高中物理竞赛培训《运动学》

证明：
任取一条轨道PQ，PQ和水平面夹角为φ.
PQ的长为 l 2Rsin
下滑的加速度 g// g sin
所以
tPQ
2l g//
4Rsin 2 R
g sin
g
由于 tPQ 与φ无关，故对应任意轨道的时间均相同。
P g//
g φ Qφ
最速路径：例题1
解原题： 以P为顶点作一球面，使其与所给球面相切于Q， 则线段PQ即为所求的轨道。 （1）作图确定线段PQ：
x2 (vt)2 ( x vt)2 2(vt)(x vt)cos60 x2 3xvt 3v2(t)2 略去二阶小量得：
x2 x2 3xvt
x vt x
x
由此式来研究在Δt时间内三角形边长的缩短 量（x - x′）！进而找出缩短的速率！
由此式有
x
x(1
3vt
)
1
2
x(1
3vt
)
速度υ0 、位移△s0 ，由于有
t0
1 7
t
s0
1 49
s
0 s0 / t0 1 s / t 7
二、最速路径问题
何谓最速路径问题？ 著名的“伽利略最速路径问题”：1 伽利略的答案：圆弧曲线（错误） 伯努利兄弟的答案：滚轮曲线的一部（分正确）
最速路径问题
➢寻找一条运动时间最短的路径 ➢从两条路经中找出运动时间较短的一条
解：小球作的是匀速折线运动。
P’’
可将小球的运动类比为光线在平
面镜M、N之间的反射。
而光线经镜面反射后的行进等效 于光线沿原入射方向的行进。
因此光线在两平面镜之间的不断
P’ N
反射可等效为光线沿PP′直线传播。
由于POP 415 60，所以PPO 900，
O
150
300 M
l
P
因此光线能够沿原路返回到P点。
质点动态多边形的会聚问题
例题、A、B、C三个芭蕾舞演员同时从边长为l 的正三角形顶点出发，以相对地的相 同的速率v运动，运动中始终保持着A朝着B、B朝着C、C朝着A，试问经多少时间三人相 聚？每个演员跑了多少路程？
解：
A
C
三位演员的运动是匀速直线运动还是匀速曲线运动？
三位演员作相同的匀速率曲线运动。
u ky K如何定？
k 20
L
u 20 y
L
x
u
20
L
y
y
r
抛物线？
y1
x1
L
2
0 4 r
L
a
x
2 0
L
r
a y 0
x
x1
0xt
1 2
axt
2
y y1 0 yt
x
1 2
axt
2
y rt
x 0 y2 L r
x
x1
0t
0r
2L
t2
y y1 rt
消去t,得到什么？ 另一岸时， y=L
x2 2 ptg p 2 0
xA xB 2 ptg
xAxB p2
xA xB
cos
(xA xB )2 4xAxB
cos
2p
cos2
1 g sint 2
2
渡河中的流速线性变化问题
例题：河流宽度为L，流速与离岸的距离成正比，岸边流速为零， 河中心流速为v0，一小船以恒定的相对速度vr垂直于流速方向， 从一岸驶向另一岸，试求小船的运动轨迹。
1
(h
ab ab
)
2
h ab ab
h a(1 a )tg
ab
tg1
h
ab ab
例题：从离地面上同一高度h，相距L的两处同时各抛出一个石块： 一个以初速度V1竖直向上抛；另一石块以速度V2水平抛出。求这两 个石块在运动过程中它们之间的最短距离？（两个石块初速度位于 同一竖直平面内）
y
0
sin
t
1 2
gt
2
消去t
x a b, y 0 y
xtg
gx 2
202
(1
tg 2 )
要击中目标，满足什么条件？ 说明什么？
0
(a
b)tg
g(a b)2
202
(1
tg 2 )
y x(1 x )tg
ab
y x(1 x )tg
ab
当α为从0到π/2范围内的不同值时，得到所 有的一切轨道。
g
3，4，5，6颗子弹和第1颗子弹相遇的时刻
方法二：速率对称法 竖直上抛物体上升和下降经过空中同一位置时，速度总是大 小相等，方向相反
(0 gt) 0 g(t n)
t 3 n 2
方法三：利用图象法 作出子弹的运动的s-t图
拓展：杂技演员表演抛四球游戏时，每隔相等的时间就抛出一球， 若空中总有三球，手中总有一球，假设各球上升的最大高度都是 1.25m，求每个球在手中停留的时间及当此人接住第一球时，其 它三球的高度
在运动过程中三位演员的位置有什么关系？ 三位演员任何时候的位置均构成正三角形。但
B 诸三角形的边长越来越短。
最后三位演员在何处相遇？
三位演员最终在三角形ABC的中心相遇。此时三 角形边长缩短为零。
研究三角形的边长的变化情况，设法找出 三角形边长由l 缩短为零所用的时间！！
将从开始到相遇的时间t分为n份小量时间Δt：
所以小球从P点出发到又回到P点，总的路程即为PP″=2PP′.
