哈密顿算子习题解答
量子力学概论习题答案胡行
量子力学概论习题答案胡行量子力学概论习题答案解析量子力学是一门极具挑战性的物理学科，其理论和应用涉及到许多复杂的概念和现象。
在学习量子力学的过程中，习题是一个重要的学习工具，通过解答习题可以帮助我们更好地理解和掌握这门学科的知识。
在这篇文章中，我们将对一些量子力学概论习题的答案进行解析，帮助读者更好地理解这些问题的解决方法和相关概念。
1. 问题：一个自旋为1/2的粒子处于一个外加磁场中，磁场方向与粒子自旋方向相反，求粒子在磁场中的能量。
答案：根据量子力学的基本原理，粒子在外加磁场中的能量可以用哈密顿算符来描述。
对于自旋为1/2的粒子，其哈密顿算符可以表示为H = -μBσ·B，其中μB为玻尔磁子，σ为泡利矩阵，B为磁场的大小。
根据量子力学的理论，粒子在磁场中的能量可以通过求解哈密顿算符的本征值得到。
具体来说，粒子在磁场中的能量可以表示为E = -μBσ·B，其中E为能量的本征值。
因此，粒子在磁场中的能量与磁场的大小和方向有关，当磁场方向与粒子自旋方向相反时，粒子在磁场中的能量为-E = μBσ·B。
2. 问题：一个自旋为1的粒子处于一个外加磁场中，磁场方向与粒子自旋方向相同，求粒子在磁场中的能量。
答案：对于自旋为1的粒子，其哈密顿算符可以表示为H = -μBσ·B，其中μB 为玻尔磁子，σ为泡利矩阵，B为磁场的大小。
根据量子力学的理论，粒子在磁场中的能量可以通过求解哈密顿算符的本征值得到。
具体来说，粒子在磁场中的能量可以表示为E = -μBσ·B，其中E为能量的本征值。
因此，当磁场方向与粒子自旋方向相同时，粒子在磁场中的能量为E = μBσ·B。
通过以上两个问题的解析，我们可以看到量子力学在描述粒子在外加磁场中的行为时，需要考虑到粒子的自旋和磁场的相互作用，这些概念和原理都是量子力学的基本内容。
通过解析这些习题，我们可以更好地理解量子力学的基本原理和应用，为进一步学习和研究量子力学打下坚实的基础。
量子力学经典题目及解答
8 a1
a2
a3
2 a1
a2
a3
第一章
补充：1.设 1 af1(x)ei(x和t) 2 bf2 (x)ei分(x别t表) 示
微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态 1 2
时的相对几率分布。a，b为复常数， f1, f2为实函数。 解： 2 1 2 2 af1ei( xt) 2 bf2ei( xt) 2
n1
x
2
， px
h
x
n1h , 2a1
同理， py n2h / 2a2, pz n3h / 2a3 n1, n2, n3 1, 2,3
E
p2
2
1
2
(
px2
py2
pz2 )
h2
2
(
n1 2a1
)2
( n2 2a2
)2
( n3 2a3
)2
E h2 [( n1 )2 ( n2 )2 ( n3 )2 ] 2 2 [( n1 )2 ( n2 )2 ( n3 )2 ]
1
hv kT
1 c2
v T
d
c1v3dv ec2v/T 1
c1v3dv c2v /T
c1 c2
Tv2dv
----R-J公式
2.由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式 En
解： 角动量量子化条件，
es2 r2
Ln
v2
r
rnv
(向心力)
(1) （2）
r * (2) :
es2
(v2
)
(1)
(
的两组超越方程，经图解法求出束缚态的 后, k，可由(15)
得 2.8出分对子应间的的能范级德瓦E。n耳斯力所产生的势能可以近似的表示为
chapter原子的结构和性质习题解答
1 π
⎛1
⎜ ⎝
a0
3/2 − a0
⎞⎟ e a0 ⎠
1 π
⎛1
⎜ ⎝
a0
3/2 − 2a0
⎞⎟ e a0 ⎠
= e = 2.71828
而ψ
2 1s
在
r
=
a0
和r
=
2a0
处的比值为： e2
(c)若上述两谱线所产生的光子能使金属铜晶体的电子电离，请计算出从金属铜晶体表
面发射出的光电子的德补罗意波的波长。
解：(a)氢原子的稳态能量由下式给出：
5
乐山师范学院 化学与生命科学学院
En
=
−2.18 ×10−18
1 n2
J
式中 n 是主量子数。
第一激发态(n＝2)和基态(n＝1)之间的能量差为：
λ
=
hc ∆E
=
2.9979 ×108 m ⋅ s−1 × 6.62618×10−34 J ⋅ s 4.282 ×10−19 J
= 460nm
