2018-2019学年上海市金山区高二下学期期末数学试题(解析版)
或 ,所以①错误
对于②如果 m , n / / ,根据直线与平面垂直的性质可知 m n ,所以②正确; 对于③如果 / / , m ,根据直线与平面平行的判定可知 m / / ,所以③正确;
对于④如果平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等,当两个平面相交时,若三个
点分布在平面 的两侧,也可以满足条件,所以 / / 错误,所以④错误;
【答案】 6 4 2
【解析】根据三视图,画出空间几何体,即可求得表面积. 【详解】 根据三视图可知该几何体为三棱柱,画出空间结构体如下:
该三棱柱的高为 2,上下底面为等腰直角三角形,腰长为 2
所以上下底面的面积为 2 1
2
2 2
2
侧面积为 2 2 2 2 2 2 4 4 2 所以该三棱柱的表面积为 2 4 4 2 6 4 2
【详解】
因为函数 y f (x) 的反函数为 f 1(x) ,且 f 1(x) 3x1
令 y 3x1
则 x 3y1 所以 y 1 log3 x
即函数 f x 1 log3 x ( x 0 ) 所以 f 1 1 log31 1
故答案为: 1
【点睛】 本题考查了反函数的求法,求函数值,属于基础题. 10．底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图，网格中的每个小正方形的边长为 1，则 该棱柱的表面积是________
可以选出正确答案. 【详解】
∵ 根据题意可知，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，且间隔是
。
∴ 只有 A 符合要求，即后面的数比前一个数大 10。 【点睛】 本题考查了系统抽样的原则.
2．设 、 是两个不同的平面， m 、 n 是两条不同的直线，有下列命题：
①如果 m n ， m ， n / / ，那么 ； ②如果 m ， n / / ，那么 m n ； ③如果 / / ， m ，那么 m / / ；
式 BP 5y2 12 y 8 ，再求函数的定义域{y|0≤y≤2}，再利用二次函数研究函
数的最小值.
16．已知 f (x) | 2x m | （ m 为常数），对任意 x R ，均有 f (x 3) f (x) 恒成立，
下列说法： ① f (x) 的周期为 6；
因为 0≤y≤2，
所以当
y=
6 5
时， |
BP
|min
2 5
5.
因为 BC⊥BP,
所以 (SPBC )min
1 2 2
25 5
25 5
.
故填 2 5 . 5
点睛：本题的关键是解题思路的确定.本题数形结合不是很方便，由于函数的方 法是处理最值问题的常用方法，所以要建立空间直角坐标系，先求出函数的解析
【答案】B
【解析】结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与 A1B 成 60°角的异面直线一一 列出，即得答案．
【详解】
在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的八个顶点中任取两个点作直线， 与直线 A1B 异面且夹角成 60°的直线有： AD1，AC，D1B1，B1C，共 4 条． 故选：B．
【点睛】
12．若 (2x 1)5 a0 a1(x 1) a2 (x 1)2 a3 (x 1)3 a4 (x 1)4 a5 (x 1)5 ，则 a1 a2 a3 a4 a5 的值是________ 【答案】2 【解析】利用赋值法,分别令 x 0, x 1代入式子即可求得 a1 a2 a3 a4 a5 的值. 【详解】 因为 (2x 1)5 a0 a1(x 1) a2 (x 1)2 a3 (x 1)3 a4 (x 1)4 a5 (x 1)5
【答案】4
【解析】根据向量线性运算分别表示出 AB1, BC1 ,结合向量数量积运算即可求解.
【详解】 根据题意,画出空间几何体如下图:
AA1 a , AB b , AC c ,且 BAA1 CAA1 60 ,且底面边长和侧棱长都为 2
则 AB1 a b , BC1 AC1 AB a c b
综上可知,正确的为②③ 故选:B 【点睛】 本题考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的性质,平面与平面平行的性质,属于中档 题.
3．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 的八个顶点中任取两个点作直线，与直线 A1B 异 面且夹角成 60 的直线的条数为（ ）．
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题
1
5．函数 y x2 的定义域是________
【答案】[0, )
【解析】将函数的指数形式转化为根式形式,即可求得其定义域. 【详解】
1
函数 y x2
即y x
根据二次根式有意义条件可知定义域为 x 0,
故答案为: 0,
【点睛】 本题考查了具体函数定义域的求法,将函数解析式进行适当变形,更方便求解,属于基础 题.
一、单选题 1．现有 60 个机器零件，编号从 1 到 60，若从中抽取 6 个进行检验，用系统抽样的方 法确定所抽的编号可以是（ ） ，13，23，33，43，53 ，14，26，38，40，52 ，8，31，36，48，54 ，10，15，20，25，30 【答案】A
【解析】由题意可知：
，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，对此
6．若 Cn4 Cn6 ，则 n ________
【答案】10
【解析】根据组合数的性质,即可求得 n 的值.
【详解】
根据组合数的性质 Cnm
C nm n
所以 n 4 6 10
故答案为:10
【点睛】
本题考查了组合数的简单性质,属于基础题.
7．在 (x 1)10 的二项展开式中， x2 项的系数为________（结果用数值表示） 2
令 x 0 ,代入可得1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 令 x 1 ,代入可得 1 a0 两式相减可得 2 a1 a2 a3 a4 a5 ,即 a1 a2 a3 a4 a5 2
故答案为:2 【点睛】 本题考查了二项式定理的简单应用,赋值法求二项式系数的值是常用方法,属于基础题. 13．设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为，选择化学科目的概率为，且 这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是________ 【答案】 【解析】根据相互独立事件概率的计算公式,及对立事件的概率求法,即可求解. 【详解】
把 y h 代入椭圆方程 x2 y2 1，可求得 x 2 9 h2
49
3
所以橄榄球形状几何体的截面面积为 x2 4 4h2 9
由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积为
V
2 V圆柱
V圆锥
=2
4
3
1 4 3
3
=16
故选:C 【点睛】
本题考查了类比推理的综合应用,空间几何体体积的求法,属于中档题.
【答案】 2 5 5
【解析】分析：先建立空间直角坐标系，再求|BP|的最小值，最后求 PBC 的面积的
最小值. 详解：以 D 点为空间直角坐标系的原点，以 DC 所在直线为 y 轴，以 DA 所在直线
为 x 轴，以 D D1 为 z 轴，建立空间直角坐标系.则点 P(2,y,z), D1(0,0, 2) ,
x2 y2 1绕 y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖 49
暅原理可求得其体积等于（ ）
A. 4
B. 8
C.16
D. 32
【答案】C
【解析】根据椭圆方程,构造一个底面半径为 2,高为 3 的圆柱,通过计算可知高相等时截
面面积相等,因而由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥
的体积.
【详解】
由椭圆方程 x2 y2 1,构造一个底面半径为 2,高为 3 的圆柱 49
在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点、上底面为底面的圆锥
当截面与底面距离为 h0 h 3时，截圆锥得到的截面小圆半径为 r
则 h 1 r ，即 r 2h
32
3
所以截面面积为 4 r2 4 4h2 9
【答案】 45 256
【解析】根据二项式定理展开式的通项公式,即可求得 x2 项的系数.
【详解】
二项式展开式的通项公式为 Tr1 C1r0
x
10r
1 r 2
所以当 r 8 时为 x2 项
则 T9
C180
x2
1 2
8
45 256
x2
所以 x2 项的系数为 45 256
故答案为: 45 256
本题考查异面直线的定义及判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学 思想，是基础题． 4．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与 半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点， 圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证 得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆
因为选择物理科目的概率为,选择化学科目的概率为,
所以既不选择物理也不选择化学的概率为 1 0.51 0.6 0.2
所以由对立事件的性质可知至少选择一个科目的概率为1 0.2 0.8
故答案为: 0.8
【点睛】 本题考查了独立事件的概率求法,对立事件的性质应用,属于基础题.
14．在斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都为 2，若 AA1 a ， AB b AC c ，且 BAA1 CAA1 60 ，则 AB1 BC1 的值为________
故答案为: 6 4 2
【点睛】
本题考查由三视图还原空间结构体,棱柱表面积的求法,属于基础题.
11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆面，则该圆锥的体积为
.
【答案】
【解析】【详解】 由面积为 的半圆面，可得圆的半径为 2，即圆锥的母线长为 2.圆锥的底面周长为 .
