人教九年级数学上册- 第二十二章 二次函数数学活动
新课导入
问题: 观察下列两个两位数的积，猜一猜其 中哪个积最大.
91×99,92×98,…,98×92,99×91. 这节课我们运用二次函数的知识探究和 说明两数的积的最大值.
(1)探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律. (2)建立二次函数模型证明猜想是否正确. (3)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力.
解：设该函数解析式为y=ax2， ∵抛物线过点(20，2)， ∴2=a×202，解得a=0.005， ∴y=0.005x2. 当x=18时，y=1.62<1.8. ∴该货船在这个河段不能安全通过.
2.根据以下10个乘积，回答问题： 1×399；2×398；3×397；4×396；…；398×2；399×1． (1)猜一猜：所有的积中，哪两个数的积最大？ (2)运用二次函数的知识说明你的猜想是正确的.
推进新课
活动1 关于两数乘积的猜想与证明
猜想：下列式子中，哪个积最大？
901×999，
902×998，
…，
猜一猜
998×902,
999×901.
先研究稍小一点的数，算一算，看你的猜想是 否正确：
91×99= 9009 , 92×98= 9016 , 93×97= 9021 , 94×96= 9024 , 95×95= 9025 .
3x
连接起来.
l2
l1
（1）观察画出的曲线L，猜想它 是我们学过的哪种曲线？
（2）对于曲线L上任意一点P，线段PA与PM有什么关系？
设点P的坐标是（x,y）,你能由PA与PM的关系得到x、y满
足的关系式吗？
y
（提示：根据勾股定理用含x,y的 式子表示线段PA的长.）
P 3 A(0,2)
M
O
x
l2
n 1 2 3 4 5… S 1 3 6 10 15 …
(2)当n＝6时，S= 21 ;
1 3 6 10 15 21
n＝6
(3)根据表中的数据，把S作为点的纵坐标，n作为点的横 坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
y
14
解：(3)如图
12
10
8
6
4
2
O 2 4 6 8 10 12
x
(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗?如果在 某一函数的图象上，求出该函数的解析式．
活动2 曲线l的形状
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2).在x轴
上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1， 过点M作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P.
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方 法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线
y
P3
A(0,2)
M
-3 O
l
如果铝合金材料总长度为l m, 设AB为x m，当AB= 8 m时， 长方形框架ABCD的面积S最大.
(3)经过这三种情形的试验，他们发现对于图案④这样的情
形也存在着一定的规律．
探究: 如图案④，如果铝合金材料总长度为l m共有n条竖档
时，那么当竖档AB为多少时,长方形框架ABCD的面积最大.
解：设AB=x
【对应训练】
观察：
5×5=0×1×100+25, 15×15=1×2×100+25, 25×25=2×3×100+25, 35×35=3×4×100+25,
解：y=(n-1)×n×100+25 =100n2-100n+25.
此解析式是二次函数.
…
请猜测，第n个算式（n为正整数）的结果y应表示为什
么解析式?此解析式是否为二次函数？
x
l1
你能由此确定曲线 解：对于曲线L上任意一点P，连接LP是M哪、种PA曲，线吗？
则线段PA与线段PM的关系为：PA=PM,
设点P的坐标为(x,y),
y
则PA2=x2+(y-2)2，PM=|y|，
由PA与PM的关系列等式x2+(y-2)2=y2， P
化简得y=x2/4+1.
M
3 A(0,2)
由此，点P在函数y=x2/4+1的图象上.
解：它们在同一函数图象上. y
设函数解析式为y=an2+bn+c, 14
图象经过点(1,1),(2,3),(3,6). 12
1 a b c, 则3 4a 2b
6 9a 3b
c, c,
解得
a
b
c
12, 12, 0.
10 8 6 4
2
该函数的解析式为y
1 2
n2
1 2
n.
O
2 4 6 8 10 12
请根据以上图案回答下列问题:
(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长
4 度和)为6m,当AB为1m,长方形框架ABCD的面积是 3 m2;
(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为6m，设AB为xm, 长方形框架ABCD的面积为S= x(2-x) (用含x的代数式表示)； 当AB= 1 m时, 长方形框架ABCD的面积S最大; 在图案③中，
m.
