图论模型(最短路问题)
数学建模最短路问题
设链W=v0e1v1e2…eivi已选定，则从E\{e1,e2,…,ei}中选取一条与ei相邻的边ei+1，除非已无选择余地，否则不要选G\{e1,e2,…,ei}的桥。
直到(2)不能进行为止，算法终止时得到的是Euler回路。
欧拉图与Fleury算法
01
02
如果G不是连通的Euler图，则G中含有奇度顶点（但奇度顶点的个数为偶数），此时图G的一条邮递路线必定在某些街着上重复走了一次或多次，它等价于在这些边上加一条或多条重复边，使新图G' 不含奇度顶点，并且所加边的总权为最小。
01
Dijkstra Algorithm
02
Dijkstra算法所需时间与n2成正比。
最短路问题求解算法
用Dijkstra求解最短路问题
例 求从顶点u0到其余顶点的最短路。
解：先写出距离矩阵（实际应为对称矩阵）
Dijkstra算法的迭代步骤如下
u0 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7
1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 1 8 ∞ ∞ ∞ ∞ 3 2 8 ∞ ∞ 10 ∞ 4 8 3 ∞ 10 ∞ 5 8 6 10 12 6 7 10 12 7 9 12 8 12
第11章 最短路问题
添加副标题
1 问题的提出
STEP2
STEP1
图论是离散数学的重要分支，在物理学、化学、系统控制、电力通讯、编码理论、可靠性理论、科学管理、电子计算机等各个领域都具有极其广泛的应用。
1
图论的历史可以追溯到1736年，这一年发表了图论的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡（Königsberg）七桥问题。
02
1 匹配与覆盖
基本概念
定义1设若M的边互不相邻，则称M是G的一个匹配。M的边称为匹配边，E\M的边称为自由边，若(u, v)∈M，则称u（或v）是v（或u）的配偶。若顶点v与M的一条边关联，则称v是M-饱和的；否则称为M-非饱和的。若M使G中每个顶点都是M-饱和的，称M是G的完美（理想）匹配。设M是G的一个匹配，若不存在M' 使|M'|>|M|，则称M为G的最大匹配。
《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
图论模型：最短路
T (v3 ) min{ T (v3 ), P(v0 ) f 03 } min{ ,0 1} 1
(3)比较所有的T标号，T(v3 )最小，所以令： P(v3 ) 1;
V1 5 1 5 2 V5 1 V6 3 1 V2 5 1 V4 3 T 7 4
4 1 S 4 5
2 V3
解：狄克斯特拉（Dijkstra）算法列表如下：
V1
4 1 S 4 5
2 V3
5 1 5 2 V5 1 V6 3 1 V2 5 7
4
1 V4 3
T
迭代次数 T（S） T(V1) T(V2) T(V3) T（V4） T（V5） T（V6） T（T） P标号 1 2 3 4 0 +∞ 4 3 3 +∞ +∞ 2 +∞ 1 +∞ +∞ 6 6 +∞ 4 3 3 +∞ 5 5 5 +∞ +∞ +∞ 9 S V3 V2 V1
T (v6 ) 9
(9)比较所有T标号，T(v5 )最小，所以令P(v5 ) 6;
(10)v5为刚得到P标号的点，考察边v5 v2 , v5 v6 , v5 v7的端点 v2 , v6 , v7 :
T (v2 ) min{ T (v2 ), P(v5 ) f 52 } min{ 8,6 1} 7
5
6 7 8 最短路权 父点 0 S 3 V3 2 V3 1 S
6
6 6 6 V3
3
5
5
7
7 7 7
V5
V6 V4 D
3 V3
第2讲最短路问题
u3
u4
u5
u6
u7
０
１2
7 4
8
2
4 7 4
8
37
4
8
69 4
8
69
6
9
6
9
012
3
u0
u0 u0
u2
6
9
46
u3
u3
u0
u6
u1
u2
u7
u0
u4
u3
u6
u5
Dijkstra算法：求G中从顶点u0到其余顶点的最短路
设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均均非负.
