2+24kx+32＝0．……………4分由△＝（24k）2﹣128（1+4k2）＞0得k2＞2．x1+x2＝﹣，x1x2＝，因为S△OAB＝|OD||x1﹣x2|＝|x1﹣x2|，所以S▱OACB＝2S△OAB＝3|x1﹣x2|＝3＝3＝24，……………6分令k2﹣2＝t，则k2＝t+2（由上式知t＞0），所以S▱OANB＝24＝24≤24＝2，当且仅当t＝，即k2＝时取等号，∴当k＝±时，平行四边形OACB的面积的最大值为2．此时直线的方程为y＝±x+3．……………8分（3）由已知抛物线方程是y2＝﹣x，若直线斜率存在，设直线与曲线E的交点坐标为G（x1，y1），H（x2，y2），满足曲线E的方程，两式作差可得，G，H的中点F落在直线y＝2x上则有y1+y2＝2（x1+x2）代入可得＝﹣，直线方程可以设为y＝﹣x+b与抛物线方程联立，消元可得方程y2﹣4y+4b＝0，直线与抛物线相切则有△＝16﹣16b＝0，所以b＝1……………10分则直线的方程为x+8y﹣8＝0，与椭圆方程联立：，消元可得方程17y2﹣32y+15＝0，△＝322﹣4×17×15＞0，所以直线x+8y﹣8＝0满足题意．若直线斜率不存在时，直线x＝0满足题意．所以，综上这样的直线存在，方程是x+8y﹣8＝0或x＝0．。
2019-2020学年四川省眉山市高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年四川省眉山市高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．若直线l不平行于平面a，且l a⊄，则A．a内的所有直线与l异面B．a内不存在与l平行的直线C．a内存在唯一的直线与l平行D．a内的直线与l都相交【答案】B【解析】试题分析：根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．解：直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故A，C，D错误故选B．【考点】平面的基本性质及推论．2．不等式组4380xyx y<⎧⎪<⎨⎪++>⎩表示的平面区域内的整点坐标是（）A．(﹣1，﹣1) B．(﹣2，0) C．(﹣1，﹣2) D．(0，﹣1)【答案】A【解析】逐项验证点坐标是否满足不等式组，即可求解.【详解】对于A，x=﹣1<0，y=﹣1<0，4x+3y+8=1>0，满足条件；是平面区域内的点；对于B，y=0≥0，不满足条件，不是平面区域内的点；对于C，x=﹣1<0，y=﹣2<0，4x+3y+8=﹣2<0，不满足条件，不是平面区域内的点；对于D，x=0≥0，不满足条件，不是平面区域内的点.故选:A.【点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的区域，判断点是否在区域内，属于基础题.3．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-r r ，且ka b +r r 与2a b -r r互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1 B ．15C ．35D ．75【答案】D【解析】由ka b +r r 与2a b -r r互相垂直得()()20a b ka b +⋅=-r r r r ,再代入()()1,1,0,1,0,2a b ==-r r求解即可.【详解】由题()()20a b ka b +⋅=-r rr r ,即()()31,,202,,2k k --⋅=.故7332405k k k -+-=⇒=. 故选：D 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算与垂直的运用,属于基础题型.4．过圆C :(x ﹣2)2+(y ﹣1)2=25上一点P (﹣2，4)作切线l ，直线m :ax ﹣3y =0与切线l 平行，则a 的值为（ ） A ．35B ．2C ．4D ．125【答案】C【解析】由已知可得切线l 与PC 垂直，求出切线l 斜率，再由直线m 平行切线l ，斜率相等，即可求出参数. 【详解】根据题意，圆C :(x ﹣2)2+(y ﹣1)2=25的圆心为C (2，1)， 则k CP =142(2)---=﹣34，若过圆C 上一点P (﹣2，4)作切线l ，则切线l 的斜率143CP k k =-=， 又由直线m :ax ﹣3y =0即y =3ax 与切线l 平行， 则有433a=，解可得a =4. 故选:C . 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查两平行线的关系，属于基础题.5．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1，若AB=BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中不成立的是（）A．EF与BB1垂直B．EF⊥平面BDD1B1C．EF与C1D所成的角为45°D．EF∥平面A1B1C1D1【答案】C【解析】连A1B，则A1B交AB1于E，可证EF∥A1C1，再由长方体的垂直关系，可判断A正确；由已知可证A1C1⊥平面BDD1B1，可判断B为正确；EF∥A1C1，EF与C1D所成角就是∠A1C1D，∠A1C1D的大小不确定，判断C为错误；EF∥A1C1，可得D正确. 