则AD
l
nx 3
m.
长方形框架ABCD的面积S
x·l 3nx
n 3
x2
l 3
x，
l
b 2a
3 2（
n） 3
l 2n
.
当竖档AB为
l 2n
m时，长方形框架ABCD的面积最大.
拓展延伸
4.如图①是棱长为a的小正方体，图②、图③由这样的小 正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下 分别把第一层、第二层、第三层…第n层的小正方体的 个数记为S．解答下列问题： (1)填表：
猜想：下列式子中，哪个乘积最大？
901×999，
902×998， 猜测:950×950最大！
…，
998×902, 999×901.
这个猜测对 不对呢？
证明：设第一个数是900+x，则第二个数是(1000-x), 设两数积为y. (1)求y与x的函数关系式； y=(900+x)(1000-x)=-x2+100x+900000 (2)求y的最大值； y=-(x-50)2+902500 ∴y的最大值为902500，此时x=50.
解：(1)200×200的积最大.
(2)设第一个乘数为x，第二个乘数为(400-x)，乘积为y.
∴y=x(400-x)=-x2+400x.
又
b 2a
400
2 1
200.
当x=200时，y有最大值.猜想正确.
综合应用
3.九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下 的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外 观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大.小组讨 论后，同学们做了以下三种试验:
O
x
即曲线L的形状是抛物线.
l2
l1
基础巩固
随堂演练
1.如图是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资 料，得到下表中的数据：
(1)请你以上表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试 在坐标系中画出y关于x的函数图象;
解：(1)如图.
Hale Waihona Puke y1410
6
2
O 10 20
30
40 50
x
(2)当水面宽度为36米时，一艘吃水深度(船底部到水面的 距离)为1.8米的货船能否在这个河段安全通过?为什么?
(市级)数学活动：人教九上第22章《二次函数》教学设计(郑楠楠-三门峡实验中学)
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》数学活动《二次函数---数学活动》教学设计授课教师：三门峡市实验中学郑楠楠辅导教师：三门峡市教育局教学研究室杨丽一、内容和内容解析本节课的内容是在学习了第二十二章《二次函数》的基础上，通过本节课的数学活动，进一步通过对实际问题的探究建立二次函数模型，以及通过点所满足的关系式来判断点所在的曲线形状，从而达到了对本章知识的深化。
活动1通过对一列两个两位数的积的最大值进行大胆的猜一猜，想一想，证一证。
主要是通过实际问题建立二次函数关系式，并通过配方法求出其最值。
让学生体会数学中的建模思想。
活动2判断点P所在曲线的形状，通过猜一猜，画一画，想一想，证一证经历数学中的猜想验证从而得出结论。
在活动中通过几何画板的展示，简单明了的展示出通过点M的运动，得到相应的点P，从点的运动角度得到点P的运动轨迹是一条抛物线。
活动中运用数形结合思想，由垂直平分线的性质得出PA和PM的数量关系，再通过构造直角三角形，利用勾股定理表示出PA、PM的长度，从而得出点P所满足的函数关系式，从而判断出点P所在的曲线为一条抛物线。
二、目标和目标解析1.能够掌握从数学实际问题中抽象出二次函数关系式，通过理解实际问题，并分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系。
2.熟练运用二次函数及性质解决具体数学问题，能够熟练运用二次函数配方法求出函数的最值，从而解决实际问题。
3.经历动手实践的过程体会数形结合的思想，体会描点画图形成曲线的过程，并通过合作探究培养学生的合作和分享意识。
三、教学问题诊断分析本节课作为一个活动课，是学生在学习完本章知识的基础上再来探究本节课的内容，学生对建立数学模型，并利用函数的性质来解决实际问题，以及学生也能够用一般式，顶点式等不同的方法来求函数解析式等内容都有一定的基础，但是本节课的内容是对二次函数知识的一个更深层次的研究，学生可能遇到的问题有：1. 在建立数学模型的过程中，由于部分学生对实际问题中的数量关系用代数式表示以及对代数式的意义掌握的不够扎实，缺乏数学与实际意义的联系。
2022年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数教案 实际问题与二次函数(第1课时)
22.3 实际问题与二次函数（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能根据实际问题构造二次函数模型.2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题.【过程与方法】通过对“矩形面积”等实际问题的探究,让学生经历数学建模的基本过程,体会建立数学模型的思想.【情感态度与价值观】体会二次函数是一类最优化问题的模型,感受数学的应用价值,增强数学的应用意识.二、课型新授课三、课时第1课时,共3课时。