对每个顶点，定义两个标记（l(v)，z(v)），其中: l(v) ：表从顶点u0到v的一条路的权．
W 3 1 0 3 6 7 5 3 0 4 3
6
4
0
6
4
4 3 6 0 2
8
7
4
2
0
因G是无向图，故W是对称阵．
迭代 次数
1 2 3 4 5 6 7 8 最后标记 l (v)
z (v)
l(ui )
u0
u1
u2
3 1)
,
1
di(kk
3 1)
5
dk0(jk1)},
0 1 5 2
1
0
4 3
D(2)
5
4
0 2
2 0
1 3 3,
3 0 5
2 3 1 3 5 0
1 2 2 4 5 6
最短路模型
以引例为例，说明标号法的基本思想。
s =1,因所有wij0，故d(v1,v1)=0, 这 时v1 是具有P 标号的点。 考察从v1出发的三条弧(v1,v2), (v1,v3), (v1,v4) 。如果从v1出发沿(v1,v2)到达v2, 则需要d(v1,v1)+w12=6单位费用；如果 v1
v2
一、引例 例1：已知如图所示的单行线交通网， 每弧旁的数字表示通过这条单行线所 需的费用。现在某人要从v1出发通过 v1 这个交通网到v8 ，求使总费用最小的 旅行路线。
v2
6 3 2
1
v5
2 6 3
v9
3
v3
2
1
6 4 10
10
v4
v6
2
v7 4 v8
对于有向图G 或无向图G 的每一条边e ，附加一个实数w(e),则称 w(e)为边e 上的权，当e=(vi,vj)时，w(e)也可记为wij 。G 连同其各边 上的权称为带权图，带权图常记为G=<V,E,W>。
例2 求右图所示带权图中从v1到 v8 的最短路 解：这里只给出结果 P(v1)=0 , P(v4)=1 , P(v3)=3 , P(v2)=5 ,
6
v2
2 3 1
1
v5
2 6 3
v9
3
v1
v3
2
6 10
4
P(v5)=6 , P(v9)=8 , P(v7)=9 , P(v6)=10 ,
v4
v6
2
v7 4
6 3 2
1
v5
2 6 3
v9
3
v3
2
1
6 4 10
10
v4
最短路(图)
最短路最短路问题（short-path problem）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
单源最短路径包括确定起点的最短路径问题，确定终点的最短路径问题（与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
）算法可以采用Dijkstra 算法。
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra 算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法代码1#include <string.h>2#include<algorithm>3using namespace std;45const int maxnum = 100;6const int maxint = 99999999;78int dist[maxnum];9int prev[maxnum];//记录当前点的前一个结点10int c[maxnum][maxnum];11int n,line;1213void dijkstra(int n,int v,int *dist,int *prev,int c[maxnum][maxnum])//v代表源点14{15 bool s[maxnum];//判断是否已存入该点到S中16 for(int i = 1;i <= n;++i)17 {18 dist[i] = c[v][i];19 s[i] = 0;20 if(dist[i] == maxint)//代表当前点与源点没有直接相连21 prev[i] = 0;22 else23 prev[i] = v;//代表当前点的前一个节点是v，即源点24 }25 dist[v] = 0;//源点到源点的距离初始化为026 s[v] = 1;//源点已被遍历过，标记为12728 for(int i = 2;i <= n;++i)29 {30 int tmp = maxint;31 int u = v;32 for(int j = 1;j <= n;++j)33 {34 if((!s[j]) && dist[j] <tmp)//该点没有被遍历到并且源点到j点的距离小于记录的距离35 {36u = j;//记录下这一点37tmp = dist[j];//记录下这一点到源点的距离38 }39 }40 //找到距离最短的点退出循环41 s[u] = 1;//标记该点已经遍历过4243 for(int j = 1;j <= n;++j)44 {45 if((!s[j]) && c[u][j] <maxint)//j没有被遍历过并且从u到j还有这条路径46 {47 int newdist = dist[u] + c[u][j];//新的距离是从源点到u的距离加上从u到的距离48 if(newdist <dist[j])//如果新的距离比原来到j的距离要短49 {50 dist[j] = newdist;//则更新dist数组51 prev[j] = u;//标记j的前一个节点是u52 }53 }54 }55 }56}5758void searchpath(int *prev,int v,int u)//查找从v到u的最短路径59{60 int que[maxnum];//保存路径61 int tot = 1;62 que[tot] = u;//把终点存入路径数组63 tot++;64 int tmp = prev[u];65 while(tmp != v)66 {67 que[tot] = tmp;68 tot++;69tmp = prev[tmp];70 }71 que[tot] = v;72 for(int i = tot;i >= 1;--i)73 {74 if(i != 1)75 