【详解】连A1B，则A1B交AB1于E，又F为BC1中点，可得EF∥A1C1，由B1B⊥平面A1B1C1D1，可得B1B⊥A1C1，可得B1B⊥EF，故A正确；由EF∥A1C1，A1C1⊥平面BDD1B1，可得EF⊥平面BDD1B1，故B正确；EF与C1D所成角就是∠A1C1D，∵AA1的长度不确定，∴∠A1C1D的大小不确定，故C错误；由E，F分别是AB1，BC1的中点，得EF∥A1C1，可得EF∥平面A1B1C1D1，故D正确.故选:C.【点睛】本题以长方体为背景，考查线线垂直、线面垂直、线面平行以及异面直线所成的角，属于基础题6．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ） A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2 D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2【答案】D【解析】化简得到x 2＝1ay (a ≠0)，讨论a ＞0和a ＜0两种情况，利用点到准线的距离计算得到答案. 【详解】抛物线标准方程为x 2＝1ay (a ≠0) 当a ＞0时，开口向上，准线方程为y ＝－14a则点M 到准线的距离为3＋14a ＝6，解得a ＝112，则抛物线方程为y ＝112x 2； 当a ＜0时，开口向下，准线方程为y ＝－14a， 则点M 到准线的距离为－14a －3＝6，解得a ＝－136，则抛物线方程为y ＝－136x 2. 综上所述：y ＝112x 2或y ＝－136x 2故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，漏解是容易发生的错误. 7．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π)B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃ 【答案】B【解析】由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围． 【详解】直线xsinα+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sinα， ∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k ≤1∴倾斜角的取值范围是[0，4π]∪[34π，π）故选：B ． 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．8．过直线2x +y +4=0和圆x 2+y 2+2x ﹣4y +1=0的交点，且面积最小的圆方程为（ ）A ．(x +135)2+(y +65)2=45 B ．(x ﹣135)2+(y ﹣65)2=45 C ．(x ﹣135)2+(y +65)2=45D ．(x +135)2+(y ﹣65)2=45【答案】D【解析】过直线与圆两交点面积最小的圆是以相交弦为直径的圆，由垂径定理求出相交弦长，以及相交弦的中点坐标，即可求解. 【详解】圆x 2+y 2+2x ﹣4y +1=0即 (x +1)2+(y ﹣2)2=4， 表示以C (﹣1，2)为圆心，半径等于2的圆. 圆心C 到直线2x +y +4=0的距离为d= 故弦长为5=，. 过点C 且与2x +y +4=0垂直的直线为250x y -+=，由240250x y x y ++=⎧⎨-+=⎩求得 13565x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即所求圆的圆心为(﹣135，65)， 故所求的圆方程为:(x +135)2+(y ﹣65)2=45.故选:D . 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题. 9．已知正方体AC 1的棱长为1，点P 是面AA 1D 1D 的中心，点Q 是面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长为（ ）A ．22B ．3 C ．1D ．2【答案】A【解析】连接11,AB AD ，可得P 为1AD 中点，根据线面平行的性质定理，有1//PQ AB ，从而PQ 为11AB D ∆的中位线，即可求解. 【详解】∵正方体AC 1的棱长为1，点P 是面AA 1D 1D 的中心， 点Q 是面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，连结AD 1，AB 1，∴由正方体的性质，得: AD 1∩A 1D =P ， P 是AD 1的中点， PQ ⊂平面11AB D ， 平面11AB D I 平面111AA B B AB =， PQ ∥平面AA 1B 1B ， PQ ∥AB 1， ∴PQ =12AB 1=121122+=. 故选:A .【点睛】本题考查线面平行的性质定理以及正方体的性质，属于基础题.10．过点C (0，﹣1)的直线与双曲线22132x y -=右支交于A ，B 两点，则直线AB 的斜率取值范围为（ ） A．3B．(1,⋃- C ．(﹣1，1) D．(1,- 【答案】A【解析】设直线的斜率为k ，得到直线方程，与双曲线方程联立，消去y ，可得关于x 的一元二次方程有两正根，根据根的判别式和韦达定理，即可求解. 【详解】设A (x 1，y 1)､B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y =kx -1，由221321x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得(2﹣3k 2)x 2+6kx ﹣9=0. ∴x 1+x 2=2623k k --，x 1x 2=2923k --. ∵直线AB 与双曲线的右支有两个不同的交点，∴()222236k 3623k 06k023k 9023k ⎧∆=+->⎪⎪-⎪>⎨-⎪-⎪>⎪-⎩，即2210230k k k ⎧<⎪>⎨⎪-<⎩，1k <<. 