四、教学重难点【教学重点】用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题.【教学难点】将实际问题转化为数学问题,并用二次函数性质进行决策.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课出示课件3:排球运动员从地面竖直向上抛出排球,排球的高度h（单位:m）与排球的运动时间t（单位:s）之间的关系式是h=20t-5t2（0≤t≤4）．排球的运动时间是多少时,排球最高？排球运动中的最大高度是多少？（二）探索新知探究二次函数与几何图形面积的最值出示课件5:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h（单位:m）与小球的运动时间t（单位:s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师分析:可以看出,这个函数的图象是一条抛物线的一部分,这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.教师问:如何求出二次函数y=ax2+bx+c的最小（大）值？（出示课件6）学生答:由于抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点,当2b x a=-时,二次函数y=ax 2+bx+c 有最小（大）值244ac b y a -=． 师生共同解答:（出示课件7）解:303225ba -=-=⨯-（）， 2243045445ac b h a --===⨯-（）．小球运动的时间是3s 时,小球最高;小球运动中的最大高度是45m ．师生共同总结: 一般地,当a>0(a<0)时,抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点,也就是说,当2b x a=-时,二次函数有最小（大）值244ac b y a -=． 出示课件8:例 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地,矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少时,场地的面积S 最大？问题1 矩形面积公式是什么？问题2 如何用l 表示另一边？问题3 面积S 的函数关系式是什么？学生思考后,师生共同解答.解:矩形场地的周长是60m,一边长为lm, 所以另一边长为（60l 2-）m. 场地的面积S=l(30-l),即S=-l 2+30l(0<l<30).因此,当301522(1)b l a =-=-=⨯-时,S有最大值22430225.44(1)ac ba--==⨯-即当l是15m时,场地的面积S最大.教师点拨:利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点:（出示课件10）1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；2.确定自变量的取值范围；3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.变式1 如图,用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长32m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少？（出示课件11）教师问:变式1与例题有什么不同？学生答:一边靠墙.教师问:我们可以设面积为S,如何设自变量？学生答:设垂直于墙的边长为x米.教师问:面积S的函数关系式是什么？学生答:S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.教师问:如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？（出示课件12）学生答:0＜60－2x≤32,即14≤x＜30.教师问:如何求最值？学生答:最值在其顶点处,即当x=15m 时,S=450m 2.变式2 如图,用一段长为60m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少？（出示课件13）教师问:变式2与变式1有什么异同？学生答:墙长不一样.教师问:可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？学生答:设垂直于墙的边长为x 米.S ＝x(60－2x)＝－2x 2＋60x.教师问:可否试设与墙平行的一边为x 米？则如何表示另一边与面积？ 学生答:设矩形面积为Sm 2,与墙平行的一边为x 米,则22601130(30)450.222x S x x x x •-==-+=--+ 教师问:当x=30时,S 取最大值,此结论是否正确？（出示课件14）学生答:不正确.教师问:如何求自变量的取值范围？学生答:0＜x ≤18.教师问:如何求最值？学生答:由于30＞18,因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时,S 有最大值是378.教师总结:（出示课件15）实际问题中求解二次函数最值问题,不一定都取图象顶点处,要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比,希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系,以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值. 出示课件16:已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最大值是多少？师生共同分析后,生独立解决.解:∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x,∴另一边长为8-x.则该直角三角形面积:S=（8-x ）x ÷2,即:214.2S x x =-+ 当x=2b a -=4,另一边为4时, S 有最大值244ac b a-＝8, ∴当两直角边都是4时,直角三角形面积最大,最大值为8.（三）课堂练习（出示课件17-25）1.如图,在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD ≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．2.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18m,这个矩形菜园的最大面积是________.3.如图,在△ABC中, ∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB 向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合）,动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过秒,四边形APQC的面积最小.4.