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)_9
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知函数的定义域为，集合，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】,解得，即，，所以，故选D.2.在等差数列中，若，，则（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】运用等差数列的性质求得公差d，再运用通项公式解得首项即可．【详解】由题意知，所以.故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题．3.已知向量，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知向量的坐标运算直接求得的坐标．【详解】∵向量（-2，﹣1），（3，2），∴.故选C.【点睛】本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题.4.若均为第二象限角，满足，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosα和sinβ的值，两角和的三角公式求得cos（α+β）的值．【详解】解：∵sinα，cosβ，α、β均为第二象限角，∴cosα，sinβ，∴cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ•（），故答案为B【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，属于基础题．5.l：与两坐标轴所围成的三角形的面积为A. 6B. 1C.D. 3【答案】D【解析】【分析】先求出直线与坐标轴交点，再求三角形的面积得解.【详解】当x=0时，y=2,当y=0时，x=3,所以三角形的面积为.故选：D【点睛】本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.区间[0，5]上任意取一个实数x，则满足x[0，1]的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用几何概型求解即可.【详解】由几何概型的概率公式得满足x[0，1]的概率为.故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.8.设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（）A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】试题分析：选项A可由面面平行的性质可以得到；B选项，可由线面平行的性质定理和判定定理，通过论证即可得到；C选项，，缺少条件和相交，故不能证明面面平行，C错误；D选项，，过作平面，，由线面平行的性质可得，，，.D正确.考点：直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.9.中，，则的值是（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理求解.【详解】由正弦定理得，选B.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.10.一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（）A. 4B. 8C. 16D. 24【答案】B【解析】【分析】根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】由三视图知三棱锥的侧棱与底垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，，棱锥的体积，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.11.已知变量x，y满足约束条件则的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，，可知截距越大值越大，根据图象得出最优解为，则的最大值为2，选B.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．【此处有视频，请去附件查看】12.直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得，所以直线l过定点P.当CP⊥l时，弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选：A【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（每小题5分，共计20分）13.函数的最小正周期是__________．【答案】2【解析】【分析】直接利用余弦函数的周期公式求解即可．【详解】函数的最小正周期是：2．故答案为：2．【点睛】本题考查三角函数的周期的求法，是基本知识的考查．14.，，若，则实数的值为_______．【答案】1【解析】【分析】由题得，解方程即得的值.【详解】由题得，解之得=1.当=1时两直线平行.故答案：115.高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______．【答案】12【解析】【分析】由题得高一学生数为，计算即得解.【详解】由题得高一学生数为.故答案为：12【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知向量满足，则______.【答案】3【解析】【分析】利用平面向量得数量积运算，则，将，带入即可出答案【详解】点睛】本题考察平面向量数量积得基本运算三、解答题（共4小题，每小题10分）17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）运用等差数列的性质求得公差d，再由及d求得通项公式即可．（2）利用前n项和公式直接求解即可.【详解】（1）设数列的公差为，∴，故.（2），∴，解得或（舍去），∴.【点睛】本题考查等差数列通项公式及项数的求法，考查了前n项和公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．18.已知点O（0，0），A（2，一1），B（一4，8）．（1）若点C满足，求点C的坐标；（2）若与垂直，求k．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设出C点的坐标，利用终点减起点坐标求得和的坐标，利用向量运算坐标公式，得到满足的条件求得结果；（2）利用向量坐标运算公式求得，，利用向量垂直的条件，得到等量关系式，求得结果.【详解】（1）因为，，所以．设点C的坐标为，则．由，得解得，，所以点C的坐标为．（2），，因为与垂直，所以，解得.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量坐标运算公式及法则，向量垂直的条件，数量积坐标公式，属于简单题目.19.已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）先求得直线的斜率和的中点，进而求得斜率，利用点斜式得直线方程．（2）设出圆心的坐标，利用直线方程列方程，利用点到直线的距离确定和的等式综合求得和，则圆的方程可得．【详解】（1）直线的斜率，的中点坐标为直线的方程为（2）设圆心，则由点在上，得．①又直径，，．②由①②解得或，圆心或圆的方程为或【点睛】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生基础知识的综合运用能力．20.近年来，郑州经济快速发展，跻身新一线城市行列，备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中．（1）求的值；（2）若按照分层抽样从[50，60)，[60，70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，60)的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据频率分布直方图的特点:可列的式子：，求得，根据图，可知a＝4b，继而求得a,b，先利用分层抽样得方法，确定 [50，60)，[60，70)中分别抽取的人数，然后利用古典概型，求得概率【详解】（1）依题意得，所以，又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006．（2）依题意，知分数在[50，60）的市民抽取了2人，记为a，b，分数在[60，70）的市民抽取了6人，记为1，2，3，4，5，6，所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（a，5），（a，6），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），（b，5），（b，6），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共28种，其中满足条件为（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（a，5），（a，6），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），（b，5），（b，6）共13种，设“至少有1人的分数在[50，60）”的事件为A，则P（A）＝.【点睛】本题考查频率分布直方图以及古典概型2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知函数的定义域为，集合，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】,解得，即，，所以，故选D.2.在等差数列中，若，，则（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】运用等差数列的性质求得公差d，再运用通项公式解得首项即可．【详解】由题意知，所以.故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题．3.已知向量，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知向量的坐标运算直接求得的坐标．【详解】∵向量（-2，﹣1），（3，2），∴.故选C.【点睛】本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题.4.若均为第二象限角，满足，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosα和sinβ的值，两角和的三角公式求得cos（α+β）的值．【详解】解：∵sinα，cosβ，α、β均为第二象限角，∴cosα，sinβ，∴cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ•（），故答案为B【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，属于基础题．5.l：与两坐标轴所围成的三角形的面积为A. 6B. 1C.D. 3【答案】D【解析】【分析】先求出直线与坐标轴交点，再求三角形的面积得解.【详解】当x=0时，y=2,当y=0时，x=3,所以三角形的面积为.故选：D【点睛】本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.区间[0，5]上任意取一个实数x，则满足x[0，1]的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用几何概型求解即可.【详解】由几何概型的概率公式得满足x[0，1]的概率为.故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.8.设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（）A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】试题分析：选项A可由面面平行的性质可以得到；B选项，可由线面平行的性质定理和判定定理，通过论证即可得到；C选项，，缺少条件和相交，故不能证明面面平行，C错误；D选项，，过作平面，，由线面平行的性质可得，，，.D正确.考点：直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.9.中，，则的值是（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理求解.【详解】由正弦定理得，选B.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.10.一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（）A. 4B. 8C. 16D. 24【答案】B【解析】【分析】根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】由三视图知三棱锥的侧棱与底垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，，棱锥的体积，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.11.已知变量x，y满足约束条件则的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，，可知截距越大值越大，根据图象得出最优解为，则的最大值为2，选B.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．【此处有视频，请去附件查看】12.直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得，所以直线l过定点P.当CP⊥l时，弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选：A【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题（每小题5分，共计20分）13.函数的最小正周期是__________．【答案】2【解析】【分析】直接利用余弦函数的周期公式求解即可．【详解】函数的最小正周期是：2．故答案为：2．【点睛】本题考查三角函数的周期的求法，是基本知识的考查．14.，，若，则实数的值为_______．【答案】1【解析】【分析】由题得，解方程即得的值.【详解】由题得，解之得=1.当=1时两直线平行.故答案：115.高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______．【答案】12【解析】【分析】由题得高一学生数为，计算即得解.【详解】由题得高一学生数为.故答案为：12【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知向量满足，则______.