故选:A . 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，注意根与系数关系的应用，考查计算求解能力，属于基础题.11．已知0<x0<y，且M则M 的最小值为（ ）A． B．C ．2D．【答案】D【解析】设(,),(2,0),(0,2),(2,22),(22,2)P x y A B C D ，动点P 在满足0<x <22，0<y <22的正方形内的点，||||||||M PA PB PC PD =+++，由几何意义可得P 为,AC BD 交点时，M 取得最小值. 【详解】根据题意，可知22(2)x y -+表示点(x ，y )与点A (2，0)的距离；22(2)x y +-表示点(x ，y )与点B (0，2)的距离；22(2)(22)x y -+-表示点(x ，y )与点C (2，22)的距离； 22(22)(2)x y -+-表示点(x ，y )与点D (22，2)的距离.M 表示点(x ，y )到A ､B ､C ､D 四个点的距离的最小值.则可画图如下: ∵2222(2)(2)(22)x y x y -++-+- 的最小值是点(x ，y )在线段AC 上，同理，2222(2)(22)(2)x y x y +-+-+- 的最小值是点(x ，y )在线段BD 上，∴点(x ，y )既在线段AC 上，又在线段BD 上，∴点(x ，y )即为图中点P .∴M 的最小值为42AC BD +=. 故选:D .【点睛】本题考查两点间的距离公式，涉及所求式子的几何意义，属于中档题.12．已知圆M :x 2+(y ﹣1)2=1，圆N :x 2+(y +1)2=1，直线l 1､l 2分别过圆心M ､N ，且l 1与圆M 相交于A ､B ，l 2与圆N 相交于C ､D ，P 是椭圆22134x y +=上的任意一动点，则PA PB PC PD ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（ ）A ．3B ．23C ．3D ．6【答案】D【解析】由已知,M N 分别为,AB CD 中点，且为椭圆的焦点，根据向量的加法以及数量积的运算公式，可得222PA PB PC PD PM PN ⋅+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u u ru u r u u u u r ，而4PM PN +=，结合基本不等式，即可求解. 【详解】如图所示，圆心M (0，1)，N (0，﹣1)即为椭圆的焦点.PA PM MA =+u u u r u u u u r u u u r ，PB PM MB =+u u u r u u u u r u u u r ，0MA MB +=u u ur u u u r r ，∴221PA PB PM MA MB PM +⋅=⋅=-u u u r u u u u u u r u u u r u u u u r u u u u rr ， 同理21PC PD PN ⋅=-u u u r u u u r u u u r ，∴222PA PB PC PD PM PN ⋅+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u u ru u r u u u u r ，∵|PM |+|PN |=4，∴2(22PM PN +u u u u r u u u r )≥2(||||)PM PN +u u u u r u u u r =16，当且仅当|PM |=|PN |=2时取等号.∴22+PM PN u u u u r u u u r≥8，∴2226PA PB PC PD PM PN ⋅+⋅+-≥=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u u r r. 故选:D.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质、圆的标准方程及其性质、向量的线性关系以及数量积的计算、基本不等式的应用，考查了推理能力和计算能力，属于较难题.二、填空题13．双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为_____.2【解析】根据渐近线垂直，可求出a b =，结合,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】∵双曲线方程为 22221x y a b-=，则双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，∵两条渐近线互相垂直，∴b a ×(﹣ba)=﹣1∴a 2=b 2， ∴c =222a b a +∴e =2ca. 故答案为:2. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，熟练掌握渐近线斜率和离心率的关系，属于基础题. 14．