如图,点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小？5.某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙, 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm,绿化带的面积为ym²．(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.(2)当x为何值时,满足条件的绿化带的面积最大？6.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告设计费用每平方米1000元,设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式,并写出自变量x的取值范围；(2)请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用.参考答案:1.解:⑴设AB=xm,则BC=（100﹣2x）m,根据题意得x（100﹣2x）=450,解得x1=5,x2=45.当x=5时,100﹣2x=90＞20,不合题意舍去；当x=45时,100﹣2x=10.答:AD的长为10m；⑵设AD=xm,∴S=12x（100﹣x）=﹣12（x﹣50）2+1250,当a≥50时,则x=50时,S的最大值为1250；当0＜a＜50时,则当0＜x≤a时,S随x的增大而增大；当x=a时,S的最大值为50a﹣12a2,综上所述,当a≥50时,S的最大值为1250；当0＜a＜50时,S的最大值为50a﹣12a2．2.2225m 83.34.解:令AB 长为1,设DH=x,正方形EFGH 的面积为y,则DG=1-x.2211114(1)2(01).222y x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⨯-=-+<< 当x=12时,y 有最小值12. 即当E 位于AB 中点时,正方形EFGH 面积最小.5.解:40(1)()2x y x -=2240120,22x x x x -==-+即2120(025).2y x x x =-+<≤∵0＜x ＜25,∴当x=20时,满足条件的绿化带面积y 最大=200.6.解:(1)设矩形一边长为x,则另一边长为（6-x),S=x(6-x)=-x 2+6x,其中0＜x<6.(2)S=-x 2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时,即矩形的一边长为3m 时,矩形面积最大,为9m 2.这时设计费最多,为9×1000=9000（元）.x x y 202122+-=）（)40(212x x --=)202040(21222-+--=x x 200)20(212+--=x（四）课堂小结1.通过本节课的学习你有什么收获？2.你觉得这节课有哪些问题需要特殊关注的？谈谈自己的看法.（五）课前预习预习下节课（22.3第2课时）的相关内容.七、课后作业1教材习题22.3第4、5、6、7题.2.配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型,也是某些单变量最优化的数学模型,如最大利润、最大面积等实际问题,因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题,由于学生对于这一转化过程较难理解,因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出,让学生自主建立数学模型,在这个过程中教师可通过让学生画图探讨最值.总之,在本课时的教学过程中,要让学生经历数学建模的基本过程,体验探究知识的乐趣.。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数大单元教学设计
（1）完成课本第22章练习题1、2、3，要求学生熟练掌握二次函数的定义、图像性质、顶点式与标准式的转换。
（2）利用图形计算器或计算机软件，绘制几个典型二次函数的图像，观察并分析开口方向、顶点、对称轴、最值等性质。
2.实际问题应用：
（3）结合生活实际，编写一道关于二次函数的应用题，要求学生将实际问题抽象为二次函数模型，并求解。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数大单元教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握二次函数的定义，能够准确地识别和描述二次函数的一般形式，即f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）。
2.使学生理解二次函数图像的基本性质，包括开口方向、对称轴、顶点、最小（大）值等，并能够利用这些性质解决相关问题。
2.教学方法：采用情境导入法，通过生活实例激发学生的兴趣，引导学生从实际问题中发现数学规律。
3.教学步骤：
a.展示生活中抛物线运动的图片或视频，让学生观察并描述其运动轨迹。
b.学生分享观察到的运动轨迹特点，教师引导总结出抛物线的一般形式。
c.提问：“这些运动轨迹都可以用一个数学模型来描述，你们知道是什么吗？”由此引出二次函数的定义。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，使他们认识到数学在现实生活中的广泛应用和价值。
2.通过二次函数的学习，让学生感受到数学的对称美和秩序美，培养他们的审美情趣。
3.引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识的学习不仅是为了应对考试，更重要的是为了解决实际问题，为我国的社会发展做出贡献。
3.教学步骤：
a.将学生分成若干小组，每组分配一个讨论题目，如二次函数的性质、图像特点等。
人教版九年级上册数学精品教学课件 第22章 二次函数 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题
1 令 x＝0 得 y＝− 45 ×(0 − 15)2 + 45＝40，
∴ 点 B 的坐标为 (0，40).