【答案】3【解析】【分析】利用平面向量得数量积运算，则，将，带入即可出答案【详解】点睛】本题考察平面向量数量积得基本运算三、解答题（共4小题，每小题10分）17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）运用等差数列的性质求得公差d，再由及d求得通项公式即可．（2）利用前n项和公式直接求解即可.【详解】（1）设数列的公差为，∴，故.（2），∴，解得或（舍去），∴.【点睛】本题考查等差数列通项公式及项数的求法，考查了前n项和公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．18.已知点O（0，0），A（2，一1），B（一4，8）．（1）若点C满足，求点C的坐标；（2）若与垂直，求k．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设出C点的坐标，利用终点减起点坐标求得和的坐标，利用向量运算坐标公式，得到满足的条件求得结果；（2）利用向量坐标运算公式求得，，利用向量垂直的条件，得到等量关系式，求得结果.【详解】（1）因为，，所以．设点C的坐标为，则．由，得解得，，所以点C的坐标为．（2），，因为与垂直，所以，解得.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量坐标运算公式及法则，向量垂直的条件，数量积坐标公式，属于简单题目.19.已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）先求得直线的斜率和的中点，进而求得斜率，利用点斜式得直线方程．（2）设出圆心的坐标，利用直线方程列方程，利用点到直线的距离确定和的等式综合求得和，则圆的方程可得．【详解】（1）直线的斜率，的中点坐标为直线的方程为（2）设圆心，则由点在上，得．①又直径，，．②由①②解得或，圆心或圆的方程为或【点睛】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生基础知识的综合运用能力．20.近年来，郑州经济快速发展，跻身新一线城市行列，备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中．（1）求的值；（2）若按照分层抽样从[50，60)，[60，70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，60)的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据频率分布直方图的特点:可列的式子：，求得，根据图，可知a＝4b，继而求得a,b，先利用分层抽样得方法，确定 [50，60)，[60，70)中分别抽取的人数，然后利用古典概型，求得概率【详解】（1）依题意得，所以，又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006．（2）依题意，知分数在[50，60）的市民抽取了2人，记为a，b，分数在[60，70）的市民抽取了6人，记为1，2，3，4，5，6，所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（a，5），（a，6），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），（b，5），（b，6），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共28种，其中满足条件为（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（a，5），（a，6），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），（b，5），（b，6）共13种，设“至少有1人的分数在[50，60）”的事件为A，则P（A）＝.【点睛】本题考查频率分布直方图以及古典概型。
金山中学高二数学下期末试卷
2019 金山中学高二数学下期末试卷在复习阶段，大家必定要多练习题，掌握考题的规律，掌握常考的知识点，这样有助于提升大家的分数。
下边是编写老师为大家准备的金山中学高二数学下期末试卷。
填空题 (每题 5 分，共 20 分)13、 A、B、C、D、E 五人并排站成一排，若A，B 一定相邻，且 B 在 A 的左侧，那么不一样的排法共有种14、计算定积分：=_______15、察看等式：，，,依据以上规律，写出第四个等式为：__________16、已知随机变量 X 听从正态散布且则 . 解答题 (共 70 分，解答要有必需的文字说明 )17.(10 分)已知直线的参数方程为( 为参数 )，曲线的极坐标方程为(1)求曲线的一般方程;(2)求直线被曲线截得的弦长.18.(12 分) 已知，且 (1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3++anxn.(Ⅰ)求 n 的值 ;(Ⅱ)求 a1+a2+a3++an的值 .19.(12 分)如图，边长为 2 的正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直， AD 与 CE 的交点为 M ，，且 AC=BC.(1)求证：平面EBC;(2 求二面角的大小.20.(12 分)已知函数在与处都获得极值。
“师”之观点，大概是从先秦期间的“师长、师傅、先生”而来。
此中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，此刻泛指从事教育工作或是教授知识技术也或是某方面有专长值得学习者。
“老师”的原意并不是由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学问渊博者。
“老”“师”连用最先见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年纪的限制，老小皆可合用。
不过司马迁笔下的“老师”自然不是今日意义上的“教师”，其不过“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不必定是知识的流传者。
2018-2019学年上海市金山区高二下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市金山区高二下学期期末数学试题一、单选题1．现有60个机器零件，编号从1到60，若从中抽取6个进行检验，用系统抽样的方法确定所抽的编号可以是（ ）A.3，13，23，33，43，53B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54D.5，10，15，20，25，30【答案】A 【解析】由题意可知：，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，对此可以选出正确答案.【详解】∵根据题意可知，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，且间隔是。
∴只有A 符合要求，即后面的数比前一个数大10。
【点睛】本题考查了系统抽样的原则.2．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，有下列命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥；②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥；③如果//αβ，m α⊂，那么//m β；④如果平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，那么//αβ；其中正确的命题是（ ）A.①②B.②③C.②④D.②③④ 【答案】B【解析】根据线面垂直与线面平行的性质可判断①;由直线与平面垂直的性质可判断②;由直线与平面平行的性质可判断③;根据平面与平面平行或相交的性质,可判断④.【详解】对于①如果m n ⊥,m α⊥,//n β,根据线面垂直与线面平行性质可知αβ⊥或//αβ或αβ⋂,所以①错误对于②如果m α⊥,//n α,根据直线与平面垂直的性质可知m n ⊥,所以②正确; 对于③如果//αβ,m α⊂,根据直线与平面平行的判定可知//m β,所以③正确;对于④如果平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,当两个平面相交时,若三个点分布在平面β的两侧,也可以满足条件,所以//αβ错误,所以④错误;综上可知,正确的为②③故选:B【点睛】本题考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的性质,平面与平面平行的性质,属于中档题.3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）．A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与A 1B 成60°角的异面直线一一列出，即得答案．【详解】在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A 1B 异面且夹角成60°的直线有：AD 1，AC ，D 1B 1，B 1C ，共4条．故选：B ．【点睛】本题考查异面直线的定义及判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学思想，是基础题．4．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆22149x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A.4πB.8πC.16πD.32π【答案】C 【解析】根据椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,通过计算可知高相等时截面面积相等,因而由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.【详解】 由椭圆方程22149x y +=,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱 在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点、上底面为底面的圆锥当截面与底面距离为()03h h ≤≤时，截圆锥得到的截面小圆半径为r 则132h r =，即23h r = 所以截面面积为224449h r ππππ-=-把y h =代入椭圆方程22149x y +=，可求得x =所以橄榄球形状几何体的截面面积为22449h x πππ=-由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积为()12=24343=163V V V πππ⎛⎫=-⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭圆柱圆锥 故选:C【点睛】本题考查了类比推理的综合应用,空间几何体体积的求法,属于中档题.二、填空题5．函数12y x =的定义域是________【答案】[0,)+∞【解析】将函数的指数形式转化为根式形式,即可求得其定义域.【详解】 函数12y x =即y =根据二次根式有意义条件可知定义域为[)0,x ∈+∞故答案为: [)0,+∞【点睛】本题考查了具体函数定义域的求法,将函数解析式进行适当变形,更方便求解,属于基础题.6．若46n n C C =，则n =________【答案】10【解析】根据组合数的性质,即可求得n 的值.【详解】根据组合数的性质m n m n n C C -=所以4610n =+=故答案为:10【点睛】本题考查了组合数的简单性质,属于基础题.7．在101()2x +的二项展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）【答案】45256【解析】根据二项式定理展开式的通项公式,即可求得2x 项的系数.【详解】二项式展开式的通项公式为()1011012rr r r T Cx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以当8r =时为2x 项 则()82829101452256T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以2x 项的系数为45256 故答案为:45256【点睛】 本题考查了二项式定理展开式的应用,求指定项的系数,属于基础题.8．已知地球半径为R ，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75°，乙地纬度为北纬15°，则甲乙两地的球面距离是________ 【答案】3R π 【解析】同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上,根据纬度差即可求得圆心角,进而求得两地间距离.【详解】由题意可知,同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上当甲地纬度为北纬75°,乙地纬度为北纬15°,则两地间所在的大圆圆心角为60° 所以两地的球面距离为601803R R lππ⨯⨯== 故答案为3R π 【点睛】本题考查了球的截面性质,大圆及球面距离的求法,属于基础题.9．若函数()y f x =的反函数为1()f x -，且11()3x f x -+=，则(1)f 的值为________【答案】1-【解析】根据反函数的解析式,求得函数()y f x =的解析式,代入即可求得()1f 的值.【详解】因为函数()y f x =的反函数为1()f x -,且11()3x f x -+=令13x y +=则13y x +=所以31log y x =-+即函数()31log f x x =-+(0x >) 所以()311log 11f =-+=-故答案为: 1-【点睛】本题考查了反函数的求法,求函数值,属于基础题.10．底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图，网格中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是________【答案】6+【解析】根据三视图,画出空间几何体,即可求得表面积.【详解】根据三视图可知该几何体为三棱柱,画出空间结构体如下:该三棱柱的高为2,上下底面为等腰直角三角形,所以上下底面的面积为21222⨯⨯=侧面积为22224⨯+=+所以该三棱柱的表面积为246++=+故答案为: 6+【点睛】本题考查由三视图还原空间结构体,棱柱表面积的求法,属于基础题.11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】【详解】 由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.所以该圆锥的体积为3. 12．若52345012345(21)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则12345a a a a a ++++的值是________【答案】2【解析】利用赋值法,分别令0,1x x ==-代入式子即可求得12345a a a a a ++++的值.