如图，在棱长为2的正方体中，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上，若P 为动点，Q 为动点，则PQ 的最小值为_____.2【解析】建立空间直角坐标系，利用,,A B P 三点共线设出点P (λ，λ，2﹣λ)，0≤λ≤2，以及Q (0，2，μ)，0≤μ≤2，根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设P (λ，λ，2﹣λ)， Q (0，2，μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，可得PQ 22222(2)(2)2(1)(2)2λλλμλλμ+-+--=-+--+∵2(λ﹣1)2≥0，(2﹣λ﹣μ)2≥0，∴2(λ﹣1)2+(2﹣λ﹣μ)2+2≥2， 当且仅当λ﹣1=2﹣λ﹣μ=0时，等号成立，此时λ=μ=1， ∴当且仅当P ､Q 分别为AB ､CD 的中点时， PQ 2. 故答案为2.【点睛】本题考查空间向量法求两点间的距离，将动点用坐标表示是解题的关键，考查配方法求最值，属于中档题.15．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r 两两的夹角均为60°，且||AB uu u r =1，|AD u u u r |=2，|1AA u u u r |=3，则|1AC u u u r |等于_____.【答案】5【解析】根据已知，1AC u u u r 用基底1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r 表示，由向量的数量积运算法则，求22||AC u u u u r ，即可求解【详解】由平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1可得:11AC AB AD AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++⋅⋅++⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =12+22+32+2cos 60°(1×2+1×3+2×3) =25，∴1AC u u u r =5. 故答案为:5.【点睛】本题考查空间向量的基本定理，以及向量的模长和向量的数量积运算，属于基础题.16．设不等式组x y 110,3x y 30,5x 3y 90,+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D,若指数函数y ＝ a x 的图像上存在区域D 上的点,则实数a 的取值范围是______.【答案】(]1,3【解析】先作可行域，再根据指数函数图象确定满足的条件，解得结果.【详解】作出平面区域D 如图中阴影部分所示，其中()2,9A .若指数函数x y a =的图像上存在区域D 上的点，则必有1a >，当xy a =的图像恰好经过点A 时，3a =，易知当13a ≤≤时，x y a =的图像上存在区域D 上的点，故实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.三、解答题17．已知△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点分别是D (5，3)，E (4，2)，F (1，1). （1）求△ABC 的边AB 所在直线的方程及点A 的坐标；（2）求△ABC 的外接圆的方程.【答案】（1）x ﹣y =0，(0,0)（2）(x ﹣8)2+(y +6)2=100【解析】（1）设,,A B C 坐标，由中点坐标公式列出方程，可求出,,A B C 坐标，进而取出直线AB 方程；（2）分别求出,AB AC 的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为ABC ∆外接圆圆心坐标，求出半径，可得出结论.【详解】（1）设A (x ，y )，B (a ，b )，C (m ，n )，则8410622x m y n a m b n x a y b +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨+=⎪⎪+=⎪+=⎩. 解得028,,024x a y b n π===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩,∴A (0，0)，B (2，2)，C (8，4).∴边AB 所在直线的方程:x ﹣y =0.（2）由（1）得AB 的垂直平分线方程为2y x =-+，AC 的垂直平分线方程为210y x =-+，联立2210y x y x =-+⎧⎨=-+⎩，解得86x y =⎧⎨=-⎩， 所以ABC ∆的外接圆的圆心(8,6)P -，半径为||10PA ==，∴△ABC 的外接圆方程为(x ﹣8)2+(y +6)2=100.【点睛】本题考查线段中点坐标的应用，考查圆的标准方程，掌握应用垂径定理确定圆心，属于基础题.18．AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ､B 的动点，过动点C 的直线VC 垂直于圆O 所在平面，D ，E 分别是VA ，VC 的中点.（1）判断直线DE 与平面VBC 的位置关系，并说明理由；（2）当△VAB 为边长为V ﹣DEB 的体积.【答案】（1）DE ⊥平面VBC ，理由见解析（2）13【解析】（1）由已知可得AC ⊥BC ，AC ⊥VC ，可证AC ⊥平面VBC ，D ，E 分别是VA ，VC 的中点，有DE ∥AC ，即可证明结论；（2）由已知可证△VBC ≌△VAC ，得到BC =AC ，进而求出BC ，AC ，VC 值，利用等体积法有V DEB D VBE V V =﹣﹣，即可求解.