算符的运算规则

为 Fµ 的本征方程。
3.2 算符的运算规则
若算符满足：
Fµ(c11 c2 2 ) c1 Fµ1 c2 Fµ 2
（3.2.2）
其中 1 、 2 为任意函数， c1 、c2为常数，则 Fµ称为线性算符。
若算符满足： I$
（3.2.3）
为任意函数，则称 I$为单位算符。
3.2 算符的运算规则
3.2.2 算符的运算规则
➢ 算符之和 µA Bµ µA Bµ
（3.2.4）
为任意波函数。显然，算符之和满足交换率和结合律
µA Bµ Bµ µA
µA Bµ Cµ µA Bµ Cµ
显然，线性算符之和仍为线性算符。
➢ 算符之积 (µABµ) µA(Bµ )
（3.2.5）
[BˆCˆ, Aˆ] [Bˆ, Aˆ]Cˆ Bˆ[Cˆ, Aˆ]
[ Aˆ,[Bˆ,Cˆ ]] [Bˆ,[Cˆ, Aˆ]] [Cˆ,[ Aˆ, Bˆ]] 0
最后一式称为雅可比恒等式。
作为例子，我们讨论角动量算符
uL$r
r r
uµpr
Lµx
ypˆ z
zpˆ y
ih
y
z
z
y
Lµy
sin cos 1 cos cos 1 sin
r r
r sin
（3.2.27）
3.2 算符的运算规则
同理可得： r
y y r y y
= sin sin 1 cos sin 1 cos
r r
r sin
r z z r z z
= cos 1 sin r r
（3.2.12）
（3.2.12）式可表示为 [L¶ , x ] ihx
（3.2.13）
上式中 ，， =1,2,3表示相应的分量， 成为列维-
斯维塔记号，满足
123 1
任意两个下脚标相同，则 为零。
（3.2.14）
3.2 算符的运算规则
同理可得
[L¶ , ¶p ] ih¶p
[L¶ , L¶ ] ihLµ
cos2
2 2
+ctg cos2 (ctg2 csc2 )sin cos ]
（3.2.33）
L¶y 2
h2[cos2
2
2
2c源自文库g
sin cos
2
ctg2
sin2
2
2
+ctg sin2 (ctg2 csc2 )sin cos ]
（3.2.34）
Lµz 2
h2
2
2
注：一般情形 µABµ BµµA
（3.2.6）
3.2 算符的运算规则
比方，取
µA
x;
Bµ
¶px
ih
x
则
x ¶px
ihx
x
但
¶px x
ih x
(x )
ih
ihx
x
因此 (x¶px ¶pxx) ih
由于 是任意函数，从(3.2.7)式得
x¶px ¶pxx ih
从（3.2.8）可见， x¶px ¶px x
式中不为零的等式也可写成
uL$r uL$r ihuL$r
坐标和动量的对易子可写为
[x , ¶p ] ih
其中
1 0
（3.2.15） （3.2.16）
（3.2.17） （3.2.18） （3.2.19）
3.2 算符的运算规则
角动量算符的平方是： L$2 Lµx 2 Lµy 2 Lµz 2
3.2 算符的运算规则
3.2.1 算符的定义
所谓算符，是指作用在一个函数上得出另一个函数
的运算符号。若某种运算把函数 变为 ，记作 Fµ
则表示这种运算的符号 Fµ 就称为算符。
如果算符 Fµ 作用于一个函数 ，结果等于乘上一个
常数 ，记为
Fµ
（3.2.1）
则 为 Fµ 的本征值， 为 Fµ 的本征函数，上述方程称
（3.2.7） （3.2.8）
3.2 算符的运算规则
记µABµ 和 BµµA 之差为
µA,
Bµ
µABµ
BµµA
称为算符 µA ，Bµ 的对易关系或对易子。
（3.2.9）
式（3.2.8）可记为
x,
¶px
ih
若算符 µA 和 Bµ 的对易子为零，则称算符 µA 和 Bµ 对易。
利用对易子的定义（3.2.9）式，易证下列恒等式
（3.2.35）
所以
L$2 Lµx 2 L¶y 2 Lµz 2
=-h2[ 1 (sin ) 1
2 ]
sin
sin2 2
（3.2.36）
3.2 算符的运算规则
则 L$2的本征方程可写为：
[ 1 (sin ) 1 2 ]Y (,) Y (,)
[ Aˆ, Bˆ ] [Bˆ, Aˆ]
[ Aˆ, Aˆ] 0
[ Aˆ,C] 0( C is constant)
3.2 算符的运算规则
[ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ] [ Aˆ,Cˆ ]
[ Aˆ, BˆCˆ ] [ Aˆ, Bˆ]Cˆ Bˆ[ Aˆ,Cˆ ]
（3.2.10）
则角动 量算符 可表示 为：
Lµx
ih(sin
ctg
cos
)
L¶y
ih( cos
ctg
sin
)
Lµz
ih
（3.2.28）
（3.2.29） （3.2.30） （3.2.31） （3.2.32）
3.2 算符的运算规则
由此可得：Lµx 2
h2[sin2
2 2
2ctg
sin
cos
2
ctg2
r x sin cos
x r
（3.2.24）
将 cos
z r
两边对x求偏导，得：x
1 sin
z r2
r x
1 cos cos r
（3.2.25）
再将tg
y x
两边对x求偏导，得：x
1 sec2
y x2
sin r sin
利用这些关系式可求得：
（3.2.26）
r x x r x x
则
L$2 ,
Lµx
L$2 ,
Lµy
L$2 ,
Lµz
0
在球坐标系下 则
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
r x2 y2 z2
cos
z r
tg
y x
（3.2.20） （3.2.21） （3.2.22）
（3.2.23）
3.2 算符的运算规则
将r 两边对x 求偏导，得
zpˆ x
xpˆ z
ih
z
x
x
z
Lµz
xpˆ y
ypˆ x
ih
x
y
y
x
（3.2.11）
3.2 算符的运算规则
它们和坐标算符的对易子是
[Lµx , x] 0,[Lµx , y] ihz,[Lµx , z] ihy
[Lµy , x] ihz,[Lµy , y] 0,[Lµy , z] ihx [Lµz , x] ihy,[Lµz , y] ihx,[Lµz , z] 0