【详解】因为52345012345(21)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x +=++++++++++令0x =,代入可得0123451a a a a a a =+++++令1x =-,代入可得01a -=两式相减可得123452a a a a a =++++,即123452a a a a a ++++=故答案为:2【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用,赋值法求二项式系数的值是常用方法,属于基础题. 13．设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是________【答案】0.8【解析】根据相互独立事件概率的计算公式,及对立事件的概率求法,即可求解.因为选择物理科目的概率为0.5,选择化学科目的概率为0.6,所以既不选择物理也不选择化学的概率为()()10.510.60.2--=所以由对立事件的性质可知至少选择一个科目的概率为10.20.8-=故答案为: 0.8【点睛】本题考查了独立事件的概率求法,对立事件的性质应用,属于基础题.14．在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都为2，若1AA a =，AB b =AC c =，且1160BAA CAA ∠=∠=︒，则11AB BC ⋅的值为________【答案】4【解析】根据向量线性运算分别表示出11,AB BC ,结合向量数量积运算即可求解.【详解】根据题意,画出空间几何体如下图:1AA a =,AB b =,AC c =,且1160BAA CAA ∠=∠=︒,且底面边长和侧棱长都为2 则1AB a b =+,11BC AC AB a c b =-=+-所以11AB BC ⋅()()a b a c b =++-22+a a c b c b =+⋅⋅- 221cos +cos a a c A AC b c ABC b =+⋅∠⋅∠- 22222cos60+22cos6024=+⨯⨯-=【点睛】本题考查了空间向量的线性运算和数量积的应用,属于基础题.15．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.【解析】分析：先建立空间直角坐标系，再求|BP|的最小值，最后求PBC ∆的面积的最小值.详解：以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点P(2,y,z),1(0,0,2)D ,所以1(2,,2)D P y z =-.因为C(0，2，0),M(2，0，1),所以(2,2,1)CM =-,因为1,4220,22D P CM y z z y ⊥∴-+-=∴=-.因为B(2，2，0)，所以(0,2,)BP y z =-，所以(BP ===因为0≤y≤2，所以当y=65时，min ||BP =因为BC ⊥BP,所以min 1()22PBC S ∆=⨯=.故填5. 点睛：本题的关键是解题思路的确定.本题数形结合不是很方便，由于函数的方法是处理最值问题的常用方法，所以要建立空间直角坐标系，先求出函数的解析式BP ={y|0≤y≤2}，再利用二次函数研究函数的最小值.16．已知()|2|f x x m =-（m 为常数），对任意x ∈R ，均有(3)()f x f x +=-恒成立，下列说法：①()f x 的周期为6；②若()()|2|g x f x x b =+-（b 为常数）的图像关于直线1x =对称，则1b =； ③若022αβ<<+，且()(3)f f αβ=+，则必有2209αβ-<+<； ④已知定义在R 上的函数()F x 对任意x 均有()()F x F x =-成立，且当[0,3]x ∈时，()()F x f x =；又函数2()h x x c =-+（c 为常数），若存在12,[1,3]x x ∈-使得112|()()|1F x h x -<成立，则实数c 的取值范围是(1,13)-，其中说法正确的是_______（填写所有正确结论的编号）【答案】②④【解析】根据()()3f x f x +=-成立即可求得对称轴,由对称轴结合解析式即可求得m 的值,可判断①;根据()()2g x f x x b =+-及对称轴即可求得b 的值,可判断②;根据条件可得α与β的关系,结合二次函数的值域即可判断③;根据条件可知函数()F x 为偶函数,根据存在性成立及恒成立,转化为函数的值域即可判断④.【详解】对于①,因为对任意x ∈R ,均有()()3f x f x +=-成立,则()f x 的图像关于直线32x =对称,所以解得3m =.即()f x 是轴对称函数,不是周期函数,所以①错误;对于②,()()2g x f x x b =+-的图像关于直线1x =对称,可得3222b +=,解得1b =,所以②正确;对于③,()()3f f αβ=+,而由(3)()f x f x +=-可知()()3f f ββ+=-则3αβ=+或αβ=-.当3αβ=+时,代入022αβ<<+可得0262ββ<+<+,即026262βββ<+⎧⎨+<+⎩,解不等式组可得34ββ-<⎧⎨<-⎩,不等式无解,所以不成立当αβ=-时,代入022αβ<<+可得022αα<<-+,即0222ααα<⎧⎨<-+⎩,解不等式组可得023αα<⎧⎪⎨<⎪⎩,即203α<< 所以2221124αβααα⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,203α<<所以2111,0244α⎛⎫⎡⎫--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭,所以③错误;对于④,由()()F x F x =-可知函数()F x 为偶函数,当[0,3]x ∈时, ()23F x x =-;当[3,0]x ∈-时, ()23F x x =+.所以()F x 在[1,3]-上的值域为[0,3]()2h x x c =-+在[1,3]-上的值域为[]9,c c -因为存在12,[1,3]x x ∈-使得()()1121F x h x -<成立所以只需()()min max 01F x h x c -=-<且()()max min 931F x h x c -=--<即113cc -<⎧⎨<⎩,即实数c 的取值范围是()1,13-,所以④正确 综上可知,说法正确的是②④ 故答案为: ②④ 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、对称性及恒成立问题的综合应用,对于分类讨论思想的理解,属于难题。
高二下数学期末试卷
金山区2018学年第二学期期末质量监控高二数学试卷一、填空题（本大题共12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 函数12y x =的定义域是2. 若46n n C C =，则n=3. 在101)2x +（的二项展开式中，7x 项的系数为 （结果用数值表示）。
4. 已知地球半径为R ，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬o 75，乙地的纬度为北纬o 15，则甲乙两地的球面距离为5. 若函数()y f x =的反函数为1()f x -，且11()=3x f x -+，则(1)f 的值为6. 底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图，网络中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是7. 若某圆锥的侧面展开图是面积为2π 的半圆，则该圆锥体的体积是8. 若()()()()()()5234512345211+1+1+1+1x a x a x a x a x a x +=+++++，则12345++++a a a a a 的值时9. 设某同学选择等级考科目时，选择物理的概率是0.5，选择化学科目的概率是0.5，设这两个科目的选择是相互独立的，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是10. 在三棱柱111ABC A B C - 中，底面边长和侧棱长都为2，若1,,AA a AB b AC c === ，且 1160o BAA CAA ∠=∠= ，则11AB BC ⋅的值为11. 如图在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1,D P CM PBC ⊥∆则的面积的最小值为12. 已知()2f x x m =-（m 为常数），对任意x R ∈均有()(3)f x f x +=-恒成立。
下列说法：① ()f x 的周期为6；② 若()()+2g x f x x b =-（b 为常数）的图像关于直线x=1对称，则b=1； ③ 若022αβ<<+且()(3)f f αβ=+，则必有22-09αβ<+<；④ 已知定义在R 上的函数F （x ）=F(-x)成立，且当[0,3]x ∈时，()()F x f x =；又函数2()h x x c =-+（c 为常数），若存在12[1,3]x x ∈-、使得12()()1F x h x -<成立，则实数c 的取值范围是（-1,13）.其中说法正确的是 （填写所有正确的序号）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13. 现有60个机器零件，编号1到60，若从中抽取6个进行检验，用系统抽样的方法确定所抽取的编号可以使（ ）（A ）3,13,23,33,43,53 （B ）1,14,26,38,40,52（C ）5,8,31,36,48,54 （D ）5,10,15,20,25,3014.设αβ、是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，有下列命题① 如果,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥那么② 如果,,m n n αα⊥⊥那么m③ 如果,,m αβαβ⊄那么m④ 如果平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，那么αβ其中正确的命题是（ ）（A ）1、2 （B ）2、3 （C ）2、4 （D ）2、3、415.如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点做直线，与直线1A B 异面且所成角为o 60的直线的条数为（A ）3 (B)4 (C)5 (D)616. 运用祖暅原理计算球体面积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球放在同一水平面上（如图一），然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二）。
2018-2019学年上海中学高二(下)期末数学试卷
2018-2019学年上海中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（每题 3分）1- （ 3 分）11血（1丄）= _________ -2. ____________________________________________________ （ 3 分）已知等差数列 a i = 3, a n = 21, d = 2，贝U n = __________________________________ .3. （ 3 分）数列｛a n ｝中，已知 a n = 4n - 13?2n +2, n €N* , 50 为第 _______项.4. ________________________________________________________________ （ 3 分）｛a n ｝为等比数列，若 a 1+a 2+a 3= 26, a 4 - a 1= 52,贝U a n = ______________________ .n*5. （3 分）用数学归纳法证明（n+1） （ n+2） （n+3）•••（ n+n ）= 2 ?1?3?5•••（2n - 1） （n€N ）时，从n = k 到n = k+1时左边需增乘的代数式是 __________ .6. ___________________________________________________________________________ （3 分）数列｛ a n ｝满足 a 1 = 1, a 2= 3, a n+1= （2n - a n （n = 1, 2,…），贝U a 3 等于 _______ .7. （ 3 分）数列｛x n ｝满足 x n+1 = x n - x n -1, n 》2, n €N*, x 1= a , x 2= b ,贝U x 2019= ______ . & （ 3分）数列｛a n ｝满足下列条件：a 1 = 1，且对于任意正整数 n ,恒有a 2n = a n +n ，贝U a 二9. ( 3 分)数列｛a n ｝定义为 a 1 = cos 0, a n +a n+1 = nsin 肝cos B , n 》1,贝U S 2n+1 = ___ 10. （3分）已知数列｛a n ｝是正项数列，S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且满足11. （3分）若三角形三边成等比数列，则公比 q 的范围是 ________12. （3 分）数列｛a n ｝满足 a 1 = 1, a 2= 2, a 3 = 3 , a 4 = 4 , a 5= 5,当 n 》5 时，a n+1 = a 1?a 2?…?a n - 1,则是否存在不小于 2的正整数 m ,使a 1?a 2?…？ a m = a 1 +a 2 +…+a m 成立？若存 在，则在横线处直接填写 m 的值；若不存在，就填写"不存在" ____________ . 、选择题（每题 3 分） 已知等差数列｛a n ｝的公差为2,前n 项和为S n ,且S 10= 100 ,则a 7的值为LI * I右b n ,T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，贝y T 99= _________13. (3 分)A . 11B . 12C . 13D . 142C . 514. (3 分) 等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知S 3= a 2+10a 1, a 5= 9，贝U a 1=（g15. （3分）设等差数列｛ a n ｝的前n 项和为 3,若 S m- 1 =- 2, S m = 0, S m+1 = 3，贝V m =16. ( 3 分)设 0v aV兀~2 LT * . ■，右 x 1= sin a,x n+1 = (sin a) V- ( n = 1, 2, 3…)，则数列｛x n ｝是( )A .递增数列B .递减数列C •奇数项递增，偶数项递减的数列D •偶数项递增，奇数项递减的数列三、解答题17. (8分)等差数列｛a n｝的前n项和为S n, S4=- 62, S6=- 75设b n= |a n|,求数列｛b n｝的前n项和T n.218. (10 分)已知数列｛ a n｝的前n 项和S n= n - 2n+1 (n €N*).(1 )求｛a n｝的通项公式；(2)若数列｛b n｝满足：a n+1+log3n = log3b n ( n€N*),求｛ b n｝的前n项和T n (结果需化简) 19. (10分)某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件.