图论模型：最短路
《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
图论模型：最短路
T (v3 ) min{ T (v3 ), P(v0 ) f 03 } min{ ,0 1} 1
(3)比较所有的T标号，T(v3 )最小，所以令： P(v3 ) 1;
V1 5 1 5 2 V5 1 V6 3 1 V2 5 1 V4 3 T 7 4
4 1 S 4 5
2 V3
解：狄克斯特拉（Dijkstra）算法列表如下：
V1
4 1 S 4 5
2 V3
5 1 5 2 V5 1 V6 3 1 V2 5 7
4
1 V4 3
T
迭代次数 T（S） T(V1) T(V2) T(V3) T（V4） T（V5） T（V6） T（T） P标号 1 2 3 4 0 +∞ 4 3 3 +∞ +∞ 2 +∞ 1 +∞ +∞ 6 6 +∞ 4 3 3 +∞ 5 5 5 +∞ +∞ +∞ 9 S V3 V2 V1
T (v6 ) 9
(9)比较所有T标号，T(v5 )最小，所以令P(v5 ) 6;
(10)v5为刚得到P标号的点，考察边v5 v2 , v5 v6 , v5 v7的端点 v2 , v6 , v7 :
T (v2 ) min{ T (v2 ), P(v5 ) f 52 } min{ 8,6 1} 7
5
6 7 8 最短路权 父点 0 S 3 V3 2 V3 1 S
6
6 6 6 V3
3
5
5
7
7 7 7
V5
V6 V4 D
3 V3
离散数学--第7章-图论-4最短路问题
返回 结束
7.4.2 Floyd算法
19
定义7.4.1:已知矩阵A＝(aij)m×l，B＝(bjk)l×n，规定C＝A*B ＝(cij)m×n，其中cij＝min(ai1＋b1j, ai2＋b2j, …, ail＋blj)
定义7.4.2已知矩阵A＝(aij)m×n，B＝(bij)m×n，规定D＝A B ＝(dij)m×n，其中dij＝min(aij,bij)
Dijkstra算法在物流配送中的应用
OSPF（open shortest path first, 开放最短路径优先）算法是 Dijkstra算法在网络路由中的一个具体实现。
返回 结束
7.4 .1 Dijkstra算法
17
Dijkstra算法要求图上的权是非负数，否则 结果不正确；
Dijkstra算法同样适用于无向图，此时一个 无向边次相当于两个有向边。
5次 u＝e，S＝{a,c,b,d,e}
迭 代
L(e)＋ω (e,z)＝10＋3＝13＜L(z)
L(b)＝3，L(d)＝10，L(e)＝12，L(z)
L(z)＝13
＝∞
结 u＝z，S＝{a,c,b,d,e,z}
3次 u＝b，S＝{a,c,b}
束 从a到z的最短路的长度为13。
迭代 L(b)＋ω (b,d)＝3＋5＝8＜L(d) L(b)＋ω (b,e)＝3＋∞＝∞
返回 结束
7.4 .1 Dijkstra算法
9
procedure Dijkstra(G:所有权都为正数的加权连通简单图)
{G带有顶点a＝v0,v1,…,vn＝z和权ω(vi,vj)，若(vi,vj)不是G的边，则ω(vi,vj)＝ ∞}
for i:＝1 to n
数学建模模最短路
基于最短路问题的研究及应用令狐采学姓名：Fanmeng学号：指导老师：摘要最短路问题是图论中的一大问题，对最短路的研究在数学建模和实际生活中具有很重要的实际意义，介绍最短路问题的定义及这类问题的解决办法Dijkstra算法，并且能够在水渠修建实例运用到此数学建模的方法，为我们解决这类图论问题提供了基本思路与方法。
关键字数学建模最短路问题Dijkstra算法水渠修建。
目录第一章．研究背景1第二章．理论基础22.1 定义22.2 单源最短路问题Dijkstra求解:22.2.1 局限性22.2.2 Dijkstra算法求解步骤22.2.3 时间复杂度22.3 简单样例3第三章．应用实例43.1 题目描述43.2 问题分析43.3符号说明43.4 模型假设53.5模型建立与求解53.5.1模型选用53.5.2模型应用及求解53.6模型评价5第四章. 参考文献5第五章．附录6第一章．研究背景在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶点代表对象，在示意图中我们经常使用点或者原来表示，边表示的是两个对象之间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来表示。
顶点的集合是V，边的集合是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)表示[1]。
最短问题是图论中的基础问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接任意两点之间的最短距离。