printf("%d->",que[i]);76 else77 printf("%d\n",que[i]);78 }79}808182int main()83{84 scanf("%d",&n);//输入结点数85 scanf("%d",&line);//输入路径数目86 int p,q,len;87 for(int i = 1;i <= n;++i)//初始化存储数组88 {89 for(int j = 1;j <= n;++j)90 {91 c[i][j] = maxint;92 }93 }94 for(int i = 1;i <= line;++i)//往存储数组里存放路径95 {96 scanf("%d%d%d",&p,&q,&len);97 if(len <c[p][q])//如果两个点之间有多条路，取路径较短的那一条98 c[p][q] = len;99 c[q][p] = len;//该语句根据实际情况写，用于无向路径中100 }101 for(int i = 1;i <= n;++i)//初始化标记数组102 dist[i] = maxint;//该数组记录从起点到该点的最短路径长度103104105 dijkstra(n,1,dist,prev,c);106 printf("从源点到最后一个顶点的最短路径长度为：%d\n",dist[n]);107 printf("从源点到最后一个顶点的路径为：");108 searchpath(prev,1,n);109}全局最短路求图中所有的最短路径。
最短路问题的三种算法模板
最短路问题的三种算法模板最短路算法&模板最短路问题是图论的基础问题。
本篇随笔就图论中最短路问题进⾏剖析，讲解常⽤的三种最短路算法：Floyd算法、Dijkstra算法及SPFA算法，并给出三种算法的模板。
流畅阅读本篇博客需要有图论的基础知识，了解什么是图，什么是最短路，以及⼀些基本语法知识和算法基础。
1、Floyd算法我个⼈认为，Floyd算法是三种最短路算法中最简单、最好理解的算法。
它的适⽤范围是任意两点之间的最短路。
这⼀点是其他两种算法（单源最短路）⽆法⽐拟的。
它的实现思路也很简单：⽤三重循环，枚举断点、起始点和终点（注意：顺序千万不能反！！），如果起始点到断点，断点到终点的距离和⼩于起始点到终点当前状态下的最短路（也就是说找到了⼀个⽐它还短的），那么就更新最短路。
它的优点就是简洁明了，易于理解，但是缺点也显⽽易见，通过它的实现途径，我们可以发现，使⽤Floyd算法的题⼀定要⽤邻接矩阵存图，这样的⼀个⼆维数组显然对空间有着要求，⼀般来讲，只能⽀持不超过500个点的图，假如更多，便⽆法⽀持。
同时，Floyd算法还对时间有着要求，因为是三重循环，所以它的时间复杂度是O(n3)的，这样的复杂度如果出现在⼀个复杂程序中，极其容易TLE，所以，请⼤家使⽤的时候，⼀定要读题读题，慎重慎重！模板：void Floyd(){memset(map,0x3f,sizeof(map));for(int i=1;i<=n;i++)map[i][i]=0;for(int k=1;k<=n;k++)//顺序不要反for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)map[i][j]=min(map[i][k]+map[k][j],map[i][j]);}2、Dijkstra算法Dijkstra算法，中⽂名是迪杰斯特拉算法，简写是DIJ算法。
DIJ算法是求解单源最短路，即从某⼀个源点到达其他所有点的最短路的⼀个经典算法。
图论模型(最优连线问题、最短路问题)
v3
8.1 最优连线问题（最小生成树）
例1 现需从自来水厂接自来水管道到各个城镇，自 来水厂到各城镇之间铺设自来水管道价格如下，问 如何铺设最经济。
A 8 B
5
E 1
7 6
水厂
3 10
D 9
C
分析： ①显然铺设的自来水管道要连通各个顶点； ②铺设的管道中如果有回路，则去掉一条边，仍可 行。 故所铺设的管道是连通各个顶点且没有回路的 图形，称为图G的生成树。 我们的目标是寻找一颗图G的生成树，其各条 边的权之和最小，称为最小生成树。 1956年，Kruskal给出了一种求最小生成树的 算法，称为避圈法。
e2 e5
e4
M
v2
v3
v4
v4
0 0 0 1
1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
e3
v3
例3
v1 2 v2
v1 v1 v2 v3 v4
3 7
8
M
v2
v3
v4
v4
0 7
2 0 8
0 5
3 0
5
lv; v; s(k+1)=v; k=k+1; u=s(k); end l z 输出结果为： l=0 2 1 7 3 6 9 12 z=1 1 1 6 2 5 4 5
注：l输出的是u1到u1、u2、…、u8各个顶点的 最短路径距离。 z输出的是最短路径中u1、u2、…、u8的父节点。
%求从u0到uj0的最短路径 disp('起点为u1.'); j=input('输入终点u'); disp('下面求从起点u1到终点'); j, disp('的最短路径。'); lj=[]; while j~=1 lj=[[j],lj]; j=z(j); end lj=[[1],lj]; lj 例如求u1到u8的最短路径，程序执行后输出为：1 2 5 6 8 各位有兴趣还可以考虑将图可视化，点击屏幕输入终点以及 在图形上输出显示最短路径。
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数学模型与实验
v2
1
v5
2 v9
6
v1 0 3
2
v3 3 6 4 10 6
3 v8
2
3
4
v4
1
10
v6
2
v7
由 min{d(v1,v1)+w12, d(v1,v1)+w13 , d(v1,v4)+w46}= min{6,3,11} = d(v1,v1)+w13=3 知，d(v1,v3）=3, λ(v3)=1.