若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为(n- 1)千元时多卖出亠件，(n讯*).2口(1)试写出销售量s与n的函数关系式；(2)当a= 10, b= 4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？2 S |i ? Io20. (10 分)设数列｛a n｝的前n 项和S n,已知a1= 1, = a n+1 - - n-—, n€N*.n 3 3(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)是否对一切正整数n,有1丄十…丄＜?注?说明理由.Sj a 2 3 n+121. (14 分)设集合S n= ｛(x1, x2,…，x n) X：€｛0 , 1｝(i = 1, 2,…，n) ｝，其中n €N*,n》2.(1 )写出集合S2中的所有元素；(2)设(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,证明：“ a1?20+ a2?21 + …+ a n?2n 1=b1?2°+b2?21 + - +b n?2n-1“的充要条件是“ a i = b i (i = 1, 2，…,n)”；a n, ,(b1, b2,…b n,…)€S，使得a1?(=) +a2? )2+…+an?(丄)•= A,且(3)设集合S= { (X1, x2,…x n,…)|x i €{0, 1} (i = 1, 2…，n…)}设(a1, a2,…,b1?( —) 1+b2?(^) 2+ …+b n?(—) "+ •-= B，试判断"A= B”是"a i= b i (i = 1, 2,…)的什么条件并说明理由.2018-2019学年上海中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析填空题（每题3分）（3 分）lim（1 丄）=1.n【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可【解答】解：lim （1丄）=1 - 0= 1.故答案为：1.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查.2. （3 分）已知等差数列a i= 3, a n= 21, d = 2，贝U n = 10 .【分析】直接把已知代入等差数列的通项公式求得n值.【解答】解：在等差数列｛a n｝中，由a1 = 3, a n= 21, d= 2，得21 = 3+2 （n - 1）,解得：n= 10.故答案为：10.【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题.3. （3 分）数列｛a n｝中，已知a n= 4n- 13?2n+2, n €N* , 50 为第4 项.【分析】令a n= 4n- 13?2n+2= 50,可得：（2n- 16）（2n+3）= 0，解出n即可得出. 【解答】解：令a n= 4n- 13?2n+2 = 50,可得：（2n- 16）（2n+3）= 0,••• 2n= 16,解得n= 4.故答案为：4.【点评】本题考查了数列通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.n —14. （3 分）｛a n｝为等比数列，若a1+a2+a3= 26, a4 - a1= 52,贝U a n= 2?3 .【分析】利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出通项公式.2【解答】解：••• ｛a n｝为等比数列，a1+a2+a3= 26, a4 - a1 = 52,2aj +a 十日iq =26a J q _a J 二52 .目十9十『) ][巧(『一1] Q_1戈解得q= 3, a i = 2,n_ 1…a n= 2?3 •故答案为：2?3n一1•【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.n * 5. (3 分)用数学归纳法证明(n+1) ( n+2) (n+3)•••( n+n)= 2 ?1?3?5•••(2n- 1) (n€N )时，从n = k到n= k+1时左边需增乘的代数式是4k+2 .【分析】从n= k到n= k+1时左边需增乘的代数式是(k+1+k) (k+1+k+l)，化简即可得k+1出.【解答】解：用数学归纳法证明(n+1) ( n+2) (n+3)•••( n+n)= 2n?1?3?5-( 2n- 1)(n €N*)时，从n = k到n= k+1时左边需增乘的代数式是^ = 2 (2k+1).k+1故答案为：4k+2.【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6. (3 分)数列｛a n｝满足a1= 1, a2= 3, a n+1 = ( 2n -入a n (n = 1, 2,…),贝V a3等于15 .【分析】先由a1 = 1, a2= 3, a n+1 =( 2n-入)a n,可求出人然后由n = 2时，代入已知递推公式即可求解【解答】解：T a1 = 1, a2= 3, a n+1=( 2n - Z) a n.a2=( 2 -入)a1 即3 =( 2 -入).Z=- 1, a n+1=( 2n+1) a n•. a3= 5a2 = 15故答案为：15【点评】本题主要考查了利用递推公式求解数列的项，解题的关键是求出参数入7. ( 3 分)数列｛x n｝满足x n+1= x n - x n-1, n》2, n €N*, x1= a, x2= b，贝U x2019= b—a .【分析】本题可根据题中递推公式列出前面几项会发现数列｛X n｝是一个周期数列.然后根据周期数列的性质特点可得出X2019的值.【解答】解：由题中递推公式，可得：x i = a,x2= b,x3= x2 - x i = b - a,x4= x3 - x2= b - a - b=- a,x5= x4 - x3=- a -( b - a)=- b,x6= x5 - x4=- b - (- a) = a - b,x7= x6 - x5= a - b - (- b)= a,x8= x7 —x6= a -( a - b)= b,x9= x8 - x7= b - a,「•数列｛X n｝是以6为最小正周期的周期数列.•/ 2019-6= 336…3.• X2019= x3= b - a.故答案为：b- a.【点评】本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求出任一项的值•本题属中档题.& （3分）数列｛a n｝满足下列条件：a i = 1,且对于任意正整数n,恒有a2n= a n+n，则a加| = 512 .【分析】本题主要根据递推式不断的缩小，最后可得到结果，然后通过等比数列求和公式可得结果.【解答】解：由题意，可知：a）i: = a256+256=a128+128+256=a64+64+128+256=a32+32+64+128+256=a16+16+32+64+128+256=a8+8+16+32+64+128+256=a4+4+8+16+32+64+128+256=a2+2+4+8+16+32+64+128+256=a i+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=2+21+22+23+ …+28=2+2 X( 1+2+22+ (27)1-21- 29=2+2 X_—=29=512.故答案为：512.【点评】本题主要考查根据递推公式不断代入，以及等比数列的求前n项和公式•本题属基础题.9. (3 分)数列｛a n｝定义为a1 = cos B, a n+a n+1 = nsin 肝cos B, n》1,贝U S2n+1 = (n+1) cos B+2(n +n) sin B【分析】由题意可得S2n+1 = a1+ (a2+a3) + (a4+ a5) +…+ (a2n+a2n+1),运用并项求和和等差数列的求和公式，计算可得所求和.【解答】解：数列｛ a n｝定义为a1 = cos0, a n+a n+1 = nsin 0+cos 0, n》1,可得S2n+1 = a1+ (a2+a3) + (a4+a5) + …+ (a2n+a2n+1) = cos 0+ (cos 0+2sin 0) + (cos 0+4sin 0) + …+ (cos 0+2nsin 0) = ( n+1) cos 0+ ( 2+4+ …+2n) sin 0i 2=(n+1) cos 0+—n ( 2+2n) sin 0=( n+1) cos 0+ (n2+n) sin 02故答案为：(n+1) cos 0+ (n2+ n) sin 0.【点评】本题考查数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，考查化简运算能力，属于基础题.10. ｛a n｝是正项数列，S n是数列｛a n｝的前n项和，且满足(an ),若b n= ,T n是数列｛b n｝的前n项和，则T99 =【分析】求得数列的前几项，归纳a n =「- ，S n =|(,求得b n = 一LVnVn+1【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查数列的裂项相消求和,以及化简运算能力，属于中档题.代入，分q 》1和q v 1两种情况分别求得 q 的范围，最后综合可得答案. 【解答】解：设三边：a 、qa 、q 2a 、q >0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b >c ,(1)当q 》1时a+qa > q 2a ,等价于解二次不等式：q 2-q — 1v 0，由于方程q 2— q — 1 = 0 两根为：1,2 L 、——I -V S20n d , IIA /S即 1 w q v -----1【解答】解：数列｛a n ｝是正项数列, 再由裂项相消求和，计算可得所求和.S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且满足S n =(a n可得a i = S 1 =(a 1+)，可得a l同样求得a 3= 一 一:-.爲…，猜想 代入S n =A2a 1 = 1 ； a 1+a 2= 2)，解得 a 2={^ — 1,an =Vii -"□_], Sn ^Vn ,(an+ard-LVn+1 Vn)，即有T 99= 1 - LU--=1 —111010=_9_ =To故答案为:1011 • (3 分)【分析】q 的范围是_ ： ： , 1 _ ：■-•设三边：a 、qa 、q 2a 、q >0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b >c ,把a 、若三角形三边成等比数列，则公比 2qa 、 q2故得解：一v q v 上二-且q 》1,( 则b n =洽烧—^+…沽2(2)当q v 1时，a为最大边，qa+q2a>a即得q2+q- 1>0，解之得q> _ "或q v —综合(1) ( 2),得：q —故答案为：］心)2 2 ｝【点评】本题主要考查了等比数列的性质•属基础题.12. (3 分)数列｛a n｝满足a1= 1, a2= 2, a3 = 3, a4 = 4, a5= 5,当n>5 时，a n+1 = a1?a2?…?a n- 1,则是否存在不小于2的正整数m,使a1?a2?…？a m= a1 +a2 +…+a m成立？若存在，则在横线处直接填写m的值；若不存在，就填写“不存在”70 .【分析】设b m= a1?a2?…？a m- a12- a22------------- a m2中，令n= 5代入数据计算即可求出b5.由b5 = a1?a2?…？a5—a1 - a2 a5 中构造出b m+1 = a1?a2?…？a m+1- a1 - a2-a m+12，两式相减，并化简整理，可以判断出当m》5时，数列｛b n｝的各项组成等差数列•利用等差数列通项公式求解即可.【解答】解：设b m= a1?a2?…？a m-a12- a22-…-a m2,由已知，b5= a1 ?a2?…？a5 —a12- a22a52=1 X 2X 3X 4X 5-( 12+22+32+42+52)=120 - 55=65当m》5 时，由a m+1= a1?a2?…？a m- 1，移向得出a1?a2?…？a m= a m+1+1 ①2 2 2T b m= a1?a2?…？a m-a1 - a2 a m ,②2 2 2•- b m+1 = a1?a2?…？a m+1 —a1 - a2 -…—a m+1 ③2③-②得b m+1 - b m= a1?a2?•…？a m a m+1 - a1?a2?•…？a m- a m+1=a1?a2?…？a m (a m+1 - 1) - a m+1 (将①式代入)2 2 2=(a m+1 + 1) (a m+1 - 1) - a m+1 = a m+1 - 1 - a m+1=-1•••当n》5时，数列｛b n｝的各项组成等差数列，• b m= b5+ ( m - 5) X( - 1) = 65 -( m - 5)= 70 - m.2 2 2右a1?a2?…？a m= a1 + a2 + …+a m 成立，•- b m= 0，即m= 70故答案为：70.【点评】本题考查等差关系的判定、通项公式.考查转化、变形构造、计算能力.二、选择题(每题3分)13. (3分)已知等差数列｛a n｝的公差为2,前n项和为S n,且S10= 100,则a7的值为()【分析】由S10= 100及公差为2 .利用求和公式可得a1= 1.再利用通项公式即可得出.【解答】解：由S10= 100及公差为2.10a1+ ——-x 2= 100,2联立解得a1 = 1.--a n= 2n- 1,故a7= 13.故选：C.【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14. （3分）等比数列｛a n｝的前n项和为S n,已知S3= a2+10a1, a5= 9，贝U a1=（）A. 1 B .丄 C .— D •曰3~39g【分析】设等比数列｛an｝的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到日 1 +乩1口十已1q =a1q+10 at，解出即可.s j q■丄【解答】解：设等比数列｛a n｝的公比为q,•S3= a2+10a1, a5= 9,r 2日i + a i q+a i q•，解得•臥二g故选：C.【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.15. （3分）设等差数列｛a n｝的前n项和为3,若S m-1=- 2, S m= 0, S m+1 = 3,贝y m=（）A . 3B . 4C . 5D . 6【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m,进而得到公差d，由前n项和公式及S m = 0可求得a1,再由通项公式及a m= 2可得m值.【解答】解：a m= S m- S m-1 = 2, a m+1 = S m+1 - S m= 3,所以公差d= a m+1 - a m= 1,A . 11B . 12 C. 13 D. 14得 a 1 =- 2, 所以 a m =- 2+ ( m - 1 )?1 = 2,解得 m = 5,S另解：等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,即有数列｛——｝成等差数列,n解得m = 5.故选：C .