∴ 这名运动员起跳时的竖直高度为 40 米．
能力提升 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状 可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直 钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主 塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面 的高度为 0.5 m.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)；
同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0). y 根据对称性，如果不计其它因素，
●B (1，2.25)
A●(0，1.25)
那么水池的半径至少要 2.5 m，才
能使喷出的水流不致落到池外.
●
D
O
●
C
x
例3 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距 离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行 的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时， 篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中 心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度 是多少？
OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面
直角坐标系，抛物线可以用 y＝ − 1 x2 + 2x + c 表示． (1)请写出该抛物线的函数解析式；6
解：根据题意，得 C (0，4). 将其代入
抛物线 y＝− 1 x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
∴
6
抛物线解析式为
y＝−
1
x2
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出
人教版九年级数学22章二次函数全章教案
第二十二章二次函数分析与教学建议（一）．二次函数在初中数学教材中的分析二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。
函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。
学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
（二）本章课时安排本章教学时间约需15课时 ，具体安排如下：22．1节 二次函数…………………………7课时22．2用函数的观点看一元二次方程…………………2课时22．3实际问题与二次函数…………………3课时教学活动 小结及测试…………………3课时（三）、本章教学目标分析（1）本章教学要求如下①经历描点法画函数图象的过程。
2022年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数教案 二次函数与一元二次方程
22.2 二次函数与一元二次方程一、教学目标【知识与技能】了解二次函数与一元二次方程之间的联系,掌握二次函数图象与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别,了解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法.【过程与方法】通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系,体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法.【情感态度与价值观】进一步增强学生的数形结合思想方法,增强学生的综合解题能力.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系,利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【教学难点】一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课出示课件2:以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h（单位:m ）与飞行时间t（单位:s）之间具有函数关系h=20t-5t2．（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能,需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如能,需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？（二）探索新知探究一二次函数与一元二次方程的关系出示课件5:⑴小球的飞行高度能否达到15m？如果能,需要多少飞行时间？学生板演:解:15=20t-5t2,t2-4t+3=0,解得t1=1,t2=3.∴当球飞行1s或3s时,它的高度为15m.教师问:你能结合图形,指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？学生独立思考.出示课件6:（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能,需要多少飞行时间？学生板演:解:20=20t-5t2,t2-4t+4=0,解得t1=t2=2.故当球飞行2秒时,它的高度为20米.教师问:你能结合图形,指出为什么只在一个时间球的高度为20m？学生独立思考.出示课件7:（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能,需要多少飞行时间？学生板演:解:20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.教师问:你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?