所经历的时间为 t 2PP 2l cos 300 2 3(s)
v0
v0
P’’
题后总结
➢这种解法的实质就是将折线运动等效 变为直线运动从而使问题得以简化。 ➢本题还有另一种常规解法： 1、看小球多次弹碰后是否会与杆正碰 2、确定在什么位置正碰 3、算出所有折线段的总长 4、计算时间 但这种解法需解三角形！！试一试， 看能否用此法解答。
P’ N
150
300
M
O
l
P
拓展：如图的示，MN为竖直墙，平面镜OB绕O的垂 直于纸面的水平轴以恒定的角速度ω转动，在墙上的A 点发出一水平光线投射到OB上，并被反射到墙上D点。 设∠AOC=θ,AO=d,求D的速度。
D的速度方向总是向上，大小则等于OD长度的变化
率
OD OD'
'
d
cos2
tg 2
T 4t 40.4 1.6s
上升的时间为 t T / 2 0.8s
上升的高度为 h 1 gt2 3.2m 2
每隔△t时间抛出一球，共有n个球,试求每个球到达的最大高度 h 每个球从手中抛出后都是经过T=n△t的时间落回手中， 经时间t=T/2= n△t/2上升到最高点，故最大高度
h 1 gt2 1 gn2t2 28
tmin 2
g
Hg
相关变换：竖直平面内建立直角坐标系xoy，x轴水平，过抛物 线x2 =2py的焦点弦是一刚性的光滑轨道，一小物块从轨道上 端A无初速释放，问滑到轨道底端B所用时间最小为多少？此时 AB与水平面的夹角满足什么条件？
焦点F（0、p/2)
AB的直线方程 y p tgx
2
x2 2 py
x
2x
即得到
x x 3 vt 2
显然三角形的边长是以 3 v的速度缩短的。
2 三角形的边长缩短至零的时间即为所求时间：t
3
l 2v
2l 3v
.
思考题1：此类问题亦可进一步推而广之，假设有个 人同时从边长为的正边形顶点出发，以相同速率运动， 运动中始终保持1朝着2，2朝着3，……(n-1)朝着 n,n朝着1,试问经过多少时间相遇？
PM 1 at2 2
t2 2PM 2PM PN ?
a
g PK
PM PN PT 2 cons tan t
接下来如何思考呢？
OPO'
cos PC H R
OP L
(R r)2 L2 r2 2Lr cos
L2 R2
L2 R2
r
2R 2L cos 2H
r 2(L2 R2 )
高中物理竞赛培训——运动学部分
一、数形结合处理竖直上抛
对于某些较难求解的问题，按数形结合的思想分析处理， 物理过程将大大简化，计算快速便捷。竖直上抛的统一物理 公式是
x
0t
1 2
gt
2
位移实际上是时间的二次函数，其图像是抛物线。
例题一个以30m/s的初速度将小球上抛，每隔1秒抛出一球，
假设空气阻力，可以忽略不计，而且升降的球并不相碰，问（1） 最多能有几个球在空中？（2）设在t=0时将第1个球抛出，在哪 些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？
接下去的转折点在哪呢？
当α为π/4时，标出的轨道为 y x(1 x ) ab
在满足什么条件下这条轨道从山的上方通过？为此，求当轨道上x=a这点的高度
h1
a
abLeabharlann Baidu
h1
a(1
a
) b
a
b
y x(1 x ) a b h a b ab
h ab ab
0min
g(a b) 0min
gab 2h
t
(1
cos
2
)
n
思考题2：假如演员的速率不变，加速度的大小如何变化？
a 3 2
2
光反射定律的类比应用
某些质点的运动类似光的反射现象，若应用光的反射定 律可使复杂的问题得到简单的求解。
例题、 如图，光滑水平面上两根刚性细杆OM、ON成15°夹角交于O点，小球在 OM的内侧与O相距l=20cm的P点处，以与MO成30°角方向的初速朝ON杆运动，初速度 大小为v0=10cm/s. 试问小球能否回到P处？若能，则须经多少时间回到P处？
设每经过Δt 的时间后三角形的边长依次缩短为：