【点评】本题考查等差数列的通项公式、 前n 项和公式及通项 a n 与S n 的关系，考查学生 的计算能力.16. ( 3 分)设 0v aV ^j ，若 x 1= sin a, x n+1=( sin a) % (n = 1, 2, 3…)，则数列｛x n ｝是 ( )A .递增数列B .递减数列C .奇数项递增，偶数项递减的数列D .偶数项递增，奇数项递减的数列【分析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0 V sin aV 1，进而可得函数y =( sin a)x为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案. 【解答】解：根据题意，0 V aV —，则0V sin aV 1 ,m - 1 > 0, m > 1,因此 m 不能为0, 又一解：由等差数列的求和公式可得(m - 1) (a 1+a m-1 )=- 2,(a 1 + a m ) =0, 可得 a 1 =- a m ,(m+1) (a 1+a m+1)= 3,[6 .-4m+1S m =则5 ：,」，"「成等差数列，HL'1 in m 十 12a m + a m+1 +a 0,指数函数y=( sin a) x为减函数,■'■( sin a) 1<( sin a) sin y ( sin a) 0= 1, 即—「〔八「I ]…，：(sinU ) '< (sinQ ) (日 )Z]< (吕 in a )打< (sin^ )^ = 1， 即 0 < X 1 < X 3< X 4< X 2< 1 ,(sinQ ) 'W (sin 口)(si 门 a ) (sin^ )勺< (曰 in a )Xj < (sin ) 0 =1即 0 < X 1 < x 3< x 5< x 4< x 2< 1，…，0< x 1< x 3 < x 5< x 7<・・・< x 8< x 6< x 4< x 2< 1 . 「•数列｛x n ｝是奇数项递增，偶数项递减的数列 故选：C .【点评】本题考查数列通项公式，涉及数列的函数特性，属中档题. 三、解答题17. （ 8分）等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S 4=- 62, S 6=- 75设b n = |a n |,求数列｛b n ｝的 前n 项和T n .【分析】由已知条件利用等差数列前 n 项和公式求出公差和首项，由此能求出 a n = 3n -1 < n < 7 时，T n =- S n =…，当 n 》8 时，T n =【解答】解：I S 4=- 62, S 6=- 75,4a16 a |解得 d = 3, a 1=- 20,「. a n = 3n - 23,设从第n+1项开始大于零,• n = 7,即 a 7< 0, a 8> 0 当 1 < n W 7 时，T n =- S n =—V "23，且 a 7< 0, a 8> 0.当 3 3 43 2 n ~T一启.a^-20+3 Cn-lKOS+l 二-'【点评】本题考查数列的前 n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数 列的性质的合理运用.18. (10 分)已知数列｛ a n ｝的前 n 项和 S n = n 2 — 2n+1 (n €N*).(1 )求｛a n ｝的通项公式；(2)若数列｛b n ｝满足：a n+1+log 3n = log 3b n ( n€N*),求｛ b n ｝的前n 项和T n (结果需化简) 【分析】(1)运用数列的递推式得 n = 1时，a 1= S 1, n 》2时，a n = 3-S n -1，化简计算 可得所求通项公式；(2)求得b n = n?32n — 1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算 可得所求和. 【解答】解：(1) S n = n 2 — 2n+1，可得 a 1 = S 1 = 0,22n 》2 时，a n = S n - S n -1= n — 2n+1 —( n - 1) +2 ( n - 1) — 1 = 2n - 3,(2)数列｛ b n ｝满足：a n+1+log 3n = log 3b n (n€N*), 可得 2n - 1+log 3n = log 3b n ,即 b n = n?3 ,前 n 项和 T n = 1?3+2?33+ …+ n?3勿 1, 9T n = 1?33+2?34+…+ n ?32n+1,两式相减可得-8T n = 3+33+35+ …+32n 1 - n?32n+1 =-n?32n+1,化简可得T n【点评】 本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的 求和公式，考查运算能力，属于中档题.19. (10分)某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣 传且每件获利a 元的前提下，可卖出 b 件.若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费综上有，T n =当n 》8时，T进而可求S 的最大值【解答】（1）解法一、直接列式：由题,费为1千元时，s = b+L ；2千元时，s = b+ 2s = b + !■o —2 丄+ 丄；22+」••• +_L2n=b （2 -丄）（广告 2n…n 千元时s = b 也乙223+ …+-!^-23 2n解法二、（累差叠加法）设 S 0表示广告费为0千元时的销售量, 由题: b 巧r 盯，s 2~s 1 ~~~2，相加得S n - S3 b b b 12 22 23 + b bb u / o 1) 2 22 + ■ + + 1沪2n =b (2 2n ) 即 S n = b+ (2) b = 4000 时，s = 4000 (2-丄),设获利为 t ,则有 t = s?10- 1000n = 40000 (2-丄) 2n 2n-1000n为（n - 1）千元时多卖出 亠件，（n 讯*）.2n（1） 试写出销售量s 与n 的函数关系式；（2） 当a = 10, b = 4000时厂家应生产多少件这种产品,做几千元广告，才能获利最大?【分析】对于（1）中的函数关系，设广告费为 n 千元时的销量为s n ,则s n -1表示广告费s n --s n - 1=丄，可知数列｛s n ｝不成等差也不成等比数2n为（n - 1）元时的销量，由题意,列，但是两者的差上-构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：一、直接2n列式：由题，s = b+2 + ■■ +…+ ■ 23-b s i-一,S s-S rp-；-〉，累加结合等比数列的求和公式可求 &(2)) b = 4000 时，s = 4000 (2-丄)，设获利为 T n ,则有 T n = s?10- 1000n = 40000 (22n欲使T n 最大，根据数列的单调性可得，代入结合n 为正整数解不等式可求 n ,=b ( 2-)22 解法二、利用累差叠加法： -1000n ,(小)项，解题中要注意函数思想在解题中的应用.(1)求数列｛a n ｝的通项公式; 1 1 ”5 12“ 3 n+1【分析】(1)运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求; (2)对一切正整数n,有--引 a欲使T n 最大，则，得，故 n =5,此时 s = 7875.即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告, 能使获利最大.【点评】本题主要考查了数列的叠加求解通项公式, 利用数列的单调性求解数列的最大1 =1 V 12 nn £-l=—( 2 h-1 n+1),再由裂项相消求和，即可得证.【解答】解：(1)v=a n+1—n| 32• 2S n = n a n+1 —二 n — n —二 n = n a n+1 — 3 3 2nCn+1) (n+2) •••当 n 》2 时，2S n -1=( n — 1) a n—3Cn-L)n(n +1) 由①—②，得 2S n — 2S n -1 = na n+1 —( n — 1) a n — n (n+1),T 2a n = 2S n — 2S n -1,.°. 2a n = na n+1 —( n — 1) a n — n (n+1),=1，•数列｛ A ｝是以首项为n1，公差为1的等差数列.2(n — 1)= n ,. a n = n (n 》2),当n = 1时，上式显然成立.••• a n = n 2, n€N* n ,有亠四］曰 2 a n 3 n+1(2)对一切正整数丄+_!n n-1 n+120. (10分)设数列｛a n ｝的前n 项和S n ,已知a 1= 1,=a n+1 -丄二-n —,n€N*.(2)是否对一切正整数 n ,有"•?说明理由..考虑当n > 3时,可得—（_+, ）＞-,2n n+1 n+1即有_-_ （_+」^）v丄-」^,3 2 n n+1 3 口十1则当n》3时，不等式成立；检验n= 1, 2时，不等式也成立，综上可得对一切正整数n,有丄丄宀丄夺亠.衍日2 S 3"1【点评】本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键.21 . (14 分)设集合S n= { (x1, x2,…，x n) X：€{0 , 1} (i = 1, 2,…，n) }，其中n €N*,n》2 .(1 )写出集合S2中的所有元素；(2)设(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,证明：“ a1?20+ a2?21 + …+ a n?2n 1=b1 ?20+ b2?21 + …+ b n?2n 1“的充要条件是"a i = b i (i = 1, 2，…,n)”；(3)设集合S= { (X1, X2,…x n,…)|x i €{0, 1} (i = 1,2…，n…)}设(a1, a2,…,)2+…+an?(丄)a n，…),(b1, b2,…b n，…)€S,使得a1?(一 ) +a2?b1?( —) 1+b2?^—) 2+ …+b n?^—) "+ •• •= B，试判断"A= B”是"a i= b i (i = 1, 2,…)”的什么条件并说明理由.【分析】(1)由题意求得S2中；(2)分别从充分性及必要性出发，分别证明即可，在证明必要性时，注意分类讨论；(3)将原始的式子同乘以2n,然后利用(2)即可求得答案.【解答】解：(1) S2中的元素有(0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1).0 1 n -1 0 1(2)充分性，当a i = b i (i = 1, 2,…，n),显然a1?2 +a2?2 + …+a n?2 = b1?2 +b2?2 + … +b n?2n-1成立，必要性，因为a1?20+a2?21 + - +a n?2n 1= b1?20+?21 + …+b n?2n 1,0 1 n -1所以(a1 - b1)?2 + (a2- b2)?2 + …+ (a n - b n)?2 = 0,因为(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,所以a n- b n€{1 , 0, - 1},若a n- b n= 1,则(a1 - b1)?2°+ (a2 - b2)?21+ …+ (a n - b n)?2n 1= 20+21 + —+2n 1= 2n-1工0,当a n - b n=- 1,贝V (a1 - b1 )?2°+ (a2 - b2)?21 + ^ + (a n - b n) ?2n 1=- (20+21 + —+2 n 1)=-(2n - 1 )工 0,若a n - b n 的值有m 个1和n 个-1,不妨设2的次数最高次为r 次，其系数为1,贝U 2r-2r - 1 - 2r — 1 -……-1 = 2r - —= 2r -（ 2r - 1）= 1>0,1-2说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理只要最高次的系数是负的，整 个式子就是负的,说明最咼次的系数只能为，就是a n -b n = 0，即a i = b i , =2n ?A ,1+b 2?^) 2+ …+ b n ?(二)n + •••= B ,等价于 b 1?2n —1 由(2)得“ 2n ?A = 2n ?B “的充要条件是“ a i = b i (i = 1, 2，…，n )”;即 A = B 是 a i = b i （i = 1, 2，…，n ）”充要条件.【点评】 本题考查数列的综合应用，考查重要条件的证明，考查逻辑推理能力，考查分 类讨论思想，属于难题.综上可知：“ a 1?20+a 2?21+ …+a n ?2n —1= b 1?20+b 2?21+ …+b n ?2n — 1“的充要条件是 a a i = b i (i = 1, 2，…，n )”;(3)由a 1(^) 1+a 2(^) 2+…+ a n(—) n + •••= A ,等价于 a 1?2n 1+a 2?2n —2+- +a n ?2°+ … +b 2?2n —2+ …+b n ?20+ •••= 2n ?。
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)_3
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题文（含解析）第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知i是虚数单位,若复数z满足,则=A. -2iB. 2iC. -2D. 2【答案】A【解析】由得,即,所以,故选A.【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i.2.设，，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.3.如果直线与直线平行，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为直线与直线平行，所以，故选B．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．4.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A. 若，垂直于同一平面，则与平行B. 若，平行于同一平面，则与平行C. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若，不平行，则与不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】由，若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故不正确；由，若，平行于同一平面，则，可以平行、重合、相交、异面，故不正确；由，若，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于，交线的直线；由项，其逆否命题为“若与垂直于同一平面，则，平行”是真命题，故项正确.所以选D.考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.5.若圆关于直线：对称，则直线在轴上的截距为（）A. -lB. lC. 3D. -3【答案】A【解析】【分析】圆关于直线：对称,等价于圆心在直线：上,由此可解出.然后令 ,得,即为所求.【详解】因为圆关于直线：对称,所以圆心在直线：上,即 ,解得.所以直线,令 ,得.故直线在轴上的截距为.故选A.【点睛】本题考查了圆关于直线对称,属基础题.6.如图所示的流程图中，输出的含义是（）A. 点到直线的距离B. 点到直线的距离的平方C. 点到直线的距离的倒数D. 两条平行线间的距离【答案】A【解析】【分析】将代入中,结合点到直线距离公式可得.【详解】因为,,所以,故的含义是表示点到直线的距离.故选A.【点睛】本题考查了程序框图以及点到直线的距离公式,属基础题.7.观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=A. B. C. D.【答案】D【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D。