学生独立思考.出示课件8:（4）球从飞出到落地要用多少时间？学生板演:解:小球飞出时和落地时的高度均为0m,0=20t-5t2,t2-4t=0,解得t1=0,t2=4.当球飞行0秒和4秒时,它的高度为0米.即0秒时球地面飞出,4秒时球落回地面.教师问:从上面发现,二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?（出示课件9）学生答:一般地,当y取定值且a≠0时,二次函数为一元二次方程.教师举例说明:二次函数与一元二次方程关系．（出示课件10）例如,已知二次函数y=－x2＋4x的值为3,求自变量x的值,可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来,解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3 的值为0,求自变量x的值．出示课件12:例已知二次函数:y=2x2-3x-4的函数值为1,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程.反之,解一元二次方程2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数的函数值为0时自变量x的值.学生答:2x2-3x-4=1；y=2x2-3x-5解之得:x1=-1,x2=2.5出示课件13:练一练:1.二次函数y=x2-3x+2,当x=1时,y= ;当y=0时,x= .2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为;与x轴的交点坐标为.学生自主思考后口答:1.0；1或22.(0,-1)；(0.5,0)和（-0.5,0）探究二:利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况教师问:观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有,公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（出示课件14）（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.学生自主思考后,教师加以指导:先画出函数图象---图象与x轴交点横坐标是多少--对应一元二次方程的根是多少.（出示课件15）教师问:由上述问题,你可以得到什么结论呢？（出示课件16）学生思考后,师生共同总结:方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x 轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时,对应的方程无实数根.反过来,由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.出示课件19:观察图象,完成下表:生观察后,独立完成表格.答案:0个；无；x2-x+1=0无解1个；3；x2-6x+9=0,x1=x2=32个；-2,1；x2+x-2=0,x1=-2,x2=1师生共同总结:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系（出示课件20）出示课件21:例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证:此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值．师生共同解决如下:解:(1)证明:∵m≠0,∴Δ＝[-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0,∴Δ≥0,因此抛物线与x轴总有两个交点；（2）令y=0,则（x-1）（mx-2）=0,即x-1=0或mx-2=0,解得x1=1,x2=2.当mm为正整数1或2时,x2的值为整数,因为当m为2时,Δ=0,抛物线与x轴只有一个交点,所以正整数m的值为1.出示课件22:已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点,则k的取值范围是．学生自主解决.221=0kx x +-函数与轴有两个交点，即有两个不相等的实数根x20024(101)00.k k k k k ∴∆>≠-⨯->≠>-≠且，即且则且，出示课件23-26:例2 如图,丁丁在扔铅球时,铅球沿抛物线268-10105x y x =++运行,其中x 是铅球离初始位置的水平距离,y 是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m 时,它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m,它离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达到3m ？为什么？学生自主思考后,师生共同解决.解:⑴由抛物线的表达式得2682.1-,10105x x =++即2650.x x -+= 解得12=1=5.x x ，即当铅球离地面的高度为2.1m 时,它离初始位置的水平距离是1m 或5m.⑵由抛物线的表达式得2682.5-,10105x x =++即2690x x -+=. 解得x 1=x 2=3.即当铅球离地面的高度为2.5m 时,它离初始位置的水平距离是3m.⑶由抛物线的表达式得2683-,10105x x =++即26140.x x -+=因为2=-6-41140∆⨯⨯<（），所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.出示课件28:如图设水管AB 的高出地面2.5m,在B 处有一自动旋转的喷水头,喷出的水呈抛物线状,可用二次函数y=-0.5x 2+2x+2.5描述,在所示的直角坐标系中,求水流的落地点D 到A 的距离是多少？教师分析:根据图象可知,水流的落地点D 的纵坐标为0,横坐标即为落地点D 到A 的距离.即y=0 .学生独立解答:根据题意得 -0.5x 2+2x+2.5=0, 解得x 1=5,x 2=-1(不合题意舍去). 答:水流的落地点D 到A 的距离是5m. 