【2.5】计算氢原子ψ1s 在 r = a0 和 r = 2a0 处的比值。
解：氢原子基态波函数为：
ψ1s =
1 π
⎛1
⎜ ⎝
a0
⎞3/2 ⎟
−
e
r a0
⎠
该函数在 r = a0 和 r = 2a0 处的比值为：
（2）外层电子对内层无屏蔽作用，σ = 0 ；
（3）同一组电子σ = 0.35 （1s 组内电子间的σ = 0.30 ）；
（4）对于 s，p 电子，相邻内一组的电子对它的屏蔽常数是 0.85；对于 d，f 电
子，相邻内一组的电子对它的屏蔽常数是 1.00；
量子力学习题解答第八章
第八章：自旋[1]在x σˆ表象中，求x σˆ的本征态（解） 设泡利算符2σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 21 和()z s x21- （1）或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σˆ的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σˆ的本征函数可表示：βαχ21c c += (2)21,c c 待定常数，又设x σˆ的本征值λ，则x σˆ的本征方程式是：λχχσ=x ˆ (3) 将（2）代入（3）：()()βαλβασ2121ˆc c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σˆ对z σˆ表象基矢的运算法则是：βασ=x ˆ αβσ=x ˆ 此外又假设x σˆ的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：)6()6()6(122211221c b a c c c c c c ------------------------------------⎪⎩⎪⎨⎧=+==λλ前二式得12=λ，即1=λ，或1-=λ当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 211=δi ec 212=δ 是任意的相位因子。
当时1-=λ，代入（6a ）得21c c -=代入(6c)，得：δi e c 211=δi ec 212-=最后得x σˆ的本征函数：)(21βαδ+=i ex 对应本征值1)(22βαδ-=i ex 对应本征值-1以上是利用寻常的波函数表示法，但在2ˆˆσσx 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。
可用矩阵表示算符和本征矢。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01α ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c c χ （7）x σˆ的矩阵已证明是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ 因此x σˆ的矩阵式本征方程式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σˆ本征矢的矩阵形式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121δi ex ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1122δi e x[2]在z σ表象中，求n⋅σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn是),(ϕθ方向的单位矢。
哈密顿算子习题解答
1
4.
从源点
M (x,
y, z) 到场点
N (x,
y,
z)
的距离矢量为 R
，则
R R3
(
)
A. 3
B. 0
R
C. R
D. R
解析：本题考查关于距离矢量 R 的几个重要公式，基本知识点 习题难度：中
因为
1 R
1 R2
eR
R R3
(很重要的公式，在各种场基本方程的引出过程中都要使用上面的表达式
)
所以
R R3
1 0 R
5. 关于拉普拉斯算子陈述错误的是( )
A.
2u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
B.
2u
2u x 2
ex
2u y 2
ey
2u z 2
ez
C.
A2
2 x2
A
2 A y2
2 A z2
D.