上海金山中学2018-2019学度高二下年末考试数学试卷含解析.doc
上海金山中学2018-2019学度高二下年末考试数学试卷含解析【一】填空题(本大题总分值54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分，考生应在答题纸上相应编号旳空格内直截了当填写结果，否那么一律得零分、1. 旳展开式中项旳系数为﹏﹏﹏﹏﹏﹏、【答案】【解析】旳展开式旳通项公式为，令，求得，可得展开式中项旳系数为，故【答案】为10.2. 直线通过点且方向向量为，那么原点到直线旳距离为﹏﹏﹏﹏﹏﹏.【答案】1【解析】直线旳方向向量为，因此直线旳斜率为，直线方程为，由点到直线旳距离可知，故【答案】为1.3. 全集，集合,,假设，那么实数旳值为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.【答案】2【解析】试题分析：由题意，那么，由得，解得、考点：集合旳运算、4. 假设变量满足约束条件那么旳最小值为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上旳截距最小，有最小值为，故【答案】为.点睛：此题要紧考查线性规划中利用可行域求目标函数旳最值，属简单题.求目标函数最值旳一般步骤是“一画、二移、三求”：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线依旧虚线〕；〔2〕找到目标函数对应旳最优解对应点〔在可行域内平移变形后旳目标函数，最先通过或最后通过旳顶点确实是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点旳距离等于旳点旳坐标是﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点旳距离等于旳点旳坐标是和6. 某学生在上学旳路上要通过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立旳，遇到红灯旳概率差不多上，那么这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯旳概率是﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，那么所求概率为，故【答案】为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时刻〔单位：分钟〕，并将所得数据绘制成频率分布直方图〔如图〕，其中，上学所需时刻旳范围是，样本数据分组为，，，，、那么该校学生上学所需时刻旳均值可能为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏、〔精确到分钟〕.【答案】34................点睛：此题考查频率分布直方图，解题旳关键是理解直方图中各个小矩形旳面积旳意义及各个小矩形旳面积和为1，此题考查了识图旳能力；依照直方图求平均值旳公式，各个小矩形旳面积乘以相应组距旳中点旳值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同旳红球，6个不同旳白球，假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分许多于7分旳取法有多少种﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，那么考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，那么该三棱锥旳体积V旳取值范围是﹏﹏﹏﹏﹏﹏、【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，旳最大值为，旳最大值为，该三棱锥旳体积V旳取值范围是.10. 是双曲线旳右支上一点，分别是圆和上旳点，那么旳最大值等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线旳焦点，，，再依照双曲线旳定义得旳最大值为.考点：双曲线旳定义，距离旳最值问题.11. 棱长为1旳正方体及其内部一动点，集合,那么集合构成旳几何体表面积为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体旳表面积.12. 在直角坐标平面中，两定点与位于动直线旳同侧，设集合点与点到直线旳距离之差等于，，记,.那么由中旳所有点所组成旳图形旳面积是﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.【答案】【解析】过与分别作直线旳垂线，垂足分别为，，那么由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形旳高为，且，∴集合对应旳轨迹为线段旳上方部分，对应旳区域为半径为1旳单位圆内部，依照旳定义可知，中旳所有点所组成旳图形为图形阴影部分、∴阴影部分旳面积为，故【答案】为.【二】选择题(本大题总分值20分)本大题共有4题，每题只有一个正确【答案】.考生应在答题纸旳相应编号上，将代表【答案】旳小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分、13. 为实数，假设复数是纯虚数，那么旳虚部为〔〕A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴旳虚部为，应选C.14. 条件：“直线在两条坐标轴上旳截距相等”，条件：“直线旳斜率等于”，那么是旳〔〕A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上旳截距相等，斜率能够为任意数，故不成立；当直线旳斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上旳截距均为，故可得成立，那么是旳必要非充分条件，应选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱旳顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴、当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图旳表述正确旳选项是〔〕A. 该三棱柱主视图旳投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图旳投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图旳投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图旳投影都不发生变化、【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图旳长度是或者在轴上旳投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，那么该三棱柱左视图确实是矩形，图形不变、故正确；C、该三棱柱俯视图确实是，随点得运动发生变化，故错误、D、与矛盾、故错误；应选B.点睛：此题考查几何体旳三视图，借助于空间直角坐标系、此题是一个比较好旳题目，考查旳知识点比较全，然而又是最基础旳知识点；从正面看到旳图叫做主视图，从左面看到旳图叫做左视图，从上面看到旳图叫做俯视图，依照图中C点对三棱柱旳结构阻碍进一步推断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域旳边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出以下三个推断：①到、、、四点旳距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于、A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】关于①，假设点在椭圆上，到、两点旳距离之和为定值、到、两点旳距离之和不为定值，故错；关于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；关于③，曲线所围区域在边长为6旳正方形内部，因此面积必小于36，故正确；应选C.【三】解答题(本大题总分值76分)本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号旳规定区域内写出必要旳步骤、17.复数满足，〔其中是虚数单位〕，假设，求旳取值范围、【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式旳形式，利用复数同乘分母旳共轭复数，化简为旳形式即可得到，依照模长之间旳关系，得到关于旳不等式，解出旳范围.试题【解析】：，，即，解得或18.如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.〔1〕求异面直线与所成旳角；〔2〕求证：平面.【答案】〔1〕〔2〕见【解析】【解析】试题分析：〔1〕此题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，能够通过建立空间直角坐标系，利用向量旳夹角求出所求角；〔2〕同〔1〕我们能够用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得因此我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由可直截了当得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.〔1〕以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.那么，，，.3分因此,,,异面直线与所成旳角旳大小等于.6分〔2〕过作交于，在中，，，那么，，，，10分，.又，平面.12分考点：〔1〕异面直线所成旳角；〔2〕线面垂直.19.如图，圆锥旳顶点为，底面圆心为，线段和线段差不多上底面圆旳直径，且直线与直线旳夹角为，，、〔1〕求该圆锥旳体积；〔2〕求证：直线平行于平面，并求直线到平面旳距离、【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕利用圆锥旳体积公式求该圆锥旳体积；〔2〕由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面旳距离即直线到平面旳距离，由，求出直线到平面旳距离.试题【解析】：〔1〕设圆锥旳高为，底面半径为，那么，，∴圆锥旳体积；〔2〕证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面旳距离即直线到平面旳距离，设到平面旳距离为，那么由，得，可得，∴，∴直线到平面旳距离为、20.阅读：，，求旳最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，那么旳最小值为.应用上述解法，求解以下问题：〔1〕，，求旳最小值；〔2〕，求函数旳最小值；〔3〕正数，，求证：.【答案】〔1〕9〔2〕18〔3〕见【解析】【解析】试题分析：此题关键是阅读给定旳材料，弄懂弄清给定材料提供旳方法〔“1”旳代换〕，并加以运用.要紧确实是，展开后就可应用差不多不等式求得最值.〔1〕；〔2〕尽管没有旳“1”，但观看求值式子旳分母，能够凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用差不多不等式；〔3〕观看求证式旳分母，结合有，因此有此式中关键是凑配出差不多不等式所需要旳两项，如与合并相加利用差不多不等式有，从而最终得出.〔1〕，2分而，当且仅当时取到等号，那么，即旳最小值为.5分〔2〕，7分而，，当且仅当，即时取到等号，那么，因此函数旳最小值为.10分〔3〕当且仅当时取到等号，那么.16分考点：阅读材料问题，“1”旳代换，差不多不等式.21.设椭圆旳长半轴长为、短半轴长为，椭圆旳长半轴长为、短半轴长为，假设，那么我们称椭圆与椭圆是相似椭圆、椭圆，其左顶点为、右顶点为、〔1〕设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数旳值；〔2〕设椭圆，过作斜率为旳直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆旳上顶点为作斜率为旳直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；〔3〕椭圆与椭圆是相似椭圆、椭圆上异于旳任意一点，求证：旳垂心在椭圆上、【答案】〔1〕或；〔2〕当时，取得最小值、〔3〕见【解析】【解析】试题分析：〔1〕运用“相似椭圆”旳定义，列出等式，解方程可得s；〔2〕求得旳坐标，可得直线与直线旳方程，代入椭圆旳方程，运用判别式为，求得，再由差不多不等式即可得到所求最小值；〔3〕求得椭圆旳方程，设出椭圆上旳任意一点，代入椭圆旳方程；设旳垂心旳坐标为，运用垂心旳定义，结合两直线垂直旳条件：斜率之积为，化简整理，可得旳坐标，代入椭圆旳方程即可得证、试题【解析】：〔1〕由题意得或，分别解得或.〔2〕由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，因此.①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，因此.②由①②得：.因此，现在，即.〔3〕由题意知：，因此，且.设垂心，那么，即. 又点在上，有，. 那么，因此旳垂心在椭圆上.。
上海市2018_2019学年高二数学下学期期末考试复习卷(含解析)
16.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感
染的标志是“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”，根据过去 10 天甲、乙、丙、丁
四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A. 甲地：总体均值为 3，中位数为 4
B. 乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0
选项：若 天内数据为：
，满足均值为 ，方差大于 ，存在超过 人的情况，
不符合该标志，则 错误；
选项：设 天内存在一天超过 人，为最低的超过标志的人数： 人，则必有
，可知方差不可能为 ，可知假设错误，则必符
合该标志，则 正确；
选项：若 天内数据为：
，满足中位数为 ，众数为 ，存在超过 人的情况，
不符合该标志，则 错误.