探究三:利用二次函数求一元二次方程的近似解出示课件29:求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.教师分析:一元二次方程x ²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x ²-2x-1 与x 轴的交点的横坐标,因此我们可以先画出这条抛物线,然后从图上找出它与x 轴的交点的横坐标,这种解一元二次方程的方法叫做图象法.师生共同解答.0122=--x x出示课件30,31:解:画出函数y=x²-2x-1 的图象（如下图）,由图象可知,方程有两个实数根,一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.先求位于-1到0之间的根,由图象可估计这个根是-0.4或-0.5,利用计算器进行探索,见下表:观察上表可以发现,当x分别取-0.4和-0.5时,对应的y由负变正,可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0,即有y=x2-2x-1的一个根,题目只要求精确到0.1,这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.教师总结归纳:一元二次方程的图象解法（出示课件32）利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.出示课件33:根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（）A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26学生口答:C（三）课堂练习（出示课件34-41）1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列结论正确是（）A．abc＞0 B．2a+b＜0C．3a+c＜0 D．ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示,则一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的近似根为( )A．x1≈－2.1,x2≈0.1 B．x1≈－2.5,x2≈0.5C．x1≈－2.9,x2≈0.9 D．x1≈－3,x2≈13.若二次函数y=-x 2+2x+k 的部分图象如图所示,且关于x 的一元二次方程-x 2+2x+k=0的一个解x 1=3,则另一个解x 2= .4.一元二次方程3x 2+x －10=0的两个根是x 1=－2,x 2=53,那么二次函数 y= 3x 2+x －10与x 轴的交点坐标是 .5.若一元二次方程20x mx n -+=无实根,则抛物线2y x mx n =-+图象位于（ ）A.x 轴上方B.第一、二、三象限C.x 轴下方D.第二、三、四象限6.二次函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是( )A ．k<3B ．k<3且k ≠0C ．k ≤3D ．k ≤3且k ≠07.已知函数y ＝(k －3)x ²＋2x ＋1的图象与x 轴有交点,求k 的取值范围．8.某学校初三年级的一场篮球比赛中,如图,队员甲正在投篮,已知球出手时距地面209米,与篮框中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行轨迹为抛物线,篮框距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系,问此球能否准确投中？(2)此时,若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1米,那么他能否获得成功？参考答案:1.C2.B3.-14.（-2,0）（5,0）35.A6.D7.解:当k＝3时,函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点,∴k＝3；当k≠3时,y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点,∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16,∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述,k的取值范围是k≤4.8.解:(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0,20),B(4,4),C(7,3),其中B是抛物线的顶点．9(x 设二次函数关系式为y＝a(x﹣h)2＋k,将点A、B的坐标代入,可得y＝﹣19﹣4)2+4.(7﹣4)2+4＝3,左边＝右边,即点将点C的坐标代入上式,得左边＝3,右边＝﹣19C在抛物线上．所以此球一定能投中.⑵将x＝1代入函数关系式,得y＝3.因为3.1＞3,所以盖帽能获得成功．（四）课堂小结1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联？你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而了解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？2.你能利用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？（五）课前预习预习下节课（22.3第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材习题22.2第1、2、3、4、6题.2.配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:本课时教学首先通过具体情况让学生感受用方程思想方法来解决函数问题的思路,然后通过图象来探究一元二次方程的根和二次函数与x轴交点之间的关联.这样整个教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数间的关系来类比引导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外,通过观察图象直观理解、解答练习以及实际观察分析都是必经的途径与方法,重在让学生自主体会.。