2
A
2
Ax
习题难度：易 算子 在不同的坐标系中其表达式是不同的
2. 对任意标量场u ，则 u ( ) A. 恒等于零 B. 有时为零 C. 结果奇异 D. 结果无法确定，但一定为有限值 解析：本题考查哈密顿算子的常用运算公式，基本知识
点 习题难度：中 u 0 ，这个运算公式是引出静电场电位函数的数学依据。
3. 对任意矢量场 A ，则 A ( ) A. 恒等于零 B. 有时为零 C. 结果奇异 D. 结果无法确定，但一定为有限值 解析：本题考查哈密顿算子的常用运算公式，基本知识
x2
2 Ax y 2
高等电磁理论习题答案
高等电磁理论习题答案【篇一：电磁场理论补充习题及解答】ass=txt>一、填空与简答1、2、ddadbdduda?a?u3、若a,b为矢量函数，u为标量函数，(a?b)?，(ua)?，dtdtdtdtdtdtddbdaddbda(a?b)?a???b，(a?b)?a???b， dtdtdtdtdtdtdadadu?如果a?a(u),u?u(t)， dtdudt4、?表示哈密顿算子（w.r. hamilton），即??ex????ey?ez。
数量场u梯度和矢量?x?y?z场a的散度和旋度可表示为grad u??u，div a???a，rot a???a。
4、奥氏公式及斯托克斯公式可为??a?ds????(??a)dv，a?dl?(??a)?ds 。
s?ls5、亥姆霍兹（h.von helmholtz场。
6、高斯定理描述通过一个闭合面的电场强度的通量与闭合面内电荷的关系，即：e?ds?sq?07、电偶极子（electric dipole正电荷指向负电荷。
8、根据物质的电特性，可将其分为导电物质和绝缘物质，后者简称为介质。
极化介质产生的电位可以看作是等效体分布电荷和面分布电荷在真空中共同产生的。
等效体电荷密度和面电荷密度分别为?(r?)?????p(r?)，?sp?p(r?)?n 。
9、在静电场中，电位移矢量的法向分量在通过界面时一般不连续，即n?(d2?d1)?场强度的切向分量在边界两侧是连续的，即n?(e2?e1)?0。
10、凡是静电场不为零的空间中都存储着静电能，静电能是以电场的形式存在于空间，而?s，电不是以电荷或电位的形式存在于空间的。
场中任一点的能量密度为we?11、1e?d。
2欧姆定理的微分形式表明，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即j??e。
2导体内任一点的热功率密度与该点的电场强度的平方成正比，即p??e。
12、在恒定电场中，电流密度j在通过界面时其法向分量连续，电场强度的切向分量连续，即n?(e2?e1)?0，n?(j2?j1)?0。
流体力学习题解答 (解答)
习题一 场论和张量代数(习题一中黑体符号代表矢量)1．(一)用哈密顿符号法证明：rot n n n n n n n n n n n n n nC C ⨯=-⨯∇⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇=-∇⋅+⋅∇()()()()()()C 12因为n 为单位向量，n n ⋅=1，故 ∇⋅=()n n 0，于是rot n n n n ⨯=⋅∇(). 注意： 将rot n n ⨯写成rot n n n n ⨯=∇⨯⨯()是不正确的。
右端表示矢量][)(pk q jpqijk x n n ∂∂εε.直接写rot n n n n n n n n ⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇()()()尽管也能给出证明，但由第二步(反用混合积公式)到第三步却是错误的，一定要引入辅助矢量n C 才能进行正确的推导。
(二)张量表示法证明：()()1()()2n n n ijk jmnk jik jmn k im kn km in k m m mk i k k k k i k in n nn n n x x x n n n n n n x x x εεεεδδδδ∂∂∂⨯==-=--∂∂∂∂∂∂⋅=-+=-+⋅∇=⋅∇∂∂∂rot n n n n n n2．(一)哈密顿符号法：grad(a n a n n a n a ⋅=∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇)()()()； rot(a n a n n a n a ⨯=∇⨯⨯=⋅∇-∇⋅)()()().