【详解】（1）DE ⊥平面VBC ，证明如下:∵AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ､B 的动点，∴AC ⊥BC ，∵过动点C 的直线VC 垂直于圆O 所在平面，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥VC ，∵BC ∩VC =C ，∴AC ⊥平面VBC ，∵D ，E 分别是VA ，VC 的中点，∴DE ∥AC ，∴DE ⊥平面VBC .（2）∵△VAB 为边长为AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ､B 的动点，过动点C 的直线VC 垂直于圆O 所在平面，D ，E 分别是VA ，VC 的中点，∴△VBC ≌△VAC ，∴BC =AC ，∴BC 2+AC 2=AB 2=8.∴AC =BC =2，22(22)22VC =-= D ，E 分别是VA ，VC 的中点，∴DE =12AC =1， ∴四面体V ﹣DEB 的体积为: 13V DEB D VBE BEV V V S DE ∆==⨯⨯﹣﹣ 1132VBC S DE ∆=⨯⨯⨯=11112213223⨯⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查线面垂直的证明，注意空间垂直间的转换，考查用等体积法求体积，属于中档题.19．已知点P 在曲线x 2+y 2=1上运动，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，动点M 满足QM 2QF =u u u u r u u r .（1）求动点M 的轨迹方程；（2）点A ､B 在直线x ﹣y ﹣4=0上，且AB =4，求△MAB 的面积的最大值.【答案】（1）x 2+28y =1（2）72【解析】（1）设(),()0,(),P x y M x y Q x x x '''='，，，，再由已知将,x y ''用,x y 表示，代入曲线方程221x y +=，即可求解；（2）要求△MAB 的面积的最大值，只需求点M 到直线AB 距离的最大值，当点M 为与直线AB 平行且距离AB 较远的切线的切点时，为所求的点，转化为求与直线AB 平行的切线方程，即可得出结论.【详解】 （1）设(),()0,(),P x y M x y Q x x x '''='，，，，∵动点M 满足22QM QF =u u u u r u u u r .∴()(),220,x x y y -'='，∴0,22x x y y -'=='，解得:,22x x y '='=，代入曲线221()()x y '+'=，可得:2218y x +=. ∴动点M 的轨迹方程为: 2218y x +=. （2）设与直线x ﹣y ﹣4=0平行且与椭圆相切的直线方程为:x ﹣y +m =0，联立22088x y m x y -+=⎧⎨+=⎩，化为:9x 2+2mx +m 2﹣8=0， 令22449(8)0m m ∆=⨯⨯-=﹣，解得3m =±.取3m =. 可得切线:x ﹣y +3=0与直线x ﹣y ﹣4=0的距离d =7222=. ∴△MAB 的面积的最大值为72472122⨯⨯=. 【点睛】本题考查求轨迹方程，注意相关点法的应用，考查用几何法求曲线（椭圆）上的点到直线距离的最值，属于中档题.20．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =2，AD =4，将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .（1）求证:AB ⊥DE ；（2）若点F 为BE 的中点，求直线AF 与平面ADE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】（1）由已知结合余弦定理，求得BD =再由勾股定理的逆定理有ED ⊥DB ，根据面面垂直的性质定理可得ED ⊥平面ABD ，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出,,,,A B D E F ，进而求出AF u u u r 坐标和平面ADE 法向量的坐标，按照空间线面角公式，即可求解.【详解】（1）在△ABD 中，由余弦定理:BD 2=AB 2+AD 2﹣2AB •ADcos ∠DAB ，∴BD =∴△ABD 和△EBD 为直角三角形，此即ED ⊥DB ，而DB 又是平面EBD 和平面ABD 的交线，且平面EBD ⊥平面ABD ，ED ⊂平面EBD ，∴ED ⊥平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，∴AB ⊥DE ；（2）由（1）知∠ABD =∠CDB =90°，以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),2,0)D B C E A -，则，设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z =r ，则有2020y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令x =1，则n =r ，(2,1)AF =u u u r ，设直线AF 与平面ADE 所成角为α，则有sin cos ,||||n AF n AF n AF α⋅=<>===⨯r u u u r r u u u r r u u u r ， 所以直线直线AF 与平面ADE.【点睛】本题考查线线垂直的证明，灵活应用空间垂直之间的转换，考查向量法求线面角，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题.21．