因此掌握最短路问题具有很重要的意义。
第二章．理论基础2.1 定义最短路问题（short-path problem ）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管道铺设，线路安装，厂区布局和设备更新等实际问题[2]。
2.2 单源最短路问题Dijkstra 求解: 2.2.1局限性Dijkstra 算法不能够处理带有负边的图，即图中任意两点之间的权值必须非负。
最短路dijkstra算法详解
最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法，本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。
一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法，其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点。
具体而言，Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点，以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。
初始时，S集合为空，dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。
接下来，重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合：1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u；2. 将u加入S集合；3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离：如果从起点出发经过u可以得到更短的路径，则更新v对应位置上dist数组中存储的值。
重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合，并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。
最后，根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。
二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时，需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点，并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。
由于C++标准库中没有提供优先队列，因此需要手动实现或者使用第三方库。
以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中，adj数组用于存储图的邻接表，dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。
图论模型(最优连线问题、最短路问题)
v3
8.1 最优连线问题（最小生成树）
例1 现需从自来水厂接自来水管道到各个城镇，自 来水厂到各城镇之间铺设自来水管道价格如下，问 如何铺设最经济。
A 8 B
5
E 1
7 6
水厂
3 10
D 9
C
分析： ①显然铺设的自来水管道要连通各个顶点； ②铺设的管道中如果有回路，则去掉一条边，仍可 行。 故所铺设的管道是连通各个顶点且没有回路的 图形，称为图G的生成树。 我们的目标是寻找一颗图G的生成树，其各条 边的权之和最小，称为最小生成树。 1956年，Kruskal给出了一种求最小生成树的 算法，称为避圈法。
e2 e5
e4
M
v2
v3
v4
v4
0 0 0 1
1 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
e3
v3
例3
v1 2 v2
v1 v1 v2 v3 v4
3 7
8
M
v2
v3
v4
v4
0 7
2 0 8
0 5
3 0
5
lv; v; s(k+1)=v; k=k+1; u=s(k); end l z 输出结果为： l=0 2 1 7 3 6 9 12 z=1 1 1 6 2 5 4 5
注：l输出的是u1到u1、u2、…、u8各个顶点的 最短路径距离。 z输出的是最短路径中u1、u2、…、u8的父节点。
%求从u0到uj0的最短路径 disp('起点为u1.'); j=input('输入终点u'); disp('下面求从起点u1到终点'); j, disp('的最短路径。'); lj=[]; while j~=1 lj=[[j],lj]; j=z(j); end lj=[[1],lj]; lj 例如求u1到u8的最短路径，程序执行后输出为：1 2 5 6 8 各位有兴趣还可以考虑将图可视化，点击屏幕输入终点以及 在图形上输出显示最短路径。