于是n a n a n n n a n a n n a a a ⋅⋅-⨯=⋅⨯∇⨯+∇⋅=⋅∇⋅=∇⋅=[()()][()()]()grad rot div(二)张量表示法：()()[grad()rot()]()j j j p k i ijk i j ijk kpq q i j i j j p j ii j ip jq iq jp q i j j i j i j a n a a n n n n x x x x a a a a n n n n n n x x x x εεεδδδδ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⨯⋅⋅-⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎡⎤∂∂∂∂=--=-⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦a n n a n a n div j i j ji i ja n x a Q n n Q x ⎡⎤∂+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦∂=+=+∂ a其中()0j j i i i jji j j i ij i ja a a aQ n n n n n n n x x x x ∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂(进行j i ,指标互换)，证毕。
哈密顿原理的应用
哈密顿原理的应用解题步骤
分析约束,确定自由度
选好广义坐标
写出系统的
T,V,L
代入
∫
∫
=
+
−
=
=
=
2
1
2
1
)
(
t
t
t
t
dt
q
P
H
s
Ldt
s
α
α
δ
δ
δ
δ
&
或者
x
一半径为r,质量为m的实心圆柱体在一半径为R的大圆柱体内表面作纯滚动,试用哈密顿正原理求其在平衡位置附近作o
4 L
=
2 t
sδ
2
3m
2−
板.设所有接触处均无滑动,今以一水平恒力F
拉板,试用哈密蹲原理求板的加速度.
取如图所示x为广义坐标
T
∫=2
Ldt
s δδ
=
1
t
=
2 t
1
4
3
解:
t δ
mr θδθ
θδθθ&&&&22mr r mr −−
δ
∫= 1[(
t
中间质点在某时刻获得与绳垂直且沿水平面的初速度,试用拉格朗日方程求左右两质点相遇时的速率.
0v 自由度数
取如图所示,(θy demonstration
θθ
B
t δ
δ
1
1
S t δ。
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1.4 哈密顿算子习题解答
1. 关于哈密顿算子，下列陈述错误的是( ) A. 算子 是一个运算符号，本身并无意义
B. 算子 只对右边的量发生作用，对左边的量不起作用
C. 算子 是微分和矢量的组合，所以它既有微分的性质，又有矢量的特点
D. 算子 在不同的坐标系中其表达式都是相同的 解析：本题考查哈密顿算子的作用规则，基本知识点 习题难度：易
算子 在不同的坐标系中其表达式是不同的
2. 对任意标量场u ，则u ( ) A. 恒等于零 B. 有时为零 C. 结果奇异
D. 结果无法确定，但一定为有限值
解析：本题考查哈密顿算子的常用运算公式，基本知识点 习题难度：中
0u ，这个运算公式是引出静电场电位函数的数学依据。
3. 对任意矢量场A ，则A
( ) A. 恒等于零 B. 有时为零 C. 结果奇异
D. 结果无法确定，但一定为有限值
解析：本题考查哈密顿算子的常用运算公式，基本知识点
习题难度：中
()0A
，这个运算公式是引出恒定磁场磁矢位函数的数学依据。
4. 从源点M (,,)x y z 到场点N (,,)x y z 的距离矢量为R ，则3R
R
( )
A. 3
B. 0
C. R
R
D. R
解析：本题考查关于距离矢量R
的几个重要公式，基本知识点 习题难度：中
因为2311R R
e R R R
(很重要的公式，在各种场基本方程的引出过程中都要使用上面的表达式) 所以31
0R R R
5. 关于拉普拉斯算子陈述错误的是( )
A. 2222
222u u u
u x y z
B. 2222
222x y z u u u u e e e x y z
C. 2222222A A A
A x y z
D. 222
2222222
222
222222y y y
x x x
z z z
x y z A A A A A A A A A A e e e x
y z x y z x y z
解析：本题考查拉普拉斯算子的常用运算公式，基本知识点 习题难度：易
2222
222u u u
u x y z
，所以B 选项是错误的。