如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =12CD =1，PD =2.（1）若M 为PA 中点，求证:AC ∥平面MDE ；（2）求直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值.（3）在PC 上是否存在一点Q ，使得平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为3π. 【答案】（1）证明见解析（2）12（3）存在 【解析】（1）连结PC ，交DE 与N ，可得N 为PC 中点，结合已知，可证MN ∥AC ，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出,,,P E B C 坐标，进而求出PE u u u r坐标及平面PBC 法向量坐标，根据空间向量的线面角公式，即可求解； （3）设(01)PQ PC λλ=≤≤u u u r u u u r ，求出平面QAD 的法向量坐标，按照空间向量的面面角公式，求出λ，并判断是否满足条件.【详解】（1）连结PC ，交DE 与N ，连结MN ，∵△P AC 中，M ，N 分别为两腰P A ，PC 的中点，∴MN ∥AC 因为MN ⊂面MDE ，又AC ⊄面MDE ，所以AC ∥平面MDE（2）∵∠ADC =90°，∴AD ⊥DC ，又AD ⊂平面ABCD ，平面PDCE ∩平面ABCD CD =，∴AD ⊥平面PDCE ，又PD ⊂平面PDCE ，∴AD ⊥PD ，以D 为空间坐标系的原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,1,0),C(0,2,0)P B，(1,1,(1,1,0)PB BC =-u u u r u u u r ，(0,2,0)PE DC ==u u u r u u u r ，设面PBC 的法向量(,,)m x y z =u r，应有(,,)(1,1,0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u v v u u u v v 即:00x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩ 令1x =，则1,y z ==，所以(m =u r ， 设PE 与PBC 所成角的大小为θ，∵(0,2,0)PE =u u u r， ∴||1sin |cos ,|222|2|||m PE PE m m PE θ⋅=〈〉===⨯⋅u u u r r u u u r u r u u u r r ， 直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值12. （3）设(01)PQ PC λλ=≤≤u u u r u u u r 则(0,2,(0,2)DQ DP PC λλλ=+=+=u u u r u u u r u u u r(1,0,0)DA =u u u r ，设平面QAD 的法向量为(,,)n x y z '''=r ，()(),,(0,2)0,,(1,0,0)0n DQ x y z n DA x y z λ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪''''''⎩u u u v v u u u v v 即:2)00y z x λ⎧+=⎪⎨='''⎪⎩ 则0x '=，令z '=，则1y λ'=-，所以()0,n λ=-r ∵面PBC的法向量(m =u r ， 平面QAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为3π.∴1|cos ,|2m n n m m n ⋅〈〉===⋅u r r u r r u r r ，整理得2320λλ-=，解得0λ=或23λ=， ∴PC 上存在点Q 满足条件，Q 与P 重合，或23PQ PC =.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间向量法求线面角、面面角，考查运算求解能力，属于中档题.22．如图，圆22 If. (3)16x y ++=，()30N ， 是圆M 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段PN 的垂直平分线l 和半径MP 相交于点Q ，当点P 在圆M 上运动时，点Q 的轨迹为曲线E（1）求曲线E 的方程；（2）过点D (0，3)作直线m 与曲线E 交于A ，B 两点，点C 满足OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r (O 为原点)，求四边形OACB 面积的最大值，并求此时直线m 的方程；（3）已知抛物线212y x =-上，是否存在直线与曲线E 交于G ，H ，使得G ，H 的中点F 落在直线y =2x 上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）2，1732y x =±+（3）存在，x +8y ﹣8=0或x =0 【解析】（1）由已知可得|QN |=|QP |，进而有|QM |+|QP |=4>|MN |，根据椭圆定义，即可求解；（2）由OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，四边形OACB 为平行四边形，设1122(,),(,)A x y B x y ，1223||AO OACB B S S x x ∆==-Y ，设直线AB 斜率为k （斜率不存在另讨论），求出直线AB 方程，与椭圆方程联立，消元，求出k 的范围，根据韦达定理得出，12,x x 关系，进而将OACB S Y 表示是为k 的目标函数，换元，利用基本不等式，即可求解；（3）若直线斜率不存在，0x =满足条件，若斜率存在，设直线与曲线E 的交点坐标为3344(,),(,)G x y H x y ，应用点差法，结合G ，H 的中点F 落在直线y =2x 上，求出直线GH 的斜率，设直线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=,求出直线GH 方程，验证直线GH 与椭圆是否相交，即可求解.