图与网络分析-最短路
② 给 v2 标号（4）。
③ 划第二个弧。
v2 (4)
4
5
4
v4
7
9
5
v6
1
v1 (0)
①
②
5
v8
1
6
4
v3
7
v5
6
v7
表明走出 v1 后走向 v8 的最短路目前看是 (v1 , v2 ) ，最优距离 是4 。 现已考察完毕第二个圈内的路，或者说，已完成 v1 , v2 的标号。
v1 v3 v6
59 40 28 30
21
v1 (0)
①
12
19 13
v2 (12)
② ③
v3 (19)14 20
v4 (28) 15
29
④
15 v5 (40)
22
v6
41
⑤
最短路路长为49。 即：在第一年、第三年初各购买一台新设备为最优决策。 这时5年的总费用为49。
例3 (选址问题 ) 已知某地区的交通网络如图所示， 其中点代表居民小区，边代表公路，边权为小区间公路距离， 问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民就 诊时所走的路程最近？ 解 求中心的问题。 解决方法：先求出 vi 到 其它各点的最短路长 d j
min{ 24 , k34 , k56 , k57 } min{ ,10,13,14} 9 k 9
① 给 (v2 , v4 ) 划成粗线。 ② 给 v4 标号（9）。 ③ 划第5个弧。
v2 (4)
4
5
4
v4(9)
7
9
5
v6 (13)
1
v1 (0)
图_最短路_2
图论——单源最短路一、最短路两点之间的最短路：给定一个带权图，图中两点i与j的最短路是指从i到j的一条路径，这条路径经过的边的权值之和最小。
求单源最短路：给定一个带权图，求图以结点start为起点的单源最短路是指对每一个结点j<>start，求出start到j的最短路。
二、图的存储方式对于求最短路类问题的算法，图的不同存储方式会产生很大的影响，总的来说，图的存储方式有邻接矩阵，邻接表，前向星等几种。
邻接矩阵：这种存储方法需要开设一个V^2的二维数组edge，对于每两个顶点i和j，如果ij有边，则edge[i,j]=w[i,j]，否则edge[i,j]=-1，这里w[i,j]为边Eij的权。
邻接表：邻接表有链表与数组两种实现方式，如果用数组实现，同邻接矩阵一样需要一个V^2的二维数组edge，edge的每个元素包含两个信息：终点和权值。
另有一个数组a记录从指定顶点出发的边数。
对于每个顶点i，edge[i, j](j=1~a[i])表示从i出发的第j条边的终点与权值。
若用链表实现邻接表，我们可以将edge减成一维，在每个edge[i]后面连一条链表，链表上的每个结点都表示由i出发的一条边。
前向星：前向星的存法只需两个一维数组pos与edge，其中edge[i]存储了第i条边的信息，这些边是按照起点由小到大排好序的，而pos[i]则表示以i为起点的第一条边的位置。
这样在edge[pos[i]~pos[i+1]-1]中便可找到从i出发的所有边的信息。
以下的例子显示了这四种存储图的方法：2 4邻接矩阵：邻接表(数组)：邻接表(链表)：edge各种存储方法的比较：#对于稀疏图而言，复杂度约为常数。
*需要一个O(ElogE)的预处理(排序)。
总的来说，邻接矩阵比较好编写，存储方式简单明了，适合中小规模数据；用数组实现的邻接表与邻接矩阵相差不多；用链表实现的邻接表编程复杂度较高，但效率很好，适合各种各样的图论类题目；前向星只对数组进行操作，编写不是很难，同时效率也不错，在不需要修改边的最短路问题中，前向星是遇到大数据时的最佳选择。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
v1, v2 , v3 , v4}，E {v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4} 例如 设V＝
则G＝（V,E）是一个有4个顶点、6条边的图，其 v4 e6 图解如下图： v v3
3
e2 e3 v1 e1
e6 v4 e5 v2 e4
e3
e2
e5
e4
v1
§7.1 图论的基本概念
定义1 一个有序二元组（V,E）称为一个图，记为G= （V,E），其中① V称为G的顶点集，V≠Φ ，V中的 元素称为顶点或结点，简称点；② E称为G的边集， 其元素称为边，它连接V中的两个点，如果这两个点 是无序的，则称该边为无向边；否则，称为有向边。 如果V＝｛v1,v2,…,vn}是有限非空点集，则称G为有 限图或n阶图。 如果G的每条边都是无向边，则称G为无向图；如果G 的每条边都是有向边，则称G为有向图。否则称G为 混合图。并且常记E＝{e1,e2,…,em}, (ek=vivj,i,j=1,2,…,n), 对于一个图G=（V,E），人们通常用一个图形来表示， 称其为图解。凡是有向图，在图解上用箭头标明其方 向。