Jin Peng
http: //peng/jpeng.html
数学模型与实验
Dijkstra 算法(wij ≥0)
v2 1 v5 2 6 v1 3 2 v3 2 v9
6
4
10
3
6
3 v8
0
1 v4
1
10
v6
2
v7
4
易知 d(v1,v1)=0，λ(v1)=0. 由 min{d(v1,v1)+w12, d(v1,v1)+w13 , d(v1,v1)+w14}= min{6,3,1} = d(v1,v1)+w14=1 知，d(v1,v4）=1,λ(v4)=1.
d (vs , v j ) min {d (vs , vi ) wij }
i
利用以下递推公式可求出 vs 到其它各点的距离。
d (1) (vs , v j ) wsj , ( j 1,2, p) 对 t 2,3, d (t ) (vs , v j ) min {d t 1 (vs , vi ) wij }, ( j 1,2, p)
Jin Peng http: //peng/jpeng.html
数学模型与实验 v2 5 v5 6
2
v9 v1 0
v3 3
4
10 3
6
3 v8
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1
10
v6
2
v7
9
4
由 min{d(v1,v4)+w46, d(v1,v5)+w56 , d(v1,v5)+w57 , d(v1,v5)+w58}= min{11,10,9,12} = d(v1,v5)+w57=9 知，
d(v1,v7）=9, λ(v7)=5.
Jin Peng http: //peng/jpeng.html
数学模型与实验 v2 5 v5 6
2
v9 v1 0 v8 v4
v3 3
4
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6
3
1
10
v6
2
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9
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10
由 min{d(v1,v4)+w46, d(v1,v5)+w56, d(v1,v5)+w58 , d(v1,v7)+w78 }= min{11,10,12,13} =
d(v1,v5)+w56=10 知，d(v1,v6）=10, λ(v5)=5.
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数学模型与实验
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v7 9
4
12
d(v1,v5)+w58=12 知，d(v1,v8）=10,λ(v8)=5. d(v1,v9）=+∞, λ(v9)=M.
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数学模型与实验
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1
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由 min{d(v1,v1)+w12, d(v1,v4)+w46, d(v1,v3)+w32 }= min{6,11,5} = d(v1,v3)+w32=5 知，d(v1,v2）=5, λ(v2)=3.
数学模型与实验
最短路问题
求 v1 到 其它各点 的最短路
v2 1 v5 2 6 v1 1 3 2 v3 6 4 10 6 v9 3 v8 10
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Jin Peng
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数学模型与实验
基本概念
给定图 D=(V,A)， 对 D 中的每一条弧 aij = (vi,vj)，相应地有一个数 wij，则称这样的图为赋 权有向图，称 wij 为弧 (vi,vj) 上的权. 又给定 D 中的两个顶点 vs,vt，设 P 是 D 中从vs 到 vt 的一条路，称路 P 中所有弧的权之和为路 P 的 权，记为 w(P). 如果从 vs 到 vt 的路 P* 的权是图 D 中所有从vs 到 vt 的路的权中最小者，则称 P* 是从 vs 到 vt 的最 短路.即
由 min{d(v1,v5)+w58, d(v1,v7)+w78 }= min{12,13} =
根据λ的取值可求出 v1 到其它各点的最短路。
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最短路算法(wij 存在小于0 的情况) 如果 P 是 D 中从 vs 到 vj 的最短路，vi 是 P 中的一个 点，那么，从vs 沿 P 到 vj 的路是从 vs 到 vi 的最短路，则有
w( P ) min w( P)
* P
Jin Peng http: //peng 到 vt 的距离，记为 d(vs ,vt ).
最短路算法
性质：如果 P 是 D 中从 vs 到 vj 的最短路，vi 是 P 中的一个点，那么，从vs 沿 P 到 vi 的路是从 vs 到 vi 的最短路.
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数学模型与实验
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由 min{d(v1,v4)+w46, d(v1,v2)+w25}= min{11,6}
= d(v1,v2)+w25=6 知，d(v1,v5）=6,λ(v5)=2.
i
若到某一步，例如第k步，对所有j=1,2,…9,有
d ( k ) (vs , v j ) d ( k 1) (vs , v j )
则vs 到各点的距离。