【详解】（1）由题意可知，Q 在PN 的垂直平分线上，所以|QN |=|QP |，又因为|QM |+|QP |=r =4，所以|QM |+|QP |=4>|MN |，所以Q 点的轨迹为椭圆，且2a =4即a =2，由题意可知，所以b =1，∴曲线E 的方程为2214x y += （2）因为OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以四边形OACB 为平行四边形，当直线m 的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线m 的斜率存在时，设直线 的方程为y =kx +3，直线m 与曲线E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 联立方程组22314y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ， 整理得(1+4k 2)x 2+24kx +32=0.由△=(24k )2﹣128(1+4k 2)>0得k 2>2. x 1+x 2=﹣22414k k +，x 1x 2=23214k +， 因为S △OAB =12|OD ||x 1﹣x 2|=32|x 1﹣x 2|， 所以S ▱OACB =2S △OAB =3|x 1﹣x 2令k 2﹣2=t ，则k 2=t +2(由上式知t >0)，所以S ▱OANB， 当且仅当t =94，即k 2=174时取等号，∴当k=±2时， 平行四边形OACB 的面积的最大值为2.此时直线的方程为y=±2x +3 （3）若直线斜率存在，设直线与曲线E 的交点坐标为3344(,),(,)G x y H x y ，满足曲线E 的方程223322441414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得()()()()3434343404x x y y x y y x +--++=，G ，H 的中点F 落在直线y =2x 上，则有()34342y y x x +=+代入可得343418y y x x -=--， 直线方程可以设为18y x m =-+与抛物线方程联立， 得21218y x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消元可得方程2440y y m +=﹣， 直线与抛物线相切则有16160m ∆==﹣，所以1m =，则直线的方程为x +8y ﹣8=0，与椭圆方程联立:2214880x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，消元可得方程17y 2﹣32y +15=0，△=322﹣4×17×15>0， 所以直线x +8y ﹣8=0满足题意.若直线斜率不存在时，直线x =0满足题意.所以，综上这样的直线存在，方程是x +8y ﹣8=0或x =0.【点睛】本题考查定义法求轨迹方程，考查直线椭圆的位置关系，以及最值问题，注意应用根与系数关系，求出“目标函数”，根据函数性质特征，用换元法、基本不等式、函数的单调性求目标函数的最值，涉及相交弦的中点问题，常用点差法求解，属于较难题.。
四川省眉山一中办学共同体2018-2019学年高二上学期1月考试数学(理)试卷Word版含答案
中点 M 的轨迹方程为（
D）
A．x y 6 0
B．x y 6 0
C．x y 6 0
D． x y 6 0
8．直三棱柱 ABC －A1B1C1 中，∠ BCA ＝90°，M 、N 分别是 A1B1、A1C1 的中点， BC＝ CA＝ CC1， 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为 ( C )
1 A. 10
1 2B1C 1
BD ，因此有 ND
BM ，则
ND 与 NA 所成的角即为异面直线 BM 与 AN 所成的角．设
BC＝ 2，则 BM ＝ ND ＝ 6， AN＝ 5， AD＝ 5， ND 2＋ NA2－ AD 2 30
因此 cos∠AND＝ 2ND·NA ＝ 10 .
9．已知圆 O : x2
y2
r
2
眉山一中办学共同体 2020 届第三期 12 月月考试题
数学（理科）
一、选择题： （共 60 分，每小题 5 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1．经过点 ( 3 ， 2)，倾斜角为 60°的直线方程是（ C ）
A ． y 2 3( x 3)
B． y 2
3 (x 3)
3
C ． y 2 3(x 3)
2 B. 5
C. 30 10
D. 2 2
解析 方法一 由于∠BCA＝ 90 °，三棱柱为直三棱柱，且 BC＝ CA＝ CC1，
可将三棱柱补成正方体．建立如图 (1)所示空间直角坐标系．
设正方体棱长为 2，则可得 A(0,0,0) ， B(2,2,0) ， M (1,1,2) ， N(0,1,2) ，
→
→
∴BM＝ (－ 1，－ 1,2)， AN＝ (0,1,2) ．