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《二次函数的图像和性质：二次函数》
教学设计：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《二次函数的图像和性质：二次函数》教学目标（核心素养）1.数学抽象：学生能够理解并掌握二次函数的一般形式y = ax² + bx + c，以及系数a, b, c 对函数图像形状和位置的影响。
2.逻辑推理：通过观察、分析不同系数的二次函数图像，推导出图像的开口方向、对称轴、顶点位置等性质，并能运用这些性质解决问题。
3.直观想象：通过绘制和观察二次函数图像，培养学生的空间想象能力和数形结合的思想，能够准确描述图像特征。
4.数学建模：能够将实际问题转化为二次函数模型，利用函数图像和性质进行分析和求解。
5.数学运算：能够准确计算二次函数的顶点坐标、对称轴方程，以及解决与图像相关的数学问题。
教学重点•理解并掌握二次函数y = ax² + bx + c 的图像特征，包括开口方向、对称轴、顶点位置等。
•学会绘制给定系数的二次函数图像。
教学难点•如何通过改变系数a, b, c 来控制二次函数图像的形状和位置。
•运用二次函数图像和性质解决实际问题时，如何准确设定函数表达式并进行分析。
教学资源•多媒体课件（包含动态函数图像演示）•黑板与粉笔•学生练习册•几何画板软件（或类似工具，用于学生自主探究）教学方法•讲授法：介绍二次函数的基本概念和性质。
•演示法：利用多媒体展示不同系数的二次函数图像变化。
•探究法：引导学生通过小组讨论和自主探究，发现二次函数图像的特征和规律。
•练习法：通过例题和习题巩固所学知识，提高解题能力。
教学过程导入新课•生活实例引入：展示一些与二次函数相关的生活实例，如投篮轨迹、拱桥形状等，引导学生思考这些现象背后的数学规律。
•复习旧知：回顾一次函数和简单的二次函数（如y = ax²）的图像特征，为学习更复杂的二次函数做准备。
新课教学1.引入新知：介绍二次函数y = ax² + bx + c 的一般形式，解释各系数的意义及其对图像的影响。
初中九年级数学上册《第二十二章 二次函数》大单元整体课时教学设计
初中九年级数学上册《第二十二章二次函数》大单元跨学科教学课时教学设计[2022课标]一、教学目标1.会用数学的眼光观察现实世界：通过本章《第二十二章二次函数》的学习，学生能够运用二次函数的知识观察体育与物理现象中的运动轨迹和变化规律，如铅球投掷的抛物线轨迹、竖直上抛运动中小球的高度变化等，从而发现数学与现实生活及学科的紧密联系。
2.会用数学的思维思考现实世界：学生能够运用二次函数的性质（如开口方向、顶点坐标、对称轴等）和解析式，分析体育和物理问题中的量化关系，如通过调整参数来优化运动效果或模拟实验现象，培养逻辑思维和问题解决能力。
3.会用数学的语言表达现实世界：学生能够将体育和物理中的问题抽象成二次函数模型，建立相应的数学表达式，并通过计算、推导和论证，用准确的数学语言描述和解释这些现象，最终得出科学结论。
二、教学内容分析本章主要探讨二次函数的定义、图象、性质以及应用，是初中数学知识体系中的重要组成部分。
从学科内部来看，二次函数的学习是在一次函数基础上的深化和拓展，通过本章的学习，学生能够理解并掌握二次函数的基本概念、图象特征以及增减性，为后续学习一元二次方程、二次不等式等内容打下坚实基础。
从跨学科角度来看，二次函数在体育、物理等领域有着广泛的应用。
在体育项目中，如投掷、跳跃等，运动员的运动轨迹往往可以抽象为二次函数图象，通过二次函数的解析式可以精确描述运动员的运动状态，为训练提供科学依据。
在物理学中，二次函数模型被广泛应用于描述抛体运动、振动等自然现象，有助于学生理解自然界中复杂运动的本质规律。
在本章的教学过程中，教师应注重引导学生将二次函数知识与实际问题相结合，通过跨学科的教学活动，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识和实践能力。
结合体育、物理等学科的实例，让学生深刻体会到数学知识在解决实际问题中的重要作用，提升数学学习的价值和意义。
三、教学重点1.理解并掌握二次函数的定义、图像及基本性质。
初中数学人教九年级上册第二十二章 二次函数第22章《二次函数》单元教学计划
授课时数安排
课题
课时
22．1 二次函数
6
22．2二次函数与一元二次方程
2
22．3实际问题与二次函数
7
数学活动
小结
2
第二十二章《二次函数》单元教学计划
单元主题
二次函数
教学内容
本单元教学的主要内容：
1、能用表格、表达式、图像表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考能力和语言表达能力，能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。
2、会做二次函数的图像，并能根据图像对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。
3、能根据二次函数的表达式确定二次函数图形的开口方向、对称轴和定点坐标。能根据已知条件确定二次函数的表达式。
4、能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测。
教学目标
1、通过对实际问题的分ห้องสมุดไป่ตู้,体会二次函数的意义.
2、会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.
3、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为顶点式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,能说出图象的开口方向,画出图象的对称轴,并能解决简单的实际问题.
2、关注学生是否能建立二次函数图像与表达式之间的联系，是否理解表达式的变化将要引起图像的何种变化，或者图像的变化将要引起表达式的何种变化。
3、关注学生是否能把实际问题表示为二次函数，是否能够利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。
4、关注学生是否能利用图想法求一元二次方程的近似根，是否理解这种求解方程的思路。
4、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？