【详解】
由题意可知：纬圈半径为： 两点的经度差为
即： 两地的球面距离：
本题正确结果： 【点睛】本题考查球面距离及其计算，考查空间想象能力，属于基础题.
6.若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为志愿者，则选出的志愿者中男女生均不 少于 1 名的概率是 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据古典概型求解出所求事件的对立事件的概率，然后利用对立事件概率公式求得结果. 【详解】记事件 为：“选出的志愿者中男女生均不少于 1 名” 则：
【点睛】本题考查圆柱侧面积的相关计算，属于基础题.
4.若对任意实数 ，都有 【答案】6 【解析】 【分析】 将原式变为 可求得结果. 【详解】由题意得：
，则 __________。 ，从而可得展开式的通项，令
则
展开式通项为：考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是能够构造出合适的形式 来进行展开.
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)_7
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回，试卷自行保存。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.抛物线的焦点坐标为A. （0，2）B. （2，0）C. （0，4）D. （4，0）【答案】A【解析】【分析】根据抛物线标准方程求得，从而得焦点坐标．【详解】由题意，，∴焦点在轴正方向上，坐标为．故选A．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．解题时要掌握抛物线四种标准方程形式．2.复数的共轭复数是A. -1+iB. -1-iC. 1+iD. 1-i【答案】D【解析】【分析】化简复数为标准形式，然后写出共轭复数．【详解】，其共轭复数为．故选D．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．3.已知双曲线的离心率为，则m=A. 4B. 2C.D. 1【答案】B【解析】【分析】根据离心率公式计算．【详解】由题意，∴，解得．【点睛】本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定．4.如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由向量的线性运算的法则计算．【详解】-＝，，∴+（-）．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础．5.若=（4，2，3）是直线l的方向向量，=（-1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是A. 垂直B. 平行C. 直线l在平面α内D. 相交但不垂直【答案】D【解析】【分析】判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，从而得直线与平面的位置关系．【详解】显然与不平行，因此直线与平面不垂直，又，即与不垂直，从而直线与平面不平行，故直线与平面相交但不垂直．故选D．【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面的位置关系，方法是由直线的方向向量与平面的法向量的关系判断，利用向量的共线定理和数量积运算判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直线与平面的位置关系．6.“m≠0”是“方程=m表示的曲线为双曲线”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程进行判断．【详解】时，方程表示两条直线，时，方程可化为，时表示焦点在轴上的双曲线，时表示焦点在轴上的双曲线．故选C．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查充分必要条件，解题关键是掌握双曲线的标准方程．7.如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是A. 平面平面B. 的取值范围是（0，]C. 的体积为定值D.【答案】B【解析】【分析】根据线面位置关系进行判断．【详解】∵平面，∴平面平面，A正确；若是上靠近的一个四等分点，可证此时为钝角，B 错；由于，则平面，因此的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C正确；在平面上的射影是直线，而，因此，D正确．故选B．【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定，考查三垂线定理等，所用知识较多，属于中档题．8.设F是椭圆=1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点（i=1,2,3,···），，，···组成公差为d（d>0）的等差数列，则d的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出椭圆点到的距离的最大值和最小值，再由等差数列的性质得结论．【详解】椭圆中，而的最大值为，最小值为，∴，．故选B．【点睛】本题考查椭圆的焦点弦的性质，考查等差数列的性质，难度不大．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
金山统考高二期末(2018.06)
金山区统考高二期末数学试卷 2018.06 一. 填空题 1. 复数(13)z i i =-（i 为虚数单位）的虚部是2. 关于x 的方程240x x k ++=有一个根为23i -+（i 为虚数单位），则实数k =3. 球的表面积为16π，则该球的体积为4. 261(2)x x-的展开式中的常数项是 （结果用数值表示）5. 已知球的半径为1，A 、B 是球面上两点，线段AB 的长度为3，则A 、B 两点的球面距离为6. 一个圆锥的侧面积等于其底面面积的两倍，则这个圆锥的母线与底面所成角的大小是7. 在正方体的12条棱中任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为 （结果用最简分数表示）8. 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 （结果用数值表示）9. (12)n x +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n =10. 若正三棱锥底面边长为1，侧棱与底面所成的角为45°，则其体积为11. 已知复数z a bi =+（a 、b ∈R ，i 为虚数单位），1z 、2z ∈C ，定义运算：()||||||||D z z a b ==+和1212(,)||||D z z z z =-，给出下列命题：（1）对任意z ∈C ，都有()0D z >；（2）若z 是复数z 的共轭复数，则()()D z D z =恒成立；（3）若12()()D z D z =，则12z z =；（4）对任意1z 、2z 、3z ∈C ，131223(,)(,)(,)D z z D z z D z z ≤+恒成立.其中真命题的序号是 （写出所有的正确序号）12. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ︒∠=， 6AC =，12BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值是二. 选择题13. 设a 、b ∈R ，i 为虚数单位，则“0ab =”是“复数a bi +为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14. 给出下列四个命题：（1）异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线；（2）若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则//l α；（3）若直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直，则m α⊥；（4）两条异面直线中的一条垂直于平面α，则另一条必定不垂直于平面α. 其中正确命题的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个15. 从装有1n +个不同小球的口袋中取出m 个小球（0m n <≤，m 、n ∈*N ），共有1m n C +种取法，在这1m n C +种取法中，可以视作分成两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有01m n C C ⋅种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有111m n C C -⋅种取法，显然011111m m m n n n C C C C C -+⋅+⋅=，即有等式：11m m m n n n C C C -++=成立，试根据上述想法，下面式子 1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅（其中1k m n ≤<≤，k 、m 、n ∈*N ）等于（ ）A. m n k C +B. 1m n k C ++C. 1m n k C ++D. k n m C +16. 201881除以100的余数是（ ）A. 21B. 41C. 61D. 81三. 解答题17. 如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒的高h 为2米，球的半径r 为0.5米.（1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）；（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，求该“浮球”的建造费用（结果精确到1元）.18. 设z 是关于x 的方程20x mx n ++=（m 、n ∈R ）的虚根，i 为虚数单位.（1）当z i =时，求m 、n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数34i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.19. 在如图所示的空间直角坐标系中，(0,0,2)P ，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，D 在y 轴上，四边形ABCD 是正方形，点E 、F 、G 分别为线段P A 、PD 和CD 的中点.（1）求异面直线EG 与BD 所成角的大小；（2）在线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离恰为45？若存在，求出线段CQ 的长；若不存在，请说明理由.20. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求棱1AA 的长；（2）画出几何体111ABCD AC D -的三视图；（3）求二面角111B AC D --的大小.（结果用反三角函数值表示）21. 已知三棱锥P -ABC 中，90APB BPC CPA ︒∠=∠=∠=，PA a =，PB b =，PC c =，设ABC S S =，1PBC S S =，2PAC S S =，3PAB S S =，PO ⊥底面ABC 于O ，PO h =，设 1OBC S S '=，2OAC S S '=，3OAB S S '=.（1）已知16S =，12S '=，求S ，并写出1S 、1S '、S 满足的一个等式关系（不必证明）；（2）已知15S =，26S =，9S =，求3S 的值；并写出1S 、2S 、3S 、S 满足的一个等式 关系并给予证明；（3）将21h 用a 、b 、c 表示.。