A1B1C1 ： l1， A2B2C2 : l2， ……， AnBnCn ： ln . 当ln 0时，三演员相遇。 如图，依据小量近似有
l1 A1B1 l AA1 BB1 cos 60 l vt vt cos60
l vt 1 vt l 3 vt
几何上的相似性不一定带来等价的物理原理上的相似性
例题：摄制电影时，为了拍摄下落物体的特写镜头，做了一个线度为1/49实 物的的模型。放电影时，走片速度为每秒24张，为了使动画逼真，拍摄时走 片速度应为多大？模型的运动速度应为实物运动速度的多少倍？
设实物在时间t内下落的高度为h,而模型用时间t0下落了对应的高度h0,,则 由自由落体公式应有
关键是确定球心O’
过P点作竖直线AB, 且使AP等于R， 连接A、O，作AO的中垂线与直线AP相 交，交点O’即为所求的球心。
连接O’与O所得交点即为Q. （2）证明线段PQ为所求：略。
A R P
Q1
O’
Q
R
O
Q2
B
题后总结
➢最后的作图方法较困难 ➢本题还可以用分析法解答
最速路径：例题1
a g PK PN
2
2
l2
l1
3 vt 2
l
3 2
vt
3 vt 2
l
2
3 vt 2
A
A1 A2
C2
C
C1
B2 B1
B
3 ln l n 2 vt 令n , 则有l n 0， nt t.
由此得 t 2l . 3v
故有 0 l 3 vt . 2
另解：
设经过某一小量时间Δt后，三角形的边长
vt
由x变为x′. 如图，由余弦定理：
分析：手中无球时，空中球的个数即为表演用的球的个数，因此 本次表演共有4个球，由于不计球在手中停留的时间，因此可画出 当第一个球恰好回到手中时，各球在空中的分布情况。
如图，第3个球位于最高点，2、4两球等高，由于上半 段平均速度小，下半段平均速度大，故2、4两球位于 半高度的上方。
每个球空中的循球周期
分析：子弹同地出发，设第一颗子弹射出t后经后和另一颗子弹相遇，则另一颗子弹在 空中的时间为t-n(n=1,2…)
方法一：位移相等法 子弹同地出发，空中相遇时位移相等，由竖直上抛规律可得
0t
1 2
考虑到
gt 2
tp
0 (t
20 6s
n) 1 g(t n)2 2
t 3 n 2
则n=1,2,3,4,5时所对应t的为3.5s,4s,4.5s,5,5.5s分别为第2，
问题1、如图所示，地面上有一固定的球面， 球面的斜上方P处有一小球。现要确定一条从P到 球面的光滑倾斜直轨道，使小球从静止开始沿轨 道滑行到球面所历的时间最短。
分析： 先凭直觉猜一猜结果？
A
B P
× ？？ ？
最速路径：例题1
先讨论
预备问题、 如图，地面附近有一空心球，过顶点 P有很多光滑直轨道抵达球内表面。试证明小球沿任意 轨道从静止出发到达球内表面所花的时间相同。
h
1 2
gt 2
h0
1 2
gt02
利用的辅助条件 h0 1
h
49
t0
1t 7
可见放电影时应将模型运动时间“放大”7倍，才能使人们看电影时欣赏到逼真
的画面。为此，在拍摄电影时，拍摄的走片速度应为放映时走片速度的7倍。
24张/ 秒7 168张/ 秒
又设实物在某段时间△t内以速度υ通过位移△s，而模型与之对应的量则分别是时间△t0 、
VD
VD
VD' 2 D'
θ
' 2
抛体运动中的边界和最值问题
例题：迫击炮和目标位于同一水平面上，它们之间有高为h的小山。 迫击炮到山顶的水平距离为a目标到山的距离为b。试求为击毁目标 炮弹必需具有的最小初速度以及发射角（空气阻力不计）
如何找到切入点呢？ 思维的障碍在哪里？ 小山？
x 0 cost
分析：每个球上升的最大高度都是1.25m，故各球在空中运动的时间都是1s
要使空中总有三球，手中总有一球，故当抛第四球时，要求第一 球恰好回到手中，位移抛物线如图所示，
各球在手中停留的时间都是1/3s
学生练习：一杂技演员，用一只手表演抛球、接球。每隔0.4s 抛出一球，接到球后便立即把球抛出。已知除正在抛、接球的 时刻外，空中共有四球，球上升的最大高度。