e1
v2
一个图会有许多外形不同的图解，如上图。 称点vi,vj为边vivj的端点。在有向图中，称点vi,vj分 别为有向边vivj的始点和终点；称边vivj为点vi的出 边，为点vj入边。
由边连接的两个点称为相邻的点；有一个公共端点的边称 为相邻边；边和它的端点称为互相关联。常用d(v)表示图 G中与顶点v关联的边的数目，d(v)称为顶点v的度数；用 N（v）表示图G中所有与顶点v相邻的顶点的集合。 定义2 若将图G的每条边e都对应一个实数F(e)，则称F （e） 为该边的权，并称图G为赋权图，记为G=(V,E,F)。 定义3 设G=(V,E)是一个图， ，
根据上述定理，著名计算机专家狄克斯特拉 （Dijkstra）给出了求G中某一点到其他各点最短 路径的算法——标号法：T标号与P标号。T标号为 试探性标号，P标号为永久性标号。 给vi点一个P标号时，表示从v0（起点）到点vi的 最短路权，vi点的标号不再改变；给vi点一个T标 号时，表示从v0到vi的估计最短路权，是一种临时 标号。凡没有得到P标号的点都标有T标号。
T (v2 ) min{ T (v2 ), P(v0 ) f 02 } min{ ,0 8} 8
T (v3 ) min{ T (v3 ), P(v0 ) f 03 } min{ ,0 1} 1
(3)比较所有的T标号，T(v3 )最小，所以令： P(v3 ) 1;
§7.2 最短路模型及其算法
最短路问题是网络理论中应用最为广泛的问题之一， 不少优化问题可化为这个模型。如管道的铺设、运 输网络的设计、线路安排、设备更新、厂区布局等。 定义1 设P（u,v）是赋权图G=(V,E,F)中从点u到点 v的路径，用E(P)表示路径P(u,v)的全部边的集合， 记为， ，则称F(P)为路径P(u,v) 的权或长 F(P) F(e) 度。 eE(P) 定义2 若P0(u,v)是G中连接u,v的路径，且对任意 在G中连接u,v的路径P(u,v)，都有F(P0)≤F(P),则 称P0(u,v)是G中连接u,v的最短路径。
(4)v3为刚得到P标号的点，考察边 v3 v2 , v3 v6的端点v2 , v3 :
T (v2 ) min{ T (v2 ), P(v3 ) f 32 } min{ 8,1 7} 8
2 6 5 3
2
V1
1
V4
V 1 6} 9 T (v6 ) min{ T (v6 ), P(v3 ) f 36 } 8min{ ,1 9 V
即：P(v j* ) min{T (v j )}
当存在两个以上最小时，可同时改为P标号，若全 部点均为P标号，则停止； 否则，用v j * 代替vi , 转回（ 2 ） .
例2 求下图中V0到其余各点源自最短路。解： (1)首先给v0以P标号， P (v0 ) 0, 其余各点为T标号， T (vi ) , i 1,2, ,7.
定理 若v0 v1 v2 vk 是G中从v0 到vm的最短路，则对i, j , 1 i j m, vi vi 1 v j必为G中从vi 到v j的最短路.
定义3 设v0 v1v2 vm 是G中从v0 到vm的最短路，则对k , 1 k m，称vk 1为vk的父点.
算法每一步是把某一点的T标号改为P标号，当终点 得到P标号时全部计算结束。其具体步骤如下： （1）赋初值：给起点v0以P标号，P(v0)＝0，其余 各点vi均为T标号,T（vi）＝+∞； （2）更新所有的T标号：若vi点为刚得到的P标号 的点,考虑这样的点vj，边vivj∈E，且vj为T标号，对 vj的T标号进行如下的更改： T (v j ) min{ T (v j ), P(vi ) f i j }, fij 为边vi v j的权数. （3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，
(2)由于边v0 v1 , v0 v2 , v0 v3 E ,
V0 1 V3 7 9 2 8 V1 6 V2 1 5 1 V5 2 V4 3 6 4 3 V6 8 V7
且v1 , v2 , v3 为T标号，所以修正这些点 的标号.
T (v1 ) min{ T (v1 ), P(v0 ) f 01} min{ ,0 2} 2
则称是G的一个通路。如果通路中没有相同的边，则称此 通路为道路；始点和终点相同的道路称为圈或回路；如果 通路中既没有相同的边，又没有相同的顶点，则称此通路 为路径，简称路。 定义4 任意两点都有通路的图称为连通图。 定义5 连通而无圈的图称为树，常用T表示树。
v0 , v1, v2 ,, vk V , 且1 i k , vi 1vi E